【数学】2014-2015年重庆市复旦中学高一(上)数学期中试卷带答案
2014-2015年上海市复旦附中高一(下)期中数学试卷和答案
2014-2015学年上海市复旦附中高一（下）期中数学试卷一、填空题（每题4分，共48分）1．（4分）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，其终边上有一点P（5，﹣12），则secα=．2．（4分）已知扇形的圆心角为2弧度，面积为9cm2，则该扇形的弧长为cm．3．（4分）若cosα=﹣，则=．4．（4分）若cosα=﹣，，则=．5．（4分）已知等腰三角形顶角的余弦值为，则这个三角形底角的正切值为．6．（4分）函数的单调递减区间为．7．（4分）函数的定义域为．8．（4分）函数y=的值域为．9．（4分）在△ABC，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，则角B=．10．（4分）若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为．11．（4分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则该函数的解析式为f（x）=．12．（4分）为了使函数y=sinωx（ω＞0）在区间[0，1]上仅出现10次最大值，则ω的取值范围是．二、选择题（每题5分，共20分）13．（5分）下列函数中，既是奇函数，又是以π为周期的函数是（）A．y=x3tanx B．y=|sinx|C．y=﹣2sinxcosx D．y=tan|x|14．（5分）在△ABC中，下列命题中，真命题的个数为（）①∠A＞∠B是sinA＞sinB的充要条件；②∠A＞∠B是cosA＜cosB的充要条件；③∠A＞∠B是tanA＞tanB的充要条件；④∠A＞∠B是cotA＜cotB的充要条件．A．1B．2C．3D．415．（5分）要得到y=cos（2x﹣）的图象，只要将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位16．（5分）已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（）A．B．C．D．三、解答题（共5题，共计52分）17．（8分）作出函数y=tanx+sinx﹣|tanx﹣sinx|，的图象，并写出函数的单调区间（不必证明）18．（10分）已知，求下列各式的值：（1）；（2）sin2α﹣2cos2α．19．（10分）已知函数f（x）=1﹣cos2（x﹣），g（x）=1+sin2x．（1）设x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（x0）的值；（2）求函数h（x）=f（x）+g（x）在上的值域．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=2，．（1）若△ABC的面积为，求a，b；（2）若sinC+sin（B﹣A）=sin2A，求a，b．21．（12分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）=f（1﹣x）对任意的x∈R恒成立，且当x∈[0，1]时，f（x）=x2．（1）求证：f（x）是以2为周期的函数（不需要证明2是f（x）的最小正周期）；（2）对于整数k，当x∈[2k﹣1，2k+1]时，求函数f（x）的解析式；（3）对于整数k，记M k={a|f（x）=ax在x∈[2k﹣1，2x+1]有两个不等的实数根}，求集合M2015．2014-2015学年上海市复旦附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，共48分）1．（4分）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，其终边上有一点P（5，﹣12），则secα=．【解答】解：由题意可得x=5，y=﹣12，r=|OP|=13，∴cosα==，∴secα=．故答案为：．2．（4分）已知扇形的圆心角为2弧度，面积为9cm2，则该扇形的弧长为6cm．【解答】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，扇形的面积为S，则：r2===9．解得r=3∴扇形的弧长为l=rα=3×2=6l=rα=3×2=6cm．故答案为：6．3．（4分）若cosα=﹣，则=．【解答】解：∵cosα=﹣，则=﹣cosα=，故答案为：．4．（4分）若cosα=﹣，，则=﹣．【解答】解：∵cosα=﹣，，∴sinα==，∴=cosαcos+sinαsin==﹣故答案为：﹣．5．（4分）已知等腰三角形顶角的余弦值为，则这个三角形底角的正切值为．【解答】解：设等腰三角形顶角为α，则这个三角形底角为=﹣，且cosα=﹣，∴α为钝角．再根据cosα=﹣=2﹣1，求得cos=，∴sin=，tan=，∴这个三角形底角的正切值为tan（﹣）=cot==，故答案为：．6．（4分）函数的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．【解答】解：由题意可得：y=sin（﹣2x）=﹣sin（2x﹣），由正弦函数的单调性可知y=sin（2x﹣）的单调增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z即[kπ﹣，kπ+]，k∈Z所以y=sin（﹣2x）=﹣sin（2x﹣）的减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，故答案为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．7．（4分）函数的定义域为[﹣4，﹣π）∪（0，π）．【解答】解：∵函数，∴，解得，即﹣4≤x＜﹣π或0＜x＜π；∴y的定义域为[﹣4，﹣π）∪（0，π）．故答案为：[﹣4，﹣π）∪（0，π）．8．（4分）函数y=的值域为（﹣∞，]∪[3，+∞）．【解答】解法一：原函数变形为，∵|cosx|≤1，可直接得到：y≥3或．则函数的值域为（﹣∞，]∪[3，+∞）．解法一：原函数变形为，∵|cosx|≤1，∴，∴y≥3或．则函数的值域为（﹣∞，]∪[3，+∞）．故答案为：（﹣∞，]∪[3，+∞）．9．（4分）在△ABC，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，则角B=．【解答】解：∵在△ABC，=，由正弦定理===2R得：=，∴=，∴sinBcosC=2sinAcosB﹣sinCcosB，∴sin（B+C）=2sinAcosB，又在△ABC，B+C=π﹣A，∴sin（B+C）=sinA≠0，∴cosB=，又B∈（0，π），∴B=．故答案为：．10．（4分）若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为．【解答】解：设x=a与f（x）=sinx的交点为M（a，y1），x=a与g（x）=cosx的交点为N（a，y2），则|MN|=|y1﹣y2|=|sina﹣cosa|=|sin（a﹣）|≤．故答案为：．11．（4分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则该函数的解析式为f（x）=4sin（x﹣）．【解答】解：由图象知A=4，T=2[4﹣（﹣2）]=12，则T==12，即ω=，则f（x）=4sin（x+φ），由五点对应法得×4+φ=0，即φ=﹣，故f（x）=4sin（x﹣），故答案为：f（x）=4sin（x﹣）．12．（4分）为了使函数y=sinωx（ω＞0）在区间[0，1]上仅出现10次最大值，则ω的取值范围是[，）．【解答】解：若函数y=sinωx（ω＞0）在区间[0，1]上仅出现10次最大值，则满足9T+≤1，且10T+＞1，即T且T＞，即＜T≤，＜≤，解得≤ω＜，故答案为：[，），二、选择题（每题5分，共20分）13．（5分）下列函数中，既是奇函数，又是以π为周期的函数是（）A．y=x3tanx B．y=|sinx|C．y=﹣2sinxcosx D．y=tan|x|【解答】解：由于y=x3tanx为偶函数，故排除A；由于y=|sinx|是偶函数，故排除B；由于y=﹣2sinxcosx=﹣sin2x是奇函数，且还是以π为周期的函数，故满足条件；由于y=tan|x|是偶函数，故排除D，故选：C．14．（5分）在△ABC中，下列命题中，真命题的个数为（）①∠A＞∠B是sinA＞sinB的充要条件；②∠A＞∠B是cosA＜cosB的充要条件；③∠A＞∠B是tanA＞tanB的充要条件；④∠A＞∠B是cotA＜cotB的充要条件．A．1B．2C．3D．4【解答】解：①∠A＞∠B⇔a＞b⇔sinA＞sinB，故①∠A＞∠B是sinA＞sinB的充要条件成立，故①正确，；②y=cosx在（0，π）上为减函数，∴∠A＞∠B⇒cosA＜cosB，反之也成立，故②正确；③若∠A=120°，∠B=45°，满足∠A＞∠B，但tanA＞tanB不成立，即充分性不成立，故③错误；④y=cotx在（0，π）上为减函数，∴∠A＞∠B⇒cotA＜cotB，反之也成立，故④正确；故真命题的个数为3，故选：C．15．（5分）要得到y=cos（2x﹣）的图象，只要将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：∵y=cos（2x﹣）=sin[（2x﹣）+]=sin（2x+），∴若函数y=sin2x=f（x），则函数g（x）=sin（2x+）=sin[2（x+）]=f（x+）．因此，将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，可得y=sin（2x+）的图象，即函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到y=cos（2x﹣）的图象．故选：A．16．（5分）已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（）A．B．C．D．【解答】解：对于振幅大于1时，三角函数的周期为：，∵|a|＞1，∴T＜2π，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期小于2π．对于选项A，a＜1，T＞2π，满足函数与图象的对应关系，故选：D．三、解答题（共5题，共计52分）17．（8分）作出函数y=tanx+sinx﹣|tanx﹣sinx|，的图象，并写出函数的单调区间（不必证明）【解答】解：作函数y=tanx+sinx﹣|tanx﹣sinx|，的图象如下，结合图象可知，函数y=tanx+sinx﹣|tanx﹣sinx|在（，π）上单调递增，在（π，）上单调递减．18．（10分）已知，求下列各式的值：（1）；（2）sin2α﹣2cos2α．【解答】解：∵由=3得tanα=，于是：（1）====3；（2）sin2α﹣2cos2α=2sinαcosα﹣2cos2α===﹣．19．（10分）已知函数f（x）=1﹣cos2（x﹣），g（x）=1+sin2x．（1）设x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（x0）的值；（2）求函数h（x）=f（x）+g（x）在上的值域．【解答】解：（1）f（x）=cos2（x+）=+，由2x+=kπ，k∈Z得所以函数的对称轴为x=﹣，k∈Z．因为x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，所以x0=﹣，k∈Z．所以g（x0）=1+sin2（﹣）=1+sin（kπ﹣），若k是偶数，则g（x0）=1+sin（﹣）=，若k是奇数，则g（x0）=1+sin（）=．（2）h（x）=f（x）+g（x）=+cos（2x）+1+sin2x=+sin（2x+）．因为，所以：2x+∈（﹣，），sin（2x+）∈[﹣1，），所以：h（x）∈[1，）．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=2，．（1）若△ABC的面积为，求a，b；（2）若sinC+sin（B﹣A）=sin2A，求a，b．【解答】解：（1）∵c=2，．∴由余弦定理可得：4=a2+b2﹣ab，①∵△ABC的面积为=absinC=ab，解得：ab=4，②∴②代入①可得：a2+b2=8，从而（a+b）2=a2+b2+2ab=16，解得：a+b=4，③∴由②③可解得：b=2，a=2．（2）∵sinC+sin（B﹣A）=sin2A，sinC=sin（A+B）∴sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA﹣cosBsinA=2sinAcosA，整理可得：cosA（sinB﹣sinA）=0，∴可得：cosA=0或sinB=sinA，∴当cosA=0时，由0＜A＜π，可得A=，又c=2，，可得：b=，a=，当sinB=sinA时，由正弦定理可得：a=b，又c=2，，由余弦定理可得：4=2a2﹣a2，解得：a=b=2．21．（12分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）=f（1﹣x）对任意的x∈R恒成立，且当x∈[0，1]时，f（x）=x2．（1）求证：f（x）是以2为周期的函数（不需要证明2是f（x）的最小正周期）；（2）对于整数k，当x∈[2k﹣1，2k+1]时，求函数f（x）的解析式；（3）对于整数k，记M k={a|f（x）=ax在x∈[2k﹣1，2x+1]有两个不等的实数根}，求集合M2015．【解答】解：（1）因为f（x+2）=f[（x+1）+1]=﹣f（x+1）=﹣[﹣f（x）]=f（x）所以：f（x）是以2为周期的函数；（2）∵当x∈[0，1]时，f（x）=x2，函数f（x）是定义在R上的偶函数∴当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，∴x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，∵f（x）是以2为周期的函数，即f（x﹣2k）=f（x），k∈Z设x∈[2k﹣1，2k+1]，则x﹣2k∈[﹣1，1]，∴f（x﹣2k）=（x﹣2k）2，即f（x）=（x﹣2k）2，x∈[2k﹣1，2k+1]（k∈Z），（3）当k∈N*，且x∈I k时，方程f（x）=ax化简为x2﹣（4k+a）x+k2=0，设g（x）=x2﹣（4k+a）x+k2，使方程f（x）=ax在I k上有两个不相等的实数根，则，解得0＜a≤，当k=2015时，∴集合M2015=（0，]。
2014-2015学年重庆市复旦中学高二(上)数学期中试卷带解析答案(文科)
2014-2015学年重庆市复旦中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）直线x﹣2y+7=0的斜率是（）A．2 B．﹣2 C．D．2．（5分）棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．3．（5分）垂直于同一平面的两条直线一定（）A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能4．（5分）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④5．（5分）已知ab＜0，bc＜0，则直线ax+by=c通过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限6．（5分）若直线l1：y=k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点（）A．（0，4） B．（0，2） C．（﹣2，4）D．（4，﹣2）7．（5分）下面四个说法中，正确的个数为（）（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合（2）两条直线可以确定一个平面（3）若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）．若直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．B．C．k≥2或D．k≤29．（5分）如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论中恒成立的个数为（）（1）EP⊥AC；（2）EP∥BD；（3）EP∥面SBD；（4）EP⊥面SAC．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（5分）点A、B、C、D在同一球面上，AB=BC=，AC=2，若四面体ABCD 的体积的最大值为，则这个球的表面积为（）A．B．8πC．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.11．（5分）已知直线y=（3a﹣1）x﹣1，为使这条直线经过第一、三、四象限，则实数a的取值范围是．12．（5分）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为．13．（5分）直线l1：a1x+b1y+1=0直线l2：a2x+b2y+1=0交于一点（2，3），则经过A（a1，b1），B（a2，b2）两点的直线方程为．14．（5分）已知直线l过点P（2，1）且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B 两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为．15．（5分）如图，二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α．B∈l，AB与l所成的角为30°．则AB与平面β所成的角的正弦值是．三.解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（13分）求直线3x﹣2y+24=0的斜率及它在x、y轴上的截距．17．（13分）一直线过点P（﹣5，﹣4）且与两坐标轴围成的三角形面积是5，求此直线的方程．18．（13分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．19．（12分）如图：一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个半径为x 的内接圆柱．