江苏省南京市溧水县高中数学 第38课时《期末复习一》教学案 苏教版必修4
2017-2018学年苏教版高中数学必修四全册教案
2017-2018学年苏教版高中数学必修四全册教案目录第一章 三角函数 (1)第1课时 §1.1 任意角.................................................................................................. 1 第2课时 §1.2弧度制 .................................................................................................. 6 第3课时 §1.1 任意角的三角函数（1） .................................................................... 10 第4课时 §1.1 任意角的三角函数（2） .................................................................... 14 第5课时 §1.2.2 同角三角函数关系（1） ................................................................. 19 第6课时 §1.2.2 同角三角函数关系（2） ............................................................. 24 第7课时 §1.2.3 三角函数的诱导公式（1） ........................................................... 28 第8课时 §1.2.3 三角函数的诱导公式（2） ........................................................... 33 第9课时 §1.3.1 三角函数的周期性 ........................................................................ 38 第10课时 §1.3.2 三角函数的图象与性质（1） ...................................................... 43 第11课时 §1.3.2 三角函数的图象与性质（2） ...................................................... 50 第12课时 §1.3.2 三角函数的图象与性质（3） ...................................................... 56 第13课时 §1.3.3 函数)sin(ϕω+=x A y 的图象（1）........................................... 60 第14课时 §1.3.3 函数)sin(ϕω+=x A y 的图象（2）........................................... 66 第15课时 §1.3.4 三角函数的应用（1） ................................................................. 71 第16课时 §1.3.4 三角函数的应用（2） ................................................................. 76 第二章平面向量 (80)第1课时 §2.1 向量的概念及表示 ............................................................................. 80 第2课时 §2.2向量的加法 ......................................................................................... 85 第3课时 §2.2向量的减法 .. (90)第4课时§2.2向量的数乘 (93)第5课时§2.3.1平面向量基本定理 (97)第6课时§2.3.2向量的坐标表示（1） (100)第7课时§2.3.2向量的坐标表示（2） (105)第9课时§2.4向量的数量积（1） (109)第9课时§2.4向量的数量积（2） (114)第10课时§2.4向量的数量积（3） (119)第11课时§2.5向量的应用 (122)第三章三角恒等变换 (125)第1课时§3.1.1 两角和与差的余弦 (125)第2课时§3.1.2 两角和与差的正弦（1） (128)第3课时§3.1.2 两角和与差的正弦（2） (129)第4课时§3.1.3 两角和与差的正切 (130)第一章 三角函数第1课时 §1.1 任意角【教学目标】 一、知识与技能1.推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义；象限角、坐标轴上的角的概念；终边相同角的表示方法．2.理解并掌握正角、负角、零角的定义；理解任意角的概念，掌握所有与角终边相同的角(包括角)的表示方法．二、过程与方法：渗透数形结合的数学思想，考虑问题要细致，说理要明确 三、情感、态度与价值观：体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念。
江苏省南京市溧水县高中数学 第40课时《期末复习三》教学案 苏教版必修4
总 课 题 期末复习 总课时 第40课时 分 课 题 三角恒等式分课时第 3 课时基础训练1、=015cos ；=075cos 。
2、=0105sin ；=0165sin 。
3、=075tan ；=0165tan 。
4、=α2sin ；=α2tan 。
5、=α2cos == 。
例题剖析 例1、求值：oo o 10cos 1)10tan 31(80sin 50sin 20+++例2、证明：ααααααcos sin 1sin 1cos sin 1cos +=++-+例3、已知10103cos ,102sin ==βα，且βα,为锐角，求βα2+的值。
巩固练习1、已知0cos cos ,1sin sin =+=+βαβα，则=+)cos(βα 。
2、若47127,53)4cos(πππ<<=+x x ，求x x x tan 1sin 22sin 2-+ 3、证明：2tan 2sin sin 22sin sin 22ααααα=+-4、证明：αββααβαsin sin )cos(2sin )2sin(=+-+5、已知向量)1,(sin θ=a，)cos ,1(θ=b ，)2,2(ππθ-∈。
（1）、若b a⊥，求θ；（2）、求||b a+的最大值。
课后训练班级：高一（ ）班 姓名__________1、=-)120tan 3(10cos 70tan o o o 。
2、已知0cos cos cos ,0sin sin sin =++=++γβαγβα，则=-)cos(βα 。
3、已知α为钝角，β为锐角，且1312sin ,54sin ==βα，则=-2cos βα 。
