第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例
平面向量的数量积与平面向量应用举例_图文_图文
三、向量数量积的性质
1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a. 2．a⊥b⇔ a·b＝0 .
|a|2
4．cos θ＝
.(θ为a与b的夹角)
5．|a·b| ≤ |a||b|.
四、数量积的运算律
1．交换律：a·b＝ b·a . 2．分配律：(a＋b)·c＝ a·c＋b·c . 3．对λ∈R，λ(a·b)＝ (λa)·b＝ a·(λb．) 五、数量积的坐标运算
∴a与c的夹角为90°. (2)∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1. 又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0， 即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0. ∴k－1＋ka·b－a·b＝0. 即k－1＋kcos θ－cos θ＝0(θ为a与b的夹角)． ∴(k－1)(1＋cos θ)＝0.又a与b不共线， ∴cos θ≠－1.∴k＝1. [答案] (1)B (2)1
解析：(1) a＝(x－1,1)，a－b＝(x－1,1)－(－x＋1,3)＝ (2x－2，－2)，故a⊥(a－b)⇔2(x－1)2－2＝0⇔x＝0或2 ，故x＝2是a⊥(a－b)的一个充分不必要条件．
答案: (1)B (2)D
平面向量的模 [答案] B
[答案] D
[典例总结]
利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌 握此类问题的处理方法：
[巩固练习]
2．(1)设向量a＝(x－1,1)，b＝(－x＋1,3)，则a⊥(a－b)
的一个充分不必要条件是
()
A．x＝0或2
B．x＝2
C．x＝1
D．x＝±2
(2)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈R)，
向量d如图所示，则
()
A．存在λ>0，使得向量c与向量d垂直 B．存在λ>0，使得向量c与向量d夹角为60° C．存在λ<0，使得向量c与向量d夹角为30° D．存在λ>0，使得向量c与向量d共线
4-3第三节 平面向量数量积与平面向量应用举例2015年高考总复习)
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第三节
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4．已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30° ，|a|＝2，|b|＝ 3，则向 量 a 和向量 b 的数量积 a· b＝________.
3 解析 a· b＝2× 3× 2 ＝3.
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高考这样考 1.直接利用数量积进行平面向量的运算． 2.利用平面向量的数量积计算两个向量的夹角问题． 3.利用平面向量的数量积解决垂直问题.
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备考这样做 1.理解数量积的意义，掌握求数量积的各种方法． 2.理解数量积的运算性质． 3.利用数量积解决向量的几何问题.
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D 读教材· 抓基础
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【答案】
(1)－25
5 (2) 2
【规律方法】 求两个向量的数量积有三种方法：利用定义； 利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．本题从不同角度 创造性地解题，充分利用了已知条件．
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→ → 方法 2：由图知，无论 E 点在哪个位置，DE在CB方向上的投 影都是 CB＝1，
第三节 平面向量的数量积及应用举例课件
(①3)平面几a，何b中夹＝角|aa|·与|bb|＝线_段__长_x_度21x_＋1_的x_y2＋_计12·_y_算x1_y22_：＋2__y_22 ___； ②|AB|＝|A→B|＝ |A→B|2＝____x4_－__x_3_2_＋___y4_－__y_3_2__.
2．[多选][2021山东滕州一中月考]若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－
c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的值可能为( AB )
A． 2－1
B．1
C． 2
D．2
[解析] 本题考查向量的数量积、向量的模的最大值．因为a，b，c均为单位向 量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，所以a·b－c·(a＋b)＋c2≤0.所以 c·(a＋b)≥1，
理清教材•巩固基础
知识点一 数量积的有关概念
1．平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记
→ OA
＝a，
→ OB
＝b，则∠AOB＝
θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则__|a_|_|b_|_co_s__θ____
4．[2021江西南昌NCS项目模拟]已知平面向量a，b，a＝(2cos α，2sin α)，b＝
(cos β，sin β)，且a·b>0，若对任意的实数λ，|a－λb|的最小值为 3，则此时|a－b|＝
(D ) A．1
B．2
C． 2
第三节 平面向量的数量积及应用举例
[复习要点] 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 3．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关 系． 4．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 5．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
第三节平面向量的数量积及平面向量应用举例
变式训练２ 已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosφ， sinφ)，
且a与b之间满足关系|ka＋b|＝ 3 |a－kb|，其中
k∈R且k＞0. (1)用k表示a·b； (2)求a·b的最小值，并求此时a与b夹角θ的大小．
【解析】
(1) | ka b | 3 | a kb |, | ka b |2 3 | a kb |2 , k 2 a 2 2 ka b b 2 3(a 2 2 ka b k 2b 2 ), 即 a b （3 k 2） a 2 (3k 2 1)b 2 .
