线性方程组的解法讨论与应用--朱全民
浅谈线性方程组的求解及其应用
浅谈线性方程组的求解及其应用【摘要】线性代数是代数学的一个重要组成部分，广泛应用于现代科学的许多分支。
其核心问题之一就是线性方程组的求解问题。
本文先简要介绍了线性方程组求解的历史，然后给出线性方程组解的结构。
重点介绍了解线性方程组的几种方法:消元法，克拉默法则求解线性方程组的方法。
最后介绍了如何利用Matlab 常用电脑软件解线性方程。
关键词:线性方程组克拉默法则 Matlab1.线性方程组求解的历史线性方程组的解法，早在中国古代的数学著作《九章算术》方程章中已作了比较完整的论述。
其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵施行初等行变换从而消去未知量的方法，即高斯消元法。
在西方，线性方程组的研究是在17世纪后期由莱布尼茨开创的。
他曾研究含两个未知量的三个线性方程组组成的方程组。
麦克劳林在18世纪上半叶研究了具有二、三、四个未知量的线性方程组，得到了现在称为克莱姆法则的结果。
克莱姆不久也发表了这个法则。
18世纪下半叶，法国数学家贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究，证明了一元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零。
2.线性方程组解的结构n元线性方程组的一个解(c1,c2,……cn)是一个，维向量，当方程组有无穷多个解时，需要研究这些解向量之间的关系，以便更透彻地把握住它们。
关于齐次线性方程组的解的结构有以下结论:1)定义1齐次线性方程组的一组解η1，η2……ηt称为该方程组的一个基础解系，如果a)该方程组的任一解都能表成η1，η2……ηt的线性组合。
b)η1η2……ηt线性无关。
2)齐次线性方程组的两个解的和还是解，一个解的倍数还是解。
3)齐次线性方程组有非零解时必定存在基础解系，并且一个基础解系里有n-r个解，其中n是未知量的个数，r是系数矩阵的秩。
如果系数在数域P中的齐次线性方程组①的一个基础解系是: η1，η2……ηn-r，则①的全部解为k1η1+k2η2+……+kn-rηn-r其中k1,k2,……kn-r取遍取遍数域P中全部数。
线性方程组求解及应用
线性方程组求解及应用线性方程组是由一组线性方程所组成的方程集合。
线性方程组的解是满足所有方程的变量取值集合。
求解线性方程组的过程就是找到使得所有方程都成立的变量取值，也就是找到方程组的解。
线性方程组可以用矩阵的形式表示。
设线性方程组有n个未知数，m个方程，那么可以将方程组表示为一个n×m的矩阵A乘以一个m×1的向量X等于一个n×1的向量B。
即AX=B，其中A为系数矩阵，X为未知数向量，B为常数向量。
求解线性方程组有多种方法，下面介绍常见的几种方法。
1.高斯消元法：高斯消元法是一种基本的求解线性方程组的方法，它通过消元法将线性方程组化为上三角形式。
具体步骤如下：a) 将线性方程组写成增广矩阵的形式；b) 选取一个非零的元素作为主元，通过初等行变换将主元所在的列下方的元素都变为0；c) 对剩余的行进行相同的操作，依次选取主元，直到将矩阵化为上三角形式；d) 回代求解未知数。
2.矩阵求逆法：如果方程组的系数矩阵A可逆，那么可以通过求系数矩阵A的逆矩阵来求解线性方程组的解。
即X=A^(-1)B。
求逆矩阵可以使用伴随矩阵求解，也可以使用线性方程组的增广矩阵进行求解。
3.克拉默法则：克拉默法则适用于未知数个数和方程个数相等的线性方程组。
该方法通过求解系数矩阵A对应的行列式和每个未知数对应的行列式的比值来求解方程组。
具体步骤如下：a)计算系数矩阵A的行列式D；b)将方程组中第i个未知数的系数替换为常数向量B，计算系数矩阵A_i的行列式D_i；c)未知数的取值即为D_i除以D的值。
线性方程组的应用范围很广，常见的应用包括：1.电路分析：电路中的电流和电压关系可以表示为线性方程组，通过求解线性方程组可以分析电路中各部分的电流和电压分布。
2.优化问题：例如线性规划问题，可以通过线性方程组的求解来找到使得目标函数取得最大或最小值的变量取值。
3.图像处理：图像的旋转、平移、缩放等操作可以通过线性方程组的求解来实现。
线性方程的解法和实际应用
线性方程的解法和实际应用线性方程是数学中基础而重要的概念，它能够描述许多实际问题，如经济学、物理学、工程学等领域中的实际应用。
本文将介绍线性方程的解法以及其在实际问题中的应用。
一、解线性方程的方法解线性方程是指找到方程的未知数的值，使等式成立。