4、已知222tan -=α，且满足24παπ<<，则=+--)4sin(21sin 2cos 22απαα 。
5、若2cos 2sin 12sin 2tan 2)(2x x x x x f --=，则=)12(πf 。
江苏省南京市溧水县高中数学 第45课时《期末复习八》教学案 苏教版必修4
1 1 2-yxo总 课 题 期末复习 总课时 第45课时 分 课 题 函数分课时第 8 课时基础训练1、函数)(x f y =的图象与直线2=x 的交点的个数是 。
2、求函数的定义域：（1）11)(2-=x x f ；（2）xx x f 11)(++= 。
3、函数)(x f y =的图象如图所示，填空： （1）=-)1(f _____________； （2）=)1(f _____________；（3）=)2(f _____________；4、设函数12)(-=x x f ，函数34)(+=x x g ，求=)]([x g f ；=)]([x f g 。
5、函数1)(2-=x x f 在),0(+∞上是__ ___；函数x x x f 2)(2+-=在)0,(-∞上是__ __。
6、函数2()1f x x x =++ (x ∈[0，23])的最小值为 ；最大值 。
7、函数3x y =的奇偶性是_______，它的图象关于_______对称。
8、设函数x x f -=)(，则)(x f 的奇偶性是___________。
9、已知),(y x 在映射f 下的象是),2(y x x +，则)3,1(在f 下的原象是 。
例题剖析例1、若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数且(2)f =0，求使得)(x f <0的x 的取值范围。
例2、根据函数单调性的定义证明函数1)(3+-=x x f 在R 上是减函数。
例3、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，)(x g 是定义在R 上的偶函数， 且321)()(x x x g x f --=-，求)(x g 。
巩固练习1、已知)(x f 是一次函数，且[]14)(-=x x f f ，求)(x f 的解析式。
2、已知函数)(x f 满足2)(2)(3x x f x f =--，求)(x f 的解析式。
3、设)(x f 是奇函数，且在区间),0(+∞上是增函数，又0)2(=-f ，求不等式0)1(<-x f 的解集。
江苏省南京市溧水县高中数学 第44课时《期末复习七》教学案 苏教版必修4
总 课 题期末复习 总课时 第44课时 分 课 题 集合 分课时 第 7 课时 基础训练 1、下列关系中正确的是（ ）A 、φ∈0B 、φ=0C 、}0{0=D 、}{φφ⊆2、已知集合}36|{Z x Z x M ∈-∈=，则=M （ ） A 、}2,1{ B 、}2,1,0{ C 、}2,1,0,3{- D 、}9,6,5,4,2,1,0,3{-3、若以集合},,{c b a S =中的三元素为边长构成一个三角形，那么这个三角形一定不是（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、等腰三角形 4、已知}5,53,2{2+-=x x M ，}3,106,1{2+-=x x N ，且}3,2{=⋂N M ，则x 是（ ）A 、21或B 、42或C 、421或或D 、25、设集合}11|{},1|{>-<=>=x x x B x x A 或，有下列4个关系：（1）B A =； （2）A ⊂ ≠B ； （3）B ⊂ ≠A ； （4）RB A =⋃ 则其中不正确的是_______________。
6、已知},1|{2R x x y y M ∈+==，},5|{2R x x y y N ∈-==，求N M ⋂。
7、已知}12|),{(-==x y y x A ，}3|),{(+==x y y x B ，求B A ⋂。
例1、设集合}065|{2=+-=x x x A ，}01|{=+=ax x B ，其中R x ∈，若B B A =⋂，求实数a 的值。
例2、已知集合}3|{+≤≤=a x a x A ，}51|{>-<=x x x B 或，（1）若φ=⋂B A ，求a 的取值范围；（2）若B B A =⋃，求a 的取值范围。
例3、设全集{|21,,7}U x x n n N n ==-∈≤，{}3,7U A C B ⋂=，{}1,11U U C A C B ⋂=，{}()9,13U C A B ⋂=，求集合,A B 。
【教育专用】高中数学第一章三角函数本章复习教案苏教版必修4
第一章三角函数本章复习整体设计知识网络1．任意角的概念是本章的基础，推广了角，扩大了研究的范围．在此基础上，为了计算中的简单，引入了两种度量制度：角度制与弧度制，但是其本质是一样的．其最基本的一个应用就是简化了弧长与扇形面积公式．同时也为定义任意角的三角函数作了前期工作，也就得到了本章的核心问题——任意角的三角函数定义．从这个核心出发，分成四条路线走，研究最基本的比例，就可以得到同角三角函数的基本关系式，同时根据定义就可以推导出诱导公式．知道了核心的本质意义在坐标系里面，可以定义点的坐标，为推导第三章和角公式作了应有的准备．而和角公式的两个特殊方面只是本身的一个推广，由此就得来了复杂多变的三角函数公式，而这些复杂的公式(第三章的倍角公式，差角公式)的本质又是和角公式．抛开比例的式子，应用弧度制的度量作为基础，就有了三角函数的图象和性质，这是三角与函数结合的产物，既有函数的特征，因此可以用函数的知识来解，又具有三角的特性，因此还可以用这一特点进行一些特殊的运算．所有的推导可以应用在计算与化简、证明恒等式上．2．数学的魅力在于系统、严密，学习的兴趣在于环环相扣．本章最为理想的复习方法就是引导学生打通本章中的这张知识网络图，这是进行具体问题具体分析的理论依据，也是解决问题最基本的方法．教师指导学生步步为营，将其引入数学王国，畅游科学殿堂．《三角函数》一章知识网络图三维目标1．通过全章复习，让学生切实掌握三角函数的基本性质，会判定三角函数的奇偶性，确定单调区间及求周期的方法．熟练掌握同角三角函数的基本关系式及六组诱导公式，弄清公式的推导关系和互相联系，让学生做到记准、用熟．2．要求学生会用“五点法”作正、余弦函数的简图，掌握应用基本三角变换公式的求值、化简、证明．3．本章的最终目标是让学生熟练掌握三角函数基础知识、基本技能、基本运算能力，以及数形结合思想、转化与化规思想，激发学生学习兴趣，培养他们善于总结、善于合作、善于创新以及应用数学解决实际问题的能力．重点难点教学重点：三角函数的定义，诱导公式，以及三角函数的图象与性质．教学难点：三角恒等变形及三角函数的图象与性质的综合运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(复习导入)了解一下全章的知识网络结构，并回顾思考本章学习了哪些具体内容：首先，我们给出了三角函数的定义，包括任意角的三角函数的符号，同角三角函数的关系式，诱导公式．又共同学习了正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质．