金版新学案(人教版)高中数学选修1-1练习：3.1.1、2变化率问题(含答案)
高中数学(人教A版)选择性必修二课后习题：变化率问题(课后习题)【含答案及解析】
第五章一元函数的导数及其应用5.1导数的概念及其意义5.1.1变化率问题课后篇巩固提升必备知识基础练1.质点运动规律S(t)=t2+3,则从t=3到t=3.3内,质点运动的平均速度为()A.6.3B.36.3C.3.3D.9.3(3)=12,S(3.3)=13.89,则平均速度v=S(3.3)-S(3)3.3-3=1.890.3=6.3,故选A.2.lim Δx→0(1+Δx)2-1Δx表示()A.曲线y=x2切线的斜率B.曲线y=x2在点(1,1)处切线的斜率C.曲线y=-x2切线的斜率D.曲线y=-x2在(1,-1)处切线的斜率y=f(x)=x2时,lim Δx→0(1+Δx)2-1Δx=limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx,可知limΔx→0(1+Δx)2-1Δx表示y=f(x)=x2在点(1,1)处的切线的斜率.故选B.3.已知函数f(x)=x2图象上四点A(1,f(1)),B(2,f(2)),C(3,f(3)),D(4,f(4)),割线AB,BC,CD的斜率分别为k1,k2,k3,则()A.k1<k2<k3B.k2<k1<k3C.k3<k2<k1D.k1<k3<k21=f(2)-f(1)2-1=4-1=3,k2=f(3)-f(2)3-2=9-4=5,k3=f(4)-f(3)4-3=16-9=7,∴k1<k2<k3.故选A.4.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在函数y=f(x)的图象上,若函数f(x)从x1到x2的平均变化率为√3,则下面叙述正确的是()A.曲线y=f (x )的割线AB 的倾斜角为π6B.曲线y=f (x )的割线AB 的倾斜角为π3 C.曲线y=f (x )的割线AB 的斜率为-√3D.曲线y=f (x )的割线AB 的斜率为-√33f (x )从x 1到x 2的平均变化率就是割线AB 的斜率,所以k AB =√3,割线AB 的倾斜角为π3,故选B .5.(多选)已知物体做自由落体运动的方程为s=s (t )=12gt 2,当Δt 无限趋近于0时,s (1+Δt )-s (1)Δt 无限趋近于9.8 m/s,那么下列说法不正确的是( )A .9.8 m/s 是在0~1 s 这段时间内的平均速度B .9.8 m/s 是在1~(1+Δt ) s 这段时间内的速度C .9.8 m/s 是物体在t=1 s 这一时刻的瞬时速度D .9.8 m/s 是物体从1~(1+Δt ) s 这段时间内的平均速度Δt 趋近于0时,平均速度s (1+Δt )-s (1)Δt 趋近于该时刻的瞬时速度.故选ABD. 6.已知曲线y=1x 2上一点P (1,1),则曲线在点P 处的切线的斜率为 .2y=1x 2上一点P (1,1),在点P 处的切线的斜率为limΔx →01(1+Δx )2-112Δx =lim Δx →0-(Δx )2-2Δx (1+Δx )2Δx =lim Δx →0-Δx -2(1+Δx )2=-2,所以点P 处的切线的斜率为-2.7.一个物体做直线运动,位移s (单位:m)与时间t (单位:s)之间的函数关系为s (t )=5t 2+mt ,且这一物体在2≤t ≤3这段时间内的平均速度为26 m/s,则实数m 的值为 .,得s (3)-s (2)3-2=26,所以(5×32+3m )-(5×22+2m )=26,解得m=1.8.一个做直线运动的物体,其位移s 与时间t 的关系是s (t )=3t-t 2(s 的单位:m,t 的单位:s).(1)求此物体的初速度;(2)求此物体在t=2 s 时的瞬时速度;(3)求t=0 s 到t=2 s 的平均速度.(1)s (0+Δt )-s (0)Δt=3Δt -(Δt )2Δt =3-Δt. lim Δt →0(3-Δt )=3,所以物体的初速度v 0=3 m/s .(2)s (2+Δt )-s (2)Δt=3(2+Δt )-(2+Δt )2-(3×2-22)Δt=-Δt-1. lim Δt →0(-Δt-1)=-1,所以在t=2时的瞬时速度为-1 m/s .(3)v =s (2)-s (0)2-0=6-4-02=1(m/s). 关键能力提升练9.曲线y=x 3+x 2-2x 在x=-1处的切线斜率是( )A.1B.-1C.2D.3lim Δx →0[(-1+Δx )3+(-1+Δx )2-2(-1+Δx )]-[(-1)3+(-1)2-2(-1)]Δx=lim Δx →0[-1-2Δx+(Δx )2]=-1. 10.设曲线y=ax 2在点(1,a )处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a 等于( )A.1B.12C.-12D.-1lim Δx →0a (1+Δx )2-a×12Δx =lim Δx →02aΔx+a (Δx )2Δx =lim Δx →0(2a+a Δx )=2a ,所以2a=2,所以a=1. 11.(多选)在曲线y=13x 3-x+1的所有切线中,斜率的可能取值为( )A.-2B.-1C.1D.2y=13x 3-x+1=f (x ),所以k=lim Δx →013(x+Δx )3-(x+Δx )+1-(13x 3-x+1)Δx =x 2-1.当x=0时,k 有最小值-1,故只要k ≥-1即可,故选BCD.12.(多选)某物体的运动方程为s=s (t )={3t 2+1,0<t <3,28,t ≥3,下列说法正确的是( ) A.此物体在t 0=1到t 1=1+Δt (0<Δt<2)这段时间内的平均速率v 是常数B.此物体在t 0=1到t 1=1+Δt (0<Δt<2)这段时间内的平均速率v 与Δt 有关C.此物体在t 0=1时的瞬时速度为6D.此物体在t 0=1时的瞬时速度为280<Δt<2,1<t 1=1+Δt<3时,s=3t 2+1,所以v =s (1+Δt )-s (1)Δt =3Δt+6. lim Δt →0s (1+Δt )-s (1)Δt =6,即在t 0=1时的瞬时速度为6.故选BC .13.已知汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图所示,在时间段[t 0,t 1],[t 1,t 2],[t 2,t 3]上的平均速度分别为v 1,v 2,v 3,则三者的大小关系为 .(由大到小排列)>v 2>v 1 ∵v 1=s (t 1)-s (t 0)t 1-t 0=k OA , v 2=s (t 2)-s (t 1)t 2-t 1=k AB ,v 3=s (t 3)-s (t 2)t 3-t 2=k BC , 又由图象得k OA <k AB <k BC ,∴v 3>v 2>v 1. 学科素养创新练14.在曲线y=13x 3-x 2+3x-13的所有切线中,斜率最小的切线方程为 .x-y=(x 0,f (x 0))的切线斜率为 lim Δx →0[13(x 0+Δx )3-(x 0+Δx )2+3(x 0+Δx )-13]-(13x 03-x 02+3x 0-13)Δx=lim Δx →013(Δx )2+x 0Δx+x 02-2x 0+3-Δx=x 02-2x 0+3,故当x 0=1时,切线斜率最小为2.∴y=13×13-12+3×1-13=2,故斜率最小的切线方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0.。
金版学案 数学选修1-1(人教版)练习：章末评估验收(二) Word版含解析
章末评估验收(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．双曲线3x 2－y 2＝9的焦距为( )A.6 B ．26 C ．23 D ．4 3 解析：方程化为标准方程为x 23－y 29＝1，所以a 2＝3，b 2＝9.所以c 2＝a 2＋b 2＝12，所以c ＝23，所以2c ＝4 3. 答案：D2．抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( ) A ．(0，2) B ．(0，1) C ．(2，0)D ．(1，0)解析：由y 2＝4x 知p ＝2，故抛物线的焦点坐标为(1，0)． 答案：D3．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1(m >0)的离心率e ＝105，则m 的值为( )A ．3 B.253或3 C. 5D.5153或15解析：由题意知m >0，当5>m 时，a ＝5，b ＝m ，c ＝5－m ，所以e ＝ca ＝5－m 5＝105，解得m ＝3；当5<m 时，a ＝m ，b ＝5，c ＝m －5，所以e ＝ca ＝m －5m＝105，解得m ＝253.故选B.答案：B4．已知两定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且12|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段解析：依题意知|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|＝2，作图可知点P 的轨迹为线段．答案：D5．双曲线x 2－y23＝1的焦点到渐近线的距离为( )A ．1 B. 3 C ．3D ．4解析：依题意得，c 2＝a 2＋b 2＝1＋3＝4，所以双曲线的右焦点坐标是(2，0)，一条渐近线方程是y ＝3x ，即3x －y ＝0，因此焦点到渐近线的距离为23（3）2＋1＝3，故选B. 答案：B6．过抛物线y 2＝8x 的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( )A ．8B ．16C ．32D ．64解析：抛物线中2p ＝8，p ＝4，则焦点坐标为(2，0)，过焦点且倾斜角为45°的直线方程为y ＝x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y 2＝8x ，得x 2－12x ＋4＝0，则x 1＋x 2＝12(x 1，x 2为直线与抛物线两个交点的横坐标)．从而弦长为x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16.答案：B7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是( )A.1－52B.5－12C.－1－52D.5＋12解析：依题意有(2b )2＝2a ·2c ，即4b 2＝4ac ， 所以 b 2＝ac .又b 2＝a 2－c 2，所以 a 2－c 2＝ac .两边同除以a 2，得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－ca ＝0.即有e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或e ＝－5－12(舍去)．答案：B8．已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m ＜0)的半径为2，椭圆C ：x 2a2＋y 23＝1的左焦点为F (－c ，0)，若垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为( )A.34B ．1C ．2D ．4解析：圆M 的方程可化为(x ＋m )2＋y 2＝3＋m 2， 则由题意得m 2＋3＝4，即m 2＝1(m ＜0)， 所以 m ＝－1，则圆心M 的坐标为(1，0)． 由题意知直线l 的方程为x ＝－c ， 又因为直线l 与圆M 相切，所以 c ＝1，所以 a 2－3＝1，所以 a ＝2. 答案：C9．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是( )A.43B.75C.85D ．3解析：设与直线4x ＋3y －8＝0平行的直线方程为4x ＋3y ＋c ＝0，与抛物线联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＋c ＝0，y ＝－x 2，消去y 得3x 2－4x －c ＝0，Δ＝(－4)2－4×3×(－c )＝0，解得c ＝－43，则抛物线与直线4x ＋3y －8＝0平行的切线是4x ＋3y －43＝0，问题转化为平行线间的距离，利用两平行线间的距离公式得d ＝|－43＋8|42＋32＝43. 答案：A10．已知点M (－3，0)，N (3，0)，B (1，0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于P 点，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2－y28＝1(x ＞1)B ．x 2－y28＝1(x ＜－1)C ．x 2＋y28＝1(x ＞0)D ．x 2－y210＝1(x ＞1)解析：设圆与直线PM ，PN 分别相切于E ，F ， 则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NB |＝|NF |. 所以 |PM |－|PN |＝(|PE |＋|ME |)－(|PF |＋|NF |)＝ |MB |－|NB |＝4－2＝2.所以点P 的轨迹是以M (－3，0)，N (3，0)为焦点的双曲线右支(去掉B 点)，且a ＝1，所以 c ＝3，b 2＝8，所以双曲线方程是x 2－y28＝1(x ＞1)．