线性代数复习策略指导
线性代数复习要点
线性代数复习要点线性代数是数学中的一个分支，其研究对象包括向量空间、线性变换、矩阵、线性方程组等。
线性代数广泛应用于各个领域，如物理学、计算机科学、工程学等。
下面是线性代数复习的要点：1.向量和向量空间-向量是指具有大小和方向的量，用箭头表示。
-向量空间是指由一组向量生成的集合，满足加法和数乘运算的封闭性。
-基是一个向量空间中独立且能够生成该向量空间的向量组。
-向量组的线性组合是指对向量组中的向量进行加法和数乘运算的结果。
-向量组的生成子空间是指向量组的所有线性组合所形成的空间。
2.矩阵和线性变换-矩阵是一个按照矩形排列的数。
矩阵的大小由行数和列数确定。
-矩阵的加法和数乘运算定义为对应元素的运算。
-矩阵的转置是指行变为列，列变为行的操作。
-矩阵的乘法是指矩阵的行与列的对应元素相乘后求和的运算。
-线性变换是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的变换，保持线性关系。
3.行列式和特征值特征向量-行列式是一个与矩阵相关的数，用于描述矩阵的性质。
-二阶和三阶矩阵的行列式可以通过对应元素相乘后求和的方式计算。
-行列式的值为0表示矩阵不可逆，即不存在逆矩阵。
-特征值是指矩阵对一些向量进行线性变换后，仍然与原向量方向相同的结果。
-特征向量是指通过线性变换后，与其特征值对应的向量。
4.线性方程组的求解-线性方程组是一组线性方程的集合，其中未知量的次数等于方程的个数。
-列向量和矩阵可以表示线性方程组的系数和常数项。
-线性方程组的解可以通过高斯消元法、矩阵的逆等方法进行求解。
-高斯消元法是将方程组化为行阶梯形式，再通过回代求解。
-线性方程组的解可以有唯一解、无解或者无穷多解。
5.特殊矩阵和矩阵的分解-单位矩阵是指主对角线上的元素为1，其余元素为0的矩阵。
-零矩阵是指所有元素均为0的矩阵。
-对角矩阵是指主对角线以外的元素均为0的矩阵。
-逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵。
-矩阵的分解包括LU分解、QR分解、特征值分解等。
高考数学中的线性代数问题复习
高考数学中的线性代数问题复习高考数学是高中阶段最为重要的科目之一，也是决定考生进入理工科大学的重要科目。
因此，高考数学的考试题目也备受关注，其中线性代数作为一个非常重要的概念，值得我们在备考时进行深入的研究和复习。
线性代数是一门讲述线性方程组和线性变换的学科。
线性代数涉及到的知识点非常广泛，包括向量、矩阵、线性方程组、行列式等等。
在高考数学中，线性代数主要涉及向量的概念、向量的运算、向量的方向余弦、平面向量、空间向量等等。
为了备考线性代数，我们需要着重掌握以下几个方面的知识。
第一，向量的概念和运算。
在线性代数中，向量被定义为有向线段。
向量相加的规则是将两个向量的对应有向线段相接组成一个新的有向线段。
向量的数乘规则是将向量的长度乘上一个实数，并改变向量的方向。
在运用到这些规则时，需要注意向量长度的单位是米（m）、千米（km）、厘米（cm）和毫米（mm）等等。
第二，向量的方向余弦。
向量的方向余弦是用于表述一个向量在三个坐标轴方向上的投影的余弦值。
以二维平面坐标系为例，向量的方向余弦是指向量的x分量、y分量分别与向量总长度的比值。
在计算时，需要将向量的三个坐标值求出来，然后将每个坐标值除以向量的长度，最后得到三个方向余弦值。
第三，平面向量和空间向量。
在高考数学中，除了个别题目需要使用空间向量的概念，大部分考试试题都是以平面向量为主。
平面向量是指在同一平面内拥有相同起点或相同终点的向量，空间向量是指在三维空间内拥有相同起点或相同终点的向量。
在计算平面向量时，需要考虑向量的方向和长度，同时需要使用向量的加法、减法和点乘积等运算规则。
在计算空间向量时，需要使用向量的点积和叉积等运算规则。
第四，矩阵和行列式。