接下来，我们又共同探讨了它们的应用，并能运用上述公式和性质进行三角函数式的化简、求值、证明以及它们的综合运用．由此展开全章的系统复习．思路2.(问题导入)你现在已经会求任意角的三角函数值，会画三角函数的图象，会用三角函数模型来解释现实生活中具有周期性变换规律的一些现象．你是如何学习到这些知识的？又是如何提高自己能力的？由此引导学生回顾全章知识的形成过程，进而展开全面复习．推进新课知识巩固①我们是怎样推广任意角的？又是怎样得到任意角的三角函数定义的？②本章学习了哪些同角三角函数的基本关系式？怎样推导的？③本章都学习了哪些诱导公式？各有什么用途？怎样记忆？④你是如何得到正弦曲线、余弦曲线和正切曲线的？⑤你能从图象上说出三角函数的哪些性质？活动：问题①，为了使学生了解知识的形成顺序与过程，教师可引导学生回忆从前的学习情景，让学生感悟数学是在什么样的背景下向前推进的，同时也加强系统数学知识的记忆，居高临下地来掌握全章知识．问题②，教师引导学生回忆三角函数定义，回忆同角三角函数的基本关系式的推导，并回忆这些公式的作用和应用方法技巧．利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，也就是要就角所在象限进行分类讨论．同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角的三角函数间的相互关系，利用它可以使解题更方便，但要注意公式成立的前提是角对应的三角函数有意义．sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α. 问题③，教师引导学生回顾的同时，最好能利用多媒体或幻灯片来展示这些公式．以前学习的都是孤立的、零碎的，现在是放在一起记忆提高．幻灯片如下：问题④，三角函数性质是通过图象来研究的，而且画图、识图、用图也是对学生的基本要求．教师要让学生亲自动手画一画，以加深学生对三角函数性质的进一步理解提升．让学生明了：利用平移正弦线，可以比较精确地画出正弦函数的图象，利用正弦函数的图象和诱导公式，可以画出余弦函数的图象，可以看出在长度为一个周期的闭区间上有五个点(即函数值最大和最小的点以及函数值为0的点)．这五个点在确定正弦函数、余弦函数图象的形状时起着关键的作用．因此，在精确度不太高时，我们常用“五点法”画正弦、余弦函数以及与它们类似的一些函数〔特别是函数y ＝Asin(ωx ＋φ)〕的简图．教师同时打出幻灯(如图1、图2、图3)：图1图2图3问题⑤，让学生由图象说性质，教师可引导学生从函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、最值、周期性、对称性等方面叙述．教师要强调，正弦、余弦、正切函数的图象以及它们的主要性质非常重要，要牢固掌握，但不要死记硬背．讨论结果：①～⑤略．应用示例例1已知角α终边上一点P与x轴的距离和与y轴的距离之比为3∶4(且均不为零)，求2sinα＋cosα的值．活动：本例属于较为简单的题目，目的是要学生熟悉任意角的三角函数定义，也要明确解题中的一种很重要的方法是回归定义．教师引导学生思考距离与坐标的不同、是否需要对点的坐标进行分类讨论，然后让学生独立完成此题．解：由题意，需对角α终边的位置进行讨论：①若角α终边过点P(4,3)，则2sin α＋cos α＝2×35＋45＝2； ②若角α终边过点P(－4,3)，则2sin α＋cos α＝2×35＋－45＝25； ③若角α终边过点P(－4，－3)，则2sin α＋cos α＝2×－35＋－45＝－2； ④若角α终边过点P(4，－3)，则2sin α＋cos α＝2×－35＋45＝－25. 点拨：任意角的三角函数定义不仅是本章的核心，也是整个三角函数的中心问题．要指导学生深刻理解三角函数定义的内涵，它只是一个比值，只与角的大小有关，而与点P 在角的终边上的位置无关.例2已知sin α＋3cos α＝0，求：(1)3cos α－sin α3cos α＋sin α；(2)2sin 2α－3sin αcos α＋2的值． 活动：教师引导学生观察本题的条件与结论，关键是求sin α与cos α的值，由sin α＋3cos α＝0及sin 2α＋cos 2α＝1联立方程组即得sin α与cos α的值．教师进一步点拨：根据同角三角函数的基本关系，不直接求sin α与cos α的值，需作怎样的变形即可？对看出本题由已知可得tan α＝－3的同学教师给予鼓励并作进一步探究，对看不出这一步的学生再给予进一步引导，直至其独立解出此题．解：(1)3cos α－sin α3cos α＋sin α＝3－tan α3＋tan α＝3＋33－3＝－2－ 3.(2)2sin 2α－3sin αcos α＋2＝4sin 2α－3sin αcos α＋2cos 2α＝cos 2α(4tan 2α－3tan α＋2)＝11＋tan 2α(4tan 2α－3tan α＋2)＝11＋－2(4×9＋3×3＋2)＝4710. 点拨：本题主要考查利用同角三角函数关系式求值．对于只含有正弦、余弦函数的齐次式，在求解时常常转化为只含有正切的式子，这种变形技巧十分重要，也称为“1”的代换，在今后的学习中经常用到，应要求学生仔细体会并熟悉掌握.变式训练1．已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15，求tan α的值． 解：由sin α＋cos α＝15平方整理，得sin αcos α＝－1225<0. ∵α为三角形的内角，∴0<α<π，sin α>0，cos α<0.∴sin α－cos α>0.∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4925， ∴sin α－cos α＝75. 由⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＋cos α＝15sin α－cos α＝75 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43. 点拨：本题主要考查同角三角函数的基本关系式．对于三角求值题目，一定要注意角的范围，有时要根据所给三角函数值的大小，适当缩小所给角的范围，才能求出准确的值．教师要抓住时机就此进一步挖掘，以激起学生的探究兴趣．2．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，π2<θ<π，则m 的取值范围是… ( ) A ．3≤m≤9 B ．m≤－5或m≥3C ．m ＝0或m ＝8D ．m ＝8答案：D例3已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x∈R (其中A>0，ω>0)的图象在y 轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为M(2,22)，与x 轴正半轴的第一个交点为N(6,0)，求这个函数的解析式．活动：本例是一道经典例题，主要考查三角函数模型的应用及训练学生的分析思维能力，对数形结合的思维要求也较高．教师可引导学生展开思考讨论，怎样根据题目中给出的条件找到思维的切入点．题目中虽然没有直接给出图象，实质是已知图象求解析式问题．