答案：A11．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k 等于( )A.13B.23C.23D.223解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1>0，x 2>0，y 1>0，y 2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），y 2＝8x 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0， 所以x 1x 2＝4，① 根据抛物线的定义得，|FA |＝x 1＋p2＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋2.因为|FA |＝2|FB |，所以x 1＝2x 2＋2，② 由①②得x 2＝1(x 2＝－2舍去)， 所以B (1，22)，代入y ＝k (x ＋2)得k ＝223. 答案：D12．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0，1)B.⎝⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，22D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1解析：由MF 1→·MF 2→＝0可知点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，要使点M 总在椭圆内部，只需c <b ，即c 2<b 2，c 2<a 2－c 2，2c 2<a 2，即e 2＝c 2a 2<12.因为0<e <1，所以0<e <22，即椭圆离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，22.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：由双曲线渐近线方程为y ＝±12x ，可设该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝114．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________．解析：设A 点(x 1，y 1)，B 点(x 2，y 2)，抛物线y 2＝4x ，焦点为(1，0)，准线为x ＝－1，|AF |＝x 1－(－1)＝2，所以x 1＝1.则AF 与x 轴垂直，|BF |＝|AF |＝2.答案：215.如右图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．解析：将y ＝b2代入椭圆的标准方程，得x 2a 2＋b 24b2＝1，所以x ＝±32a ，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2.又因为F (c ，0)，所以BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF →＝⎝⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2.因为∠BFC ＝90°，所以BF→·CF →＝0， 所以⎝⎛⎭⎪⎫c ＋32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0，即c 2－34a 2＋14b 2＝0，将b 2＝a 2－c 2代入并化简，得a 2＝32c 2，所以 e 2＝c 2a 2＝23，所以e ＝63(负值舍去)．答案：6316．已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________．解析：法一 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.设AB 中点M ′(x 0，y 0)，抛物线的焦点为F ，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足为A ′，B ′，因为∠AMB ＝90°，则|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．因为M ′(x 0，y 0)为AB 中点，所以M 为A ′B ′的中点，所以MM ′平行于x 轴， 所以y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.法二 由题意知，抛物线的焦点坐标为F (1，0)，设直线方程为y ＝k (x －1)，直线方程与y 2＝4x 联立，消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.由M (－1，1)，得AM →＝(－1－x 1，1－y 1)， BM →＝(－1－x 2，1－y 2)． 由∠AMB ＝90°，得AM →·BM →＝0， 所以(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0， 所以x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0. 又y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)，所以1＋2k 2＋4k 2＋1＋k 2(1－2k 2＋4k 2＋1)－k (2k 2＋4k2－2)＋1＝0，整理得4k 2－4k ＋1＝0，解得k ＝2.答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)抛物线y 2＝x 上存在两点关于直线y ＝m (x －3)对称，求m 的取值范围．解：设抛物线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝m (x －3)对称，AB 的中点为M (x ，y )，则当m ＝0时，有直线y ＝0，显然存在两点关于它对称．当m ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2，⇒y 1－y 2x 1－x 2＝1y 1＋y 2＝12y ＝－1m ，所以y ＝－m2，所以M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫52，－m 2， 因为M 在抛物线内， 则有52>⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 22，得－10<m <10且m ≠0，综上所述，m 的取值范围为(－10，10)．18．(本小题满分12分)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程．解：设PF 1的中点为M ，连接F 2M .由|PF 2|＝|F 1F 2|，故F 2M ⊥PF 1，即|F 2M |＝2a .在Rt △F 1F 2M 中，|F 1M |＝（2c ）2－（2a ）2＝2b ， 故|PF 1|＝4b .根据双曲线的定义有4b －2c ＝2a ，即2b －a ＝c ，即(2b －a )2＝a 2＋b 2，即3b 2－4ab ＝0，即3b ＝4a ，故双曲线的渐近线方程是y ＝±b ax ，即4x ±3y ＝0.19．(本小题满分12分)如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y ，联立得x 2－4x －4b ＝0，(*) 因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0，解得b ＝－1. (2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0， 解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1，故点A (2，1)． 因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离， 即r ＝|1－(－1)|＝2，所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.20．(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，一条渐近线方程为y ＝x ，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在此双曲线上，求MF 1→·MF 2→. 解：(1)因为双曲线的一条渐近线方程为y ＝x ， 所以设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．把(4，－10)代入双曲线方程得42－(－10)2＝λ，所以λ＝6，所以所求双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)由(1)知双曲线方程为x 2－y 2＝6，所以双曲线的焦点为F 1(－23，0)，F 2(23，0)．因为点M 在双曲线上，所以32－m 2＝6，所以m 2＝3.所以MF 1→·MF 2→＝(－23－3，－m )·(23－3，－m )＝(－3)2－(23)2＋m 2＝－3＋3＝0.21．(本小题满分12分)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，焦距为2 2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B . (1)求椭圆M 的方程；(2)若k ＝1，求|AB |的最大值；(3)设P (－2，0)，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB与椭圆M 的另一个交点为D ，若C ，D 和点Q (－74，14)共线，求k . 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝63，2c ＝22，解得a ＝3，b ＝1.所以椭圆M 的方程为x 23＋y 2＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，x 23＋y 2＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0， 所以x 1＋x 2＝－3m 2，x 1x 2＝3m 2－34. 所以|AB |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝2（x 2－x 1）2 ＝2[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝ 12－3m 22. 当m ＝0，即直线l 过原点时，|AB |最大，最大值为 6.(3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意得x 21＋3y 21＝3，x 22＋3y 22＝3.直线PA 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)． 由⎩⎨⎧y ＝y 1x 1＋2（x ＋2），x 2＋3y 2＝3，得[(x 1＋2)2＋3y 21]x 2＋12y 21x ＋12y 21－3(x 1＋2)2＝0.设C (x C ，y C )，所以x C ＋x 1＝－12y 21（x 1＋2）2＋3y 21＝4x 21－124x 1＋7. 所以x C ＝4x 21－124x 1＋7－x 1＝－12－7x 14x 1＋7. 所以y C ＝y 1x 1＋2(x C ＋2)＝y 14x 1＋7. 设D (x D ，y D )，同理得x D ＝－12－7x 24x 2＋7，y D ＝y 24x 2＋7. 记直线CQ ，DQ 的斜率分别为k CQ ，k DQ ，则k CQ －k DQ ＝y 14x 1＋7－14－12－7x 14x 1＋7＋74－y 24x 2＋7－14－12－7x 24x 2＋7＋74＝ 4(y 1－y 2－x 1＋x 2)．因为C ，D ，Q 三点共线，所以k CQ －k DQ ＝0.故y 1－y 2＝x 1－x 2.所以直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1. 22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .(ⅰ)求|OQ ||OP |的值； (ⅱ)求△ABQ 面积的最大值．解：(1)由题意知，2a ＝4，则a ＝2， 又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2， 可得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1. (ⅰ)设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ， 由题意知，Q (－λx 0，－λy 0)．因为x 204＋y 20＝1，又（－λx 0）216＋（－λy 0）24＝1， 即λ24⎝ ⎛⎭⎪⎫x 204＋y 20＝1， 所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2. (ⅱ)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0，由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2.①因为x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2， x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2， 所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2. 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2| ＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2（16k 2＋4－m 2）m 21＋4k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k 2＝t ，则t >0. 将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.②由①②可知0<t≤1，因为S＝2（4－t）t＝2－t2＋4t，故S≤23，当且仅当t＝1，即m2＝1＋4k2时取得最大值2 3. 由(ⅰ)知，△ABQ面积为3S，所以△ABQ面积的最大值为6 3.。