（1）试用x表示圆柱的体积；（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大值是多少．20．（12分）已知点A（1，1），B（2，2），C（4，0），D（，），点P在线段CD垂直平分线上，求：（1）线段CD垂直平分线方程；（2）|PA|2+|PB|2取得最小值时P点的坐标．21．（12分）如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求证；AE∥平面BFD；（Ⅲ）求三棱锥C﹣BGF的体积．2014-2015学年重庆市复旦中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）直线x﹣2y+7=0的斜率是（）A．2 B．﹣2 C．D．【解答】解：因为直线x﹣2y+7=0的截距式方程为：y=x+，所以直线的斜率为：．故选：C．2．（5分）棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：因为四个面是全等的正三角形，则．故选：A．3．（5分）垂直于同一平面的两条直线一定（）A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能【解答】解：设直线a、b都与平面α垂直，可以用反证法证明a、b必定是平行直线假设a、b不平行，过直线b与平面α的交点作直线d，使d∥a∴直线d与直线b是相交直线，设它们确定平面β，且β∩α=c∵b⊥α，c⊂α，∴b⊥c．同理可得a⊥c，又∵d∥a，∴d⊥c这样经过一点作出两条直线b、d都与直线c垂直，这是不可能的∴假设不成立，故原命题是真命题故选：A．4．（5分）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④【解答】解：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，圆锥和正四棱锥的，正视图和侧视图相同，所以，正确答案为D．故选：D．5．（5分）已知ab＜0，bc＜0，则直线ax+by=c通过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限【解答】解：直线ax+by=c 即y=﹣x+，∵ab＜0，bc＜0，∴斜率k=﹣＞0，直线在y轴上的截距＜0，故直线第一、三、四象限，故选：C．6．（5分）若直线l1：y=k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点（）A．（0，4） B．（0，2） C．（﹣2，4）D．（4，﹣2）【解答】解：由于直线l1：y=k（x﹣4）恒过定点（4，0），其关于点（2，1）对称的点为（0，2），又由于直线l1：y=k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，∴直线l2恒过定点（0，2）．故选：B．7．（5分）下面四个说法中，正确的个数为（）（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合（2）两条直线可以确定一个平面（3）若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确；两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确；若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l，故（3）正确；空间中，相交于同一点的三直线不一定在同一平面内，故（4）不正确，综上所述只有一个说法是正确的，故选：A．8．（5分）已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）．若直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．B．C．k≥2或D．k≤2【解答】解：直线PA的斜率k==2，直线PB的斜率k′==，结合图象可得直线l的斜率k的取值范围是k≥2或k≤．故选：C．9．（5分）如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论中恒成立的个数为（）（1）EP⊥AC；（2）EP∥BD；（3）EP∥面SBD；（4）EP⊥面SAC．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．（1）由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．（2）由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确；（3）由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确．（4）由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP ∩EM=E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．综上可知：只有（1）（3）正确．即四个结论中恒成立的个数是2．故选：B．10．（5分）点A、B、C、D在同一球面上，AB=BC=，AC=2，若四面体ABCD 的体积的最大值为，则这个球的表面积为（）A．B．8πC．D．【解答】解：根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，不变，高最大时体积最大，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为S×DQ=，△ABC即×1×DQ=，∴DQ=2，如图．设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=12+（2﹣R）2，∴R=则这个球的表面积为：S=4π（）2=；故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.11．（5分）已知直线y=（3a﹣1）x﹣1，为使这条直线经过第一、三、四象限，则实数a的取值范围是．【解答】解：因为直线y=（3a﹣1）x﹣1过定点（0，﹣1），若直线y=（3a﹣1）x﹣1经过第一、三、四象限，则其斜率大于0，即3a﹣1＞0，所以a＞．故答案为a．12．（5分）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为6a2π．【解答】解：长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，长方体的对角线的长就是外接球的直径，所以球的直径为：，所以球的半径为：，所以球的表面积是：=6a2π故答案为：6a2π13．（5分）直线l1：a1x+b1y+1=0直线l2：a2x+b2y+1=0交于一点（2，3），则经过A（a1，b1），B（a2，b2）两点的直线方程为2x+3y+1=0．【解答】解：∵直线l1：a1x+b1y+1=0直线l2：a2x+b2y+1=0交于一点（2，3），∴2a1+3b1+1=0，2a2+3b2+1=0．∴A（a1，b1），B（a2，b2）两点都在直线2x+3y+1=0上，由于两点确定一条直线，因此经过A（a1，b1），B（a2，b2）两点的直线方程即为2x+3y+1=0．故答案为：2x+3y+1=0．14．（5分）已知直线l过点P（2，1）且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B 两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为4．【解答】解：设A（a，0）、B（0，b ），a＞0，b＞0，AB方程为，点P（2，1）代入得=1≥2，∴ab≥8 （当且仅当a=4，b=2时，等号成立），故三角形OAB 面积S=ab≥4，故答案为4．15．（5分）如图，二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α．B∈l，AB与l所成的角为30°．则AB与平面β所成的角的正弦值是．【解答】解：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线．垂足为D连接AD，有三垂线定理可知AD⊥l，故∠ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角，为60°又由已知，∠ABD=30°连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角设AD=2，则AC=，CD=1AB==4∴sin∠ABC=；故答案为．三.解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（13分）求直线3x﹣2y+24=0的斜率及它在x、y轴上的截距．【解答】解：∵直线3x﹣2y+24=0化成斜截式，得y=x+12∴直线的斜率k=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∵对直线3x﹣2y+24=0令y=0，得x=﹣8∴直线交x轴于点（﹣8，0），可得直线在x轴上截距是﹣8，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵对直线3x﹣2y+24=0令x=0，得y=12∴直线交y轴于点（0，12），可得直线在y轴上的截距为12．﹣﹣﹣﹣﹣（13分）17．（13分）一直线过点P（﹣5，﹣4）且与两坐标轴围成的三角形面积是5，求此直线的方程．【解答】解：设直线方程为，则，解得或．∴直线方程为2x﹣5y﹣10=0或8x﹣5y+20=0．18．（13分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．【解答】证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点．∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴直线EF∥面ACD；（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC，∵BD⊂面BCD，∴面EFC⊥面BCD19．（12分）如图：一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个半径为x 的内接圆柱．（1）试用x表示圆柱的体积；（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大值是多少．【解答】解：（1）∵圆锥的底面半径为2，高为6，∴内接圆柱的底面半径为x时，它的上底面截圆锥得小圆锥的高为3x因此，内接圆柱的高h=6﹣3x；∴圆柱的体积V=πx2（6﹣3x）（0＜x＜2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）由（1）得，圆柱的侧面积为S侧=2πx（6﹣3x）=6π（2x﹣x2）（0＜x＜2）令t=2x﹣x2，当x=1时t max=1．可得当x=1时，（S侧）max=6π∴当圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，侧面积有最大值为6π．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）20．（12分）已知点A（1，1），B（2，2），C（4，0），D（，），点P在线段CD垂直平分线上，求：（1）线段CD垂直平分线方程；（2）|PA|2+|PB|2取得最小值时P点的坐标．【解答】解：（1）由C（4，0），D（，），得线段CD的中点M，，∴线段CD的垂直平分线的斜率为，∴线段CD垂直平分线方程为：，即x﹣2y=0；（2）设P（2t，t），则）|PA|2+|PB|2=（2t﹣1）2+（t﹣1）2+（2t﹣2）2+（t﹣2）2=10t2﹣18t+10．当t=时，|PA|2+|PB|2取得最小值，即P．21．（12分）如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求证；AE∥平面BFD；（Ⅲ）求三棱锥C﹣BGF的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC．又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF∴AE⊥平面BCE．（4分）（Ⅱ）证明：依题意可知：G是AC中点，∵BF⊥平面ACE，则CE⊥BF，而BC=BE，∴F是EC中点．（6分）在△AEC中，FG∥AE，∴AE∥平面BFD．（8分）（Ⅲ）解：∵AE∥平面BFD，∴AE∥FG，而AE⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCF，（10分）∵G是AC中点，∴F是CE中点，且，∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE．∴Rt△BCE中，．∴，（12分）∴（14分）。
2014-2015年重庆市七校联考高一(下)期中数学试卷(理科)含解析
2014-2015学年重庆市七校联考高一（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共60分，把正确答案涂在机读卡上才能得分）1．（5分）不等式（x﹣2）（3﹣x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，2）B．（3，+∞）C．（2，3）D．（﹣∞，2）∪（3，+∞）2．（5分）高三（3）班共有学生56人，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知7号、35号、49号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（）A．20B．21C．22D．233．（5分）阅读如图的程序框图，则输出的S=（）A．14B．20C．30D．554．（5分）根据三个点（0，2），（4，4），（8，9）的坐标数据，求得的回归直线方程是（）A．=3x﹣1B．=x+C．=x+2D．=x+5．（5分）某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为200米和400米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东30°处，则两灯塔A、B 间的距离为（）A．400米B．200米C．200米D．200米6．（5分）在△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，则B为（）A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°7．（5分）已知不等式组，则目标函数z=2y﹣x的最大值是（）A．1B．﹣1C．﹣5D．48．（5分）已知等差数列{a n}的公差d＜0，若a4a6=24，a2+a8=10，则该数列的前n项和S n的最大值为（）A．50B．45C．40D．359．（5分）下列结论中正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2B．当x＞0且x≠1时，+≥2C．当x≥3时，x+的最小值是D．当0＜x≤1时，x﹣无最大值10．（5分）△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，如果b+c=2，A=60°，△ABC的面积为，那么a为（）A．B．C．10D．611．（5分）已知，则=（）A．﹣2008B．2008C．2010D．﹣2010 12．（5分）已知数列{a n}的首项为a1=1，且满足对任意的n∈N*，都有a n+1﹣a n ﹣a n≥3×2n成立，则a2015=（）≤2n，a n+2A．22006﹣1B．22006+1C．22015+1D．22015﹣1二、填空题：（每小题5分，共20分）13．（5分）为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，则该同学数学成绩的中位数为．14．（5分）数列{a n}的前n项和记为S n，a1=1，a n+1=2S n+1（n≥1），则{a n}的通项公式为．15．（5分）若a2﹣a＞x++6（x＜0）恒成立，则实数a的取值范围是．16．（5分）△ABC的三边a、b、c和面积S满足：S=a2﹣（b﹣c）2，且△ABC 的外接圆的周长为17π，则面积S的最大值等于．三、解答题：（共70分，在答题卡上写出必要的求解或证明步骤才能得分）17．（10分）已知{a n}是首项为2，公差为﹣2的等差数列，（1）求通项a n（2）设{b n﹣a n}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的通项公式及其前n项和S n．18．（12分）解关于x的不等式＞0（a＞0）19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且（a﹣c）（sinA+sinC）=（a﹣b）sinB．（1）求角C的大小；（2）若a=5，c=7，求△ABC的面积．20．（12分）重庆某食品厂准备在该厂附近建一职工宿舍，若建造宿舍的所有费用p（万元）和宿舍与工厂的距离x（km）的关系式为p=（0≤x≤8），若距离为1km时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元．设f（x）为建造宿舍与修路费用之和．（1）求f（x）的表达式；（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f（x）最小，并求最小值．21．（12分）已知数列{a n}的首项a1=，a n+1=，n=1，2，3…（1）证明：数列{﹣1}是等比数列；（2）是否存在互不相等的正整数m，s，t成等差数列，且a m﹣1，a s﹣1，a t﹣1成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m，s，t，如果不存在，请说明理由．22．（12分）已知α为锐角，且，函数，数列{a n}的首项．（1）求函数f（x）的表达式；＞a n；（2）求证：a n+1（3）求证：．2014-2015学年重庆市七校联考高一（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分，把正确答案涂在机读卡上才能得分）1．