指导学生画出草图，利用数形结合来深化题意的理解，事实上，学生很容易看出A 的值．如果学生没找出周期问题，教师可进一步点拨：题目中告诉的x 轴的横坐标2与6表示图象的哪段．根据题意，知道点M 、N 恰是函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x∈R (其中A>0，ω>0)在对应于包含0的周期的那段图象的五个关键点中的两个．由此可知A 、T ，但要注意指导φ的求法．解：方法一：根据题意，可知T 4＝6－2＝4，所以T ＝16. 于是ω＝2πT ＝π8.又A ＝22， 将点M 的坐标(2,22)代入y ＝22sin(π8x ＋φ)， 得22＝22sin(π8×2＋φ)， 即sin(π4＋φ)＝1. 所以满足π4＋φ＝π2的φ为最小正数解．所以φ＝π4. 从而所求的函数解析式是y ＝22sin(π8x ＋π4)，x∈R . 方法二：由题意可得A ＝22，将两个点M(2,22)，N(6,0)的坐标分别代入y ＝22sin(ωx ＋φ)并化简，得⎩⎪⎨⎪⎧ ω＋φ＝1，ω＋φ＝0，故在长度为一个周期且包含原点的闭区间上，有⎩⎪⎨⎪⎧ 2ω＋φ＝π2，6ω＋φ＝π，从而所求的函数解析式是y ＝22sin(π8x ＋π4)，x∈R . 点拨：由三角函数图象求解析式确定φ时，答案可能不只一个，这里可提醒学生注意，习惯上一般取离x 轴最近的一个，这样的解析式简洁．本例对学生有着很高的训练价值，特别是数形结合思想、转化与化归思想的运用．数形结合是数学中重要的思想方法，对各类函数的研究都离不开图象，在中学阶段，几乎所有函数的性质都是通过观察图象而得到的.log(sinx－cosx)．例4已知函数f(x)＝12(1)求它的定义域；(2)判断它的奇偶性；(3)判断它的周期性．图4活动：这是一组知识性很强的基础题，要求学生全面掌握有关三角函数的定义和性质．教师可先让学生自己动手操作，必要的时候给予点拨帮助．本题的关键是熟悉三角函数线或三角函数图象，利用数形结合直观性训练学生快速解题．如图4、图5.图5解：(1)x 必须满足sinx －cosx>0，利用图4或图5，知2k π＋π4<x<2k π＋5π4(k∈Z )， ∴函数定义域为(2k π＋π4，2k π＋5π4)，k∈Z . (2)∵f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称，∴f(x)不具备奇偶性．(3)函数f(x)的最小正周期为T ＝2π.点评：利用单位圆中的三角函数线或正、余弦线可知：以第Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分sinx －cosx 的符号；以第Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分sinx ＋cosx 的符号．要让学生在深刻理解的基础上记忆这点，因函数的定义域是函数的核心，故研究函数的性质都必须以函数的定义域为前提.变式训练1．如图6，⊙O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C 、B 在⊙O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为(45，－35)，∠AOC＝α(α为锐角)．图6(1)求⊙O 的半径，并用α的三角函数表示C 点的坐标；(2)若|BC|＝2，求tan α的值．解：(1)⊙O 的半径r ＝452＋－352＝1，点C(cos α，sin α)．(2)在△BOC 中，由于|OB|＝|OC|＝1，|BC|＝2，∴∠COB 是直角． 由三角函数的定义，知cos(α－90°)＝sin α＝45，且α为锐角， 故cos α＝35，tan α＝43. 2.已知函数f(x)＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于点(π3，0)对称 B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点(π4，0)对称D ．关于直线x ＝π3对称 答案：A知能训练教科书复习题1～18.课堂小结提出问题让学生回顾总结，通过本节复习，系统掌握三角函数有关知识，你对三角函数有什么新的认识？三角函数与以前所学函数有什么异同之处？在灵活应用本章知识进行三角函数式的化简、求值、证明方面你都有哪些提高？我们都解决了哪些实际问题？教师与学生一起归纳总结，共同完成本节小结．作业已知函数f(x)＝sin πx 图象的一部分如图7(1)，则图7(2)的函数图象所对应的函数解析式可以为( )图7A ．y ＝f(2x －12) B ．y ＝f(2x －1) C ．y ＝f(12x －1) D ．y ＝f(12x －12) 答案：B设计感想1．本章复习课只安排了1课时，课堂设计的容量较大，指导思想是充分利用多媒体，放手让学生根据教师提供的知识网络自己进行归纳总结，教师在知识的交汇处、在思维的提高上给予指导、点拨．建议教师课堂上不要把自己的思路、提前归纳的方法直接告诉学生．2．加强学生的学法指导，因为“在不断变动的世界上，没有任何一门或一套课程可供在可见的未来使用，或可供你终身受用．现在需要的最重要的技能是如何学习”．因此数学课的学习过程，不仅是传授知识、技能的过程，更是教会学生如何学习数学的过程．也就是说，学习数学的过程实际上就是学生获取、整合、储存、运用数学知识和获得学习能力的过程．在本章复习课设计中，就体现了学生如何学习的问题．3．复习不是简单的重复，不是练习堆积的习题课，而是成为学生再发现、再提高、再创造的氛围场所，是学生对所学知识居高临下的掌握和学生身心健康成长的愉悦体验．备课资料一、备用习题1．已知集合A ＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z }，B ＝{β|β＝60°＋k·720°，k∈Z }，C ＝{γ|γ＝60°＋k·180°，k∈Z }，那么集合A ，B ，C 之间的关系是( )A ．B AC B ．A B C C ．B C AD ．C B A2．若α是第四象限角，则π－α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3．一扇形的半径与弧长之比是3∶π，则该扇形所含弓形的面积与该扇形的面积之比是A ．(2π－33)∶2πB ．(6π－33)∶6πC ．(4π－33)∶4πD ．(8π－33)∶8π4．把函数y ＝4cos(x ＋π3)的图象向左平移m 个单位，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π65．如果|x|≤π4，设函数f(x)＝cos 2x ＋sinx 的最大值为M ，最小值为m ，则M m的值为… ( )A ．－54B ．－3－2 2C ．3＋2 2D ．－52＋526．已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的周期为1，最大值与最小值之差是3，且函数图象过点(18，34)，则函数表达式为( )A ．y ＝3sin(2x ＋7π12)B ．y ＝3sin(2x －π12) C ．y ＝32sin(2πx ＋π12) D ．