金版学案 数学选修1-1(人教版)练习：章末评估验收(一) Word版含解析
章末评估验收(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列语句中是命题的个数有()①“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？”；②“一个数不是正数就是负数”；③“大角所对的边大于小角所对的边”；④“若x＋y为有理数，则x，y也都是有理数”；⑤“作△ABC∽△A′B′C′”．A．2个B．3个C．4个D．5个解析：①疑问句：没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题．②是假命题.0既不是正数也不是负数．③是假命题．没有指明在同一个三角形中．④是假命题．如x＝3，y＝－ 3.⑤祈使句．不是命题．所以②③④是命题．答案：B2．命题“若a>0，则a2>0”的逆命题是()A．若a>0，则a2≤0 B．若a2>0，则a>0C．若a≤0，则a2>0 D．若a≤0，则a2≤0解析：交换原命题的条件和结论即可得其逆命题．答案：B3．在△ABC 中，“A ＝π4”是“cos A ＝22”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：在△ABC 中，0<A <π.所以A ＝π4⇔cos A ＝22，故选C. 答案：C4．若“x 2＜1，则－1＜x ＜1”的逆否命题是( )A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1B ．若－1＜x ＜1，则x 2＜1C ．若x ＞1或x ＜－1，则x 2＞1D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1解析：－1＜x ＜1的否定是x ≥1或x ≤－1；x 2＜1的否定是x 2≥1.则逆否命题为：若x ≥1或x ≤－1则x 2≥1.答案：D5．下列命题中，是真命题的是( )A ．若向量a ，b 满足a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若0＜a ＜b ，则1a ＜1bC ．对任意x ∈R ，x 是无理数D ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝43成立 解析：对于选项A 中，当a ⊥b 时，a·b ＝0也成立，此时不一定有a ＝0或b ＝0；选项B 显然是假命题；选项C 是假命题，例如4是有理数；对于选项D ，因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2，2 ]，所以该命题正确．6．命题“设a ，b ，c ∈R ，若ac 2＞bc 2，则a ＞b ”及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：原命题为真，则逆否命题也为真；逆命题“设a ，b ，c ∈R ，若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”是假命题，故否命题也为假命题，因此真命题有2个．答案：C7．命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1＞0，命题q ：∃θ∈R ，sin 2θ＋cos 2θ＝1.5，则下列命题中真命题是( )A ．p ∧qB ．(¬p )∧qC ．(¬p )∨qD ．p ∨(¬q )解析：易知p 为真，q 为假，¬p 为假，¬q 为真．由真值表可知p ∧q 假，(¬p )∧q 假，(¬p )∨q 为假，(¬p )∨q 假，p ∨(¬q )真．答案：D8．下列说法错误的是( )A ．“sin θ＝12”是“θ＝30°”的充分不必要条件 B ．命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”C ．△ABC 中，“sin A ＞sin B ”是“A ＞B ”的充要条件D ．如果命题“¬ p ”与命题“p ∨q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题解析：因为sin θ＝12⇒θ＝k ·360°＋30°或θ＝k ·360°＋150°(k ∈Z)，反之当θ＝30°时，sin θ＝12，所以 “sin θ＝12”是“θ＝30°”的必要不充分条件．9．设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12<12”得0<x <1，则0<x 3<1，即“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12<12”⇒“x 3<1”；由“x 3<1”得x <1，当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12≥12，即“x 3<1” “⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12<12”． 所以“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的充分而不必要条件． 答案：A10．下列命题中为假命题的是( )A ．∀x ＞0且x ≠1，x ＋1x＞2 B ．∀a ∈R ，直线ax ＋y ＝a 恒过定点(1，0)C ．∃m 0∈R ，f (x )＝(m 0－1)·xm 20－4m 0＋3是幂函数D ．∀φ∈R ，函数，f (x )＝sin (2x ＋φ)不是偶函数解析：当x ＞0时，x ＋1x≥2，等号在x ＝1时成立，故A 为真命题；将x ＝1，y ＝0代入直线方程ax ＋y ＝a 中，等式成立，故B 为真命题；令m 0－1＝1，得m 0＝2，此时，f (x )＝x －1是幂函数，故C 为真命题；当φ＝π2时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 为偶函数，故D 为假命题． 答案：D11．已知命题p (x )∶x 2＋2x －m ＞0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，8)C ．RD ．[3，8)解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3；又p (2)是真命题，所以4＋4－m ＞0，解得m ＜8.故实数m 的取值范围为[3，8)．答案：D12．设集合U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R}，A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m ＞0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，那么点P (2，3)∈A ∩(∁U B )的充要条件是( )A ．m ＞－1，n ＜5B ．m ＜－1，n ＜5C ．m ＞－1，n ＞5D ．m ＜－1，n ＞5解析：(2，3)∈A ∩(∁U B )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×2－3＋m ＞0，2＋3－n ＞0. 所以 m ＞－1，n ＜5.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．命题“对任意x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是________． 解析：将全称量词改写为存在量词，并否定结论得：∃x 0∈R ，|x 0－2|＋|x 0－4|≤3.答案：∃x 0∈R ，|x 0－2|＋|x 0－4|≤314．命题p ：y ＝f (x )为偶函数，命题q ：f （－x ）f （x ）＝1，则p 为q 的________条件．解析：当y ＝f (x )为偶函数时，推不出f （－x ）f （x ）＝1，如f (x )＝0，但当f （－x ）f （x ）＝1，则f (－x )＝f (x )，即y ＝f (x )为偶函数，则p 为q 的必要不充分条件．答案：必要不充分15．已知命题p：∃x∈R，x2＋m＜0；命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0.若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是____________________．解析：若p∧q为真，则p真q真．p真的充要条件是x2＜－m有解，即m＜0；而q真的充要条件是Δ＝m2－4＜0，即－2＜m＜2，所以－2＜m＜0.答案：(－2，0)16．已知下列四个命题：①若tan θ＝2，则sin 2θ＝4 5；②函数f(x)＝lg(x＋1＋x2)是奇函数；③“a>b”是“2a>2b”的充分不必要条件；④在△ABC中，若sin A cos B＝sin C，则△ABC是直角三角形．其中所有真命题的序号是________．解析：因为tan θ＝2，则sin 2θ＝2sin θcos θsin2θ＋cos2θ＝2tan θtan2θ＋1＝45，故①是真命题；函数f(x)＝lg(x＋1＋x2)的定义域为R，且f(x)＋f(－x)＝lg(x＋1＋x2)＋lg(－x＋1＋x2)＝lg(1＋x2－x2)＝lg 1＝0，故f(x)是奇函数，即②是真命题；因为y＝2x在R上是单调递增函数，故“a>b”是“2a>2b”的充要条件，故③是假命题；在△ABC中，若sin A cos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cosA sinB ，则cos A sin B ＝0，由sin B ≠0得cos A ＝0，A ＝90°，即△ABC 是直角三角形．故④是真命题．答案：①②④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)分别判断下列“若p ，则q ”命题中，p 是否为q 的充分条件或必要条件，并说明理由．(1)p ：θ＝π，q ：tan θ＝0.(2)p ：a 是整数，q ：a 是自然数．(3)p ：a 是素数，q ：a 不是偶数．解：(1)由于p ：θ＝π⇒q ：tan θ＝0，q ：tan θ＝0p ：θ＝π，所以p 是q 的充分条件，p 不是q 的必要条件．(2)由于p ：a 是整数q ：a 是自然数，q ：a 是自然数⇒p ：a 是整数，所以p 是q 的必要条件，p 不是q 的充分条件．(3)由于p ：a 是素数不能推出q ：a 不是偶数，而q ：a 不是偶数也不能推出p ：a 是素数，所以p 不是q 的充分条件，p 不是q 的必要条件．18．(本小题满分12分)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．(1)当m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根； (2)当abc ＝0时，a ＝0或b ＝0或c ＝0.解：(1)逆命题：当mx 2－x ＋1＝0无实根时，m >14；真命题．否命题：当m ≤14时，mx 2－x ＋1＝0有实根；真命题． 逆否命题：当mx 2－x ＋1＝0有实根时，m ≤14；真命题． (2)逆命题：当a ＝0或b ＝0或c ＝0时，abc ＝0；真命题． 否命题：当abc ≠0时，a ≠0且b ≠0且c ≠0；真命题．逆否命题：当a ≠0且b ≠0且c ≠0时，abc ≠0；真命题．19．