| a ||b| 2
又0°≤θ≤180°，所以θ＝60°，即a与b的 夹角为60°.
平面向量的数量积与向量垂直
已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°， k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?
分析 向量垂直的充要条件可得(a＋2b)·(ka－b)＝0， 可得含k的方程组，则问题可解
解
①...3分
直线 l 与椭圆有两个不同的交
点 P 和 Q 等价于
8k 2 4(1 k 2) 4k 2 2 0, 2
解得 k 2 或 k 2 ,
2
2
则 k 的取值范围为（
， 2 ）（ 2 ， ）.. 5 分
2
2
(2)设 P（ x1,y1 ） ,Q (x2,y2), 则 O POQ (x1x2,y1y2),
【解析】
( 2 ), ( 2 ) | |2 2 0, 2 1,
| 2 | 4 | |2 4 | |2
4 2 4 10.
【答案】
10
平面向量的综合应用问题
(12分) 在平面直角坐标系xOy中，经过点
(0，2 )且斜率为k的直线l与椭圆x2 y 2 1 有两
平面向量的数量积及平面向量应用举例课件
4.已知向量a＝(3,2)，b＝(－2,1)，则向量a在b方向上的
投影为
.
解析：∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，
∴|a|cos〈a，b〉＝
答案：
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5.若b＝(1,1)，a·b＝2，(a－b)2＝3，则|a|＝
.
解析：∵(a－b)2＝3， ∴|a|2＋|b|2－2a·b＝3， ∴|a|2＋2－4＝3， ∴|a|2＝5， ∴|a|＝ .
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，
∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，
∴2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0，∴2×5＋3a·b－2× ＝0，
∴a·b＝
∴cosθ＝
＝－1，
∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.
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感谢您的观看。
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a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量
的模为
.
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解析：∵a∥b，∴x＝4，∴b＝(4，－2)，∴a＋b＝(6，－3)， b－c＝(1，－2－y)；∵(a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·(b－c)＝ 0，即6－3(－2－y)＝0，∴y＝－4，故向量
＝(－8,8)， ＝8 . 答案：8
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1.(2009·宁夏、海南高考)已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向
量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为
()
第32页/共43页
解析：a＝(－3,2)，b＝(－1,0). λa＋b＝(－1－3λ，2λ)，a－2b＝(－1,2). ∵λa＋b与aห้องสมุดไป่ตู้2b垂直，∴(λa＋b)·(a－2b)＝0， ∴(－1－3λ)(－1)＋2λ·2＝0， 解得λ＝－ . 答案：A
第三节 平面向量的数量积及平面向量应用举例-高考状元之路
第三节 平面向量的数量积及平面向量应用举例预习设计 基础备考知识梳理1．平面向量的数量积 若两个 向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作规定：零向量与任一向量的数量积为两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是 ，两个非零向量a 与b 平行的充要条件是2．平面向量数量积的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度∣a ∣与b 在a 方向上的投影 的乘积．3．平面向量数量积的重要性质=⋅=⋅e a a e )1((2)非零向量⇔⊥b a b a ,,(3)当a 与b 同向时，=⋅b a当a 与b 反向时，=⋅b a =⋅a a , =||a=θcos )4(||)5(b a ⋅.|||b a4．