（5分）不等式（x﹣2）（3﹣x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，2）B．（3，+∞）C．（2，3）D．（﹣∞，2）∪（3，+∞）【解答】解：不等式（x﹣2）（3﹣x）＞0，对应的二次方程为：（x﹣2）（3﹣x）=0的解为：x=2，x=3，不等式（x﹣2）（3﹣x）＞0的解集是：（2，3）．故选：C．2．（5分）高三（3）班共有学生56人，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知7号、35号、49号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（）A．20B．21C．22D．23【解答】解：∵用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，∴样本对应的组距为56÷4=14，∴7+14=21，故样本中还有一个同学的座号是21，故选：B．3．（5分）阅读如图的程序框图，则输出的S=（）A．14B．20C．30D．55【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，i=1S=1，i=2满足条件i≤3，S=5，i=3满足条件i≤3，S=14，i=4不满足条件i≤3，退出循环，输出S的值为14．故选：A．4．（5分）根据三个点（0，2），（4，4），（8，9）的坐标数据，求得的回归直线方程是（）A．=3x﹣1B．=x+C．=x+2D．=x+【解答】解：∵=4，=5，故回归直线方程必过（4，5）点，故A错误；B正确，C错误，D错误，故选：B．5．（5分）某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为200米和400米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东30°处，则两灯塔A、B 间的距离为（）A．400米B．200米C．200米D．200米【解答】解：作出示意图，如图，则AC=200，BC=400，∠ACB=120°，在△ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cos120°=40000+160000+80000=280000，∴AB==200．故选：D．6．（5分）在△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，则B为（）A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°【解答】解：由正弦定理可知=，∴sinB==∵B∈（0，180°）∴∠B=60°或120°故选：B．7．（5分）已知不等式组，则目标函数z=2y﹣x的最大值是（）A．1B．﹣1C．﹣5D．4【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=2y﹣x，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（3，2），此时z的最大值为z=2×2﹣3=4﹣3=1，故选：A．8．（5分）已知等差数列{a n}的公差d＜0，若a4a6=24，a2+a8=10，则该数列的前n项和S n的最大值为（）A．50B．45C．40D．35【解答】解：依题意可知求得d=﹣1，a1=9∴S n=9n﹣=﹣n2+9n+，∴当n=9时，S n最大，S9=81﹣=45故选：B．9．（5分）下列结论中正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2B．当x＞0且x≠1时，+≥2C．当x≥3时，x+的最小值是D．当0＜x≤1时，x﹣无最大值【解答】解：选项A，当x＞0且x≠1时，lgx正负不定，故不可得到lgx+≥2，故错误；对于B，x＞0，∴＞0，∴+≥2当且仅当x=1时取等号，故B错误；对于C：令f（x）=x+，f′（x）=1﹣=，∴f（x）在（1，+∞）递增，f（x）min=f（3）=，故C正确；对于D，x﹣在0＜x≤2时单调递增，当x=2时取最大值，故D错误；故选：C．10．（5分）△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，如果b+c=2，A=60°，△ABC的面积为，那么a为（）A．B．C．10D．6【解答】解：因为b+c=2，所以b2+c2+2bc=12．△ABC的面积为，所以bcsinA=，所以bc=2，所以b2+c2=8．由余弦定理可知a2=b2+c2﹣2bccosA=8﹣2=6，所以a=．故选：B．11．（5分）已知，则=（）A．﹣2008B．2008C．2010D．﹣2010【解答】解：令a n=∵∴数列共有251项，=﹣8×251=﹣2008故选：A．12．（5分）已知数列{a n}的首项为a1=1，且满足对任意的n∈N*，都有a n+1﹣a n ﹣a n≥3×2n成立，则a2015=（）≤2n，a n+2A．22006﹣1B．22006+1C．22015+1D．22015﹣1﹣a n≥3×2n，得【解答】解：由a n+2a n+2﹣a n+1+a n+1﹣a n≥3×2n ①，且，即②，①+②得：a n﹣a n≥2n，+1﹣a n≤2n，又a n+1∴．∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n﹣1+2n﹣2+…+22+21+1==2n﹣1．∴a2015=22015﹣1．故选：D．二、填空题：（每小题5分，共20分）13．（5分）为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，则该同学数学成绩的中位数为84．【解答】解：根据茎叶图，得到6次数学成绩为：78，83，83，85，90，91，中位数是=84，故答案为：84．14．（5分）数列{a n}的前n项和记为S n，a1=1，a n+1=2S n+1（n≥1），则{a n}的通项公式为a n=3n﹣1．【解答】解：当n≥2时，a n=2S n+1（n≥1），a n=2S n﹣1+1，+1﹣a n=2a n，∴a n+1=3a n．∴a n+1当n=1时，a2=2a1+1=3．∴数列{a n}为等比数列．∴a n=3n﹣1．故答案为：3n﹣1．15．（5分）若a2﹣a＞x++6（x＜0）恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．【解答】解：a2﹣a＞x++6（x＜0）恒成立，∴a2﹣a﹣6＞x+（x＜0）恒成立，令g（x）=x+=﹣（﹣x+）≤﹣4，∴a2﹣a﹣6＞﹣4，∴a＞2或a＜﹣1．故a的范围为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．16．（5分）△ABC的三边a、b、c和面积S满足：S=a2﹣（b﹣c）2，且△ABC 的外接圆的周长为17π，则面积S的最大值等于64．【解答】解：∵S=a2﹣（b﹣c）2，S=bcsinA，且根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即b2+c2﹣a2=2bccosA，∴，∴sinA=2﹣2cosA，即====tan，∴sinA==，又△ABC的外接圆的周长为17π，即外接圆直径为17，根据正弦定理=2R，可得a=2RsinA=17×=8，∵bc≤，当且仅当b=c时取等号，即bc达到最大值，则此时面积S的最大值为a2﹣（b﹣c）2=a2=64．故答案为：64三、解答题：（共70分，在答题卡上写出必要的求解或证明步骤才能得分）17．（10分）已知{a n}是首项为2，公差为﹣2的等差数列，（1）求通项a n（2）设{b n﹣a n}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的通项公式及其前n项和S n．【解答】解：（1）由等差数列的通项公式可得，a n=a1+（n﹣1）d=2﹣2（n﹣1）=4﹣2n；（2）{b n﹣a n}是首项为1，公比为3的等比数列，可得b n﹣a n=1•3n﹣1，即为b n=4﹣2n+3n﹣1；前n项和S n=（2+1）+（0+3）+…+（4﹣2n+3n﹣1）=（2+0+…+4﹣2n）+（1+3+…+3n﹣1）=•（2+4﹣2n）n+=3n﹣n2+．18．（12分）解关于x的不等式＞0（a＞0）【解答】解：＞0等价于（x﹣1）（x﹣）＞0，当a＞2时，解集为{x|x＜，或x＞1}，当a=2时，解集为{x|x≠1}，当0＜a＜2时，解集为{x|x＞，或x＜1}．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且（a﹣c）（sinA+sinC）=（a﹣b）sinB．（1）求角C的大小；（2）若a=5，c=7，求△ABC的面积．【解答】解：（1）由已知和正弦定理得：（a+c）（a﹣c）=b（a﹣b）…（2分）故a2﹣c2=ab﹣b2，故a2+b2﹣c2=ab，故，…（4分）故C=60°…（6分）（2）由（1）中a2﹣c2=ab﹣b2，得25﹣49=5b﹣b2，得b2﹣5b﹣24=0，解得b=8或b=﹣3（舍），故b=8．…（9分）所以，△ABC的面积为：．…（12分）20．（12分）重庆某食品厂准备在该厂附近建一职工宿舍，若建造宿舍的所有费用p（万元）和宿舍与工厂的距离x（km）的关系式为p=（0≤x≤8），若距离为1km时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元．设f（x）为建造宿舍与修路费用之和．（1）求f（x）的表达式；（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f（x）最小，并求最小值．【解答】解：（1）根据题意得100=，所以k=800，故f（x）=+5+6x，0≤x≤8．（6分）（2）因为f（x）=+2（3x+5）﹣5≥80﹣5，当且仅当=2（3x+5）即x=5时f（x）min=75．所以宿舍应建在离厂5 km处，可使总费用f（x）最小，最小为75万元．（12分）21．（12分）已知数列{a n}的首项a1=，a n+1=，n=1，2，3…（1）证明：数列{﹣1}是等比数列；（2）是否存在互不相等的正整数m，s，t成等差数列，且a m﹣1，a s﹣1，a t﹣1成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m，s，t，如果不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵a n=，∴，+1∴，又a1=，∴，∴数列{﹣1}是以为首项，为公比的等比数列；（2）解：由（1）知，即，∴．假设存在互不相等的正整数m，s，t满足条件，则有（3s+1）2=（3m+1）（3t+1），即32s+2×3s+1=3m+t+3m+3t+1，∵2s=m+t，∴得3m+3t=2×3s．但是，当且仅当m=t时等号成立，这与m，s，t互不相等矛盾，∴不存在互不相等的正整数m，s，t满足题给的条件．22．（12分）已知α为锐角，且，函数，数列{a n}的首项．（1）求函数f（x）的表达式；＞a n；（2）求证：a n+1（3）求证：．【解答】解：（1），又∵α为锐角，所以2α=，∴，则f（x）=x2+x；=f（a n）=a n2+a n，（2）∵a n+1﹣a n=a n2＞0，∴a n+1∴a n＞a n；+1（3）∵，且a1=，∴，则=，∵，，＞a n，又n≥2时，∴a n+1∴a n≥a3＞1，+1∴，∴．。
重庆市巴蜀中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题
重庆市巴蜀中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题1、已知集合{}3,4A =，则A 的子集个数为（ ）。
A 、16B 、15C 、 4D 、32、已知函数230()40x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((1))f f =（ ）A 、4B 、5C 、28D 、193、已知(3)33f x x =+，则()f x =（ ）A 、3x +B 、2x +C 、 33x +D 、1x +4、下列函数中，在区间),0(+∞上是增函数的是（ ）A 、 12+-=x yB 、22-=x yC 、 x y 1=D 、 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 5、函数31()log (2)f x x =-的定义域是（ ） A 、(),2-∞ B 、()2,+∞ C 、()()2,33,⋃+∞ D 、()()2,55,⋃+∞,6、函数2()log ()f x x a =+的图象过一、二、三象限，则a 的取值范围是：（ ）A 、1a >B 、1a ≥C 、1a <-D 、1a ≤-7、函数31()31x x f x -=+的值域是：（ ） A 、(1,1)- B 、[]1,1- C 、(]1,1- D 、[)1,1-8、已知函数()f x 对任意的12,(1,0)x x ∈-都有1212()()0f x f x x x -<-，且函数(1)y f x =-是偶函数。
则下列结论正确的是：（ ） A 、14(1)()()23f f f -<-<- B 、41()(1)()32f f f -<-<- C 、41()()(1)32f f f -<-<- D 、14()()(1)23f f f -<-<- 9、已知函数3()1(a,b )f x ax bx R =++∈，3(lg(log e))2f =，则(lg(ln 3))f =（ ）A 、2-B 、0C 、1D 、210、已知函数()f x =的最大值为M ,最小值为N ，则M N =（ ） ACD二、填空题 11、不等式12x -≤的解集为： . （结果用集合或区间表示）12、函数1()2(01)x f x a a a +=+>≠且的图象恒过定点 .13、函数23()log (23)f x x x =+-的单调递增区间为： .14、若关于x 的方程212x x a +--=没有实数解，则实数a 的取值范围是 .15、已知2()f x ax 在[)0,+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是： .三、解答题16、已知集合{}2340A x x x =+-<，集合204x B x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭。
2014-2015年重庆市复旦中学高二上学期期中数学试卷及参考答案(理科)
2014-2015学年重庆市复旦中学高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）如果AC＞0，BC＞0，那么直线Ax+By+C=0不通过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（）A．B．C．D．3．（5分）木星的体积约是地球体积的倍，则它的表面积约是地球表面积的（）A．60倍B．60倍C．120倍D．120倍4．（5分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中与AD′成60°角的面对角线的条数是（）A．4 B．6 C．8 D．105．（5分）有一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16 B．20 C．24 D．326．（5分）直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0，若L1∥L2，则a的值为（）A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．3或﹣27．（5分）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面8．（5分）如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论中恒成立的个数为（）（1）EP⊥AC；（2）EP∥BD；（3）EP∥面SBD；（4）EP⊥面SAC．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（5分）直线kx﹣y=k+2和x﹣ky=k（k＞1）与y轴围成的三角形的面积的最小值为（）A．3 B．C．D．10．（5分）点A、B、C、D在同一球面上，AB=BC=，AC=2，若四面体ABCD的体积的最大值为，则这个球的表面积为（）A．B．8πC．D．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.11．（5分）已知直线y=（3a﹣1）x﹣1，为使这条直线经过第一、三、四象限，则实数a的取值范围是．12．（5分）一个圆锥的侧面展开图是一个半径为R的半圆，则这个圆锥的底面积是．13．（5分）直线l1：a1x+b1y+1=0直线l2：a2x+b2y+1=0交于一点（2，3），则经过A（a1，b1），B（a2，b2）两点的直线方程为．14．（5分）已知直线l过点P（2，1）且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B 两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为．15．（5分）如图，二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α．B∈l，AB与l所成的角为30°．则AB与平面β所成的角的正弦值是．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（13分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA=AB，PC=BC，E、F、G分别为PA、AB、PB的中点，（1）求证：EF∥平面PBC；（2）求证：EF⊥平面ACG．17．（13分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．18．（13分）已知三角形的顶点是A（﹣5，0）、B（3，﹣3）、C（0，2），（1）求直线AB的方程；（2）求△ABC的面积；（3）若过点C直线l与线段AB相交，求直线l的斜率k的范围．19．（12分）已知点A（1，1），B（2，2），C（4，0），D（，），点P在线段CD垂直平分线上，求：（1）线段CD垂直平分线方程；（2）|PA|2+|PB|2取得最小值时P点的坐标．