常见的解线性方程的方法有以下几种：1. 直接解法：对于只有一个未知数的一元线性方程，可以通过移项和化简的方式直接求解。
例如，对于方程2x + 3 = 7，我们可以通过将3移到等号右边，然后将2x = 7 - 3，最后得到x = 2。
2. 代入法：对于一个线性方程组，可以通过代入法来求解。
例如，考虑方程组2x + 3y = 7和3x + 2y = 8，我们可以通过先解其中一个方程得到y的值，然后将其代入另一个方程中求解x的值。
3. 消元法：消元法是一种常见的解线性方程组的方法。
它的基本思想是通过将方程组中的某些方程相加或相减，消去某个未知数，从而简化方程组。
例如，考虑方程组2x + 3y = 7和3x + 2y =8，我们可以通过将方程1乘以2，方程2乘以3，然后相减消去y 的系数，最后解得x的值。
二、线性方程在实际应用中的应用线性方程广泛应用于各个领域，下面将介绍几个实际应用的例子。
1. 经济学中的应用：线性方程可以用来描述供需关系、收益率等经济学中的实际问题。
例如，考虑一个简单的供求方程，供应量为常数A，需求量为Bx，其中x代表价格。
通过解这个线性方程，我们可以确定市场均衡价格，从而分析供需关系对市场的影响。
2. 物理学中的应用：线性方程可以用来描述物体的运动、力学等问题。
例如，通过解一个简单的速度与时间的方程，我们可以确定物体在不同时间的位移，从而描绘物体的运动轨迹。
3. 工程学中的应用：线性方程可以用来解决工程学中的各种实际问题，如电路分析、材料力学等。
例如，通过解一个简单的电阻电流方程，我们可以确定电路中电流的大小，从而分析电路的性能。
总结：线性方程的解法能够描述和解决各种实际问题，是数学中的重要概念。
线性方程组求解问题的探究及其应用
线性方程组求解问题的探究及其应用摘要 线性方程组是线性代数中的一块核心内容。
关于其求解问题，从判定到解法，其中所蕴含的思想方法灵活且多样。
本文则主要侧重于方法的探究。
针对线性方程组求解问题的几个方面，进行系统地归结。
并结合代数、几何以及实际应用几个方面加以延拓，继而加深对线性方程组求解问题的理解。
关键词 线性方程组 齐次线性方程组 非齐次线性方程组 行列式 矩阵 秩线性方程组是线性代数中一块重要的内容，其中所蕴含的思想方法涉及的面也非常之广泛。
它有效地将代数、矩阵、行列式等知识点融合在一起，并结合各知识点作进一步延展。
而这在一定程度上，也决定了其方法的多样化与灵活性。
关于线性方程组求解问题，以下则从可解性的判定着手探究，并在此基础上对解法作进一步地归纳与整合。
而在这之前，先对于线性方程组的表述方式作一个初步地了解。
以下从三个角度进行分类，可分别表述为代数方程形式、向量型、矩阵型。
1. 几类常见表述形式1.1 代数方程形式11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 1.2 向量型不妨将其系数用列向量来表示，令 11211m a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭１＝, 122222=m a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, ,12=n n n mn a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，12m b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪B ⎪ ⎪⎝⎭＝ 则方程可转化成 1122n n x x x ααα+++=B1.3 矩阵型 可以将线性方程组中的系数写成矩阵形式，即令 ij m n a ⨯⎡⎤A =⎣⎦, ()12,,,n x x x T X =, ()12,,,n b b b TB = 那么，方程组可写成形如 AX B = 的形式。
以上则是对于线性方程组的表述形式所作的一些初步了解，下面进一步从求解问题的方法着手。
线性方程组求解及应用
线性方程组求解及应用线性方程组是数学中的一种基本问题，它涉及到未知数与系数之间的线性关系。
在实际生活和科学领域中，线性方程组有着广泛的应用场景，如经济学、物理学、工程学等。
我们来介绍线性方程组的求解方法。
线性方程组可以表示为如下形式：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2...am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm解线性方程组的常用方法有高斯消元法、矩阵法、克拉默法则等等。