在线性代数中，矩阵是一个由数个数排成的矩形的数组，该数组的数被称为矩阵元素。
行列式是一种区分线性无关和线性相关的方法。
在高考数学中，矩阵和行列式通常是在高端的题目中出现，因此需要我们牢记相关的概念和运算法则。
线性代数重点复习(16页)
齐次线性方程组给出系数矩阵，
1
非齐次线性方程组给出增广矩阵 。
对矩阵进行初等行变换得到行最
2
简形。
3
把行最简形矩阵写回线性方程 组的形式。
4
给出方程组的通解。
若线性方程组的系数带有未知数，需分各种情况讨论，灵活处理。
相似矩阵与二次型 05 Guidance for Final Exams at XXX University in 2025 2025
交向量组，由此便可得到相应的正交变换矩阵和相似对
角矩阵。
2025
马到成功！
XXX大学2025年期末考试指导
2025
公众号:安全生产管理
线性代数复习重点
第一章 行列式 01 Guidance for Final Exams at XXX University in 2025 2025
容易出选择填空题的内容：
(1)求逆序数； (2)含某个因子的项（注意正负号）； (3)与余子式或代数余子式相关的内容； (4)已知 |A| 求某个与A相关的行列式。。
第三章 向量空间 03 Guidance for Final Exams at XXX University in 2025 2025
向量空间
本章提到的的性质和定理较多，需要灵活运用。
容易出选择填空题的内容： 二 (1)向量的加法、数乘和内积运算； (2)线性相关和线性无关的定义，以及它们与向量组秩的关系（线性无关意
容易出大题的内容：行列式的计算。 其中，若已知行列式的阶数和每个元素的数值， 则问题很简单，但要注意，对于2阶和3阶行列式， 可用划斜线的方式（对角线法则）来计算。而对于4 阶或更高阶的行列式，不能采用对角线法则计算， 此时必须利用行列式的性质将其化为上三角行列式 从而得出结果，或者当某一行（列）非零元很少时， 运用展开定理将该行（列）展开从而得到经过降阶 的行列式计算。 对于n阶行列式的情形或者行列式元素中出现未 知数，求解的难度较大，需要灵活的结合运用行列 式的性质和展开定理。一般来说，考试中都会出课 本中已有的例题、习题，或者非常相似的题目。
考研数学详细笔记
α
m
= =
0 0
；即
⎛ ⎜ ⎜ ⎜
α1T
α
T 2
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
α1
α2
+ kmαmTαm = 0
⎜⎜⎝
α
T m
⎟⎟⎠
⎛ k1 ⎞
αm
⎜
)
⎜ ⎜
k2
⎟ ⎟ ⎟
=
0
⎜⎟ ⎝ km ⎠
令 A = (α1 α2
⎛ k1 ⎞
αm )
，即
AT
⎜
A
⎜ ⎜
k2
⎟ ⎟ ⎟
=
0
，因为
α1,α2 ,
⎜⎟ ⎝ km ⎠
,αm 线 性 无 关 ，
三、线性代数复习重点
大家知道，线性代数前后知识的联系非常紧密，所 以我们在这一部分复习的时候，一定 要抓住我们线性代数的前后联系的这样一些关键点， 把知识连贯起来，我们就会发现，掌 握起来是比较容易的。整个线性代数，我个人认为， 可以分成三大块内容。第一部分，行 列式和矩阵，是我们线性代数的基础部分，基础部分 一般来讲不考大题。以这个为基础，
方程组中解的判定、解的性质、解的结构这三部分要搞清楚 重要题型 1 判定向量组线性相关性； 2 向量组的线性表示 3 求向量组的秩与极大无关组 4 方程组（齐次，非齐次）解的判定与求解 5 方程组的公共解与同解。
例 5 设 向 量 组 α1,α2 ,α3 线 性 无 关 , 向 量 β1 能 由 α1,α2 ,α3 线 性 表 出 , 向 量 β2 不 能 由
⎧a11x1 + a12 x2 + ⎪⎪⎨a21x1 + a22 x2 + ⎪ ⎪⎩am1x1 + am2 x2 +
《线性代数》学习方法
《线性代数》学习方法1.建立数学基础：学习线性代数需要一定的数学基础，尤其是对于矩阵、向量和方程组等概念的理解。