20．（12分）如图：一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个半径为x 的内接圆柱．（1）试用x表示圆柱的体积；（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大值是多少．21．（12分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为8，侧棱长为6，D为AC 中点．（1）求证：AB1∥平面C1DB；（2）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．2014-2015学年重庆市复旦中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）如果AC＞0，BC＞0，那么直线Ax+By+C=0不通过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：当C＞0时，∵AC＞0，BC＞0，∴A＞0，B＞0，∴，，∴直线Ax+By+C=0通过第二，三，四象限；当C＜0时，同理可得：直线Ax+By+C=0通过第二，三，四象限．综上可得：直线Ax+By+C=0通过第二，三，四象限，直线Ax+By+C=0不通过第一象限．故选：A．2．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（）A．B．C．D．【解答】解：取BC的中点G．连接GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角．在△OEH中，OE=，HE=，OH=．由余弦定理，可得cos∠OEH=．故选：B．3．（5分）木星的体积约是地球体积的倍，则它的表面积约是地球表面积的（）A．60倍B．60倍C．120倍D．120倍【解答】解：木星的体积约是地球体积的倍，则它的半径约是地球半径的倍（体积比是半径比的立方）故表面积约是地球表面积的120倍（面积比是半径比的平方）．故选：C．4．（5分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中与AD′成60°角的面对角线的条数是（）A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：如图AC、CD′与AD1成60°角这样的直线有4条，另外，这样的A′B、A′C′与AD1成60°直线也有4条，共8条．故选：C．5．（5分）有一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16 B．20 C．24 D．32【解答】解：由三视图可知此几何体为组合体：长方体去掉一角，其直观图如图：∵长方体的三边长分别为2，3，4，∴长方体的体积为24去掉的三棱锥的体积为××24=4∴此组合体的体积为24﹣4=20．故选：B．6．（5分）直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0，若L1∥L2，则a的值为（）A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．3或﹣2【解答】解：直线L1：ax+3y+1=0的斜率为：，直线L1∥L2，所以L2：2x+（a+1）y+1=0的斜率为：所以=；解得a=﹣3，a=2（舍去）故选：A．7．（5分）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面【解答】解：对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A错；对于B，∵l1⊥l2，∴l1，l2所成的角是90°，又∵l2∥l3∴l1，l3所成的角是90°∴l1⊥l 3，B对；对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错．故选：B．8．（5分）如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论中恒成立的个数为（）（1）EP⊥AC；（2）EP∥BD；（3）EP∥面SBD；（4）EP⊥面SAC．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．（1）由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．（2）由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确；（3）由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确．（4）由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP ∩EM=E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．综上可知：只有（1）（3）正确．即四个结论中恒成立的个数是2．故选：B．9．（5分）直线kx﹣y=k+2和x﹣ky=k（k＞1）与y轴围成的三角形的面积的最小值为（）A．3 B．C．D．【解答】解：求得直线kx﹣y=k+2与y轴的交点为A（0，﹣k﹣2），直线x﹣ky=k与y轴的交点为B（0，﹣1）联解，得，∴直线kx﹣y=k+2和x﹣ky=k的交点为C（，）．∵k＞1，得x C=＞0．∴S=|AB|•x C=×（k+1）×=•，△ABC∵=（k﹣1）++3，且（k﹣1）+≥2=2，∴S=•≥，△ABC有最小值．当且仅当k﹣1=即k=时，S△ABC故选：B．10．（5分）点A、B、C、D在同一球面上，AB=BC=，AC=2，若四面体ABCD 的体积的最大值为，则这个球的表面积为（）A．B．8πC．D．【解答】解：根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，不变，高最大时体积最大，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC×DQ=，所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为S△ABC即×1×DQ=，∴DQ=2，如图．设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=12+（2﹣R）2，∴R=则这个球的表面积为：S=4π（）2=；故选：C．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.11．（5分）已知直线y=（3a﹣1）x﹣1，为使这条直线经过第一、三、四象限，则实数a的取值范围是．【解答】解：因为直线y=（3a﹣1）x﹣1过定点（0，﹣1），若直线y=（3a﹣1）x﹣1经过第一、三、四象限，则其斜率大于0，即3a﹣1＞0，所以a＞．故答案为a．12．（5分）一个圆锥的侧面展开图是一个半径为R的半圆，则这个圆锥的底面积是．【解答】解：圆锥的底面周长是：πR；设圆锥的底面半径是r，则2πr=πR．解得：r=R．则这个圆锥的底面积是．故答案是：．13．（5分）直线l1：a1x+b1y+1=0直线l2：a2x+b2y+1=0交于一点（2，3），则经过A（a1，b1），B（a2，b2）两点的直线方程为2x+3y+1=0．【解答】解：∵直线l1：a1x+b1y+1=0直线l2：a2x+b2y+1=0交于一点（2，3），∴2a1+3b1+1=0，2a2+3b2+1=0．∴A（a1，b1），B（a2，b2）两点都在直线2x+3y+1=0上，由于两点确定一条直线，因此经过A（a1，b1），B（a2，b2）两点的直线方程即为2x+3y+1=0．故答案为：2x+3y+1=0．14．（5分）已知直线l过点P（2，1）且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B 两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为4．【解答】解：设A（a，0）、B（0，b ），a＞0，b＞0，AB方程为，点P（2，1）代入得=1≥2，∴ab≥8 （当且仅当a=4，b=2时，等号成立），故三角形OAB 面积S=ab≥4，故答案为4．15．（5分）如图，二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α．B∈l，AB与l所成的角为30°．则AB与平面β所成的角的正弦值是．【解答】解：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线．垂足为D连接AD，有三垂线定理可知AD⊥l，故∠ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角，为60°又由已知，∠ABD=30°连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角设AD=2，则AC=，CD=1AB==4∴sin∠ABC=；故答案为．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（13分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA=AB，PC=BC，E、F、G分别为PA、AB、PB的中点，（1）求证：EF∥平面PBC；（2）求证：EF⊥平面ACG．【解答】证明：（1）∵E、F分别为PA、AB的中点，∴EF∥PB，又∵PB⊂平面PBC，EF⊄平面PBC，∴EF∥平面PBC．（2）∵PA=AB，PC=BC，G为PB的中点，∴PB⊥AG，PB⊥CG，又∵AG∩CG=G，∴PB⊥面ACG，又∵E、F分别为PA、AB的中点，∴EF⊥平面ACG．17．（13分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．【解答】证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点．∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴直线EF∥面ACD；（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC，∵BD⊂面BCD，∴面EFC⊥面BCD18．（13分）已知三角形的顶点是A（﹣5，0）、B（3，﹣3）、C（0，2），（1）求直线AB的方程；（2）求△ABC的面积；（3）若过点C直线l与线段AB相交，求直线l的斜率k的范围．【解答】解：（1）依题意，作图如下：由两点式得直线AB方程为=，整理得：3x+8y+15=0，（2）∵直线AB方程为3x+8y+15=0，=，又|AB|=，∴d C﹣AB=|AB|•d C﹣AB=××=；∴S△ABC（3）∵k AC=，k BC=﹣，要使过点C直线l与线段AB相交，则k≥或k≤﹣．19．（12分）已知点A（1，1），B（2，2），C（4，0），D（，），点P在线段CD垂直平分线上，求：（1）线段CD垂直平分线方程；（2）|PA|2+|PB|2取得最小值时P点的坐标．【解答】解：（1）由C（4，0），D（，），得线段CD的中点M，，∴线段CD的垂直平分线的斜率为，∴线段CD垂直平分线方程为：，即x﹣2y=0；（2）设P（2t，t），则）|PA|2+|PB|2=（2t﹣1）2+（t﹣1）2+（2t﹣2）2+（t﹣2）2=10t2﹣18t+10．当t=时，|PA|2+|PB|2取得最小值，即P．20．（12分）如图：一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个半径为x 的内接圆柱．（1）试用x表示圆柱的体积；（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大值是多少．【解答】解：（1）∵圆锥的底面半径为2，高为6，∴内接圆柱的底面半径为x时，它的上底面截圆锥得小圆锥的高为3x因此，内接圆柱的高h=6﹣3x；∴圆柱的体积V=πx2（6﹣3x）（0＜x＜2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）由（1）得，圆柱的侧面积为S侧=2πx（6﹣3x）=6π（2x﹣x2）（0＜x＜2）令t=2x﹣x2，当x=1时t max=1．可得当x=1时，（S侧）max=6π∴当圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，侧面积有最大值为6π．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）21．（12分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为8，侧棱长为6，D为AC 中点．（1）求证：AB1∥平面C1DB；（2）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．【解答】（1）证明：如图所示，连接B1C交BC1于E，连接DE，∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴B1E=EC．又AD=DC．∴DE∥AB1，而DE⊂平面C1DB，AB1⊄平面C1DB，∴AB1∥平面C1DB．（2）解：由（1）知∠DEB或其补角为异面直线AB 1与BC1所成的角，在△DEB中，DE=5，BD=4，BE=5．∴cos∠DEB==．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
重庆一中2014-2015学年春高一下学期期中考试试卷数学试卷Word版含答案
2015年重庆一中高2017级高一下期半期考试数 学 试 题 卷 2015.5数学试题共4页，共21个小题．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．一、选择题.(共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).1.已知等差数列满足，则（ ）A.3B.6C. 8D. 122.已知向量，若，则实数的值是（ ）A. 6B.C.D.3.实数满足，则的最大值为（ ）A.2B.C. 7D.84.若，则的最小值是（ ）A. B. C. D.5.（原创）在圆内随机任取一点，则取到的点恰好落在该圆的内接正方形内的概率是（ ）A. B. C. D.6.（原创）有些同学考试时总是很粗心. 某数学老师为了研究他所教两个班学生的细心情况，在某次数学考试后，从他所教的甲、乙两个班级里各随机抽取了五份答卷并对解答题第16题（满分13分）的得分进行统计，得到对应的甲、乙两组数据，其茎叶图如下图所示，其中，已知甲组数据的中位数比乙组数据 的平均数多，则的值为（ ）A. B. C. D.7.（原创）为非零实数，已知且，则下列不等式不一定．．．成立的是（ ） A. B. C. D.8.（原创）执行如图所示的程序框图，若输出，则判断框内应填入的条件是（ ）A. B. C. D.9.（原创）已知的三个内角满足，则（ ）A. B. C. D.结束 ,0=s 1=n输出s80 90 100 110 120 130 0.0300.025 0.020 0.015 0.010 底部周长 cm（第12题图）10.（原创）已知平面向量满足，且与的夹角为，则的最小值是（ ）.A. B. C. D.二．填空题.(本大题共5 小题，共25分，将正确答案填写在答题卡上的相应位置)11.运行下面的伪代码，输出的的值为 ；12.对大量底部周长（单位：cm ）的树木进行研究，从中随机抽出200株树木并测出其底部周长，得到频率分布直方图如上图所示，则在抽测的200株树木中，有 株树木的底部周长小于100cm ；13.（原创）“丁香”和“小花”是好朋友，她们相约本周末去爬歌乐山，并约定周日早上8：00至8：30之间（假定她们在这一时间段内任一时刻等可能的到达）在歌乐山健身步道起点处会合. 若“丁香”先到，则她最多等待“小花”15分钟；若“小花”先到，则她最多等待“丁香”10分钟，若在等待时间内对方到达，则她俩就一起快乐地爬山，否则超过等待时间后她们均不再等候对方而孤独地爬山，则“丁香”和“小花”快乐地一起爬歌乐山的概率是 （用数字作答）；14.（原创）已知且，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 ；15.（原创）已知，将数列的项依次按如图的规律“蛇形排列”成一个金字塔状的三角形数阵，其中第行有个项，记第行从左到右．．．．的第个数为，如， 则 （结果用表示）.三．解答题.(共6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．)16.（13分）（原创）学生“如花姐”是2015年我校高一年级“校园歌手大赛”的热门参赛选手之一，经统计，网络投票环节中大众对“如花姐”的投票情况是：喜爱程度 非常喜欢 一般 不喜欢人数 500 200 100现采用分层抽样的方法从所有参与对“如花姐”投票的800名观众中抽取一个容量为A B C D NM 的样本，若从不喜欢“如花姐”的100名观众中抽取的人数是5人.（1）求的值；（2）若从不喜欢“如花姐”的观众中抽取的5人中恰有3名男生（记为）2名女生（记为），现将此5人看成一个总体，从中随机选出2人，列出所有可能的结果；（3）在（2）的条件下，求选出的2人中至少有1名女生的概率.17.（13分）（原创）若数列的前项和，数列是等比数列，且.（1）求及；（2）记，求数列的前项和.18.（13分）（原创）如图，已知菱形的边长为2，，分别为上的点，，记.（1） 当时，求；（2）若，求的值.19.（12分）（原创）中，内角的对边分别为，若边，且. （1）若，求的面积；（2）记边的中点为，求的最大值，并说明理由.20.（12分）（原创）已知二次函数. （1）是否存在使得对任意恒成立？若存在，求出相应的的值；若不存在，请说明理由.（2）当时，若关于的方程的两根满足，试求的取值范围.21.（12分）（原创）已知数列的前项和为，满足，，且，数列满足.（1）证明：数列是等比数列；（2） 求证：（是自然对数的底数，）.命题人：黄正卫审题人：王中苏2015年重庆一中高2017级高一下期半期考试数 学 参 考 答 案 2015.5一、选择题：ACDBA DBCDA提示：10题：记，，则的夹角为，且配凑可得：令，则上式.二．填空题：6 ，80 ，，，.三．解答题.16.（13分）解：（1）抽样比例为，故；（2），共10种可能的结果；（3）记事件“选出的2人中至少有1名女生”为，则，其含有7种结果，故（或解：表示两个都是男生，包含3个结果，）17.（13分）解：（1）时，，又满足此式，故，于是，而等比，故；（2），由错位相减法，有：………………………①…………②两式相减，得：，因此.18.（13分）解：（1）当时，分别为的中点，于是；（2），故.19.（12分）解：因为，故，由余弦定理可得；（1），即或当时，，，，当时，为等边三角形，；（2因为，故由余弦定理知，于是而，故，故，（当且仅当）时取等.因为，故由余弦定理知，故，（当且仅当）时取等.20.（12分）解：（1）中令得故，于是，对恒成立则必有，而，于是只有，进而上面的不等式组变为：对恒成立，显然有且只有才行，此时故存在满足题意；，整理得，又对恒成立，故必有而，于是，而故，此时，，显然满足对恒成立，故存在满足题意；（2）当时，方程，令，其两个零点为，则而令，在约束条件下，由线性规划知识易求得故，也即：.21.（12分）解：（1）由，且其首项，故等比，公比为；（2）先求，由（1）知等比，其首项为，公比为,于是；（或用特征根法求得）由题可得，由于， 故)1(1111)11()11()11()11(143322121+⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+=+⋅⋅+⋅+-n nn n a a a a a a a a a a a a )111(2)111(52)111(52212122114332n n n n nn b b b b b b b b b b b b b b b b b +++=+++⋅⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅⋅⋅⋅⋅-因此所证，而时，，保留前两项不动，从第三项开始利用上面的放缩公式，有： 121511)311(12151131313121511111213221++<-⋅++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅++≤+++--n n n b b b ， 而，over 了.。