1. 高斯消元法：高斯消元法是一种基本的求解线性方程组的方法，其基本思想是通过消去未知数的方法将方程组转化为上三角或者下三角的形式，然后通过回代法求解未知数的值。
2. 矩阵法：矩阵法也是一种常用的求解线性方程组的方法，它将方程组的系数和常数项写成矩阵的形式，然后通过矩阵运算得到未知数的值。
3. 克拉默法则：克拉默法则是一种基于行列式的求解线性方程组的方法，在方程组的系数矩阵的行列式不为零的情况下，可以通过求解行列式的值来得到未知数的值。
在实际生活和科学领域中，线性方程组有着广泛的应用。
1. 经济学中的应用：线性方程组在经济学中经常用来描述经济现象与变量之间的关系。
用线性方程组可以描述商品的供求关系、价格与需求之间的关系等等。
2. 物理学中的应用：线性方程组在物理学中经常用来描述物体的运动、电磁场的分布等等。
牛顿第二定律可以通过线性方程组来描述物体的受力情况。
线性方程组的求解及应用不仅在数学理论中具有重要意义，而且在实际生活和科学领域中也有着广泛的应用价值。
通过求解线性方程组，我们可以得到未知数的值，从而更好地理解和应用数学原理。
通过应用线性方程组，我们可以描述和解释各种现象和规律，为实际问题的解决提供数学模型和工具。
学习和掌握线性方程组的求解及应用方法对于我们的数学学习和实际工作具有重要的意义。
线性方程组的求解与应用
线性方程组的求解与应用线性方程组是数学中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将从线性方程组的定义、求解方法以及应用方面进行探讨。
一、线性方程组的定义与特点线性方程组是由一系列线性方程组成的方程组。
线性方程的一般形式为：a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b。
其中，a₁、a₂、...、aₙ为系数，x₁、x₂、...、xₙ为未知数，b为常数。
线性方程组的特点是未知数的最高次数为一次，且各个未知数之间没有乘积项。
二、线性方程组的求解方法1. 列主元消元法列主元消元法是线性方程组求解的一种常用方法。
它的基本思想是通过消元将线性方程组转化为上三角形方程组，然后通过回代求解未知数。
具体步骤如下：（1）将线性方程组写成增广矩阵的形式，即将系数矩阵和常数项列向量合并在一起。
（2）选取第一列的主元素，即系数矩阵第一列中绝对值最大的元素，如果为零则选取下一列的主元素。
（3）通过初等行变换将主元素所在列的其他元素消为零。
（4）重复步骤2和步骤3，直到系数矩阵变成上三角形矩阵。
（5）通过回代求解未知数，即从最后一行开始，依次求解每个未知数的值。
2. 矩阵求逆法矩阵求逆法是另一种线性方程组求解的方法。
它的基本思想是通过求解系数矩阵的逆矩阵，然后与常数矩阵相乘得到未知数的解。
具体步骤如下：（1）将线性方程组写成矩阵的形式，即AX = B。
其中，A为系数矩阵，X为未知数矩阵，B为常数矩阵。
（2）判断系数矩阵A是否可逆，如果可逆则存在唯一解，否则可能存在无解或无穷解。
（3）如果A可逆，则求解A的逆矩阵A⁻¹。
（4）将未知数矩阵X表示为X = A⁻¹B。
三、线性方程组的应用线性方程组在各个领域都有广泛的应用，下面以几个具体的应用为例进行介绍。
1. 经济学中的应用线性方程组在经济学中有着重要的应用。
例如，经济学家可以通过建立线性方程组来描述供求关系、市场均衡等经济现象，进而预测市场的变化趋势。
线性方程的解法与应用
线性方程的解法与应用线性方程是数学中常见且具有重要意义的一类方程。
解决线性方程可以帮助我们找到未知量的值，并在各个领域中应用于实际问题的解决。
本文将探讨线性方程的解法及其应用。
一、线性方程的定义与一般形式线性方程是指未知量的次数为一次、且各项系数都是常数的方程。
一般形式如下：a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b其中，a₁、a₂、...、aₙ为已知系数，x₁、x₂、...、xₙ为未知量，b为等式的常数项。
二、线性方程的解法1. 直接代入法直接代入法是线性方程最基础也最直接的解法。
通过将已知系数代入方程中，求得未知量的值。
例如，对于方程2x + 3 = 7，可以将3代入方程中得到2x + 3 = 7，然后通过简单计算得出x = 2。
2. 消元法消元法是解决线性方程组的常用方法，通过消去某些变量，将多个方程转化为只含一个未知量的方程。