y ＝32sin(2πx －π12) 7．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段的长为π4，则f(π4)＝__________.8．已知α、β∈(0，π2)，且α＋β>π2，求证：对于x∈(0，π)，有f(x)＝(cos αsin β)x ＋(cos βsin α)x <2. 参考答案：1．A 2.C 3.A 4.C 5.D 6.D 7.08．由α＋β>π2，知α>π2－β. 又由α、β∈(0，π2)，知π2－β∈(0，π2)． ∵y＝sinx 在(0，π2)内为增函数，y ＝cosx 在(0，π2)内为减函数， ∴sin α>sin(π2－β)＝cos β，cos α<cos(π2－β)＝sin β.∴0<cos βsin α<1,0<cos αsin β<1. 又∵x∈(0，π)，∴(cos βsin α)x ＜1，(cos αsin β)x ＜1.∴f(x)＝(cos αsin β)x ＋(cos βsin α)x <2. 二、三角函数的拓展1．关于三角函数的发展史三角函数亦称圆函数，是正弦、余弦、正切、余切、正割、余割等函数的总称．在平面直角坐标系xOy 中，在与x 轴正向夹角为α的动径上取点P ，P 的坐标是(x ，y)，OP ＝r ，则正弦函数sin α＝y r ，余弦函数cos α＝x r ，正切函数tan α＝y x ，余切函数cot α＝x y，正割函数sec α＝r x ，余割函数csc α＝r y. 这6种函数在1631年徐光启等人编译的《大测》中已齐备．正弦最早被看作圆内圆心角所对的弦长，公元前2世纪古希腊天文学家希帕霍斯就制造过这种正弦表，公元2世纪托勒密又制造了0°～90°每隔半度的正弦表．公元5世纪时印度最早引入正弦概念，还给出正弦函数表，记载于《苏利耶历数书》(约400年)中．该书中还出现了正矢函数，现在已很少使用它了．约510年印度数学家阿那波多考虑了余弦概念，传到欧洲后有多种名称，17世纪后才统一．正切和余切函数是由日影的测量而引起的，9世纪的阿拉伯计算家哈巴什首次编制了一个正切、余切表.10世纪的艾布·瓦法又单独编制了第一个正切表．哈巴什还首先提出正割和余割概念，艾布·瓦法正式使用．到1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中收入正弦、余弦、正切、余切、正割、余割6种函数，并附有正割表．他还首次用直角三角形的边长之比定义三角函数.1748年欧拉第一次以函数线与半径的比值定义三角函数，令圆半径为1，并创用许多三角函数符号．至此现代形式的三角函数开始通行，并不断发展至今．现在的许多教辅资料中，有关三角函数的运算都是6种函数的综合运算．2．关于三角函数的定义法三角函数定义是三角函数的核心内容．关于三角函数定义法，总的说来就两种：“单位圆定义法”与“终边定义法”，这两种方法本质上是一致的．正因为此，各种数学出版物中，两种定义方法都有采用，采用哪一种定义方法是一个取舍问题，没有对错之分，并不存在商榷的问题．因此，“单位圆上的点毕竟是特殊点，用它定义三角函数有失一般性”的认识是不正确的．由上述三角函数发展史已经表明，任意角的三角函数是因研究圆周运动的需要而产生的，数学史上，三角函数曾经被称为“圆函数”，所以，采用“单位圆定义法”能更真实地反映三角函数的发展进程．在老师们熟悉的“终边定义法”中，给出定义后有如下说明：“根据相似三角形的知识，对于确定的角α，这三个比值(如果有的话)都不会随点P在α的终边上的位置的改变而改变等，对于确定的角α，上面三个比值都是惟一确定的．这就是说，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．”这恰恰说明了“以角α的终边与单位圆的交点坐标为‘比值’”是不失一般性的．另外，用“单位圆定义法”直截了当、简洁易懂，不需要这样的说明，就更显出其好处了．3．关于《新课程》中的三角函数种类《高中数学课程标准(实验)》只要求正弦、余弦和正切三个函数，其目的是削枝强干，是非常正确的．进一步地，三角函数中正弦、余弦函数是“基本三角函数”，其余都是通过这两个函数的运算(相除、取倒数等)而得到的，或者说是从这两个函数“派生”出来的，因此教师在教学中没有必要对其他的三角函数再作补充．。
高一数学期末复习教学案《必修第一册》 期末复习(一)集合与逻辑
高一数学期末复习教学案《必修第一册》 期末复习（一） 集合与逻辑 班 级 姓 名【课前预习】1. 已知集合2|340=A x R ax x .若A 中只有一个元素，则实数a 的取值范围为 .2.已知全集为=U R , [1,3),[2,4]A B =-=,如图阴影部分所表示的集合为 .3.集合A ={x |1£x <5}，B =[-a ,a +3]，若A ÍB ，则实数a 的取值范围是 .4.已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为 .5.已知集合U =(1,7)，A =[2,5)，B =[3,7)，则(C U A )È(C U B )= .6.集合{}2|9100A x x x =--=，{}|10B x mx =+=，且A ÇB =B ，则m 的取值集合 是 .7.(多选题)下列说法正确的是（ ）A ．“1a >”是“21a >”的充分不必要条件;B ．“a b >”是“22ac >bc ”的充要条件C ．命题“x R ∀∈，210x +<”的否定是“x R ∃∈，使得210x +≥”D ．已知函数()y f x =的定义域为R ，则“()00=f ”是“函数()y f x =为奇函数”的必要不充分条件．8. 已知条件p ：x ＞a ，条件q ：11x -<．若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ．9. 已知()24f x x x m =-+，()2log g x x =，若“[]11,4x ∀∈，[]22,4x ∃∈，使得()()12f x g x >成立”为真命题，则实数m 的取值范围是 ．10.已知全集U R =，集合A ={x |log 2(x -1)£3}，，{|}B x x a =≥．如果A B，则实数a 的取值范围为 ．【典型例题】例1.已知函数()4log f x x =，1,416x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是集合A ,关于x 的不等式3122x a x +⎛⎫> ⎪⎝⎭()a R ∈的解集为B ，集合51x C x x ⎧-⎫=⎨⎬+⎩⎭≥0，集合{}()1210D x m x m m =+≤<->. （1）若A B B =,求实数a 的取值范围； （2）若D C ⊆求实数m 的取值范围.例2.已知命题：“{}|11x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题．（1）求实数m 的取值集合M ；（2）设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，求a 的取值范围．期末复习（一）【课外作业】 班级 姓名1.集合{}{}b a B a A ,,log ,32==，若{}2=B A ，则B A = .2.