在开始学习线性代数之前，建议先复习一下高中阶段的数学知识，包括数学函数、集合论、代数和几何等内容。
2.理论与实践结合：线性代数是一门理论与实践相结合的学科，理论与实践相互促进。
在学习理论知识的同时，要注重实际应用。
通过解决一些实际问题，可以更好地理解和掌握线性代数的概念和方法。
3.多做练习题：做练习题是学习线性代数的重要途径。
通过练习题，可以巩固理论知识，培养解决问题的能力。
建议在学习过程中，多做一些练习题，并及时总结和反思自己的解题方法和思路。
4.注重证明和推导：线性代数中的很多定理和公式都是通过严格的证明和推导得到的。
在学习线性代数的过程中，要注重理解和掌握定理的证明过程。
通过证明和推导，可以更深入地理解定理的内涵和应用。
5.学会画图：线性代数中的很多概念和方法都可以通过图形来表示和解释。
学会画图可以帮助我们更直观地理解和掌握线性代数的内容。
在学习过程中，可以多画一些示意图和图形，帮助自己形象地理解和记忆线性代数的概念和方法。
6.多与他人交流：线性代数是一门需要思考和交流的学科。
在学习过程中，可以多与同学和老师进行讨论和交流，分享自己的思考和理解。
通过交流，可以互相学习和启发，提高学习效果。
7.参考优质教材和资源：选择一本优质的线性代数教材对于学习的效果非常重要。
可以参考一些经典的线性代数教材，如《线性代数及其应用》和《线性代数引论》等。
同时，还可以利用互联网上的优质资源，如在线课程和视频教程等，丰富学习的内容。
8.培养数学思维：线性代数是一门抽象的学科，需要培养抽象思维和逻辑思维能力。
在学习过程中，要注重思考和理解概念和定理的内涵，培养自己的数学思维能力。
9.持之以恒：学习线性代数需要一定的时间和精力，不能急于求成。
要持之以恒，坚持每天学习一定的时间，不断积累和提高。
总之，学习线性代数需要一定的数学基础和学习方法。
考研数学如何高效备考线性代数
考研数学如何高效备考线性代数线性代数是考研数学中的一门重要课程，备考线性代数对于考研数学的取得好成绩至关重要。
本文将介绍如何高效备考线性代数，帮助考生在考试中取得优异成绩。
一、理清知识框架首先，要理清线性代数的知识框架。
线性代数主要包括向量、矩阵、线性方程组、特征值与特征向量等内容。
考生需要明确每个知识点的定义、性质和相关定理，建立完整的知识体系。
可以通过查阅教材和参考书籍，将知识点进行分类整理，形成自己的知识框架。
二、熟悉解题思路掌握线性代数的解题思路是备考的关键。
考生要了解不同知识点的解题方法和步骤，熟悉典型题目的解答过程。
可以通过分析习题和真题，总结各类题目的解题思路，形成自己的解题模式和思维方式。
同时，要重视基础题的训练，掌握解题的基本技巧和方法。
三、刷题训练刷题是备考线性代数必不可少的环节。
考生要选择一些经典的习题和真题进行刷题训练。
可以根据考研数学的大纲和历年真题，有针对性地选择题目进行练习。
刷题的目的不仅是为了熟悉解题过程，更要在解题中发现容易出错的点和不熟悉的知识点，及时进行查漏补缺。
同时，要注重题目的解析，理解解题的思路和方法。
四、重点突破备考线性代数要注意突破重点和难点。
在备考过程中，发现自己容易出错或理解不深的知识点，要针对性地进行强化训练。
可以通过多次练习和反复巩固，加深对重点知识点的理解和掌握。
同时，还可以找一些典型题目进行攻克，通过不断解题和思考，找到解题的突破口，提高解题的复杂性和灵活性。
五、提高思维能力备考线性代数不仅要注重知识的理解和记忆，还要注重思维能力的培养。
线性代数是一门抽象的数学学科，考生需要培养抽象思维和逻辑推理能力。
可以通过做数学题、进行数学证明和推理等方式，锻炼思维能力和逻辑思维能力。
此外，可以参加线性代数的讨论班、习题课等，与他人互动，共同探讨解题思路和方法。
六、整体复习备考线性代数要进行整体复习。
可以通过整理笔记、做复习题、进行模拟考试等方式，对自己的学习成果进行检验和巩固。
如何高效备考考研数学线代