平面向量数量积满足的运算律=⋅b a )1( （交换律）；=⋅=⋅)())(2(b a b a λλ （A 为实数）；=+c b a ).)(3(5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量),,(),,(2211y x b y x a ==则=⋅b a 由此得到：(1)若),,(y x a =则=2||a ，或=||a(2)设),,(),,(2211y x B y x A 则A ，B 两点间的距离=||AB =||(3)设),,(),,(2211y x b y x a ==则⇔⊥b a典题热身1．下列四个命题中真命题的个数为 ( )①若,0=⋅b a 则;b a ⊥②若,c b b a ⋅=⋅且,0=/b 则⋅=c a);().(C b a c b a ⋅⋅=⋅③.)(222b a b a ⋅=⋅④4.A 2.B 0.c 3.D答案：C2．在△ABC 中，,10,2,3===BC AC AB 则=⋅. ( )23.-A 32.-B 32.c 23.D 答案：D3．已知平面向量b a b a +-=-=λ),2,4(),3,1(与a 垂直，则=λ( )1.-A 1.B2.-c 2.D答案：A4．已知),7,4(),3,2(-==b a 则a 在b 上的投影为( )13.A 513.B 565.c 65.D答案：C5．已知,2)(,6||,1||=-⋅==a b a b a 则向量a 与b 的夹角是( )6π⋅A 4π⋅B 3π⋅c 2π⋅D 答案：C课堂设计 方法备考题型一 平面向量的数量积运算和向量的模【例1】已知向量),2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos x x b x x a -==且⋅-∈]4,3[ππx (1)求b a ⋅及|;|b a +(2)若|,|)(b a b a x f +-⋅=求)(x f 的最大值和最小值，题型二 利用向量的数量积求其夹角【例2】已知,21)()(,21,1||=+⋅-=⋅=b a b a b a a 求 (l)a 与b 的夹角；(2)a-b 与a+b 的夹角的余弦值．题型三 利用向量的数量积解决平行与垂直问题【例3】设向量,(cos ),cos 4,(sin ),sin ,cos 4(βββαα===c b a ).sin 4β-(1)若a 与b-2c 垂直，求)tan(βα+的值；(2)求||c b +的最大值；(3)若,16tan tan =βα求证：.//b a题型四 平面向量数量积的应用【例4】已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量),,(b a m =),sin ,(sin A B n = ).2,2(--=a b p(1)若,//n m 求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若,p m ⊥边长,2=c 角,3π⋅=C 求△ABC 的面积．技法巧点1．向量数量积性质的应用 向量数量积的性质⇔=⋅⋅=⋅=0,||||cos ,||b a b a b a a a a θ,b a ⊥因此，用平面向量数量积可以解决有关长度、角度、垂直的问题．2．证明直线平行、直线、线段相等等问题的基本方法(1)要证,CD AB =可转化证明22CD =或.||||=(2)要证两线段,//CD AB 只要证存在一实数,0=/λ使等式λ=成立即可．(3)要证两线段,CD AB ⊥只需证.0..= 失误防范1．数量积a ·b 中间的符号“．”不能省略，也不能用“×”来替代．0.2=⋅b a 不能推出0=a ，或.0=b 因为0=⋅b a 时，有可能.b a ⊥)0(.3=/⋅=⋅a c a b a 不能推出.c b =4．一般地，,).()(a c b c b a =/⋅即乘法的结合律不成立．因b a ⋅是一个数量，所以c b a )(⋅表示一个与c 共线的向量，同理右边a c b )(⋅表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，故一般情况下.)()(a C b c b a ⋅=/⋅5．向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC 中，><,应为,120 而不是.60随堂反馈1．（2011．清远调研）在△ABC 中，已知a ，b ，c 成等比数列，且,43cos ,3==+B c a 则⋅等于 ( ) 23.A 23.-B 3.c 3.-D答案：B2．（2011,台州一模）已知向量a ，b 的夹角为,1||,120=a ,5||=b 则|3|b a -等于( )7.A 6.B 5.C 4.D答案：A3．(2011．湖北高考)若向量),1,1(),2,1(-==b a 则b a +2与b a -的夹角等于( )4.π-A 6π⋅B 4π⋅c 43.πD 答案：C4．(2011．全国卷)设向量a ，b 满足=⋅==b a b a ,1||||,21-则=+|2|b a ( ) 2.A 3.B 5.c 7.D答案：B5．（2011．