例如，考虑方程组：2x + 3y = 7x - 4y = -1通过倍加或倍减两个方程可以消去y的项，从而得到只含有x的方程。
解得x = 2，再代入其中一个方程，可得y = 1。
因此，原方程组的解为x = 2，y = 1。
3. 矩阵法矩阵法是一种高效解决线性方程组的方法，通过将系数矩阵与未知量矩阵相乘，得到常数矩阵，从而求得未知量的值。
例如，考虑方程组：2x + 3y = 7x - 4y = -1将方程组表示为矩阵形式：| 2 3 | | x | | 7 || 1 -4 | x | y | = |-1 |通过矩阵的逆运算，即可得到未知量的值。
计算得到x = 2，y = 1，与前述的结果一致。
三、线性方程的应用线性方程的解法在实际问题中有广泛的应用，以下是一些常见领域的应用示例。
1. 经济学线性方程可以应用于经济学中的供需分析、成本管理等问题。
通过解决线性方程，可以确定均衡价格、确定经济政策以及制定企业营销策略等。
2. 物理学线性方程可应用于物理学中的运动学、热学等问题。
线性方程组的解法与应用
线性方程组的解法与应用线性方程组是数学中常见的问题之一，它在各个领域都有着广泛的应用，如物理、经济学等。
本文将介绍线性方程组的解法以及其在实际问题中的应用。
一、线性方程组的解法1. 高斯消元法高斯消元法是最常用的线性方程组解法之一。
它通过对方程组进行系数矩阵的行变换，将其转化为简化的阶梯形矩阵，从而求得方程组的解。
2. 矩阵的逆与逆矩阵对于n个未知数的线性方程组，我们可以将其转化为矩阵表示。
当系数矩阵可逆时，可以通过求解逆矩阵来得到方程组的解。
3. 克拉默法则克拉默法则是一种解决线性方程组的方法，它通过求解系数矩阵的行列式与各个未知数所对应的代数余子式，进而求得方程组的解。
二、线性方程组的应用1. 物理学中的力的平衡问题在物理学中，力的平衡问题常常可以转化为线性方程组。
通过建立各个力的平衡方程，可以求解出力的大小和方向。
2. 经济学中的投资与收益问题在经济学中，投资与收益之间常常存在线性关系。
通过建立线性方程组，可以计算出各项投资对应的预期收益，帮助做出合理的投资决策。
3. 工程学中的电路分析问题在电路分析中，线性方程组可以用于求解电路中的电流和电压。
通过建立各个元器件的电流-电压关系方程，可以求解出电路中各点的电流和电压数值。
4. 计算机科学中的图像处理问题在图像处理中，线性方程组可以应用于图像的滤波和重建等问题。
通过建立线性方程组，可以对图像进行处理和改善，实现各种图像特效。
结语线性方程组是数学中重要的内容之一，它的解法和应用涉及到各个领域。
通过掌握线性方程组的解法，我们可以解决许多实际问题，提升问题求解的能力。
希望本文能对你对线性方程组的理解和应用有所帮助。
线性方程组的解法与应用
线性方程组的解法与应用一、引言线性方程组是数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。
本文将介绍线性方程组的解法以及其在实际问题中的应用。
二、高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的一种经典方法，其基本思想是通过一系列变换将线性方程组化简为简化行阶梯形式，从而得到方程组的解。
1. 列主元素消去高斯消元法的第一步是选取列主元素，并进行消去操作。
选择列主元素的方法有多种，常用的是选取列中绝对值最大的元素作为主元素。
通过逐行操作，将其他行的对应元素通过消去或替换操作，将当前列的主元素下方的元素全部变为零。
2. 回代求解经过列主元素消去之后，线性方程组会被转化为简化行阶梯形式。
接下来通过回代求解方法，即从最后一行开始，逐行求解未知数的值。
将解代入上一行的方程中，逐步回代，直至求得所有未知数的值。
三、矩阵运算法除了高斯消元法外，矩阵运算法也是解决线性方程组的一种常见方法。
通过将系数矩阵与未知数矩阵进行运算，可以直接求解线性方程组。
1. 逆矩阵法若方程组的系数矩阵可逆，即其行列式不为零，则可以通过求解逆矩阵的方法来得到方程组的解。
将方程组转化为矩阵形式，即AX=B 的形式，其中A为系数矩阵，X为未知数矩阵，B为常数矩阵。
通过求解逆矩阵，即X=A^(-1)B，可以得到未知数矩阵的值。
2. 克拉默法则当方程组的系数矩阵为非奇异矩阵时，可以利用克拉默法则求解线性方程组。
该方法通过求解系数矩阵的各个子式的值，进而得到方程组的解。
具体步骤是将系数矩阵的各列依次替换为常数矩阵，求解出各个子式的值，然后将得到的解代入方程组中即可得到未知数的值。