2014-2015学年上海市复旦附中高一(下)学期期中数学试卷 (解析版)
2014-2015学年上海市复旦附中高一第二学期期中数学试卷一、填空题（每题4分，共48分）1．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，其终边上有一点P （5，﹣12），则sec α＝ ．2．已知扇形的圆心角为2弧度，面积为9cm 2，则该扇形的弧长为 cm ． 3．若cos α=−13，则sin(3π2−α)= ．4．若cos α=−45，α∈(π2，π)，则cos(α−π4)= ． 5．已知等腰三角形顶角的余弦值为−725，则这个三角形底角的正切值为 ． 6．函数y =sin(π3−2x)的单调递减区间为 ．7．函数y =√16−x 2−lgsinx 的定义域为 ． 8．函数y =2cosx+12cosx−1的值域为 ．9．在△ABC ，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosC cosB=2a−c b，则角B ＝ ．10．若动直线x ＝a 与函数f （x ）＝sin x 和g （x ）＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为 ．11．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则该函数的解析式为f （x ）＝ ．12．为了使函数y ＝sin ωx （ω＞0）在区间[0，1]上仅出现10次最大值，则ω的取值范围是 ．二、选择题（每题5分，共20分）13．下列函数中，既是奇函数，又是以π为周期的函数是（ ） A ．y ＝x 3tan x B ．y ＝|sin x |C ．y ＝﹣2sin x cos xD ．y ＝tan|x |14．在△ABC 中，下列命题中，真命题的个数为（ ）①∠A ＞∠B 是sin A ＞sin B 的充要条件；②∠A ＞∠B 是cos A ＜cos B 的充要条件； ③∠A ＞∠B 是tan A ＞tan B 的充要条件；④∠A ＞∠B 是cot A ＜cot B 的充要条件．A ．1B ．2C ．3D ．415．要得到y ＝cos （2x −π4）的图象，只要将函数y ＝sin2x 的图象（ ） A ．向左平移π8个单位B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位16．已知a 是实数，则函数f （x ）＝1+a sin ax 的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．三、解答题（共5题，共计52分）17．作出函数y ＝tan x +sin x ﹣|tan x ﹣sin x |，x ∈(π2，3π2)的图象，并写出函数的单调区间（不必证明）18．已知tan(α+π4)=3，求下列各式的值：（1）cos(π+α)−cos(π2−α)sin(π−α)+sin(3π2+α)； （2）sin2α﹣2cos 2α．19．已知函数f（x）＝1﹣cos2（x−5π12），g（x）＝1+12sin2x．（1）设x＝x0是函数y＝f（x）图象的一条对称轴，求g（x0）的值；（2）求函数h（x）＝f（x）+g（x）在x∈(−π2，0)上的值域．20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝2，C=π3．（1）若△ABC的面积为√3，求a，b；（2）若sin C+sin（B﹣A）＝sin2A，求a，b．21．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）＝f（1﹣x）对任意的x∈R恒成立，且当x∈[0，1]时，f（x）＝x2．（1）求证：f（x）是以2为周期的函数（不需要证明2是f（x）的最小正周期）；（2）对于整数k，当x∈[2k﹣1，2k+1]时，求函数f（x）的解析式；（3）对于整数k，记M k＝{a|f（x）＝ax在x∈[2k﹣1，2x+1]有两个不等的实数根}，求集合M2015．2014-2015学年上海市复旦附中高一第二学期期中数学试卷参考答案一、填空题（每题4分，共48分）1．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，其终边上有一点P （5，﹣12），则sec α＝135．【分析】利用条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cos α的值，然后求解sec α． 解：由题意可得 x ＝5，y ＝﹣12，r ＝|OP |＝13，∴cos α=x r =513， ∴sec α=135． 故答案为：135．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．2．已知扇形的圆心角为2弧度，面积为9cm 2，则该扇形的弧长为 6 cm ． 【分析】利用扇形的面积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长的值． 解：设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α（rad ），半径为r ，扇形的面积为S ，则：r 2=2S α=2×92=9．解得r ＝3∴扇形的弧长为l ＝r α＝3×2＝6l ＝r α＝3×2＝6cm ． 故答案为：6．【点评】本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题． 3．若cos α=−13，则sin(3π2−α)= 13． 【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果． 解：∵cos α=−13，则sin(3π2−α)=−cos α=13， 故答案为：13．【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题． 4．若cos α=−45，α∈(π2，π)，则cos(α−π4)= −√210．【分析】由题意和同角三角函数的基本关系可得sin α，代入两角差的余弦公式计算可得． 解：∵cos α=−45，α∈(π2，π)，∴sin α=2α=35， ∴cos(α−π4)=cos αcos π4+sin αsin π4=−45×√22+35×√22=−√210 故答案为：−√210．【点评】本题考查两角和与差的余弦公式，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题．5．已知等腰三角形顶角的余弦值为−725，则这个三角形底角的正切值为 34．【分析】设等腰三角形顶角为α，由条件利用同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角的余弦公式求得cos α2的值，可得sin α2和tan α2的值，从而求得这个三角形底角的正切值为tan （π2−α2）的值．解：设等腰三角形顶角为α，则这个三角形底角为π−α2=π2−α2，且cos α=−725，∴α为钝角． 再根据cos α=−725=2cos 2α2−1，求得cos α2=35，∴sin α2=45，tan α2=43， ∴这个三角形底角的正切值为tan （π2−α2）＝cot α2=1tanα2=34，故答案为：34．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．6．函数y =sin(π3−2x)的单调递减区间为 [k π−π12，k π+5π12]，k ∈Z ． 【分析】先根据正弦函数的单调性求得函数y ＝sin （2x −π3）的单调增区间，进而求得函数 y ＝sin （π3−2x ）的单调递减区间．解：由题意可得：y ＝sin （π3−2x ）＝﹣sin （2x −π3），由正弦函数的单调性可知y ＝sin （2x −π3）的单调增区间为[2k π−π2，2k π+π2]，k ∈Z即[k π−π12，k π+5π12]，k ∈Z所以y ＝sin （π3−2x ）＝﹣sin （2x −π3）的减区间为[k π−π12，k π+5π12]，k ∈Z ，故答案为：[k π−π12，k π+5π12]，k ∈Z ．【点评】本题主要考查了正弦函数的单调性．考查了学生对正弦函数基本性质的理解，属于基本知识的考查．7．函数y =√16−x 2−lgsinx 的定义域为 [﹣4，﹣π）∪（0，π） ．【分析】根据函数y =√16−x 2−lgsinx ，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 解：∵函数y =√16−x 2−lgsinx ， ∴{16−x 2≥0sinx ＞0， 解得{−4≤x ≤42kπ＜x ＜π+2kπ，k ∈Z ，即﹣4≤x ＜﹣π或0＜x ＜π；∴y 的定义域为[﹣4，﹣π）∪（0，π）． 故答案为：[﹣4，﹣π）∪（0，π）．【点评】本题考查了根据觳觫的解析式求函数定义域的应用问题，是基础题目． 8．函数y =2cosx+12cosx−1的值域为 （﹣∞，13]∪[3，+∞） ．【分析】此为y =acosx+bccosx−d型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解．或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解． 【解答】解法一：原函数变形为y =1+22cosx−1，∵|cos x |≤1，可直接得到：y ≥3或y ≤13．则函数的值域为（﹣∞，13]∪[3，+∞）．解法一：原函数变形为cosx =y+12(y−1)， ∵|cos x |≤1，∴|y+12(y−1)|≤1，∴y ≥3或y ≤13．则函数的值域为（﹣∞，13]∪[3，+∞）．故答案为：（﹣∞，13]∪[3，+∞）．【点评】本题主要考查余弦函数的值域，考查分式函数含三角函数的值域的求法，考查运算能力，属于中档题．9．在△ABC ，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosC cosB=2a−c b，则角B ＝π3．【分析】利用正弦定理将2a−c b转化为2sinA−sinCsinB，再利用两角和与差的正弦函数即可求得角B ．解：∵在△ABC ，cosC cosB=2a−c b，由正弦定理a sinA=b sinB=c sinC=2R 得：2a−c b=2sinA−sinCsinB ，∴cosCcosB=2sinA−sinCsinB，∴sin B cos C ＝2sin A cos B ﹣sin C cos B ，∴sin （B +C ）＝2sin A cos B ，又在△ABC ，B +C ＝π﹣A ， ∴sin （B +C ）＝sin A ≠0，∴cos B =12，又B ∈（0，π），∴B =π3． 故答案为：π3．【点评】本题考查正弦定理与两角和与差的正弦，考查转化思想与运算能力，属于中档题． 10．若动直线x ＝a 与函数f （x ）＝sin x 和g （x ）＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为 √2 ．【分析】设x ＝a 与f （x ）＝sin x 的交点为M （a ，y 1），x ＝a 与g （x ）＝cos x 的交点为N （a ，y 2），求出|MN |的表达式，利用三角函数的有界性，求出最大值． 解：设x ＝a 与f （x ）＝sin x 的交点为M （a ，y 1）， x ＝a 与g （x ）＝cos x 的交点为N （a ，y 2）， 则|MN |＝|y 1﹣y 2|＝|sin a ﹣cos a | =√2|sin （a −π4）|≤√2． 故答案为：√2．【点评】本题考查三角函数的图象与性质，在解决三角函数周期等问题时，我们往往构造函数，利用函数的图象解题．11．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则该函数的解析式为f （x ）＝ 4sin （π6x −2π3） ．【分析】根据三角函数的图象确定A ，ω和φ的值即可得到结论． 解：由图象知A ＝4，T ＝2[4﹣（﹣2）]＝12， 则T =2πω=12，即ω=π6， 则f （x ）＝4sin （π6x +φ）， 由五点对应法得π6×4+φ＝0，即φ=−2π3， 故f （x ）＝4sin （π6x −2π3），故答案为：f （x ）＝4sin （π6x −2π3）．【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解，根据三角函数图象确定A ，ω和φ的值是解决本题的关键．12．为了使函数y ＝sin ωx （ω＞0）在区间[0，1]上仅出现10次最大值，则ω的取值范围是 [37π2，41π2） ．【分析】根据正弦函数的周期性和最大值的性质，建立不等式关系进行求解即可． 解：若函数y ＝sin ωx （ω＞0）在区间[0，1]上仅出现10次最大值， 则满足9T +T 4≤1，且10T +T4＞1， 即T ≤437且T ＞441， 即441＜T ≤437，441＜2πω≤437，解得37π2≤ω＜41π2， 故答案为：[37π2，41π2），【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法．注意对三角函数基础知识如周期相，对称性，单调性等知识的点熟练掌握． 二、选择题（每题5分，共20分）13．下列函数中，既是奇函数，又是以π为周期的函数是（ ） A ．y ＝x 3tan x B ．y ＝|sin x |C ．y ＝﹣2sin x cos xD ．y ＝tan|x |【分析】由条件利用二倍角公式，三角函数的奇偶性和周期性，逐一判断各个选项是否满足条件，从而得出结论．解：由于y ＝x 3tan x 为偶函数，故排除A ；由于y ＝|sin x |是偶函数，故排除B ； 由于y ＝﹣2sin x cos x ＝﹣sin2x 是奇函数，且还是以π为周期的函数，故满足条件； 由于y ＝tan|x |是偶函数，故排除D ， 故选：C ．【点评】本题主要考查二倍角公式，三角函数的奇偶性和周期性，属于基础题． 14．在△ABC 中，下列命题中，真命题的个数为（ ）①∠A ＞∠B 是sin A ＞sin B 的充要条件；②∠A ＞∠B 是cos A ＜cos B 的充要条件； ③∠A ＞∠B 是tan A ＞tan B 的充要条件；④∠A ＞∠B 是cot A ＜cot B 的充要条件． A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．解：①∠A ＞∠B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B ，故①∠A ＞∠B 是sin A ＞sin B 的充要条件成立，故①正确，；②y ＝cos x 在（0，π）上为减函数，∴∠A ＞∠B ⇒cos A ＜cos B ，反之也成立，故②正确； ③若∠A ＝120°，∠B ＝45°，满足∠A ＞∠B ，但tan A ＞tan B 不成立，即充分性不成立，故③错误；④y ＝cot x 在（0，π）上为减函数，∴∠A ＞∠B ⇒cot A ＜cot B ，反之也成立，故④正确； 故真命题的个数为3， 故选：C ．【点评】本题主要考查命题的真假判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键． 15．要得到y ＝cos （2x −π4）的图象，只要将函数y ＝sin2x 的图象（ ）A ．向左平移π8个单位B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位【分析】利用三角函数的诱导公式，化简得y ＝cos （2x −π4）＝sin （2x +π4），再根据函数图象平移的公式加以计算，可得本题答案．解：∵y ＝cos （2x −π4）＝sin[（2x −π4）+π2]＝sin （2x +π4），∴若函数y ＝sin2x ＝f （x ），则函数g （x ）＝sin （2x +π4）＝sin[2（x +π8）]＝f （x +π8）． 因此，将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π8个单位，可得y ＝sin （2x +π4）的图象，即函数y ＝sin2x 的图象向左平移π8个单位，得到y ＝cos （2x −π4）的图象．故选：A ．【点评】本题给出形状相同的两个三角函数图象，要我们求从一个图象到另一个图象所要平移的距离．