江苏高考）已知21,e e 是夹角为32π的两个单位向量，⋅+=-=2121,2e ke b e e a 若,0=⋅b a 则实数k 的值为 答案：45 高效作业 技能备考一、选择题1．(2010．安徽高考)若向量),21,21(),0,1(==b a 则下列结论中正确的是( ) ||||.b a A = 22.=⋅b a B b a c -.与b 垂直 b a D //. 答案：C2．(2010．重庆高考)若向量a ，b 满足===⋅||,1||,0b a b a ,2则=-|2|b a ( )0.A 22.B 4.C 8.D答案：B3．(2010．四川高考)设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，如果BC -=+=162那么||等于 ( ) 8.A 4.B 2.C 1.D答案：C4．（2010．辽宁高考）平面上O ，A ，B 三点不共线，若,a =,b =则△OAB 的面积等于( )222)(|.|.b a b a A ⋅- |222)(|.b a b a B ⋅+⋅222)(||||21.b a b a c ⋅-⋅ 222)(21.b a b a D ⋅+⋅ 答案：C5．(2010．杭州质检)向量.2),1,(),2,1(b a c x b a +===,2b a d -=若,//d c 则实数x 的值等于（ ）21.A 21.-B 61.c 61.-D 答案：A6．(2011．汕头模拟)如图所示，在△ABC 中，=∠==ABC BC AB ,4,30 AD 是边BC 上的高，则. 的值等于( )0.A 4.B 8.c 4.-D答案：B二、填空题7．（2011．天津高考）已知直线梯形ABCD 中，,//BC AD ,90 =∠ADC ,2=AD P BC ,1=是腰DC 上的动点，则|3|+的最小值为答案：58．（2010．浙江高考）若平面向量),0(,b a a b a =/=/满足=||b ,1且a 与b-a 的夹角为,120则||a 的取值范围是答案：)332,0(9．（2011．浙江高考）若平面向量βα、满足,1||,1||≤=βα且以向量βα、为邻边的平行四边形的面积为,21则βα和的夹角θ的取值范围是 答案：]65,6[ππ三、解答题10．（2010．江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，已知点).1,2(),3,2()2,1(----C rB A(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足,0)(=⋅-t 求t 的值．11．(2011．湖南高考)已知向量).2,1(),sin 2cos ,(sin =-=b a θθθ(1)若a∥b，求θtan 的值；(2)若,00|,|||π<<=b a 求θ的值．12．(2011．江苏高考)已知向量]).0,[)(sin ,(cos πααα-∈=OA 向量),5,0(),1,2(-==n m 且).(n OA m -⊥(1)求向量;(2)若,0,102)cos(πβπβ<<=-求).2cos(βα-。
第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例课件
a·b＝－12，所以 a·(2a－b)＝2a2－a·b＝52.又|a|＝1，|2a－b|＝ （2a－b）2＝
5
4a2－4a·b＋b2＝
7，所以 a 与 2a－b 夹角的余弦值为a·|（ a|·|22aa－－bb）| ＝1×2
＝ 7
57 14 .
【易错点拨】不会用夹角公式计算向量的夹角致误．
2．[教材改编]已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方 向上的投影为________． 答案：－2 解析：由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.
4．向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝b·a. (2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)分配律：(a＋b)·c＝_a_·c_＋__b_·_c_． [探究] 向量数量积的运算满足乘法结合律吗？ 提示：向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)， 这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向量， 而c与a不一定共线．
在解析几何中，当一直线与某圆锥曲线交与 A，B 两点，用向量法解决诸如“以 AB 为直径的圆过已知点 C”等问题时，我们知道以 AB 为直径的圆过点 C， 意味着C→A⊥C→B，可设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C 点已知，则由两垂直向量的数 量积为零，得到 x1＋x2，x1x2，y1＋y2，y1y2 的关系式，然后联立直线方程和圆 锥曲线方程即可求解.