(本小题满分12分)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a≠0，q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －12≤0，x 2＋3x －10>0，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解：因为p 是q 的必要不充分条件，即q ⇒p 但p /⇒q ，设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则B A ，又B ＝(2，3]，当a >0时，A ＝(a ，3a )；当a <0时，A ＝(3a ，a )，所以当a >0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3<3a ， 解得1<a ≤2；当a <0时，显然A ∩B ＝∅，不合题意．综上所述，实数a 的取值范围是(1，2]．20．(本小题满分12分)已知命题p ：不等式2x －x 2<m 对一切实数x 恒成立，命题q ：m 2－2m －3≥0，如果“¬ p ”与“p ∧q ”同时为假命题，求实数m 的取值范围．解：2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，所以p 真时，m >1.由m 2－2m －3≥0得m ≤－1或m ≥3，所以q 真时m ≤－1或m ≥3.因为“¬ p ”与“p ∧q ”同时为假命题，所以p 为真命题，q 为假命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >1，－1<m <3，即1<m <3.即m 的取值范围为(1，3)．21．(本小题满分12分)已知ab ≠0，求证a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.证明：必要性：因为a ＋b ＝1，即a ＋b －1＝0，所以 a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2＋b 2－ab )＝(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.充分性：因为a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0，所以 (a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0，又因为ab ≠0，所以 a ≠0且b ≠0，所以 a 2＋b 2－ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＋34b 2＞0， 所以 a ＋b －1＝0.所以 a ＋b ＝1.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )对一切实数x ，y 均有f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x 成立，且f (1)＝0.(1)求f (0)的值；(2)当f (x )＋2<log a x 对于x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12恒成立时，求a 的取值范围．解：(1)由已知等式f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x ， 令x ＝1，y ＝0，得f (1)－f (0)＝2，又因为f (1)＝0，所以f (0)＝－2.(2)由(1)知f (0)＝－2，所以f (x )＋2＝f (x )－f (0)＝f (x ＋0)－f (0)＝(x ＋1)x .因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， 所以[f (x )＋2]∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34. 要使x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12时，f (x )＋2<log a x 恒成立， 显然当a >1时不成立，所以⎩⎨⎧0<a <1，log a 12≥34，解得344≤a <1. 所以a 的取值范围为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫344，1.。
2022-2021年《金版学案》数学·选修1-1(人教A版)习题：模块综合评价(一)
模块综合评价(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中的假命题是()A．∀x∈R，2x－1＞0 B．∀x∈N*，(x－1)2＞0C．∃x∈R，lg x＜1 D．∃x∈R，tan x＝2解析：当x＝1∈N*时，x－1＝0，不满足(x－1)2＞0，所以B为假命题．答案：B2．设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：“x＝2且y＝－1”满足方程x＋y－1＝0，故“x＝2且y＝－1”可推得“点P在直线l：x＋y－1＝0上”；但方程x＋y－1＝0有很多多个解，故“点P在直线l：x＋y－1＝0上”不能推得“x＝2且y＝－1”，故“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的充分不必要条件．答案：A3．对∀k∈R，则方程x2＋ky2＝1所表示的曲线不行能是()A．两条直线B．圆C．椭圆或双曲线D．抛物线解析：分k＝0，1及k＞0且k≠1，或k＜0可知：方程x2＋ky2＝1不行能为抛物线．答案：D4．曲线y＝xx＋2在点(－1，－1)处的切线方程为()A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2解析：由y＝xx＋2，得y′＝2（x＋2）2，所以在点(－1，－1)处切线的斜率k＝y′|x＝－1＝2.由点斜式得切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.答案：A5．抛物线y＝14x2的焦点到准线的距离是()A.14 B.12C．2 D．4解析：方程化为标准方程为x2＝4y.所以2p＝4，p＝2.所以焦点到准线的距离为2.答案：C6．下列结论中，正确的为()①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件③“p或q”为真是“綈p”为假的必要不充分条件④“綈p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件A．①②B．①③C．②④D．③④解析：p∧q为真⇒p真q真⇒p∨q为真，故①正确，由綈p为假⇒p为真⇒p∨q 为真，故③正确．答案：B7．函数f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f (－1)与f (1)的大小关系为( ) A ．f (－1)＝f (1) B ．f (－1)＜f (1) C ．f (－1)＞f (1) D ．无法确定解析：f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， 令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，所以 f ′(1)＝－2.所以 f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)＝x 2－4x .f (1)＝－3，f (－1)＝5. 所以 f (－1)＞f (1)． 答案：C8．过点P (0，3)的直线与双曲线x 24－y 23＝1只有一个公共点，则这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：数形结合，直线与双曲线只有一个公共点，有两个可能：一是直线恰与双曲线相切，二是直线与双曲线的渐近线平行．依据图形的对称性共有4条.答案：D9．若函数f (x )＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1在区间(0，4)上是减函数，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13 B.⎝⎛⎦⎥⎤0，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，13 解析：f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x .由题意知3kx 2＋6(k －1)x ≤0. 即kx ＋2k －2≤0在(0，4)上恒成立， 得k ≤2x ＋2，x ∈(0，4)又13＜2x ＋2＜1，所以 k ≤13. 答案：D10．以正方形ABCD 的相对顶点A ，C 为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为( )A.10－23 B.5－13 C.5－12D.10－22解析：设正方形的边长为m ，则椭圆中的2c ＝2m ，2a ＝ 12m ＋m 2＋14m 2＝1＋52m ，故椭圆的离心率为ca ＝221＋5＝10－22.答案：D11．已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则( ) A ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞－12B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜－12C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜－12D ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞－12解析：函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则f ′(x )＝ln x －2ax＋1有两个零点，即方程ln x ＝2ax －1有两个极根，由数形结合易知0＜a ＜12且0＜x 1＜1＜x 2.由于在(x 1，x 2)上f (x )递增，所以f (x 1)＜f (1)＜f (x 2)，即f (x 1)＜－a ＜f (x 2)， 所以f (x 1)＜0，f (x 2)＞－12.答案：D12．设e 1，e 2分别为具有公共焦点F 1与F 2的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足PF 1→·PF 2→＝0，则e 21＋e 22（e 1e 2）2的值为( )A.12B ．1C ．2D ．4 解析：设椭圆长半轴长为a 1，双曲线实半轴长为a 2， 则|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，||PF 1|－|PF 2||＝2a 2.平方相加得|PF 1|2＋|PF 2|2＝2a 21＋2a 22.又由于PF 1→·PF 2→＝0， 所以 PF 1⊥PF 2，所以 |PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， 所以a 21＋a 22＝2c 2，所以a 21c 2＋a 22c 2＝2， 即1e 21＋1e 22＝e 21＋e 22e 21e 22＝2. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．函数f (x )＝x ＋1x的极大值是________，微小值是________．解析：f ′(x )＝1－1x 2(x ≠0)，由f ′(x )＝0得x ＝±1，当x ＜－1时，f ′(x )＞0，当－1＜x ＜0时f ′(x )＜0，则f (x )有极大值f (－1)＝－2；又当0＜x ＜1时f ′(x )＜0，当x ＞1时f ′(x )＜0，则f (x )有微小值f (1)＝2.答案：－2 214．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4，0)的直线l 与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，当y 21＋y 22＝32时，直线l 的方程为________．解析：y 21＋y 22＝4(x 1＋x 2)＝32，所以 x 1＋x 2＝8，所以 线段AB 的中点的横坐标为4. 答案：x ＝415．抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝________．解析：依题意，设抛物线的焦点为F ，点Q 的横坐标是x 0(x 0≥0)，则有|QF |＝x 0＋p 2的最小值是p2＝1，则p ＝2.答案：216．下列命题中，正确命题的序号是________．①可导函数f (x )在x ＝1处取极值则f ′(1)＝0；②若p 为：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0，则綈p 为：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0；③若椭圆x 216＋y 225＝1两焦点为F 1，F 2，弦AB 过F 1点，则△ABF 2的周长为16.解析：命题③中，椭圆焦点在y 轴上，a 2＝25，故△ABF 2的周长为4a ＝20，故命题③错误．