设集合A ={x |x 2+x -2<0}，B =(-1,0)，则C A B = .3.某次月考数学优秀率为70%，语文优秀率为75%，则这两门学科都优秀的百分率至少为 .4.已知[,3)A a a =+，(,1][5,)B =-∞-+∞，若A ÇB ¹f ，则实数a 的取值范围是 .5.已知集合2{|log 1}A x x =<-,{|B k =函数14()k f x x-=在(0,)+∞上是增函数}.则 ()R C A B = ．6.已知P ＝{x|x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则实数m 的取值范围是 ．7. 若命题“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是____________．8．（多选题）下列命题正确的是（ ）A ．“1a >”是“11a <”的必要不充分条件；B ．若,a b ∈R ，则2b a b a a b a b+≥⋅= C ． 命题“()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是“()0,x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-” D ．设a R ∈，“1a =”，是“函数()1xx a e f x ae-=+在定义域上是奇函数”的充分不必要条件9．集合1{|0}1x A x x -=<+，{|||}B x x b a =-<，若“1a =”是“A B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是 ．10．若命题p:“2log 11m -≤”, 与命题q: “函数2()2+f x x mx m =-图像与x 轴至多一个交点”至少有一个是真命题，则实数m 的取值范围是 ．11.在①A B ⊆；②R R C B C A ⊆；③A B A =；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的实数a 存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由. 问题：已知集合{}2log (1)1,A x x x R =->∈，{}()(4)0,B x x a x a x R =--+>∈，是否存在实数a ，使得 ?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．12.已知集合{}2|514A x y x x ==--, 集合()212|log 61B y y x x ⎧⎫⎪⎪==---⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 集合{}|121C x m x m =+≤≤-. (1)求A ÇB ; (2)若A C A =,求实数m 的取值范围.13.已知p ：24120x x ，q ：22210(0)x x m m ． （1）若p 是q 充分不必要条件，求实数m 的取值范围； （2）若“”是“”的充分条件，求实数m 的取值范围．。
苏教版高中数学必修四复习课全章复习教案
3.5复习课(全章复习)自学评价本章内容是概率论的初步知识，它主要包括：随机事件的概率；等可能性事件的概率，包括古典概型和几何概型；互斥事件有一个发生的概率．本章的重点是等可能性事件的概率；互斥事件有一个发生的概率．难点是概率问题处理的思想与方法.1、下列事件中，属于随机事件的是 ( D )A ． 掷一枚硬币一次，出现两个正面；B 、同性电荷互相排斥；C 、当a 为实数时，|a|<0；D 、2009年10月1日天津下雨2、从一堆产品（其中正品和次品都多于2个）中任取2个，其中：①恰有1件次品和恰有2件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少有1 件次品；④至少有1件次品和全是正品；上述事件中，是互斥事件的是（ A ）A ①④B ②③C ①②③D ①②③④3、袋中装有大小相同且分别写有1、2、3、4、5五个号码的小球各一个，现从中有放回地任取三球，三个号码全不相同的概率为（ C ）A 、53B 、51C 、2512D 、1253 【精典范例】（1）计算表中各个击中靶心的频率；（2）这个射手击中靶心的概率是多少？（3）这个射手射击2000次估计击中靶心的次数为多少？【解】 (1)0,4,0.4,0.48,0.45,0.45,0.45 (2) 0.45 (3)300例2 袋中装有大小均匀分别写有1,2,3,4,5五个号码的小球各一个,现从中有放回地任取三个球,求下列事件的概率:(1)所取的三个球号码完全不同;(2)所取的三个球号码中不含4和5.【解】从五个不同的小球中,有放回地取出三个球,每一个基本事件可视为通过有顺序的三步完成:①先取1个球,记下号码再放回,有5种情况;②再从5球中任取一个球,记下号码再放回,仍然有5种情况;③再从5个球中任取1个球,记下号码再放回,还是有5种情况.因此从5个球中有放回地取3个球,共有基本事件n 5×5×5=125个,(1)记三球号码不同为事件A,这三球的选取仍然为有顺序的三次,第一次取球有5种情况,第二,三次依次有4,3种情况,∴事件A含有基本事件的个数m =5×4×3=60个,∴6012();12525m P A n ===(2)记三球号码不含4和5为事件B,这时三球的选取还是为有顺序的三次,由于这时前面选的球后面仍然可以选,因此三次选取的方法种数都是3,∴B 中所含基本事件的个数为m =3×3×3=27个,∴27()125m P B n == 例3 一个各面都涂有色彩的正方体，被锯成1000个同样大小的小正方体，将这些正方体混合后，从中任取一个小正方体，求：⑴有一面涂有色彩的概率；⑵有两面涂有色彩的概率；⑶有三面涂有色彩的概率.【解】在1000个小正方体中，一面涂有色彩的有286⨯个，两面涂有色彩的有812⨯个，三面涂有色彩的有8个，∴⑴一面涂有色彩的概率为13840.3841000P ==； ⑵两面涂有色彩的概率为2960.0961000P ==； ⑶有三面涂有色彩的概率280.0081000P ==. 答：⑴一面图有色彩的概率0.384；⑵两面涂有色彩的概率为0.096；⑶有三面涂有色彩的概率0.008.例4 9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为5.0，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率；（Ⅱ）求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率；（Ⅲ）求有坑需要补种的概率．（精确到01.0）【解】(1)0.875 (2)0.041 (3)0.330例5 一个盒中装有8只球，其中4红.3黑.1白，现从中取出2只球（无放回）， 求：（1）全是红球或全是黑球的概率； （2）至少有一个红球的概率。
江苏省南京市溧水县高中数学 第47课时《期末复习十》教学案 苏教版必修4