3．平面向量数量积的几何意义 (1)一个向量在另一个向量方向上的投影 设 θ 是 a，b 的夹角，__|b_|c_o_s__θ_则叫作向量 b 在向量 a 的方向上的投影，_|a_|_c_os__θ__ 叫作向量 a 在向量 b 的方向上的投影． (2)a·b 的几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影_|b_|_co_s__θ__的乘积．
第五章第3讲 平面向量的数量积及应用举例
第五章 平面向量
平面向量数量积的运算
[典例引领]
(1)(2018·云南省第一次统一检测)在▱ABCD 中，|A→B|＝8，
|A→D|＝6，N 为 DC 的中点，B→M＝2M→C，则A→M·N→M＝( )
A．48
B．36
C．24
D．12
栏目 导引
第五章 平面向量
(2)(2017·高考全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形，
栏目 导引
第五章 平面向量
2．平面向量的数量积 设两个非零向量 a，b 的夹角为 θ，则_|_a_||b_|_·_co_s__θ_叫做 a
定义 与 b 的数量积，记作 a·b _|_a_|c_o_s_θ___叫做向量 a 在 b 方向上的投影，
投影 _|_b_|c_o_s_θ___叫做向量 b 在 a 方向上的投影
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第五章 平面向量
(教材习题改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a 与 b 的夹角为 120°，
则 a·b 为( )
A．10 3
B．－10 3
C．10D．－ຫໍສະໝຸດ 0解析：选 D.a·b＝|a|·|b|cos 120°＝5×4×cos 120°＝20×－12 ＝－10.故选 D.
栏目 导引
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第五章 平面向量
(2)因为 2a－3b 与 c 的夹角为钝角，所以(2a－3b)·c<0， 即(2k－3，－6)·(2，1)<0，所以 4k－6－6<0，所以 k<3. 又若(2a－3b)∥c，则 2k－3＝－12，即 k＝－92. 当 k＝－92时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，即 2a－3b 与 c 反向． 综上，k 的取值范围为－∞，－92∪－92，3 答案：(1)C (2)－∞，－92∪－92，3
平面向量的数量积及应用举例
(3)×.因为a·b>0,则a与b的夹角为锐角或零角;a·b<0, 则a与b的夹角为钝角或平角. (4)√.由向量的数量积,向量的加法、减法、数乘运算 的定义可知,两个向量的数量积结果为一实数,两个向量 的和或差结果为向量,向量的数乘运算结果为向量.
2.在△ABC中,若
uuur uuur BCgBA
uuur OA
|2,则点O为三角形的垂心.
4.|BuuCur|gOuuAur |AuuCur|gOuuBur |AuuBur|gOuuCur =0,则点O为三角形的内心.
【对点训练】
1.如图,AB是半圆O的直径,P是 A»B 上的点,M,N是直径AB
上关于O对称的两点,且AB=6,MN=4,则
【典例】(1)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若
uuur BD
=
2
uuur DC
,
uuur AE
=λ
uuur AC
uuur AB
(λ∈R),且
AuuDur ·AuuEur
=-4,则λ的
值为________. 世纪金榜导学号
【解析】 Auu·Bur Au=uCur3×2×cos 60°=3,
uuur uur uuur uuur uuur uur uuur
PAgPB PAgAM AMgPB|AM|2
uuur uuur uuur uur uuur
PAgAM AMgPB|AM|2
uuur uuur uuur
AMgAB|AM|2 1 6 1 5.