答案：①②三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求适合下列条件的标准方程： (1)已知椭圆经过点P (－5，0)，Q (0，3)，求它的标准方程；(2)已知双曲线的离心率e ＝2，经过点M (－5，3)，求它的标准方程． 解：(1)已知椭圆经过点P (－5，0)，Q (0，3)，可得焦点在x 轴，所以 a ＝5，b ＝3，则标准方程：x 225＋y29＝1；(2)由于离心率e ＝2，所以 a ＝b ，又经过点M (－5，3)， 所以 ⎩⎪⎨⎪⎧25a 2－9b 2＝1，a ＝b ，解得：a 2＝b 2＝16或⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－25b 2＝1，a ＝b ，无解． 所以 双曲线C 的标准方程为：x 216－y 216＝1.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝13x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象过点(0，3)，且在(－∞，－1)和(3，＋∞)上为增函数，在(－1，3)上为减函数．(1)求f (x )的解析式； (2)求f (x )在R 上的极值．解：(1)由于f (x )的图象过点(0，3)，所以 f (0)＝d ＝3所以 f (x )＝13x 3＋bx 2＋cx ＋3，所以 f ′(x )＝x 2＋2bx ＋c .又由已知得x ＝－1，x ＝3是f ′(x )＝0的两个根．所以 ⎩⎨⎧－1＋3＝－2b ，－1×3＝c ，所以 ⎩⎨⎧b ＝－1，c ＝－3.故f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋3.(2)由已知可得x ＝－1是f (x )的极大值点，x ＝3是f (x )的微小值点． 所以 f (x )极大值＝f (－1)＝143，f (x )微小值＝f (3)＝－6.19．(本小题满分12分)已知命题p ：方程x 2t ＋1＋y 23－t ＝1所表示的曲线为焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：实数t 满足不等式t 2－(a －1)t －a ＜0.(1)若命题p 为真，求实数t 的取值范围；(2)若命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解：(1)由于方程x 2t ＋1＋y 23－t ＝1所表示的曲线为焦点在y 轴上的椭圆，所以 3－t ＞t ＋1＞0，解得：－1＜t ＜1. (2)由于命题p 是命题q 的充分不必要条件，所以 －1＜t ＜1是不等式t 2－(a －1)t －a ＝(t ＋1)(t －a )＜0解集的真子集． 法一：因方程t 2－(a －1)t －a ＝(t ＋1)(t －a )＝0两根为－1，a .故只需a ＞1. 法二：令f (t )＝t 2－(a －1)t －a ，因f (－1)＝0，故只需f (1)＜0，解得：a ＞1.20．(本小题满分12分)某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交3元的管理费，估计当每件产品的售价为x (9≤x ≤11)元时，一年的销售量为(12－x )2万件．(1)求分公司一年的利润y (万元)与每件产品的售价的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润y 最大，并求出y 的最大值．解：(1)分公司一年的利润y (万元)与售价x 的函数关系式为L ＝(x －3－3)(12－x )2＝(x －6)(114＋x 2－24x )＝x 3－30x 2＋288x －864，x ∈[9，11]；(2)函数的导数为y ′＝3x 2－60x ＋288＝ 3(x 2－20x ＋96)＝3(x －12)(x －8)， 当x ∈[9，11]时，y ′＜0，L 单调递减， 于是当每件产品的售价x ＝9时，该分公司一年的利润最大，且最大利润y max ＝27万元．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12ax 2－(2a ＋1)x ＋2ln x (a ∈R )．(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1和x ＝3处的切线相互平行，求a 的值； (2)求y ＝f (x )的单调区间． 解：f ′(x )＝ax －(2a ＋1)＋2x (x ＞0)．(1)f ′(1)＝f ′(3)，解得a ＝23.(2)f ′(x )＝（ax －1）（x －2）x (x ＞0)．①当a ≤0时，x ＞0，ax －1＜0，在区间(0，2)上，f ′(x )＞0；在区间(2，＋∞)上f ′(x )＜0，故f (x )的单调递增区间是(0，2)，单调递减区间是(2，＋∞)．②当0＜a ＜12时，1a ＞2，在区间(0，2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上，f ′(x )＞0；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a 上，f ′(x )＜0，故f (x )的单调递增区间是(0，2)和⎝⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞，单调递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫2，1a .③当a ＝12时，f ′(x )＝（x －2）22x，故f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)．④当a ＞12时，0＜1a ＜2，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(2，＋∞)上，f ′(x )＞0；在区间⎝⎛⎭⎪⎫1a ，2上，f ′(x )＜0，故f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 和(2，＋∞)，单调递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫1a ，2.22．(本小题满分12分)已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1和F 2，且|F 1F 2|＝2，点⎝⎛⎭⎪⎫1，32在该椭圆上． (1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的面积为 1227.求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解：(1)由题意知c ＝1，2a ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝4，a ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)①当直线l ⊥x 轴时，可取A ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，△AF 2B 的面积为3，不符合题意． ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，代入椭圆方程得： (3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，明显Δ＞0成立， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2. 可得|AB |＝12（k 2＋1）3＋4k 2， 又圆F 2的半径r ＝2|k |1＋k2，所以 △AF 2B 的面积为12|AB |r ＝12|k |k 2＋13＋4k 2＝1227， 化简得：17k 4＋k 2－18＝0，得k ＝±1， 所以 r ＝2，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.。
2022-2021年《金版学案》数学·选修1-1(人教A版)习题：3.4生活中的优化问题举例
第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例A 级 基础巩固 一、选择题1．把长为12 cm 的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是( )A.323 cm 2 B ．4 cm 2 C ．3 2 cm 2D ．2 3 cm 2解析：设一个正三角形的边长为x cm ，则另一个正三角形的边长为(4－x )cm ，则这两个正三角形的面积之和为S ＝34x 2＋34(4－x )2＝32[(x －2)2＋4]≥23(cm 2)．答案：D2．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )＝－x 3900＋400x ，0≤x ≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300解析：由题意可得总利润P (x )＝－x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390，由P ′(x )＝0，得x ＝300.当0≤x ＜300时，P ′(x )＞0；当300＜x ≤390时，P ′(x )＜0，所以当x ＝300时，P (x )最大．答案：D3．将8分为两个非负数之和，使其立方和最小，则这两个数为( ) A ．2和6 B ．4和4 C ．3和5D ．以上都不对解析：设一个数为x ，则另一个数为8－x ，其立方和y ＝x 3＋(8－x )3＝83－192x ＋24x 2且0≤x ≤8，y ′＝48x －192.令y ′＝0，即48x －192＝0，解得x ＝4.当0≤x ＜4时，y ′＜0；当4＜x ≤8时，y ′＞0，所以当x ＝4时，y 取得微小值，也是最小值．答案：B4．做一个容积为256 m 3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( ) A ．6 m B ．8 m C ．4 m D ．2 m解析：设底面边长为x m ，高为h m ．则有x 2h ＝256， 所以h ＝256x 2.所用材料的面积设为S m 2，则有S ＝4x ·h ＋x 2＝4x ·256x 2＋x 2＝256×4x ＋x 2.S ′＝2x －256×4x 2，令S ′＝0得x ＝8，因此h ＝25664＝4(m)．答案：C5．假如圆柱截面的周长l 为定值，则体积的最大值为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63π B.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 33π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43π D.14⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43π 解析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，则4r ＋2h ＝l ，所以 h ＝l －4r 2，V ＝πr 2h ＝l 2πr 2－2πr 3⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜r ＜l 4. 则V ′＝l πr －6πr 2，令V ′＝0，得r ＝0或r ＝l6，而r ＞0，所以 r ＝l6是其唯一的极值点．所以 当r ＝l6时，V 取得最大值，最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63π.答案：A 二、填空题6．某商品每件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．解析：由题意知，利润S (x )＝(x －30)(200－x )＝－x 2＋230x －6000(30≤x ≤200)，所以S ′(x )＝－2x ＋230，令S ′(x )＝0，解得x ＝115.当30≤x ＜115时，S ′(x )＞0；当115＜x ≤200时，S ′(x )＜0，所以当x ＝115时，利润S (x )取得极大值，也是最大值．答案：1157．已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为________米．解析：设广场的长为x 米，则宽为40 000x 米，于是其周长为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋40 000x (x＞0)，所以y ′＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－40 000x 2， 令y ′＝0，解得x ＝200(x ＝－200舍去)，这时y ＝800.当0＜x ＜200时，y ′＜0；当x ＞200时，y ′＞0.所以当x ＝200时，y 取得最小值，故其周长至少为800米．答案：8008．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．解析：设圆柱的底面半径R ，母线长为L ，则V ＝πR 2L ＝27π，所以L ＝27R 2.