总 课 题 期末复习 总课时 第47课时 分 课 题 函数与方程分课时第10课时基础训练1、13)(-=x x f 在区间)1,0(上是否存在零点？2、方程022=-++a x x 有两个异号的实根，则a 的取值范围 。
3、设)0()(2>++=a c bx ax x f ，若n m n f m f <<>,0)(,0)(，则一元二次方程0)(=x f 在区间),(n m 内有___________个解。
例题剖析例1、关于x 的方程022=+-mx x ，分别求实数m 的范围，使方程的根21,x x 满足： （1）一根大于1，另一根小于1； （2）两根都大于1； （3）两根都在区间[]4,0；例2、不利用计算器，求方程的x x -=3lg 的近似解（精确到0.1）。
例3、某公司1995年利润1200万元，如果利润的增长率是%25.1，问哪一年该公司利润将超过1400万元？巩固练习1、求证：一元二次方程07322=--x x 有两个不相等的实数根。
2、某地高山上温度从山脚起没升高100降低6.0摄氏度，已知山顶的温度是14.6摄氏度，山脚的温度是26摄氏度，问：此山有多高？3、二次函数的图象顶点为()16,1A ，且图象在x 轴上截得的线段长为8，求这个二次函数的解析式。
课后训练班级：高一（ ）班 姓名__________1、若二次函数b ax x x f ++=2)(的两个零点分别是1和4，则a ，b 的值分别是 （ ）A 5、4B 5-、4C 6、4D 6、4- 2、函数x x y 26ln +-=的零点一定位于如下哪个区间 （ ）A ()2,1B ()3,2C ()4,3D ()6,5 3、对于方程x x 21lg =，下列说法中正确的是____________ (1)有一个正根 (2) 有一个负根 (3) 有一个正根一个负根 (4) 有两个正根4、一种新型电子产品投产，计划两年后使成本降低%19，那么平均每年应降低成本_______5、证明：（1）函数132++=x x y 有两个不同的零点； （2）函数1)(3-+=x x x f 在区间()1,0上有零点。
高中苏教版数学必修4 第1章 章末复习课课件PPT
2．已知 f(α)＝sin2πsi－nα－·πc＋osα2π·t－anα－·tαan＋－3ππ＋α. (1)化简 f(α)； (2)若 f(α)＝18，且π4<α<π2，求 cos α－sin α 的值； (3)若 α＝－474π，求 f( Nhomakorabea)的值．
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[解] (1)f(α)＝s－ins2iαn·cαos－α·ttaann αα＝sin α·cos α. (2)由 f(α)＝sin α·cos α＝18可知，(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin α·cos α＋ sin2α ＝1－2sin α·cos α＝1－2×18＝34. 又∵π4<α<π2，∴cos α<sin α， 即 cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－ 23.
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[解] (1)依题意，点 P 到原点 O 的距离为|PO|＝ － 32＋y2，∴sin α＝yr＝ 3＋y y2＝ 43y.
∵y≠0，∴9＋3y2＝16，∴y2＝73， ∴y＝± 321. ∴点 P 在第二或第三象限．
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当点 P 在第二象限时，y＝ 321，cos α＝xr＝－34，tan α＝－ 37. 当点 P 在第三象限时，y＝－ 321，cos α＝xr＝－34， tan α＝ 37.
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(1)25或－25
(2)x2kπ≤x≤2kπ＋π3，k∈Z
[(1)r＝|OP|＝ －4m2＋3m2＝5|m|.
当 m>0 时，sin α＝yr＝53mm＝35，cos α＝xr＝－54mm＝－45，∴2sin α＋cos α
＝25.
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当 m<0 时，sin α＝yr＝－3m5m＝－35，cos α＝xr＝－－45mm＝45，∴2sin α＋cos
江苏省南京市溧水县高中数学 第43课时《期末复习六》教学案 苏教版必修4
江苏省南京市溧水县高中数学 第43课时《期末复习六》教学案 苏教版必修4总 课 题 期末复习总课时 第43课时 分 课 题 函数)sin(ϕω+=x A y 的图象与性质分课时第 6 课时基础训练1、函数)(x f 是定义在R 上的周期为3的奇函数，且3)1(=f ，则=)5(f ________。
2、函数x y 2cos 1-=的定义域为___________________；值域为________________。
3、不求值，比较大小：（1）)36sin(︒-____)41sin(︒-；（2）)754cos(π-___)863cos(π-。
例题剖析例1、求下列函数的周期： （1）x y 2sin =（2）)43sin(2π---=x y例2、已知函数)4cos(2πω+ =x y 的最小正周期为3π，求ω的值。
例3、求下列函数的定义域： （1）21cos +=x y（2）)3(tan log 2+=x y例4、求函数)24sin(x y -=π的单调增区间，对称轴方程以及对称中心。
巩固练习1、求下列函数的最大值及取得最大值时自变量x 的集合。
（1）14sin 2+-=x y （2）2)32cos(2--=πx y2、已知)()(x f a x f -=+（0>a ），求证：)(x f 是周期函数，并求出它的一个周期。
3、求函数)32tan(π+=x y 的定义域以及单调区间。
课后训练班级：高一（ ）班 姓名__________1、函数)42cos()(π+ =x x f 的最小正周期是（ ） A 、πB 、2π C 、1D 、21 2、已知函数3sin )(+⋅=x m x f 的最大值是6，则负数=m ____________。
3、函数x y sin 23-=的定义域是_____________________；4、函数)434(tan ππ≤≤ =x x y 的值域是__________________。
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江苏省南京市溧水县高中数学 第38课时《期末复习一》教学案 苏
教版必修4
总 课 题 期末复习 总课
时 第38课时 分 课 题 向量一
分课时
第 1 课时
基础训练
1、已知a ，b 都是单位向量，则下列结论正确的是（ ） A 、 1=•b a
B 、2
2
b a =
C 、b a //
D 、0=•b a
2、如图所示，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形，则 ①、与向量AB 共线的向量有 ； ②、若5.1||=AB ，则=||CE .