四、线性方程组的应用线性方程组不仅仅在数学中具有重要意义，其在实际问题中的应用也非常广泛。
1. 物理问题中的应用线性方程组在描述物理问题中经常扮演着重要的角色。
例如，力学中的受力平衡问题、电路中的电流分布问题、热传导中的温度分布问题等，都可以通过建立线性方程组来求解。
2. 经济学问题中的应用线性方程组在经济学中也有广泛的应用。
工程数学 线性代数 周勇 朱砾答案(4章)
习题四一、求齐次线性方程组的解（1）、43)(34100301034001430030101211430013101211212211121211<=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=A R A 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==4342413434x x x x x x 令14=x 为自由未知量，得基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=13/433/4ξ， 通解为R k k X ∈=ξ（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=0000010010210400040011215110531631121A即⎩⎨⎧=+-=023421x x x x 令42,x x 为自由未知量， 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10,0142x x ，得基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001,001221ξξ 通解为R k k k k X ∈+=212211,ξξ。
（3） nA R A ==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=4)(742116100221055007421341990141470199707421631472135132 方程有唯一零解。
（4）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=000017/2017/191012/32/3100000000201917023320000201917020191702332102/192/17020191701613114233275433127161311423327543A 即⎩⎨⎧+-=--=43214322/32/317/2017/19x x x x x x x ，令43,x x 为自由未知量， 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛170,01743x x ，得基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1702013,01719321ξξ 通解为R k k k k X ∈+=212211,ξξ。
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线性方程组的解法讨论与应用朱全民线性方程组形式如下：常记为矩阵形式其中一、高斯消元法高斯（Gauss)消元法的基本思想是：通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x 向量。
现举例说明如下：（一）消元过程第一步：将(1)/3使x 1的系数化为1 得再将(2)、(3)式中x 1的系数都化为零，即由(2)-2×(1)(1)得)1(32)2( (03)432=+x x )1(321)1( (23)132=++x x x由(3)-4×(1)(1)得第二步：将(2)(1)除以2/3，使x 2系数化为1，得再将(3)(1)式中x 2系数化为零，即 由(3)(1)-(-14/3)*(2)(2) ，得第三步：将(3)(2)除以18/3，使x 3系数化为1，得经消元后，得到如下三角代数方程组：（二）回代过程由(3)(3)得 x 3=1, 将x 3代入(2)(2)得x 2=-2, 将x 2 、x 3代入(1)(1)得x 2=1 所以，本题解为[x]=[1,2,-1]T （三）、用矩阵演示进行消元过程第一步： 先将方程写成增广矩阵的形式第二步：然后对矩阵进行初等行变换初等行变换包含如下操作（1） 将某行同乘或同除一个非零实数)3(3)3(......1-=x )2(3)3( (63)18-=x )2(32)2(......02=+x x )1(32)3(......6310314-=--xx（2）将某行加入到另一行（3）将任意两行互换第三步：将增广矩阵变换成上三角矩阵，即主对角线全为1，左下三角矩阵全为0，形式如下：示例：（四）高斯消元的公式综合以上讨论，不难看出，高斯消元法解方程组的公式为1．