要使用料最省，只需使圆柱表面积最小．S 表＝πR 2＋2πRL ＝πR 2＋2π·27R，令S ′表＝2πR －54πR2＝0，得R ＝3，即当R ＝3时，S 表最小．答案：3 三、解答题9.如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？解：设广告的高和宽分别为x cm ，y cm ，则每栏的高和宽分别为x －20，y －252，其中x ＞20，y ＞25.两栏面积之和为2(x －20)· y －252＝18 000，由此得y ＝18 000x －20＋25.广告的面积S ＝xy ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫18 000x －20＋25＝18 000x x －20＋25x ， 所以 S ′＝18 000[（x －20）－x ]（x －20）2＋25＝－360 000（x －20）2＋25. 令S ′＞0得x ＞140，令S ′＜0得20＜x ＜140.所以 函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20，140)上单调递减，所以 S (x )的最小值为S (140)．当x ＝140时，y ＝175.即当x ＝140，y ＝175时，S 取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小．10．现有一批货物由海上从A 地运往B 地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A 地到B 地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．(1)把全程运输成本y (元)表示为速度x (海里/时)的函数； (2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度航行？解：(1)依题意得y ＝500x (960＋0.6x 2)＝480 000x ＋300x ，且由题意知函数的定义域为(0，35]，即y ＝480 000x＋300x (0＜x ≤35)．(2)由(1)得y ′＝－480 000x 2＋300，令y ′＝0，解得x ＝40或x ＝－40(舍去)．由于函数的定义域为(0，35]，所以函数在定义域内没有极值点．又当0＜x ≤35时，y ′＜0，所以函数y ＝480 000x ＋300x 在(0，35]上单调递减，故当x ＝35时，函数y＝480 000x ＋300x 取得最小值．故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度航行．B 级 力量提升1．某公司的盈利y (元)和时间x (天)的函数关系是y ＝f (x )，且f ′(100)＝－1，这个数据说明在第100天时( )A ．公司已经亏损B ．公司的盈利在增加C ．公司的盈利在渐渐削减D ．公司有时盈利有时亏损解析：由于f ′(100)＝－1，所以函数图象在x ＝100处的切线的斜率为负值，说明公司的盈利在渐渐削减．答案：C2．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2(万元)与仓库到车站的距离成正比．假如在距离车站10千米处建仓库，y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．解析：依题意可设每月土地占用费y 1＝k 1x ，每月库存货物的运费y 2＝k 2x ，其中x 是仓库到车站的距离，k 1，k 2是比例系数．于是由2＝k 110，得k 1＝20；由8＝10k 2，得k 2＝45.因此，两项费用之和为y ＝20x ＋4x5(x ＞0)，y ′＝－20x 2＋45，令y ′＝0，得x ＝5或x ＝－5(舍去)．当0＜x ＜5时，y ′＜0；当x ＞5时，y ′＞0.因此，当x ＝5时，y 取得微小值，也是最小值．故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．答案：53．某公司生产某种产品的固定成本为20 000元，每生产1吨该产品需增加投入100元，已知总收益满足函数R (x )＝⎩⎨⎧400 x －12x 2（0≤x ≤400），80 000（x ＞400），其中x 是该产品的月产量(单位：吨)． (1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，该公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000（0≤x ≤400），60 000－100x （x ＞400）.(2)当0≤x ≤400时，f ′(x )＝－x ＋300， 当0≤x ＜300时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数； 当x ＞300时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数；所以 当x ＝300时，f (x )取得极大值，也是最大值，且最大值为25 000. 当x ＞400时，f (x )＝60 000－100x ，易知f (x )是减函数， 所以 f (x )＜60 000－100×400＝20 000＜25 000， 综上，当x ＝300时，f (x )有最大值25 000.即当月产量为300吨时，利润最大，最大利润为25 000元．。
2019秋 金版学案 数学选修1-1(人教版)练习：第三章 章末复习课 含答案解析
章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．关于切线的注意点在确定曲线在某点处切线的方程时，一定要首先确定此点是否为切点，若此点是切点，则曲线在该点处切线的斜率即为该点的导数值，若此点不是切点，则需应先设切点，再求斜率，写出直线的方程．2．求函数单调区间的两个关注点单调区间的求解过程中，应关注两点：(1)不要忽略y＝f(x)的定义域；(2)增(减)区间有多个时，用“，”或者用“和”连接，切不可用“∪”连接．3．函数单调性与导数的关系的注意点若函数f(x)可导，其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明．f′(x)＞0与f(x)为增函数的关系：f′(x)＞0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0，所以f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件．4．可导函数的极值与导数的关系的注意点x0为极值点能推出f′(x0)＝0，但反之不一定．f′(x0)＝0是x0为极值点的必要而不充分条件．x0是极值点的充要条件是f′(x0)＝0，且x0点两侧导数异号．5．函数的最值与极值的注意点(1)函数的最值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的．函数的极值可以有多个，但最大(小)值最多只能有一个．(2)在闭区间上求函数的最大值和最小值，应把极值点的函数值与两端点的函数值进行比较，不可直接用极大(小)值替代最大(小)值．专题1导数的运算与导数的几何意义在导数的运算中，要熟练掌握基本导数公式和运算法则．由于函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，因此关于曲线的切线问题可尝试用导数的方法解决．[例❶]已知函数y＝x ln x.(1)求这个函数的导数；(2)求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．解：(1)因为y＝x ln x，所以y′＝(x ln x)′＝x′(ln x)＋(ln x)′·x＝1·ln x＋1x·x＝ln x＋1(x>0)．(2)由导数的几何意义得函数的图象在点x＝1处的切线斜率k＝y′|x＝1＝ln 1＋1＝1.又当x＝1时，y＝1×ln 1＝0，即切点为(1，0)，所以所求的切线方程为y－0＝1·(x－1)，即x－y－1＝0.归纳升华1．函数y＝f(x)在点x0处的导数为f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，因此关于曲线的切线问题可尝试用导数的方法解决．2．求曲线y＝f(x)过点P(x0，f(x0))的切线方程：设切点Q(x1，f(x1))，则切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，把点P的坐标代入切线方程解得x1，再回代到切线方程中．[变式训练]已知曲线y＝x ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0.求切点坐标与c的值．解：因为y＝x ln x，所以y′＝1·ln x＋1x·x＝ln x＋1(x>0)．设切点为(x0，x0ln x0)．由切线方程x－y＋c＝0知，切线斜率k＝1.所以ln x0＋1＝1，即x0＝1，x0ln x0＝0.所以切点为(1，0)，所以1－0＋c＝0，即c＝－1.专题2利用导数研究函数的性质把导数作为数学工具，求解单调区间，研究函数的极大(小)值，以及求在闭区间[a，b]的最大(小)值是本章的重点．利用导数求函数的单调性是基础，求极值是关键，学习时一定要熟练它们的求解方法．[例2] 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R)在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，讨论g (x )的单调性． 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x .因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝3a ·169＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.经检验满足题意．(2)由(1)知g (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x ，定义域为R ，所以g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x＝⎝ ⎛12x 3＋⎭⎪⎫52x 2＋2x e x ＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x .令g ′(x )＝0，解得x ＝0，x ＝－1或x ＝－4. 当x <－4时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当－4<x <－1时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数； 当－1<x <0时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当x >0时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数．综上知，g (x )在(－∞，－4)和(－1，0)内为减函数， 在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数． 归纳升华1．利用导数求可导函数的单调区间的一般步骤： (1)确定函数y ＝f (x )的定义域． (2)求f ′(x )．(3)解不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0. (4)不等式的解集与定义域取交集．(5)确定并写出函数的单调递增区间或单调递减区间． 2．关于函数的极值、最值与导数的关注点：(1)已知极值点求参数的值后，要回代验证参数值是否满足极值的定义． (2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f ′(x )的正负． (3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者．[变式训练] 已知函数f (x )＝x 3－3ax 2＋2bx 在x ＝1处有极小值－1. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在闭区间[－2，2]上的最大值和最小值．解：(1)f ′(x )＝3x 2－6ax ＋2b ，因为f (x )在点x ＝1处有极小值－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝0，f （1）＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋2b ＝0，1－3a ＋2b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝－12.所以 f (x )＝x 3－x 2－x ，f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＞0，得x ＞1或x ＜－13；令f ′(x )＜0，得－13＜x ＜1.所以 函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13和(1，＋∞)，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1.