如何高效备考考研数学线代备考考研是每位学子的重要任务，尤其是数学线性代数这门课程。
本文将从不同角度介绍如何高效备考考研数学线性代数，帮助考生制定合理的备考计划并提供备考技巧。
一、制定合理的备考计划备考数学线性代数首先需要制定合理的备考计划，具体步骤如下：1.了解考纲和考试形式：认真阅读考试大纲，了解考试的内容和形式，明确备考目标和重点，合理分配学习时间。
2.规划备考时间：根据考试日期和个人时间安排，合理规划备考时间，充分利用每天的时间段进行学习。
3.划分知识点：将线性代数的知识点进行分类，分为基础知识、重点知识和拓展知识。
根据自身情况和考试重点，制定相应的学习计划。
4.制定任务清单：将每个知识点制作成任务清单，列出需要复习和掌握的内容，每个阶段都要针对性地完成任务，不断检查和调整。
二、合理选择备考资料选择适合自己的备考资料是备考中至关重要的一步。
以下是一些建议：1.教材：根据自己的实际情况选择一本合适的线性代数教材，建议选择权威出版社的教材，如高等教育出版社的《高等数学线性代数》。
2.习题集：选择一本针对考研数学线性代数的习题集，多做习题有助于加深对知识点的理解和记忆。
可以选择《考研数学线性代数习题集》进行练习。
3.考研辅导书：如果条件允许，可以选择一本考研数学线性代数的辅导书，辅导书通常会总结出一些备考技巧和经验，有助于备考。
三、备考技巧与方法备考数学线性代数不仅需要记忆大量的知识点，还需要掌握一些备考技巧和方法，以下是一些备考建议：1.理解概念：线性代数的知识是有一定逻辑关系的，首先要理解概念和定义，建立起知识点之间的联系和构架。
2.掌握公式和定理：线性代数中有很多公式和定理，要做到熟练掌握和准确运用。
可以通过做题和总结的方式来加深记忆。
3.多做习题：习题是检验自己是否掌握知识的重要方式，可以通过大量的习题练习来加深记忆和理解。
4.分析历年真题：分析历年真题可以了解考试命题的规律和出题的重点，有助于备考时的针对性复习。
2024年考研数学线性代数特点及复习建议
2024年考研数学线性代数的特点在于题目难度较大，并且涉及到的
知识点比较广泛。
复习建议包括有针对性地复习知识点、多做题提高解题
能力和注意平衡复习时间。
以下是详细的分析和建议：
一、2024年考研数学线性代数的特点：
1.题目难度较大：2024年考研数学线性代数的题目难度相对较大，
需要考生对各个知识点都掌握得比较扎实，不能有任何遗漏。
二、2024年考研数学线性代数复习建议：
2.多做题提高解题能力：做题是复习的最好方法，通过做题可以提高
解题能力，熟悉不同类型的题目。
可以先从一些基础性的题目开始做起，
逐渐提高难度，同时，可以借助辅导书籍和网上资源进行巩固和拓展。
在
解题过程中，要注重方法的灵活应用和题目的整体把握能力。
3.注意平衡复习时间：复习线性代数时，要注意平衡不同知识点的学
习时间。
可以事先规划好每个知识点的复习进度，合理安排时间，不要过
分侧重一些知识点或题型，要保证全面复习。
4.多利用历年真题：历年真题是复习的重要资料，可以了解历年考试
的趋势和重点考察的知识点。
多做历年真题可以检验自己的复习效果和提
高解题能力，也可以更好地熟悉考试的题型和命题规律。
综上所述，2024年考研数学线性代数考试的特点在于题目难度较大，并且涉及到的知识点比较广泛。
为了应对这样的考试，复习建议包括有针
对性地复习知识点、多做题提高解题能力和注意平衡复习时间。
通过认真
复习和多做练习题，相信考生们一定能够在考试中取得好的成绩。
考研数学线性代数复习技巧
考研数学线性代数复习技巧考研数学线性代数复习技巧对于考研数学中的线性代数这一门有很多的复习技巧，掌握这些技巧之后对于提高有着很大的帮助。
店铺为大家精心准备了考研数学线性代数复习方法，欢迎大家前来阅读。
考研数学线性代数复习秘诀一、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。