消元（1）令a ij(1) = a ij , （i,j=1,2,3,…,n）b i(1) =b i , （i=1,2,3,…,n）（2）对k=1到n-1，若a kk(k)≠0，进行l ik = a ik(k) / a kk(k) , （i=k+1,k+2,…,n）a ij(k+1) = a ij(k) - l ik * a kj(k), （i,j= k+1,k+2,…,n）b i(k+1) = b i(k) - l ik * b k(k), （i= k+1,k+2,…,n）2．回代若a nn(n) ≠0x n = b n(n) / a nn(n)x i = (b i(i) – sgm(a ij(i) * x j)/- a ii(i),（i = n-1,n-2,…,1）,( j = i+1,i+2,…,n )（五）高斯消元法的条件消元过程要求a ii(i) ≠0 (i=1,2,…,n),回代过程则进一步要求a nn(n) ≠0,但就方程组Ax=b 讲，a ii(i)是否等于0时无法事先看出来的。
注意A的顺序主子式D i（i=1,2,…,n）,在消元的过程中不变，这是因为消元所作的变换是“将某行的若干倍加到另一行”。
若高斯消元法的过程进行了k-1步(a ii(i) ≠0,i<k)，这时计算的A(k)顺序主子式:D1= a11(1)D2= a11(1) a22(2)……D k= a11(1) a22(2)…a k,k(k)有递推公式D1= a11(1)D i= D i-1 a ii(i)(i=2,3,…,n)所以有定理：高斯消元法消元过程能进行到底的充要条件是系数阵A的1到n-1阶的顺序主子式不为0。
（六）选主消元因为在高斯消元的过程中，要做乘法和除法运算，因此会产生误差。
当| a kk(k)|<<1，此时用它作除数。
会导致其他元素数量级严重增加，带来误差扩散，使结果严重失真。
例如：0.00001x1+x2 = 1.000012x1+x2 = 3解：代入得到x1=0,x2=1。
显然，严重失真换主元，将两行交换，如下，代入得到x1=1,x2=1,答案正确。
总结：在消元的过程中，如果出现主元相差比较大的情况，应选择如下图方框中的最大数作为主元。
甚至可以在整个矩阵中找最大数作为主元，但此时需要做列变换，要记住个分量的顺序。
（六）解的判断设方程组的增广矩阵记为A，则A经过初等行变换可化为如下的阶梯形矩阵(必要是可重新排列未知量的顺序)：其中c ii≠0(i=1，2，…，r)．于是可知：(1).当d r+1=0，且r=n时，原方程组有唯一解．(2).当d r+1=0，且r<n时，原方程组有无穷多解．(3).当d r+1≠0，原方程组无解．二、LU分解法求解线性代数方程组除了高斯消元法外，还常用LU分解法（三角形分解法）。
LU分解法的优点是当方程组左端系数矩阵不变，仅仅是方程组右端列向量改变，即外加激励信号变化时，能够方便地求解方程组。
设n阶线性方程组Ax=b假设能将方程组左端系数矩阵A，分解成两个三角阵的乘积，即A=LU ，式中，L为主对角线以上的元素均为零的下三角矩阵, 且主对角线元素均为1的上三角矩阵；U为主对角线以下的元素均为零。
所以有，LUx=b令 Ux=y则 Ly=b由A=LU,由矩阵的乘法公式：a 1j = u 1j , j=1,2,…,n a i1 = l i1u 11 , i=1,2,…,n推出u 1j = a 1j , j=1,2,…,n l i1 = a i1/u 11, i=1,2,…,n这样就定出了U 的第一行元素和L 的第一列元素。
设已定出了U 的前k-1行和L 的前k-1列，现在确定U 的第k 行和L 的第k 列。