2.已知O为△ABC内一点,∠AOB=120°,OA=1,OB=2,过点
,所以(
uuur uur PA PC
平面向量的数量积与平面向量应用举例
演 实 战 沙 场 点 兵
课 时 提 升 练
菜
单
高三总复习· 数学(理)
【思路点拨】 (1)利用夹角公式求解． (2)由已知先求出 a· b 的值，再用求模公式解答．
研 动 向 考 纲 考 向
【 解 析 】
(1) ∵ |a| ＝
3e1－2e22 ＝
提 素 养 满 分 指 导
1 9＋4－12×1×1×3＝3， |b|＝ 3e1－e2 ＝
演 实 战 沙 场 点 兵
切 脉 搏 核 心 突 破
(2)(2014· 威海模拟)设 x，y∈R，向量 a＝(x,1)，b＝(1， y)，c＝(2，－4)，且 a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( A. 5 B. 10 C．2 5 ) D．10
课 时 提 升 练
菜
单
高三总复习· 数学(理)
【解析】 (1)∵a· b＝(1， 3)· (3，m)＝3＋ 3m， π 又 a· b＝ 1 ＋ 3 × 3 ＋m ×cos ， 6
研 动 向 考 纲 考 向
命题 规律
模、夹角及向量的垂直是考查的热点，多以选择题、 填空题形式呈现，难度中低档．解答题以向量的数 量积为载体，常与几何问题、三角函数知识交汇命 题，考查运算能力与数形结合思想．
提 素 养 满 分 指 导
切 脉 搏 核 心 突 破
预计 2016 年高考仍会以平面向量的数量积运算、向 考向 量垂直的条件与向量数量积的性质为命题热点，将 预测 会综合三角函数，解析几何等知识命题，复习时应 予以关注.
切 脉 搏 核 心 突 破
故 B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)． 又 E 在 AB 边上，故设 E(t,0)(0≤t≤1)． → → 则DE＝(t，－1)，CB＝(0，－1)．
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第三节
平面向量的数量积与平面向量应用举例
3．(1)解析：若 a⊥(2a＋λb)，则 a· (2a＋λb)＝0，即 2|a|2
1 2π ＋λ· |a||b|· cos ＝0，∴2＋λ×1×4×－2＝0.∴λ＝1. 3
答案：1 (2)解析：①当 A＝90° 时， ∵ AB ⊥ AC ，∴ AB · AC ＝0. 2 ∴2×1＋3k＝0，解得 k＝－ . 3
2
1 1 1 2 ＝1＋ | AB |· | AD |cos 60° － | AB | ＝1，∴| AB |＝ . 2 2 2 1 答案： 2
数学
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平面向量的数量积与平面向量应用举例
2．(1)解析：∵|2a＋b|2＝4|a|2＋ 4a· b＋|b|2＝7，|a|＝1，|b|＝ 3， ∴ 4＋ 4 a · b＋3＝7， ∴ a· b＝0， ∴a⊥b.如图所示， a 与 a＋b 的夹角为∠COA. |CA| |b| π ∵tan∠COA＝ ＝ ＝ 3，∴∠COA＝ ，即 a 与 a |OA| |a| 3 π ＋b 的夹角为 . 3
数学
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平面向量的数量积与平面向量应用举例
②当 B＝90° 时，∵ AB ⊥ BC ， 又 BC ＝ AC － AB ＝(1，k)－(2,3)＝(－1，k－3)，∴ 11 AB · BC ＝2×(－1)＋3×(k－3)＝0，解得 k＝ . 3 ③当 C＝90° 时， ∵ AC ⊥ BC ，∴1×(－1)＋k(k－3)＝0， 3± 13 即 k －3k－1＝0.∴k＝ . 2
AB ＝0， 2．解析： AB ＝ OB － OA＝(3,2－t)，由题意知 OB ·
所以 2×3＋2(2－t)＝0，t＝5. 答案：5
数学Байду номын сангаас
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[练一练] 1．解析： (a－2b)· a＝|a|2－2a· b＝0，(b－2a)· b＝|b|2－2a· b＝0，所 以|a|2＝|b|2， 即|a|＝|b|， 故|a|2－2a· b＝|a|2－2|a|2 可得 答案：B
数学