线性代数的概念很多，重要的有：代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩(矩阵、向量组、二次型)，等价(矩阵、向量组)，线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。
往年常有考生没有准确把握住概念的内涵，也没有注意相关概念之间的区别与联系，导致做题时出现错误。
例如，矩阵A=(α1，α2，…，αm)与B=(β1，β2…，βm)等价，意味着经过初等变换可由A 得到B，要做到这一点，关键是看秩r(A)与r(B)是否相等，而向量组α1，α2，…αm与β1，β2，…βm等价，说明这两个向量组可以互相线性表出，因而它们有相同的秩，但是向量组有相同的秩时，并不能保证它们必能互相线性表现，也就得不出向量组等价的信息，因此，由向量组α1，α2，…αm与β1，β2，…βm等价，可知矩阵A=(α1，α2，…αm)与B=(β1，β2，…βm)等价，但矩阵A与B等价并不能保证这两个向量组等价。
又如，实对称矩阵A与B合同，即存在可逆矩阵C使CTAC=B，要实现这一点，关键是二次型xTAx与xTBx的正、负惯性指数是否相同，而A与B相似是指有可逆矩阵P使P-1AP=B 成立，进而知A与B有相同的特征值，如果特征值相同可知正、负惯性指数相同，但正负惯性指数相同时，并不能保证特征值相同，因此，实对称矩阵A～B?A?B，即相似是合同的充分条件。
线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的有：行列式(数字型、字母型)的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量(定义法，特征多项式基础解系法)，判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。
《线性代数》复习提纲
《线性代数》复习提纲《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算;N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程;含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示;讨论或证明向量组的相关性;求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化;求方阵的特征值和特征向量;讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。
第二部分：基本知识一、行列式1. 行列式的定义用n八2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。
（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n 个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半;2. 行列式的计算一阶I a |二a行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列）,保保个非零元素，其余元素化为6利用定理展开降阶。
特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况:I行列式某行（列）元素全为0；II行列式某行（列）的对应元素相同；m 行列式某行（列）的元素对应成比例;IV奇数阶的反对称行列式。