着重考查了三角函数的诱导公式和函数图象平移的公式等知识，属于基础题． 16．已知a 是实数，则函数f （x ）＝1+a sin ax 的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】函数f （x ）＝1+a sin ax 的图象是一个正弦曲线型的图，其振幅为|a |，周期为2π|a|，周期与振幅成反比，从这个方向观察四个图象． 解：对于振幅大于1时，三角函数的周期为：T =2π|a|，∵|a |＞1，∴T ＜2π， 而D 不符合要求，它的振幅大于1，但周期小于2π． 对于选项A ，a ＜1，T ＞2π，满足函数与图象的对应关系， 故选：D ．【点评】由于函数的解析式中只含有一个参数，这个参数影响振幅和周期，故振幅与周期相互制约，这是本题的关键． 三、解答题（共5题，共计52分）17．作出函数y ＝tan x +sin x ﹣|tan x ﹣sin x |，x ∈(π2，3π2)的图象，并写出函数的单调区间（不必证明）【分析】由题意作出函数y ＝tan x +sin x ﹣|tan x ﹣sin x |，x ∈(π2，3π2)的图象，从而由图象写出函数的单调区间．解：作函数y ＝tan x +sin x ﹣|tan x ﹣sin x |，x ∈(π2，3π2)的图象如下，结合图象可知，函数y ＝tan x +sin x ﹣|tan x ﹣sin x |在（π2，π）上单调递增，在（π，3π2）上单调递减．【点评】本题考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用，同时考查了函数图象的应用，属于中档题．18．已知tan(α+π4)=3，求下列各式的值：（1）cos(π+α)−cos(π2−α)sin(π−α)+sin(3π2+α)；（2）sin2α﹣2cos2α．【分析】由tan(α+π4)=3可求得tanα=12，（1）利用诱导公式化简cos(π+α)−cos(π2−α)sin(π−α)+sin(3π2+α)=cosα+sinαcosα−sinα，再“弦”化“切”即可；（2）利用二倍角的正弦将sin2α﹣2cos2α化为2sinαcosα﹣2cos2α，再将分母除以1＝sin2α+cos2α，“弦”化“切”即可．解：∵由tan(α+π4)=1+tanα1−tanα=3得tanα=12，于是：（1）cos(π+α)−cos(π2−α)sin(π−α)+sin(3π2+α)=−cosα−sinαsinα−cosα=cosα+sinαcosα−sinα=1+tanα1−tanα=3；（2）sin2α﹣2cos2α＝2sinαcosα﹣2cos2α=2sinαcosα−2cos2αsin2α+cos2α=2tanα−2tan2α+1=−45．【点评】本题考查同角三角函数基本关系式及变形公式的应用，利用诱导公式及sin2α+cos2α＝1实现角α的正弦、余弦的互化、利用tanα可以实现角α的弦切互化是关键，属于中档题．19．已知函数f（x）＝1﹣cos2（x−5π12），g（x）＝1+12sin2x．（1）设x＝x0是函数y＝f（x）图象的一条对称轴，求g（x0）的值；（2）求函数h（x）＝f（x）+g（x）在x∈(−π2，0)上的值域．【分析】（1）利用三角函数对称轴的性质确定x0的值，然后代入求值即可．（2）求出函数h（x）＝f（x）+g（x）的解析式，由x∈(−π2，0)，可得2x+π3的范围，由正弦函数的图象和性质即可得解．解：（1）f（x）＝cos2（x+π12）=12+12cos(2x+π6)，由2x+π6=kπ，k∈Z得所以函数的对称轴为x=kπ2−π12，k∈Z．因为x＝x0是函数y＝f（x）图象的一条对称轴，所以x0=kπ2−π12，k∈Z．所以g（x0）＝1+12sin2（kπ2−π12）＝1+12sin（kπ−π6），若k 是偶数，则g （x 0）＝1+12sin （−π6）=34，若k 是奇数，则g （x 0）＝1+12sin （5π6）=54．（2）h （x ）＝f （x ）+g （x ）=12+12cos （2x +π6）+1+12sin2x =32+12sin （2x +π3）． 因为x ∈(−π2，0)，所以：2x +π3∈（−2π3，π3），sin （2x +π3）∈[﹣1，√32），所以：h （x ）∈[1，6+√34）．【点评】本题主要考查三角函数的化简以及倍角公式，辅助角公式的应用，综合性较强，属于中档题．20．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝2，C =π3．（1）若△ABC 的面积为√3，求a ，b ； （2）若sin C +sin （B ﹣A ）＝sin2A ，求a ，b ．【分析】（1）由余弦定理可得：4＝a 2+b 2﹣ab ，①，由△ABC 的面积公式可得：√3=12ab sin C ，解得：ab ＝4，②，②代入①可解得：a +b ＝4，③，由②③可解得b ，a 的值． （2）利用两角和与差的正弦函数化简已知等式可得cos A （sin B ﹣sin A ）＝0，可得：cos A ＝0或sin B ＝sin A ，当cos A ＝0时，结合0＜A ＜π，可得A 为直角，结合已知即可求得a ，b 的值，当sin B ＝sin A 时，由正弦定理可得a ＝b ，由余弦定理即可得解． 解：（1）∵c ＝2，C =π3．∴由余弦定理可得：4＝a 2+b 2﹣ab ，①∵△ABC 的面积为√3=12ab sin C =12×√32ab ，解得：ab ＝4，②∴②代入①可得：a 2+b 2＝8，从而（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab ＝16，解得：a +b ＝4，③ ∴由②③可解得：b ＝2，a ＝2．（2）∵sin C +sin （B ﹣A ）＝sin2A ，sin C ＝sin （A +B ）∴sin A cos B +cos A sin B +sin B cos A ﹣cos B sin A ＝2sin A cos A ，整理可得：cos A （sin B ﹣sin A ）＝0， ∴可得：cos A ＝0或sin B ＝sin A ，∴当cos A ＝0时，由0＜A ＜π，可得A =π2，又c ＝2，C =π3，可得：b =ctanC =3=2√33，a =c sinC =232=4√33，当sin B ＝sin A 时，由正弦定理可得：a ＝b ，又c ＝2，C =π3，由余弦定理可得：4＝2a 2﹣a 2，解得：a ＝b ＝2．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式及三角函数恒等变换的应用，属于基本知识的考查．21．设函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （1+x ）＝f （1﹣x ）对任意的x ∈R 恒成立，且当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x 2．（1）求证：f （x ）是以2为周期的函数（不需要证明2是f （x ）的最小正周期）； （2）对于整数k ，当x ∈[2k ﹣1，2k +1]时，求函数f （x ）的解析式；（3）对于整数k ，记M k ＝{a |f （x ）＝ax 在x ∈[2k ﹣1，2x +1]有两个不等的实数根}，求集合M 2015．【分析】（1）因为f （x +2）＝f [（x +1）+1]＝﹣f （x +1）＝﹣[﹣f （x ）]＝f （x ）可得结论． （2）先求出x ∈[﹣1，1]时，f （x ）＝x 2，设x ∈[2k ﹣1，2k +1]，则x ﹣2k ∈[﹣1，1]，根据f （x ）是以2为周期的函数，即f （x ﹣2k ）＝f （x ）可求解．（3）将方程f （x ）＝ax 转化为二次函数，利用二次函数根的分布求a 的取值集合． 解：（1）因为f （x +2）＝f [（x +1）+1]＝﹣f （x +1）＝﹣[﹣f （x ）]＝f （x ） 所以：f （x ）是以2为周期的函数；（2）∵当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x 2，函数f （x ）是定义在R 上的偶函数 ∴当x ∈[﹣1，0]时，f （x ）＝x 2， ∴x ∈[﹣1，1]时，f （x ）＝x 2，∵f （x ）是以2为周期的函数，即f （x ﹣2k ）＝f （x ），k ∈Z 设x ∈[2k ﹣1，2k +1]，则x ﹣2k ∈[﹣1，1]， ∴f （x ﹣2k ）＝（x ﹣2k ）2，即f （x ）＝（x ﹣2k ）2，x ∈[2k ﹣1，2k +1]（k ∈Z ），（3）当k ∈N *，且x ∈I k 时，方程f （x ）＝ax 化简为x 2﹣（4k +a ）x +k 2＝0， 设g （x ）＝x 2﹣（4k +a ）x +k 2，使方程f （x ）＝ax 在I k 上有两个不相等的实数根， 则{△=a(a +8k)＞02k −1＜k+a 2≤2k +1g(2k −1)=1−2ak +a ＞0g(2k +1)=1−2ak −a ≥0，解得0＜a≤12k+1，当k＝2015时，∴集合M2015＝（0，14031]【点评】本题主要考查函数周期性的应用，以及二次方程根的分布问题，考查学生的转化能力，综合性较强，属于中档题．。
2024学年复旦大学附中高一数学上学期11月期中检测卷及答案解析
2024~2025学年上海市复旦大学附属中学高一上学期期中检测卷B 数学试卷（考试时间120分钟 满分150分）考生注意：1.带2B 铅笔、黑色签字笔、卡西欧计算器、考试中途不得传借文具.2.考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分.3.请将答案写在答题纸上，保持字迹清晰，作答在试卷上一律不评分.一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分）1. (){}(){},|5,R ,,|1,R A x y y kx x B x y y kx x ==+∈==+∈，则A B = _______【答案】∅【解析】【分析】根据一次函数函数值的图象性质，确定集合的交集即可.【详解】对于函数5y kx =+与函数1y kx =+k 相同，则函数图象表示的直线平行且不重合，所以两个图象没有交集；故A B =∅ .故答案为：∅.2. 若实数x ，y 均在[-2，1]的区间内，则xy 的取值范围为_______.【答案】[]2,4-【解析】【分析】根据x y 、的符号分类讨论，再利用不等式的性质求范围.【详解】由题意得21x -≤≤，21y -≤≤；当01x <≤，01y <≤时，01xy <≤；当20x -≤<，20y -≤<时，02x <-≤，02y <-≤，此时04xy <≤；当01x <≤，20y -≤<时，02y <-≤，所以02xy <-≤，即20xy -≤<；当20x -≤<，01y <≤时，02x <-≤，所以02xy <-≤，即20xy -≤<；当0x =或0y =时，0xy =；综上所述：24xy -≤≤的故答案为：[]2,4-3. 甲、 乙两人同时解关于x 的方程：2log log 20x x b c ++=.甲写错了常数b ，得两根为14及18；乙写错了常数c ，得两根12及64，则这个方程的真正的根为___________【答案】4或8【解析】【分析】利用对数方程的解法进行分析即可求解.【详解】原方程可变形为：222log log 0,x b x c ++= 甲写错了b ，得到根为14及18，()()2211log log 23648c ∴=⨯=-⨯-=；又 乙写错了常数c ，得到根为12及64，221log log 6452b ⎛⎫∴=-+=- ⎪⎝⎭；∴原方程为222log 5log 60x x -+=，即()()22log 2log 30x x --=，2log 2x ∴=或2log 3x =，4x ∴=或8.故答案为：4或8.4. 已知实数m 为常数，对于幂函数()()21m f x m m x =--，甲说：f (x )是奇函数；乙说：f (x )在()0,∞+上单调递增；丙说：f (x )的定义域是R ，甲、乙、丙三人关于幂函数f (x )的论述只有一人是错误的，则m 的取值集合为________.【答案】{}2【解析】【分析】利用幂函数的定义可求得m 的值，根据m 的值分类讨论即可.【详解】由()()21m f x m m x =--是幂函数，得211m m --=，解得1m =-或2m =；当1m =-时，()11f x x x-==，此时函数()f x 是奇函数，在()0,∞+单调递减，定义域为()(),00,-∞+∞ ，此时乙和丙论述是错误的，甲的论述是正确的，故1m =-不符合题意；当2m =时，()2f x x =，此时函数()f x 是偶函数，在()0,∞+单调递增，定义域为R ，的此时乙和丙的论述是正确的，甲的论述是错误的，故2m =符合题意；综上所述，m 的取值集合为{}2，故答案为：{}25. 若对任意正实数a ，b ；不等式2214a b ab k +≥恒成立，则实数k 的取值范围为______.【答案】()1,0,4⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】变形得14a b k b a ≤+，利用基本不等式求4a b b a+的最小值，进而解决恒成立问题.【详解】因为0a >，0b >，所以由2214a b ab k +≥，得41a b b a k +≥，即14a b k b a ≤+恒成立；由基本不等式得44a b b a +≥=，当且仅当4a b b a =，即2a b =时，等号成立；因此4a b b a +的最小值为4，则14k ≤，解得0k <或14k ≥；故答案为：()1,0,4⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭6. 已知正实数a ，b ；若141a b+=，则1114a b +--的最小值为________.【答案】1【解析】分析】由141a b+=得4b a ab +=，则41a a b -=，4b b a -=，代入1114a b +--后利用基本不等式求最小值即可.【详解】由141a b +=，得4b a ab +=，则()41a b a =-，即41a a b -=，同理可得4b b a -=；因此，由基本不等式可得111144b a a b a b +=+≥=--，当且仅当4b a a b=，即3,6a b ==时，等号成立；故答案为：17. 若函数21,0()1,0x mx x f x x m x x ⎧++≤⎪=⎨++>⎪⎩的最小值为(0)f ，则实数m 的取值范围为________.【【答案】[]1,0-【解析】【分析】根据分段函数解析式由二次函数单调性以及基本不等式求得两部分取得最小值的表达式，解不等式即可得出结果.【详解】当0x ≤时，()21f x x mx =++关于2m x =-对称，若最小值为(0)f ，可知02m -≥，即可得0m ≤；又当0x >时，()12f x x m m m x =++≥+=+，当且仅当1x =时等号成立；若最小值为(0)f 可得(0)2f m ≤+，即12m ≤+，解得1m ≥-；综上可知，实数m 的取值范围为[]1,0-.故答案为：[]1,0-8. 已知函数b y x=-在()0,∞+上都是严格减函数，则对于()1b f x x b =+-，f (1)___0.（选填“＞”或“＜”或“＝”或“≥”或“≤”）【答案】<【解析】【分析】由函数b y x=-的单调性得实数b 的取值范围，进而判断()1f 的符号.【详解】由函数b y x =-在()0,∞+上都是严格减函数，得0b ->，即0b <；对于函数()1b f x x b =+-，有()1110bf b b =+-=<，故答案为：<9. 设a 为实数，函数()(),02,01g x x f x a x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪+⎩是奇函数，则()g x =__．【答案】221x ---【解析】【分析】根据()00f =可求a ，再由0x >时()()g x f x =--可求解.【详解】因为()f x 是奇函数，所以()020f a =+=，所以2a =-.当0x >时，220,()()2211x g x f x x x -⎛⎫-<=--=-+=--⎪-+-⎝⎭．故答案为:221x ---.10. 下列关于不等式的命题是假命题的序号为______.（1）若110a b<<，则0a b +<，2ab b <；（2）用反证法证明a =0或b =0时可假设ab ≠0；（3）若a ，b 为正数，则3322a b a b ab +>+；（4）设,R x y ∈，若426x x y y +-++-≤，则xy 的取值范围为[]0,6.【答案】（3）（4）【解析】【分析】利用不等式的性质和作差法可判断（1）和（3）；通过逻辑推理可判断（2）；利用特殊值法可判断（4）.【详解】对于（1），由110a b<<得0b a <<，则0a b +<成立且0ab >，故()20b ab b b a -=->，即2ab b <成立，因此（1）为真命题；对于（2），当0ab ≠不成立时，有0ab =成立，即0a =或0b =，故（2）为真命题；对于（3），()()()332222a b a b ab a a b b b a +-+=-+-()()()()222a b a b a b a b =--=-+，显然，当a b =时，3322a b a b ab +>+不成立，故（3）为假命题；对于（4），假设4x =，2y =，此时426x x y y +-++-=，满足426x x y y +-++-≤，8xy =不满足[]0,6xy ∈，故（4）为假命题；故答案为：（3）（4）11. 若方程20ax bx c ++=有唯一的实数根2，则不等式20ax bx c ++≥的解集为______.【答案】{}2或R 或(],2-∞或[)2,+∞【解析】【分析】首先根据方程的类型分类讨论，再根据一次函数和二次函数的图象求解即可.【详解】①0a =时，由题意知方程0bx c +=有唯一的实数根2，此时0b ≠，且20b c +=，得不等式20bx b -≥，即()20b x -≥，则当0b >时，2x ≥；当0b <时，2x ≤.②当0a ≠时，由题意知方程20ax bx c ++=有唯一的实数根2，即二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴只有一个交点(2,0)，当0a >时，不等式20ax bx c ++≥的解集为R ，当0a <时，不等式20ax bx c ++≥的解集为{}2，综上所述，不等式20ax bx c ++≥的解集为{}2或R 或(],2-∞或[)2,+∞；故答案为：{}2或R 或(],2-∞或[)2,+∞12. 