3、=-+--+-a c b a c b a 7)3(3)45(2
4、已知4||=OA ，8||=AB ，︒=∠60AOB ，则=||AB
5、若)82(，=OA ，)27(，-=OB =AB 1
_________ 6、设1e ，2e 不共线，R ∈μλ，且021=+e e μλ，则=λ_________；=μ________
7、已知平面向量(3,1)a =r ，(,3)b x =-r ，且a b ⊥r
r ，则x =
A 、3-
B 、1-
C 、1
D 、3
8、向量(2,3)a =r ，(1,2)b =-r
，若ma b +r r 与2a b -r r 平行，则=m
9、设O D C B A 、、、、是平面上的任意五点，试化简：
①、AB BC CD ++u u u r u u u r u u u r
②、DB AC BD ++u u u r u u u r u u u r ③、OA OC OB CO --+-u u u r u u u r u u u r u u u r
10、一架飞机向北飞行400千米后，再向东飞行400千米，试求飞机飞行的路程和位移。
A
B
C
D
E
例题剖析
例1、已知,AD BE u u u r u u u r 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线，且,AD a BE b ==u u u r r u u u r r
，
试用向量,a b r r 表示BC u u u r。
例2、设1e ，2e 是两个不共线的向量，已知向量212e k e AB +=，213e e CB +=，
212e e CD -=，若D B A 、、三点共线，求k 的值。
例3、已知)12()01(，，，==b a ϖϖ
，
（1）求|3|b a ϖϖ
+；
（2）当k 为何实数时，b a k -与b a ϖ
ϖ3+平行，平行时它们是同向还是反向？
例4、如图，平行四边形AOCB 中，点A 的坐标为)08(，，4||=OC ，且ο60=∠AOC 。
若D 是BC 的中点，OD 与AC 相交于点E ，求OE 的坐标。
x
O
C
D E
A
B
课后训练
班级：高一（ ）班 姓名__________
1、已知点E 是正方形ABCD 的边CD 上的中点, 若a AB =，b AD =，则BE 为
2、已知四边形ABCD 中，AB =
2
1
DC ,且||||BC AD =,则四边形ABCD 是 . 3、在边长为1的正方形ABCD 中，=--||BC AD AB __________ 4、已知a OA 3=，b OB 3=，D C 、是AB 的三等分点，则
OC =________，OD =_________
5、D 是BC 的中点，设d AD a BD b AC c AB ====,,,，则
=-a d ；=+a d 。
6、已知ABC ∆中，︒=∠90C ，BC AC =，则下列等式成立
的是______________。
（1）||||CB CA CB CA +=- （2）||||BC BA AC AB -=-
（3）||||AB CB BA CA -=-
（4）2
2
2
||||||CA BA AC AB CB CA -+-=+
7、已知5||3||==b a ，
且b 与a 的方向相反，则b 用a 表示为______________ 8、下列各组向量中，能作为平面内所有向量的一组基底的是 （ ）
A 、12(0,0),(1,2)e e ==-u r u u r
B 、12(1,2),(5,7)e e =-=u r u u r
C 、12(3,5),(6,10)e e ==u r u u r
D 、1213(2,3),(,)2
4
e e =-=-u r u u r
9、已知向量→
→b a ,，且,2→
→
→
+=b a AB →
→
→
+-=b a BC 65，→
→
→
-=b a CD 27，则一定共线的
三点是
10、21e e ，
是两个不共线的向量，实数y x ,满足212136)32()43(e e e y x e y x +=-+-， 则y x -的值为_____________
11、向量212e e a -=，212e e b +=，其中a 与b 不共线，则b a +与2126e e c -=的
关系是( )
A 、相等
B 、共线
C 、不共线
D 、无法确定
12、设(2,3),(1,5)A B -，且13
AC AB =u u u r u u u r ，3AD AB =u u u r u u u r
，则D C 、的坐标分别是__________
13、向量)2,1(-=a ，向量a 与b 共线，且||4||a b =，则=b （ ） A 、（－4，8） B 、（－4，8）或（4，－8） C 、（4，－8） D 、（8，4）或（4，8）
14、已知)2,1(A ，)2,3(B ，向量)43,3(--+=y x x a ϖ
与AB 相等，则=x 15、以原点O 和)2,4(A 为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=︒，
则点B 的坐标是________
16、平行四边形ABCD 中，,E F 分别是,BC DC 的中点，G 为交点， 若AB u u u r =a r ，AD =b r ，试以a r ，b r 为基底表示DE 、u u u r 、CG u u u
r
A B
O
D C
A
G
E F C
B
D
17、在长江南岸某渡口处, 江水以h km /5.12的速度向东流, 渡船的速度为h km /25, 渡船要
垂直地渡过长江, 其航向应如何确定? 19、已知点)3,2(A ，)4,5(B ，)10,7(C ，若点P 满足)(R AC AB AP ∈+=λλ，
当λ为何值时：（1）点P 在直线x y 2=上？ （2）点P 在第三象限内？
20、如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于O ，P 为平面内任意一点，
求证：PA +PB +PC +4=PD PO
C。