由矩阵乘法：当r>k 时，l kr =0, 且l kk =1，因为所以，同理可推出计算L 的第k 列的公式：因此得到如下算法——杜利特（Doolittle ）算法: (1) 将矩阵分解为A=LU,对k=1,2,…,n⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=-=+=-=∑∑==1,...,1,/)(,...,1,111kk nr kkrj kr ik ik nr rjkr kj kj l n k k i u u l a l n k k j u l a u ：公式 (2) 解L y =b∑-==-=11,...,2,1:2k r r krk k nk y lb y 公式∑=+=-=nr rjkr kj kj nk k j u l a u 1,...,1,∑=+=nr rjkr kj kj ul u a 1∑=+=-=nr kkrj kr ik ik nk k i u u l a l 1,...,1,/)(∑==nr rjkrkj u la 1(3) 解U x =y例：求解方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛472223940 1 15 618 9 6 25 6 9 2 6 2 4 2 4321x x x x 解：由公式1得出⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=16 3 3 2 1 6 2 4 2,1 2 3 31 2 1 1 2 1 L U 于是化为两个方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321432143211 6 3 3 2 1 6 2 4 247222391 2 3 3 1 2 1 1 2 1y y y y x x x x y y y y利用公式2，3可解y=(9,5,3,-1)T ,x=(0.5,2,3,-1)T 三、应用 问题1：维他命的配方维他命是一种好的药品，人们都需要摄入一定量的各种维生素，现在有若干种维他命，问能否利用这些维他命配制出适合人需求的各种维生素。
数据输入：第一行：人们需补充的V(1<=V<=25) 种维生素。
第二行：V 个数，第i 个数为Vi ，表示人体对第i 种维生素的需求量。
（1<=Vi<=1000） 第三行：已知的G (1<=G<=15) 种维他命。
以下G*V 的整数矩阵：第i 行第j 个数为Aij ，表示第i 种维他命中所含的第j 种维生素的含量（1<=Aij<=1000）。
数据输出：∑+=-=-=nk r kkr krk k n n k u x uy x 11,...,1,/)(3：公式第一行：输出能否配制，若能输出Y es ，否则输出No第二行：若能配制，则输出G 个整数，其中第i 个整数Gi ，表示第i 种维他命所取的数量，若有多种配置方案，输出一种即可。
若不能配制，则第二行为空。
样例：input.txt 4100 200 300 400 450 50 50 50 30 100 100 100 20 50 150 250 50 100 150 200 output.txt Y es1 1 1 0分析：因为不知道每种维他命的数量，如果采用枚举，很难估计每种维他命的上界，而且时间复杂度很高，下面我们尝试用解方程的方法。
设需要配制的维他命每种数量分别为x 1,…x n ,其中n<=15,根据题意，可列出如下方程。
用高斯消元法求解：这里，虽然x 4可取任意值，显然，表示x 4的数量与答案无关，因此x 4=0,代入，可得x 3=1, x 2=1, x 1=1,因此，原问题的解为（1，1，1，0）。
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛÷÷-⨯--÷÷÷÷ 0 0 0 0 01 1/2 1 0 0 10/7 5/7 3/7 1 04 2 1 2 10 0 0 0 02 1 2 0 010 5 3 7 04 2 1 2 14 2 4 0 02 1 2 0 04 2 1 2 110 5 3 7 08 4 5 2 16 3 3 2 14 2 1 2 110 5 2 3 5400 200 250 100 50300 150 150 100 50200 100 50 100 50100 50 20 30 502(3)7(2)2*(3)-(4))2((1))1(5)2()2()4()2()3(50)4(50)3(50)2(10)1(交换与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛400300200100 200 250 100 50 150 150 100 50 100 50 100 50 50 20 30 504321x x x x问题2：虫食算（NOIP2005）给出一个N (N<=26)进制的加法算式，如下：ABCED+ BDACEEBBAA其中有些是数字，有些是字母，字母可代表（1..N）中的任何一个数字，每个字母数字都不一样。