若两个函数()y f x =和()y g x =对任意[,]x a b ∈都有|()()|1f x g x -≤，则称函数()y f x =和()y g x =在[],a b 上是“密切”的，已知常数1m >，若函数()1()3x x F x m m -=-与2()3x G x m =在[]1,2上是“密切”的；则m 的取值范围为_____.【答案】【解析】【分析】由函数“密切”的定义结合对勾函数的单调性求解即可.【详解】因为()1()3x x F x m m -=-与2()3x G x m =在[1,2]上是“密切”的，所以()12133x x x m m m ---≤在[1,2]上恒成立，即13x x m m+≤在[1,2]上恒成立；因为1m >，[1,2]x ∈，所以由指数函数的单调性得2,x m m m ⎡⎤∈⎣⎦，2111,x m m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以13x x m m+≤在[1,2]上恒成立；根据对勾函数的性质可得，函数1x x y m m=+在[)1,x m ∈+∞上单调递增，又因为2,x m m m ⎡⎤∈⎣⎦，且1m >，所以函数1x x y m m=+在2,m m ⎡⎤⎣⎦上单调递增；所以当2x m m =时，函数1x x y m m =+取最大值，最大值为221m m +，所以2213m m+≤，即42310m m -+≤，所以223524m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，解得232m ≤-≤2m ≤≤，所以222m ≤≤m ≤≤；故答案为：二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分）13. 命题m ：两个幂函数有三个公共点，命题n ：两个幂函数相同，则命题m 是命题n 的（ ）A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既不充分也非必要【答案】B【解析】【分析】利用常见的幂函数3y x =和y x =可说明不充分，再说明必要性即可.【详解】若两个幂函数相同，则它们的图像完全重合，有无数个公共点，自然也满足有三个公共点（这是一种特殊情况包含在其中），所以n m ⇒；反之，若两个幂函数有三个公共点，例如3y x =和y x =，它们有三个公共点(0,0)，(1,1)，(1,1)--，但这两个幂函数并不相同，所以m n ¿.综上所述，命题m 是命题n 的必要不充分条件.故选：B14. 函数2y ax bx =+与函数()0ay x b a =+≠在同一平面直角坐标系中的图像可能为（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过二次函数的大致图像确定对应参数的取值范围，再由指数型函数图像得到对应参数的取值范围，对吧对应参数的取值范围是否相同.【详解】A 选项，由二次函数图像可知：0,0a b <<，由指数型函数图像可知：0,0a b ，A 选项错误；B 选项，由二次函数图像可知：0,0a b <>，由指数型函数图像可知：0,0a b <=，B 选项错误；C 选项，由二次函数图像可知：0,0a b <>，由指数型函数图像可知：0,0a b ，C 选项正确；D 选项，由二次函数图像可知：0,0a b <>，由指数型函数图像可知：0,0a b <<，D 选项错误；故选：C.15. 函数222()1x xf x x --=-的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性和特殊点的函数值对选项惊喜排除，由此确定正确选项.【详解】由210x -≠得()f x 的定义域为{}|1x x ≠±，因为222222()()()11x x x xf x f x x x -----==-=----，所以函数()f x 为奇函数，排除A ，D ；由题易知，图中两条虚线的方程为1x =±，则当2x =时，5(2)04f =>，排除C ，所以B 选项符合.故选：B 【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，属于基础题.16. 德国著名数学家狄利克雷（高斯的学生）在数学领域成就显著，著名的狄利克雷函数定义域在R 上的解析式可表示为：()1,Q 0,Qx f x x ∈⎧=⎨∉⎩，下列关于狄利克雷函数说法正确的序号为（ ）①狄利克雷为偶函数；②狄利克雷为奇函数；③狄利克雷函数值域为[]0,1；④对于任意R x ∈，均有()()1f f x -=.⑤狄利克雷函数的图像可以通过列表描点法画出.⑥在狄利克雷函数上不存在可以构成等边三角形的三点.A. ①③④⑥B. ②③⑤C. ①④D. ①④⑥【答案】C【解析】【分析】利用函数的奇偶性的定义可判断①②；求得值域判断③；分类计算可判断④；根据狄利克雷函数特点可判断⑤；取特殊点可判断⑥.【详解】由于()1,Q 0,Q x f x x ∈⎧=⎨∉⎩，设任意Q x ∈，则x -∈Q ，()1()f x f x -==；设任意x ∉Q ，则x -∉Q ，()0()f x f x -==；总之，对于任意实数，()()f x f x -=恒成立，所以狄利克雷函数为偶函数；故①正确，②错误；函数()1,Q 0,Qx f x x ∈⎧=⎨∉⎩的值域为{0,1}，故③错误；当Q x ∈时，x -∈Q ，可得(())(1)1f f x f -==，当x ∉Q 时，x -∉Q ，(())(0)1f f x f -==，所以对于任意R x ∈，均有(())1f f x -=，故④正确；因为在两个有理数之间有无数个无理数，在两个无理数之间有无数个有理数，故狄利克雷函数的图像不可以通过列表描点法画出，故⑤错误；取()0,1,,A B C ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭，此时ABC V 为等边三角形，故⑥错误.故选：C三.解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分）17. 对数的运算大大增加了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命.（1）设log a c 、log b c 是关于x 的方程2310x x -+=的两个实数根，求：log ab c 的值；（2）已知221x y +=，且,0x y >，若()log 1a x m +=，1log 1a n x=-，求：log a y 的值.【答案】（1）13 （2）2m n-【解析】【分析】（1）根据韦达定理列出关于log a c 和log b c 的方程，然后利用换底公式进行化简，代入计算即可；（2）将对数式转化为指数式，利用指数运算和对数运算的性质求值即可.【小问1详解】因为log a c 、log b c 是关于x 的方程2310x x -+=的两个实数根，所以由韦达定理得log log 3log log 1a b ab c c c c +=⎧⎨⋅=⎩，由log log 1a b c c ⋅=得11log log c c a b=⋅，则log log 1c c a b ⋅=；由log log 3a b c c +=得113log log c c a b +=，所以log log log log 3log log c c c c c c a b a b a b⋅⋅+=，即log log 3c c a b +=，则111log log log log 3ab c c c c ab a b ===+.【小问2详解】由()log 1a x m +=，得1m a x =+，由1log 1an x =-，得11n a x =-，则1n a x -=-；所以()()22111m n a a x x x y -⋅=+-=-=，即2m n y a -=，故211log log log 222m n a a a m n y y a --===.18. 对于对数函数性质的证明和探究，是研究该函数的必要途径：（1）已知函数()2lg 4y ax ax =-+的值域为R ，求：实数a 的取值范围；（2）求证：对于对数函数()log a f x x =，()log b g x x =，若b a >且a ，b 同时是(0,1)或(1,)+∞中的元素，则必有函数()f x 在(1,0)左侧低于()g x ，在(1,0)右侧高于()g x .【答案】（1）[)16,+∞（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意知()0,∞+函数()24g x ax ax =-+的值域的子集，利用二次函数的性质列不等式，求解即可；（2）利用作差法比较()(),f x g x 的大小，即可证明两个函数图像的位置关系，过程中利用了对数运算的性质和换底公式.【小问1详解】令()24g x ax ax =-+，由函数()2lg 4y ax ax =-+的值域为R ，得()(){}0,y y g x ∞+⊆=；当0a =时，()4g x =，不符合题意；当0a ≠时，由二次函数的性质得20Δ160a a a >⎧⎨=-≥⎩，解得16a ≥，则实数a 的取值范围是[)16,+∞.【小问2详解】由题意，()()log log a b f x g x x x -=-()lg lg 11lg lg lg lg lg x x x a b a b ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()lg lg b x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为0b a >>，所以1b a >，则lg 0b a>；①当01a b <<<时，在区间()0,1x ∈上lg 0x <，则()lg lg 0b x a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()()f x g x <，区间()1,x ∈+∞上lg 0x >，则()lg lg 0b x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()()f x g x >，故函数()f x 在点(1,0)左侧低于()g x ，在点(1,0)右侧高于()g x 成立；②当1a b <<时，在区间()0,1x ∈上lg 0x <，则()lg lg 0b x a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()()f x g x <，()1,x ∈+∞上lg 0x >，则()lg lg 0b x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()()f x g x >，故函数()f x 在点(1,0)左侧低于()g x ，在点(1,0)右侧高于()g x 成立；综上所述，对于对数函数()log a f x x =，()log b g x x =，若b a >且a ，b 同时是(0,1)或(1,)+∞中的元素，在则必有函数()f x 在(1,0)左侧低于()g x ，在(1,0)右侧高于()g x .19. 已知关于x 的不等式(kx －k 2－4)(x －4)＞0，其中k ∈R.（1）当k 变化时，试求不等式的解集A ；（2）对于不等式的解集A ，若满足A ∩Z ＝B (其中Z 为整数集)．试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由．【答案】（1）答案见解析（2）能；2k =-，B ＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}【解析】【分析】（1）对k 进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法求得不等式的解集A .（2）结合（1）的结论进行分类讨论，结合基本不等式求得和正确答案.【小问1详解】当k ＝0时，A ＝{x |x <4}；当k >0且k ≠2时，A ＝{x |x <4或4x k k >+}；当k ＝2时，A ＝{x |x ≠4}；当k <0时，A ＝{x |4k k+<x <4}．【小问2详解】由（1）知：当k ≥0时，集合B 中的元素的个数有无限个；当k <0时，集合B 中的元素的个数有限，此时集合B 为有限集．因为4k k+＝－[(－k )＋()4k -]≤－4，当且仅当k ＝－2时取等号，所以当k ＝－2时，集合B 中的元素个数最少，此时A ＝{x |－4<x <4}，故集合B ＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}．20. 某服装设计公司打算在2023年度建设某童装生产线，建设该生产线投入成本为300万元，若该生产线每年均可产出x 万套童装，还需要投入物料，人工成本等合计y （万元），通过市场统计调查得出：当0＜x ≤20时，y =x 2+40x -100；当x ＞20时，y =81x +1600x-600，生产的每件童装都可以以80元的价格售出.（1）设2024年该童装生产线的利润为W （2024年利润=总收入-生产线的成本-物料及人工等成本合计），求：W 的函数解析式及其定义域；（2）请问2025年生产多少万套童装时，使得生产线利润最大，最大利润为多少？【答案】（1）W =―x 2+40x ―200,0<x ≤20―x ―1600x+300,x >20，定义域为(0,+∞)（2）40万套， 520万元【解析】【分析】（1）根据80300W x y =--分段代入计算即可；（2）利用二次函数的性质和基本不等式分段求最值，再进一步比较即可.【小问1详解】当020x <≤时，()28040100300W x x x =-+--240200x x =-+-；当20x >时，16008081600300W x x x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭1600300x x =--+；所以W =―x 2+40x ―200,0<x ≤20―x ―1600x+300,x >20，且定义域为(0,+∞).【小问2详解】当020x <≤时，生产线利润240100P x x =-++，易知二次函数开口向下，对称轴20x =，所以当20x =时，W 有最大，最大值为500；当20x >时，16001600600600P x x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭600520≤-+=，当且仅当1600x x=，即40x =时，等号成立，此时W 的最大值为520；综上所述，2025年生产40万套童装时，使得生产线利润最大，最大利润为520万元21. 设()()()()()00g x x f x h x x ⎧≥⎪=⎨⎪⎩＜，则称()()()()()00h x x F x g x x ⎧≥⎪=⎨⎪⎩＜为()f x 的“域反函数”.（1）若()()()()121020m x x f x m x x ⎧⎪+≥=⎨+⎪⎩（）＜，若()()2m h x m x =+是幂函数，求：()f x 的“域反函数”的定义域与值域；（2）若()22,0,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，试判断()f x 的“域反函数”()F x 的奇偶性，并据此猜想出一条普适结论（无需证明）；（3）是否存在整数a 使得()bf x ax c =+ (其中a ，c 为常数，b 为素数)的“域反函数”在R 上为偶函数，且满足()()21104f x f ax f ⎛⎫+<< ⎪⎝⎭恒成立，若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）定义域为[)()1,00,-+∞ ，值域为[)0,+∞（2）函数()F x 为奇函数，猜想：()f x 为奇函数的充要条件是其“域反函数”()F x 为奇函数，()f x 为偶函数的充要条件是其“域反函数”()F x 为偶函数.（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）根据函数()x 是幂函数可得实数m 的值，根据域反函数的定义以及常见幂函数的定义域和值域可求函数()F x 的定义域和值域；（2）根据函数奇偶性的定义判断，再据此给出猜想即可；（3）根据（2）可得函数()f x 为偶函数，则()2f x ax c =+，利用二次函数的图象与性质列不等式，解得10a -<<，进而判断.【小问1详解】由函数()()2mh x m x =+是幂函数，得21+=m ，解得1m =-，则()11h x x x-==，因此函数()()1211,0,0x x f x x x -⎧⎪+≥=⎨<⎪⎩，由域反函数的定义得：当0x ≥时，()1F x x -=，此时自变量x 应满足0x >；当0x <时，()()121F x x =+，此时自变量x 应满足10x +≥，解得1x ≥-；综上，()f x 的域反函数()F x 的定义域为[)()1,00,∞-⋃+，且()()112,01,10x x F x x x -⎧>⎪=⎨+-≤<⎪⎩，当0x ≥时，由幂函数1y x -=的性质可知0y >；当10x -≤<时，幂函数()121y x =+单调递增，则01y ≤<；因此函数F (x )的值域为[)0,∞+，即函数()f x 的域反函数的值域为[)0,∞+.【小问2详解】由()22,0,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，得()()1f x x x x x x =+=+，根据定义得()22,0,0x x x F x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩，化简得()()1f x x x =-，故函数()F x 的定义域为R ，又()()()1F x x x F x -=--=-，则函数F (x )为奇函数；又函数()f x 的定义域为R ，且()()()1f x x x f x -=-+=-，则函数()f x 为奇函数；猜想：()f x 为奇函数的充要条件是其“域反函数”F (x )为奇函数，()f x 为偶函数的充要条件是其“域反函数”F (x )为偶函数.证明如下：若()f x 是奇函数，所以当0x <时，有f (―x )=―f (x )，即()()h x g x =--.同理，当0x ≥时，有f (―x )=―f (x )，即()()g x h x -=-.当0x >时，0x -<，所以()()()()F x g x h x F x -=-=-=-；当0x <时，0x ->，所以()()()()F x h x g x F x -=-=-=-；当0x =时，由于()f x 是奇函数，所以()00f =，那么()()()0000F g h ===，也满足()()F x F x -=-，所以对于所有在其定义域内的x ，都有()()F x F x -=-，所以F (x )是奇函数.类似地，可证明当F (x )是奇函数时，()f x 是奇函数，所以()f x 为奇函数的充要条件是其“域反函数”F (x )为奇函数，同理可证：()f x 为偶函数充要条件是其“域反函数”F (x )为偶函数.【小问3详解】不存在整数a 满足题意，理由如下：由（2）可知()f x 是偶函数，又b 为素数，则2b =，故()2f x ax c =+，又由()()21104f x f ax f ⎛⎫+<< ⎪⎝⎭恒成立，得20114a ax x <⎧⎪⎨<+⎪⎩，解得10a -<<，故不存在整数a 满足条件.的。