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(2)因为 a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以
数学
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考点二 1 BE ＝ AD － AB ， BE 1． 解析： 由已知得 AC ＝ AD ＋ AB ， ∴ AC · 2 1 1 2 1 1 2 AD ＋ AB · AD － AB ＝1＋ AB · AD － | AB | ＝ AD － AB · 2 2 2 2
平面向量的数量积与平面向量应用举例
热点命题· 悟通 考点一 1．解析：由已知得，向量 a＝(x1，y1)与 b＝(x2，y2)反向，3a＋2b＝0，即 x1＋y1 2 2 2 3(x1，y1)＋2(x2，y2)＝(0,0)，得 x1＝－ x2，y1＝－ y2，故 ＝－ . 3 3 3 x2＋y2 答案：B 2．解析：∵ AB · | AC |· cos 120° ＝－1，即| AB |· | AC |＝ AC ＝－1，∴| AB |· ∴ | BC |2 ＝ | AC － AB |2 ＝ AC 2 － 2 AB · | AC | － AC ＋ AB 2≥2| AB |· 2 AB · AC ＝6， ∴| BC |min＝ 6. 答案：C
答案：B
数学
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(2)解析： 记向量 2a－b 与 a＋2b 的夹角为 θ， 又(2a－b)2＝4×22 π ＋ 3 － 4×2×3×cos ＝ 13 ， (a ＋ 2b)2 ＝ 22 ＋ 4×32 ＋ 3
2
π 4×2×3×cos ＝52，(2a－b)· (a＋2b)＝2a2－2b2＋3a· b＝8－18 3 2a－b· a＋2b 1 ＋9＝－1，故 cos θ＝ ＝－ ，即向量 2a－b 与 26 |2a－b|· |a＋2b| 1 a＋2b 的夹角的余弦值是－ ，因此选 B. 26 答案：B
BD ＝1×(－4)＋2×2＝0， 2．解析：依题意得， AC ·
a， b
＝0，
1 a，b ＝ ，又因为 0≤ 2
π a，b ≤π，所以 a，b＝ . 3
1 1 ∴ AC ⊥ BD ， ∴四边形 ABCD 的面积为 | AC |· | BD |＝ × 5× 20 2 2 ＝5. 答案：C
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平面向量的数量积与平面向量应用举例
第三节 备考基础· 查清 1．非零
平面向量的数量积与平面向量应用举例
|a||b|cos θ
a· b |a||b|cos θ (3)a· c＋b· c a· b＝ 0 x1x2＋y1y2＝0
2．(1)b· a (2)a· (λb) 3. a· a |a||b|
2 x2 ＋ y 1 1
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平面向量的数量积与平面向量应用举例
π π π π 3． 解析： 由向量数量积公式得 e1· e2＝cos ×2sin ＋sin ×4cos 4 4 6 3 2 1 ＝ × 2＋ ×2＝2. 2 2 答案：2 1 BD ＝ 4． 解析： 因为 AE ＝ AD ＋ AB ，BD ＝ AD － AB ， 所以 AE · 2 1 1 1 2 2 AB － AB ＝2. ( AD ＋ AB )· ( AD － AB )＝ AD － AD · 2 2 2 答案：2
2
2 11 3± 13 答案：－ 或 或 . 3 3 2
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考点三 [典例] 解：(1)证明：由题意得|a－b|2＝2， 即(a－b)2＝a2－2a· b＋b2＝2. 又因为 a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1， 所以 2－2a· b＝2，即 a· b＝0，故 a⊥b.
x1x2＋y1y2 a· b 2 2 2 |a||b| x1 ＋y2 · x ＋ y 1 2 2
2 2 2 x2 ＋ y x ＋ y 1 1 2 2
数学
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平面向量的数量积与平面向量应用举例
[试一试] 1．解析：|2a－b|＝ 2a－b2＝ 4a2－4a· b＋b2＝ 4－2＋1 ＝ 3. 答案： 3