二矩阵1. 矩阵的基本概念(表示符号、一些特殊矩阵一一如单位矩阵、对角、对称矩阵等)；2. 矩阵的运算(1) 加减、数乘、乘法运算的条件、结果;(2) 关于乘法的几个结论:①矩阵乘法一般不满足交换律(若AB=BA,称A、B是可交换矩阵)；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在;③若A、B为同阶方阵，则|AB| = |A|*|B|；④|kA| =k A n | A|3. 矩阵的秩(1) 定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩;(2) 秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数(每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵)O求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。
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线性代数在数一、数二、数三中所占的比例都是22%，分值为33分，最近几年的考研大纲中对线性代数的内容和要求基本保持不变，如果能静下心来认真复习，紧抓基本知识点就能把考研数学中的线性代数的33分全部拿下。
那么如何复习才能在考试时把线性代数的所有相关分值一网打尽呢？
一、心理上要足够重视
可能对于很多考生来说，线性代数所占的33分怎么也比不上高等数学所占的84分重要，所以在复习的时候心理上就先入为主认为高等数学很重要，而且不论是基础班、强化班还是冲刺班的复习也都是从高等数学开始切入的，这导致考生潜意识里就对线性代数疏远。
这种状况需要纠正，线性代数的内容不多，重点也很明显，容易掌握，满分是完全有可能的。
二、选择合适的辅导书/辅导班
因为只看课本是不够的，课本的题目缺乏综合性，所以考研复习需要辅导资料的帮助，但是辅导资料太多，要如何选择呢？可以从几个方面评价：看是否按照考试大纲的要求编写，层次是否分明，知识点之间是否共通、是否有联系，不要购买那些含有大量超纲内容的辅导资料，这种参考书只会逐渐地消耗掉你的信心和耐力。
辅导资料不在多，而在于精，一定要看透书本，要消化掉。
对于基础不好或者时间很紧的考生来说，可能自己没有足够的时间来规划和复习备考，这时候选择一个好的辅导班就显得很重要了。
像启航暑期特训营就是专门为考生暑期辅导开设的一个班种，辅导老师会根据每个学生的自身基础情况去规划复习过程，所用的教材也是经过筛选、紧贴大纲的好的资料，这样就为学生节省了很多时间和精力，可以好好的按照规划好的步骤复习了。
三、重视基本概念、基本性质、基本方法的理解和掌握
基本概念、基本性质、基本方法一直都是考研数学的重点。
有些考生对基本概念掌握不牢靠，理解不透彻，在答题时不知道使用哪个定理、哪个公式，该如何下手，这是基本功不扎实的表现，所以在复习的时候一定要重视基础知识，要复习所有的公式、定理和定义，扎扎实实、一步一个脚印的复习，另外多做一些基础题来巩固这些基本知识。
四、提高解题能力和解题速度
线性代数的主要考点集中在向量组的相关与无关、线性方程组、特征值与特征向量、二次型上面，矩阵与行列式掺杂其中。
书中总结出的公式与结论有些可以在解题中直接使用，为了保险起见，可以注明所用公式的原貌。
客观题中在不违反逻辑关系的前提下所有公式都可以直接使用。
考生在做题时不要一味的追求难题、偏题和怪题，考研试题主要就是考察考生对基本概念、基本原理和基本方法的掌握程度，并在此基础上加强对考生的运算能力和综合运用所学数学知识分析问题和解决问题的能力的考察，试题综合性较强，也有一定的灵活性。
所以考生平时在做题的过程中需要注意总结一些解题思路，哪种类型的题需要用什么思路，解题过程中容易出错的地方在哪里，这样经过一段时间训练后，在正式考试中看到相似题型后可以迅速确定用哪种解法，大大提高了解题的速度和效率。
复习备考的过程比较长，这是对毅力和信心的考验。
当这场马拉松进行到一半的时候，同路的考研人一个个倒下去了，你是否还能巍然不动，继续前行？坚持了，胜利就可能是你的，否则，以前的所有努力全白费。
道理很简单，关键在于是否能付诸行动。
坚持到底，胜利就是你的。
加油吧！。