(2)由(1)，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示：↗↘↗小值－10，所以函数f(x)在闭区间[－2，2]上的最大值为2，最小值为－10.专题3利用导数求参数的取值范围导数中的参数问题实质上是利用导数求解切线问题、单调性问题、极值问题的逆向思维型问题，此类问题主要是利用导数的几何意义及导数与函数的单调性、极值的关系，并结合函数与方程思想、分类讨论思想等来解答的．[例3]已知函数f(x)＝ax－ln x，若f(x)＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，求实数a的取值范围．解：由已知得a＞1＋ln xx在区间(1，＋∞)内恒成立．设g(x)＝1＋ln xx，则g′(x)＝－ln xx2.因为x＞1，所以g′(x)＜0.所以g(x)＝1＋ln xx在区间(1，＋∞)内单调递减，所以g(x)＜g(1)，即g(x)＜1在区间(1，＋∞)内恒成立．故a≥1.归纳升华已知函数的单调性求参数的取值范围可转化为不等式在某区间上恒成立问题，即f′(x)≥0[或f′(x)≤0]恒成立，用分离参数求最值或函数性质求解，注意验证使f′(x)＝0的参数是否符合题意．[变式训练]设函数f(x)＝a2ln x－x2＋ax，a＞0.(1)求f(x)的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立． 注：e 为自然对数的底数．解：(1)因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x ＞0， 所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－（x －a ）（2x ＋a ）x .由于a ＞0，所以f (x )的递增区间为(0，a )， 递减区间为(a ，＋∞)．(2)由题意得f (1)＝a －1≥e －1，即a ≥e. 由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增， 要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝a －1≥e －1，f （e ）＝a 2－e 2＋a e ≤e 2， 解得a ＝e.专题4 分类讨论思想分类讨论思想是一种重要的数学思想，运用分类讨论思想，必须理解为什么分类、如何分类以及最后如何整合，只有分类标准明确，分类才能不重不漏．本章中求单调区间、求参数的取值范围、求极值和最值以及恒成立问题，常常用到分类讨论思想．[例❹] 设a >0，讨论函数f (x )＝ln x ＋a (1－a )x 2－2(1－a )x 的单调性． 解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2a （1－a ）x 2－2（1－a ）x ＋1x.当a ≠1时，方程2a (1－a )x 2－2(1－a )x ＋1＝0的判别式Δ＝4(1－a )2－8a (1－a )＝12a 2－16a ＋4＝12(a －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a －13.(1)当0<a <13时，Δ>0，f ′(x )有两个零点，x 1＝12a －（a －1）（3a －1）2a （1－a ）>0，x 2＝12a ＋（a －1）（3a －1）2a （1－a ）>0，且当0<x <x 1或x >x 2时，f ′(x )>0，f (x )在(0，x 1)，(x 2，＋∞)内均为增函数；当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0，f (x )在(x 1，x 2)内为减函数．(2)当13≤a <1时，Δ≤0，f ′(x )≥0，f (x )在(0，＋∞)内为增函数；(3)当a ＝1时，f ′(x )＝1x >0(x >0)，f (x )在(0，＋∞)内为增函数；(4)当a >1时，Δ>0，x 1＝12a －（a －1）（3a －1）2a （1－a ）>0，x 2＝12a ＋（a －1）（3a －1）2a （1－a ）<0，所以f ′(x )在定义域内有唯一零点x 1，且当0<x <x 1时，f ′(x )>0，f (x )在(0，x 1)内为增函数；当x >x 1时，f ′(x )<0，f (x )在(x 1，＋∞)内为减函数．综上可知，f (x )的单调区间如下表：⎝ ⎛其中x 1＝12a －（a －1）（3a －1）2a （1－a ），⎭⎪⎪⎫x 2＝12a ＋（a －1）（3a －1）2a （1－a ） 归纳升华分类讨论的原则和步骤1．原则：要有明确的分类标准．2．分类讨论的一般步骤：先明确讨论对象，确定对象的范围，再确定分类标准，合理分类，逐类求解，最后归纳总结得出结论．[变式训练] 已知a ，b 为常数且a ＞0，f (x )＝x 3＋32(1－a )x 2－3ax ＋b .(1)函数f (x )的极大值为2，求a ，b 间的关系式；(2)函数f (x )的极大值为2，且在区间[0，3]上的最小值为－232，求a ，b的值．解：(1)f ′(x )＝3x 2＋3(1－a )x －3a ＝3(x －a )·(x ＋1)， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝a ， 因为a ＞0，所以x 1＜x 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况见下表：x (－∞，－1)－1 (－1，a ) a (a ，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗即3a ＋2b ＝3.(2)①当0＜a ＜3时，由(1)知，f (x )在[0，a )上为减函数，在[a ，3]上为增函数，所以f (a )为最小值，f (a )＝－12a 3－32a 2＋b .即－12a 3－32a 2＋b ＝－232，又有b ＝3－3a 2，于是有a 3＋3a 2＋3a －26＝0，即(a ＋1)3＝27， 解得a ＝2，b ＝－32.②若a ＞3，f (x )在[0，3]上单调递减，则在x ＝3处取得最小值，f (3)＝27＋32×(1－a )×9－9a ＋b ＝－232.又因为3a ＋2b ＝3，解得a ＝3516＜3与a ＞3矛盾．综上：a ＝2，b ＝－32.。
2019秋 金版学案 数学选修1-1(人教版)练习：模块综合评价(一) Word版含解析
模块综合评价(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R ，2x －1＞0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2＞0C ．∃x ∈R ，lg x ＜1D ．∃x ∈R ，tan x ＝2解析：当x ＝1∈N *时，x －1＝0，不满足(x －1)2＞0，所以 B 为假命题．答案：B2．“a ＝－1”是“函数f (x )＝ax 2＋(a －1)x －1有且只有一个零点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＝－1时，易知函数f (x )有且只有一个零点，故充分性成立；当a ＝0时，函数f (x )也有且只有一个零点，故必要性不成立．答案：A3．与双曲线－x 2＝1共焦点，且过点(1，2)的椭圆的标准方程为y 25( )A.＋＝1B.＋＝1x 28y 22x 210y 24C.＋＝1 D.＋＝1y 28x 22y 210x 24解析：由题知，焦点在y 轴上，排除A ，B ，将(1，2)代入C ，D可得C 正确，故选C.答案：C4．函数f (x )＝e x ln x 在点(1，f (1))处的切线方程是( )A ．y ＝2e(x －1) B ．y ＝e x －1C ．y ＝e(x －1) D ．y ＝x －e解析：因为f ′(x )＝e x，(ln x ＋1x)所以f ′(1)＝e.又f (1)＝0，所以所求的切线方程为y ＝e(x －1)．答案：C 5．设F 为抛物线C ：y 2＝4x的焦点，曲线y ＝(k >0)与C 交于点P ，kxPF ⊥x 轴，则k ＝( )A. B ．112C. D ．232解析：根据抛物线的方程求出焦点坐标，利用PF ⊥x 轴，知点P ，F的横坐标相等，再根据点P 在曲线y ＝上求出k .kx因为y 2＝4x ，所以F (1，0)．又因为曲线y ＝(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，所以P (1，2)．k x将点P (1，2)的坐标代入y ＝(k >0)得k ＝2.故选D.kx答案：D6．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下叙述正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )解析：依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0；当x ∈(c ，e )时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0.因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，在(c ，e )上是减函数，在(e ，＋∞)上增函数，又a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )，选C.答案：C7．函数f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f (－1)与f (1)的大小关系为( )A ．f (－1)＝f (1) B ．f (－1)＜f (1)C ．f (－1)＞f (1) D ．无法确定解析：f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，所以 f ′(1)＝－2.所以 f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)＝x 2－4x .f (1)＝－3，f (－1)＝5.所以 f (－1)＞f (1)．答案：C8．若椭圆＋＝1(a >b >0)的离心率为，则双曲线－＝1的x 2a 2y 2b 232x 2a 2y 2b 2渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2x 12C ．y ＝±4xD ．y ＝±x14解析：由椭圆的离心率e ＝＝，可知＝＝，所以＝，c a 32c 2a 2a 2－b 2a 234b a 12故双曲线－＝1的渐近线方程为y ＝±x .x 2a 2y 2b 212答案：A9．若函数y ＝ax 与y ＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bxb x 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增解析：y ＝ax 与y ＝－在(0，＋∞)上都是减函数，所以a <0，b <0，bx 二次函数y ＝ax 2＋bx的对称轴为x ＝－<0，且函数图象开口向下，b2a所以在区间(0，＋∞)上单调递减．答案：B10．以正方形ABCD 的相对顶点A ，C 为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为( )A.B.10－235－13C.D.5－1210－22解析：设正方形的边长为m ，则椭圆中的2c ＝m ，2a ＝2m ＋＝m ，故椭圆的离心率为＝＝.12m 2＋14m 21＋52c a 221＋510－22答案：D11．已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则( )A ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞－12B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜－12C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜－12D ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞－12解析：函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则f ′(x )＝ln x －2ax ＋1有两个零点，即方程ln x ＝2ax －1有两个极根，由数形结合易知0＜a ＜且0＜x 1＜1＜x 2.因为在(x 1，x 2)上f (x )递12增，所以f (x 1)＜f (1)＜f (x 2)，即f (x 1)＜－a ＜f (x 2)，所以f (x 1)＜0，f (x 2)＞－.12答案：D12．