22【Ks5u首发】重庆复旦中学2014-2015学年高二上学期期中考试 数学理 Word版含答案
2014-2015学年重庆复旦中学高二上学期期中考试数学理一、选择题（共10小题；共50分）1. 如果，，那么直线不通过 ( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 在棱长为的正方体中，是底面的中心，，分别是，的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于 ( )A. B. C. D.3. 木星的体积约是地球体积的倍，则它的表面积约是地球表面积的 ( )A. 倍B. 倍C. 倍D. 倍4. 在正方体中与成角的面对角线的条数是 ( )A. B. C. D.5. 有一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )A. B. C. D.6. 直线，，若，则的值为 ( )A. B. C. 或 D. 或7. ，，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 ( )A. ，B. ，C. ，，共面D. ，，共点，，共面8. 如图，在正四棱锥中，，，分别是，，的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论中恒成立的个数为 ( )①；②；③面；④面．A. 个B. 个C. 个D. 个9. 直线和（）与轴围成的三角形的面积的最小值为 ( )A. B. C. D.10. 点，，，在同一球面上，，，若四面体的体积的最大值为，则这个球的表面积为 ( )A. B. C. D.二、填空题（共5小题；共25分）11. 已知直线，为使这条直线经过第一、三、四象限，则实数的取值范围是．12. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的底面积是．13. 直线直线交于一点，则经过，两点的直线方程为．14. 已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则三角形面积的最小值为．15. 如图，二面角的大小是，线段．，与所成的角为．则与平面所成的角的正弦值是．三、解答题（共6小题；共78分）16. 如图，三棱锥中，，，，，分别为，，的中点，（1）求证：平面；（2）求证：平面．17. 如图，在四面体中，，，点，分别是，的中点．求证：（1）直线面；（2）平面面．18. 已知三角形的顶点是，，，（1）求直线的方程；（2）求的面积；（3）若过点直线与线段相交，求直线的斜率的范围．19. 已知点，，，，点在线段的垂直平分线上，求：（1）线段垂直平分线方程；（2）取得最小值时点的坐标．20. 如图：一个圆锥的底面半径为，高为，在其中有一个半径为的内接圆柱．（1）试用表示圆柱的体积；（2）当为何值时，圆柱的侧面积最大，最大值是多少．21. 已知正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为中点．（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值．答案第一部分1. A2. B 【解析】取中点，连接，，，四边形为平行四边形，则与所成的角等于，在中，，，，利用余弦定理有．3. C4. C5. B【解析】由三视图可得该几何体是一长方体截去一个三棱锥后所得的几何体，所以该几何体的体积．6. A7. B8. B 【解析】因为四棱锥为正四棱锥，所以，记的中点为，则，所以面，；因为，，分别是，，的中点，所以，所以面面，则面；所以命题①③正确．因为与平面不垂直，所以④错．可能与异面，所以②错．9. B 【解析】直线与轴交点为，与轴交点为，直线与的交点为，当且仅当时，等号成立．10. C【解析】当四面体的体积最大时，则过点的直径垂直于平面，因为，所以到面的距离为，设球的半径为，则，解得，所以这个球的表面积．第二部分11.12.13.14.【解析】设直线为，则．因为，，所以，所以三角形面积的最小值为，此时，．15.【解析】过点做垂足为，过做交于点，连接，则，，与平面所成的角为，设，则，，，所以．第三部分16. （1），分别为，的中点，，又平面，平面，平面．（2），，为的中点，，，又，面，又，分别为，的中点，平面．17. （1），分别是，的中点．是的中位线，，面，面，直线面．（2），，，，是的中点，，又，面，面，面面．18. （1）依题意，作图如下：由两点式得直线方程为，整理得．（2）直线方程为，，又，．（3），，要使过点的直线与线段相交，则或．19. （1）由，，得线段的中点，，线段的垂直平分线的斜率为，线段的垂直平分线方程为，即．（2）设，则当时，取得最小值，即．20. （1）圆锥的底面半径为，高为，内接圆柱的底面半径为时，它的上底面截圆锥得小圆锥的高为．因此，内接圆柱的高．圆柱的体积（）．（2）由（1）得，圆柱的侧面积为侧（）．令，当时．可得当时，侧当圆柱的底面半径为时，圆柱的侧面积最大，侧面积有最大值为．21. （1）如图所示，连接交于，连接，四边形是平行四边形，．又．，而平面，平面，平面．（2）由（1）知或其补角为异面直线与所成的角，在中，，，．，所以异面直线与所成角的余弦值为．。
重庆市重庆一中2014-2015学年高一上学期第一次考试—数学试题
2014年重庆一中高2017级高一上期定时练习数 学 试 题 卷2014.10一.选择题.(每小题5分,共50分)1、设函数()21f x x =+，则((1))f f = （ ）A. 3B. 5C. 7D. 9 2、不等式(1)2(1)x x x -<-的解集为（ ）A. (2,)+∞B. (,2)-∞C. (2,)(,1)+∞-∞ D. (1,2)3、函数()f x =的定义域为 （ ） A. [1,)+∞ B. (,1)-∞ C. [0,1] D. [0,1)4、设x R ∈，则“1x >1>”的（ ）条件.A. 充分不必要B. 必要不充分C.充要条件D. 极不充分也不必要5、函数()f x =）A. [2,)+∞B. [0,2]C.[1,)+∞D. [1,2]6、设集合{|04}P x x =≤≤，{|02}P y y =≤≤，下列对应表示从P 到Q 的映射的是（ ） A. 2:f x y x →= B. :2f x y x →=- C. 2:3f x y x →= D. :14xf x y →=+ 7、若()1axf x x =-在(1,)+∞上单调递增，则常数a 的取值范围为（ ） A. (0,)+∞ B. (,0)-∞ C.(0,1) D. (1,0)-8、设函数()f x x =+，则不等式(21)(33)f x f x +≥-的解集为（ ）A. [0,4]B. [1,4]C.[4,)+∞D. (,4]-∞ 9、设M ,P 为实数集R 的子集，且()R MC P MP =，则下列关系一定成立的是（ ）A. M P ⊆B. P M ⊆C.MP ≠∅ D. M P =∅10、函数:(0,)(0,)f +∞→+∞，且()f x 为单调函数，对任意正实数x 均满足关系11(())()f f x x f x +=，则1()2f =（ ）A. 1+132 D. 52二.填空题(每小题5分,共25分)11、设集合2{|0}A x x x m =-+=，若2A ∈，则常数m = 12、若函数2()1x af x x +=+为定义在R 上的奇函数，则常数a = 13、设函数(1)y f x =+的定义域为[1,2]，则函数(2)y f x =+的定义域为14、设函数()f x 满足f =3()2f =15、（原创）设a R ∈，且集合{|21}x a x a <<-中恰好有三个整数，则这三个整数之和的最小值为三.解答题（16-18每题13分，19-21每题12分，共75分）16、已知集合{1,2,3,4}A =，集合{0,2,4}B = （1）设集合C AB =，写出集合C 的所有真子集；（2）设全集{|12111,},U x x x Z =≤+≤∈用列举法表示集合()u C A B 。
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1 2014-2015学年重庆市复旦中学高一（上）期中数学试卷 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知集合M={0，1}，N={1，2}，则M∪N=（ ） A．{0，1} B．{0，2} C．{0，1，2} D．不能确定 2．（5分）函数f（x）=lg（3x+1）的定义域是（ ） A．（﹣，1） B．（﹣，+∞） C．（﹣，） D．（﹣∞，﹣） 3．（5分）函数f（x）=log2|x|的图象（ ） A．关于直线y=﹣x对称 B．关于原点对称 C．关于y轴对称 D．关于直线y=x对称 4．（5分）函数y=（）x（x≥8）的值域是（ ）
A．R B．（0，] C．（﹣∞，] D．[，+∞） 5．（5分）若a=0.32，b=log20.3，c=20.3，则a，b，c的大小关系是（ ） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c 6．（5分）函数f（x）=x﹣3+log3x的零点所在的区间是（ ） A．（0，1） B．（1，3） C．（﹣∞，0） D．（3，+∞）
7．（5分）已知函数，则的值是（ ） A．﹣1 B．3 C． D． 8．（5分）如果设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（2）=0，则不等式＜0的解集为（ ） A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，0）∪（0，2）
9．（5分）已知f（x）=3﹣2|x|，g（x）=x2﹣2x，F（x）=，则F（x）的最值是（ ） A．最大值为3，最小值﹣1 B．最大值为，无最小值 C．最大值为3，无最小值 D．既无最大值，也无最小值 2
10．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+3）=﹣f（x），f（1）=﹣2，则f（2014）=（ ） A．0.5 B．0 C．2 D．﹣1
二、填空题（每小题5分，共25分） 11．（5分）若幂函数f（x）的图象过点（2，4），则f（9）= ． 12．（5分）函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，则点A坐标为 ． 13．（5分）若函数f（x）=kx2+（k﹣1）x+2是偶函数，则f（x）的递减区间是 ．
14．（5分）已知函数，则f（2+log23）的值为 ． 15．（5分）已知函数f（x）=loga（ax2﹣x+3），（a＜1）在[2，4]上是增函数，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题（共75分，本大题共6小题，解答时写出必要的文字说明，证明过程或解题步骤．） 16．（13分）已知R为全集，A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|﹣2＜x≤3}，求A∩B；（∁
RA）∪B． 17．（13分）计算：
（1）（×）6+﹣（﹣2014）0 （2）log2+log212﹣log242+． 18．（13分）已知集合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}，集合B={x|6x2﹣5x+1≥0}，集合
（1）求A∩B； （2）若A∪C=C，求实数m的取值范围．
19．（12分）已知函数．
（Ⅰ） 求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ） 求函数f（x）的值域． 20．（12分）设函数y=f（x）是定义域在R，并且满足f（x+y）=f（x）+f（y），f 3
（）=1，且当x＞0时，f（x）＜0． （1）求f（0）的值； （2）判断函数的奇偶性； （3）如果f（x）+f（2+x）＜2，求x的取值范围． 21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣4x+a+3，g（x）=mx+5﹣2m （1）当a=﹣3，m=0时，求方程f（x）﹣g（x）=0的解； （2）若方程f（x）=0在[﹣1，1]上有实数根，求实数a的取值范围； （3）当a=0时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围． 4
2014-2015学年重庆市复旦中学高一（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知集合M={0，1}，N={1，2}，则M∪N=（ ） A．{0，1} B．{0，2} C．{0，1，2} D．不能确定 【解答】解：∵M={0，1}，N={1，2}， ∴M∪N={0，1，2} 故选：C．
2．（5分）函数f（x）=lg（3x+1）的定义域是（ ） A．（﹣，1） B．（﹣，+∞） C．（﹣，） D．（﹣∞，﹣）
【解答】解：由3x+1＞0，得x＞﹣， ∴函数f（x）=lg（3x+1）的定义域是（﹣，+∞）． 故选：B．
3．（5分）函数f（x）=log2|x|的图象（ ） A．关于直线y=﹣x对称 B．关于原点对称 C．关于y轴对称 D．关于直线y=x对称 【解答】解：∵函数f（x）=log2|x|， ∴f（﹣x）=f（x）， ∴函数f（x）=log2|x|为偶函数， ∴函数f（x）=log2|x|的图象关于y轴对称， 故选：C．
4．（5分）函数y=（）x（x≥8）的值域是（ ） A．R B．（0，] C．（﹣∞，] D．[，+∞） 5
【解答】解：根据指数函数的图象与性质，得； 函数y=（）x是定义域R上的减函数， ∴当x≥8时，0＜y≤； 又∵=， ∴y的值域是（0，]． 故选：B．
5．（5分）若a=0.32，b=log20.3，c=20.3，则a，b，c的大小关系是（ ） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c 【解答】解：∵0＜a=0.32＜0.30=1， b=log20.3＜log21=0， c=20.3＞20=1， ∴b＜a＜c， 故选：D．
6．（5分）函数f（x）=x﹣3+log3x的零点所在的区间是（ ） A．（0，1） B．（1，3） C．（﹣∞，0） D．（3，+∞） 【解答】解：x＞0，∴f′（x）=1+＞0； ∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增； A．x∈（0，1）时，f（x）＜f（1）=﹣2＜0，即f（x）在（0，1）上没有零点； B．f（1）=﹣2＜0，f（3）=1＞0，∴f（x）在（1，3）内有零点； C．f（x）在（﹣∞，0）没定义，所以不存在零点； D．x＞3时，f（x）＞f（3）=1＞0，即f（x）在（3，+∞）上没有零点． 故选：B．
7．（5分）已知函数，则的值是（ ） A．﹣1 B．3 C． D． 6
【解答】解：由题意可得，f（）==﹣1 ∴f（f（））=f（﹣1）=3﹣1= 故选：C．
8．（5分）如果设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（2）=0，则不等式＜0的解集为（ ） A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，0）∪（0，2） 【解答】解：由函数f（x）为奇函数，可得不等式即 ，即 x和f（x）异号， 故有 ，或 ． 再由f（2）=0，可得f（﹣2）=0， 由函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，可得函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数， 结合函数f（x）的单调性示意图可得，﹣2＜x＜0，或 0＜x＜2， 故选：D．
9．（5分）已知f（x）=3﹣2|x|，g（x）=x2﹣2x，F（x）=，则F（x）的最值是（ ） A．最大值为3，最小值﹣1 B．最大值为，无最小值 7
C．最大值为3，无最小值 D．既无最大值，也无最小值 【解答】解：f（x）=3﹣2|x|= ①当x≥0时，解f（x）≥g（x），得3﹣2x≥x2﹣2x⇒0≤x≤； 解f（x）＜g（x），得3﹣2x＜x2﹣2x⇒x＞． ②当x＜0，解f（x）≥g（x），得3+2x≥x2﹣2x⇒2﹣≤x＜0； 解f（x）＜g（x），得3+2x＜x2﹣2x⇒x＜2﹣；
综上所述，得 分三种情况讨论： ①当x＜2﹣时，函数为y=3+2x，在区间（﹣∞，2﹣）是单调增函数，故F（x）＜F（2﹣）=7﹣2； ②当2﹣≤x≤时，函数为y=x2﹣2x，在（2﹣，1）是单调递减函数，在（1，）是单调递增函数， 故﹣1≤F（x）≤2﹣ ③当x＞时，函数为y=3﹣2x，在区间（，+∞）是单调减函数，故F（x）＜F（）=3﹣2＜0； ∴函数F（x）的值域为（﹣∞，7﹣2]，可得函数F（x）最大值为F（2﹣）=7﹣2，没有最小值． 故选：B．
10．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+3）=﹣f（x），f（1）=﹣2，则f（2014）=（ ） A．0.5 B．0 C．2 D．﹣1 【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数 ∴f（﹣0）=﹣f（0）⇒f（0）=0． 由 f（x+3）=﹣f（x），可得：f（x+6）=﹣f（x+3）=f（x）， ∴f（x）是周期为6的周期函数， ∴f（2014）=f（6×336﹣2）=f（﹣2）=﹣f（﹣2+3）=﹣f（1）=2． 故选：C．