已知抛物线y 2＝4x 的准线过椭圆＋＝1(a >b >0)的左焦点，x 2a 2y2b2且与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，△AOB 的面积为，则椭圆32的离心率为( )A. B.2312C. D.1314解析：因为抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，抛物线y 2＝4x 的准线过椭圆＋＝1(a >b >0)的左焦点，x 2a 2y2b2所以椭圆的左焦点坐标为(－1，0)，所以c ＝1，因为O 为坐标原点，△AOB 的面积为，32所以××1＝，所以＝＝，122b 2a 32b 2a a 2－1a32整理得2a 2－3a －2＝0，解得a ＝2或a ＝－(舍)，12所以e ＝＝.故选B.c a 12答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．椭圆＋＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝10，x 264y 248则S △PF 1F 2＝________．解析：由已知：a 2＝64，b 2＝48，c 2＝16，又因为P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝16.因为|PF 1|＝10，所以|PF 2|＝6.因为|F 1F 2|＝2c ＝8，所以△PF 1F 2为直角三角形，且∠PF 2F 1＝90°，所以S △PF 1F 2＝×6×8＝24.12答案：2414．若函数f (x )＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1在区间(0，4)上是减函数，则k 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x .当k <0时，f ′(x )<0在区间(0，4)上恒成立，即f (x )在区间(0，4)上是减函数，故k <0满足题意．当k ≥0时，则由题意，知解得0≤k ≤.{k ≥0，f ′（4）≤0，)13综上，k 的取值范围是k ≤.13答案：(－∞，13]15．设F 1，F 2是椭圆＋＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|x 23y 24－|PF 2|＝1，则cos ∠F 1PF 2＝________．解析：椭圆焦点在y 轴上，a 2＝4，b 2＝3，c ＝1，又P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝4，又|PF 1|－|PF 2|＝1，所以|PF 1|＝，|PF 2|＝，又|F 1F 2|＝2c ＝2，5232所以cos ∠F 1PF 2＝＝.(52)2 ＋(32)2－42×52×3235答案：3516．在下列结论中：①“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件；②“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件；③“p 或q ”为真是“¬p ”为假的必要不充分条件；④“¬p ”为真是“p 且q ”为假的必要不充分条件．正确的结论为________(填序号)．解析：①中p 且q 为真⇒p ，q 都为真⇒p 或q 为真，p 或q为真p 且q 为真；②中p 且q 为假p 或q 为真；③中p 或q 为真⇒p ，q 至少有一个为真¬p 为假，¬p 为假⇒p 为真⇒p 或q 为真；④中p 且q 为假¬p 为真．答案：①③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知命题p ：f (x )＝x ＋在区间[1，＋∞)上ax 是增函数；命题q ：g (x )＝x 3＋ax 2＋3x ＋1在R 上有极值．若命题“p ∨q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解：因为f (x )＝x ＋在区间[1，＋∞)上是增函数，ax 则f ′(x )＝1－≥0在[1，＋∞)上恒成立，ax 2即a ≤x 2在[1，＋∞)上恒成立，所以a ≤(x 2)min ，所以a ≤1.所以命题p 为真时：A ＝{a |a ≤1}．要使得g (x )＝x 3＋ax 2＋3x ＋1在R 上有极值，则g ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3＝0有两个不相等的实数解，Δ＝4a 2－4×3×3>0，解得a <－3或a >3.所以命题q 为真时：B ＝{a |a <－3或a >3}．因为命题“p ∨q ”为真命题，所以p 真或q 真或p 、q 都为真．因为A ∪B ＝{a |a ≤1或a >3}．所以所求实数a 的取值范围为(－∞，1]∪(3，＋∞)．18．(本小题满分12分)如图，已知椭圆E ：＋＝1(a >b >0)的左x 2a 2y 2b 2顶点为A (－2，0)，且点在椭圆上，F 1，F 2分别是椭圆的左、(－1，32)右焦点，过点A 作斜率为k (k >0)的直线交椭圆E 于另一点B ，直线BF 2交椭圆E 于点C.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若F 1C ⊥AB ，求k 的值．解：(1)由题意得解得{a ＝2，a 2＝b 2＋c 2，1a 2＋94b2＝1，){a ＝2，b ＝3，c ＝1，)所以椭圆E 的标准方程为＋＝1.x 24y 23(2)设直线AB 的方程l AB 为y ＝k (x ＋2)，由得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，{y ＝k （x ＋2），x 24＋y 23＝1，)所以x A ·x B ＝－2x B ＝，16k 2－123＋4k2所以x B ＝，所以y B ＝k (x B ＋2)＝，－8k 2＋63＋4k 212k3＋4k 2所以B.(－8k 2＋63＋4k 2，12k3＋4k2)若k ＝，则B ，所以C ，12(1，32)(1，－32)又F 1(－1，0)，所以kCF 1＝－，34所以F 1C 与AB 不垂直，所以k ≠.12因为F 2(1，0)，kBF 2＝，kCF 1＝－＝－，4k 1－4k 21k AB 1k 所以直线BF 2的方程lBF 2为y ＝(x －1)，4k1－4k2直线CF 1的方程lCF 1为y ＝－(x ＋1)，1k由解得{y ＝4k1－4k2（x －1），y ＝－1k（x ＋1），){x ＝8k 2－1，y ＝－8k ，)所以C (8k 2－1，－8k )．又点C 在椭圆上，则＋＝1，（8k 2－1）24（－8k ）23即(24k 2－1)(8k 2＋9)＝0，解得k 2＝.124因为k >0，所以k ＝.61219．(本小题满分12分)设函数f (x )＝－x (x －a )2(x ∈R)，其中a ∈R 且a ≠0，求函数f (x )的极大值和极小值．解：f ′(x )＝－(3x －a )(x －a )，令f ′(x )＝0，解得x ＝a 或x ＝.a 3现分两种情况讨论如下：(1)若a >，即a >0，则x ∈时，f ′(x )<0；a 3(－∞，a3)x ∈时，f ′(x )>0；x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )<0.(a3，a )因此，函数f (x )在x ＝处取得极小值－a 3，a 3427在x ＝a 处取得极大值0.(2)若a <，即a <0，则x ∈(－∞，a )时，f ′(x )<0；a3x ∈时，f ′(x )>0；(a ，a3)x ∈时，f ′(x )<0.(a3，＋∞)因此，函数f (x )在x ＝处取得极大值－a 3，在x ＝a 处取得极小a 3427值0.20．(本小题满分12分)设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝，已知点P 到这个椭圆上的点的最远距离是，求32(0，32)7这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的距离等于的点的坐标．7解：设所求椭圆方程为＋＝1(a >b >0)，x 2a 2y 2b 2由e ＝＝＝，得a ＝2b .①c a a 2－b 2a32设椭圆上任一点M 的坐标为(x ，y )，点M 到点P 的距离为d ，则x 2＝a 2－，a 2y 2b2且d 2＝x 2＋(y －32)2＝a 2－y 2＋a 2b 2(y －32)2 ＝－3y 2－3y ＋4b 2＋94＝－3＋4b 2＋3，(y ＋12)2其中－b ≤y ≤b .如果b <，则当y ＝－b 时，d 2取得最大值，12即有()2＝，7(b ＋32)2解得b ＝－>与b <矛盾．7321212如果b ≥，则当y ＝－时，1212d 2取得最大值，即有()2＝4b 2＋3.②7由①②可得b ＝1，a ＝2.所求椭圆方程为＋y 2＝1.x 24由y ＝－可得椭圆上到点P 的距离等于的点的坐标为127和.(－3，－12)(3，－12)21．(本小题满分12分)直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，是否存在这样的实数a ，使A ，B 关于直线l ：y ＝2x 对称？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解：不存在．理由如下：设存在实数a ，使A ，B 关于直线l ：y ＝2x 对称，并设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点坐标为.(x 1＋x 22，y 1＋y 22)依题设有＝2·，y 1＋y 22x 1＋x 22即y 1＋y 2＝2(x 1＋x 2)，①又A ，B 在直线y ＝ax ＋1上，所以y 1＝ax 1＋1，y 2＝ax 2＋1，所以y 1＋y 2＝a (x 1＋x 2)＋2，②由①②，得2(x 1＋x 2)＝a (x 1＋x 2)＋2.即(2－a )(x 1＋x 2)＝2.③联立得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0，{y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1)所以x 1＋x 2＝.④2a 3－a2把④代入③，得(2－a )·＝2，解得a ＝，2a 3－a 232所以k AB ＝，而k l ＝2，所以k AB ·k l ＝×2＝3≠－1.3232故不存在满足题意的实数a .22．(本小题满分12分)请设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S (单位：cm 2)最大，试求此时x 的值；(2)若厂商要求包装盒容积V (单位：cm 3)最大，试求此时x 的值，并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：(1)S ＝4×x ·＝240x －8x 2(0<x <30)，260－2x 2所以S ′＝240－16x .令S ′＝0，则x ＝15.当0<x <15时，S ′>0，S 递增；当15<x <30时，S ′<0，S 递减．所以当x ＝15时，S 取最大值．所以，当x ＝15 cm 时，包装盒侧面积最大．(2)V ＝(x )2·(60－2x )＝2x 2(30－x )(0<x <30)，2222所以V ′＝6x (20－x )．2令V ′＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝20.当0<x <20时，V ′>0；当20<x <30时，V ′<0.所以，当x ＝20时，V 最大．此时，包装盒的高与底面边长的比值为＝.22（60－2x ）2x 12。
2019秋 金版学案 数学选修1-1(人教版)练习：第一章 章末复习课 含解析
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章末复习课
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[警示·易错提醒]
1．命题及其关系的关注点
(1)命题的四种形式的转换方法是首先确定原命题的条件和结论，然后对条件与结论进行交换、否定，就可以得到各种形式的命题．
[例❸]设集合A＝{x|－2－a<x<a，a>0}，命题p：1∈A，命题q：2∈A.若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则a的取值范围是()
A．0<a<1或a>2B．0<a<1或a≥2
C．1<a≤2D．1≤a≤2
解析：若p为真命题，则－2－a<1<a，解得a>1.
若q为真命题，则－2－a<2<a，解得a>2.
所以正实数a的取值范围是0＜a≤4.
专题3含逻辑联结词的命题
用逻辑联结词“且”“或”“非”正确地表述数学内容是学习数学的基本要求．本内容在高考试题中，既可以以选择题、填空题的形式单独出现，又可以渗透到解答题中．掌握本部分内容的关键是弄清含“且”“或”“非”命题的真假判断方法，即“p∧q”有假则假，“p∨q”有真则真．¬p与p真假相反．
由题意，得：“p或q”为真，“p且q”为假，
所以 或
所以1<a≤2.
答案：C
归纳升华
解答这类问题的一般步骤
1．求出命题p，q为真时参数的条件；
2．根据命题p∧q，p∨q的真假判定命题p，q的真假；
3．根据p，q的真假建立不等式(组)，求出参数的取值范围．
专题1命题及其关系
2019秋 金版学案 数学选修1-1(人教版)练习：第三章 章末复习课 Word版含解析
姓名，年级：时间：章末复习课[整合·网络构建］［警示·易错提醒]1．关于切线的注意点在确定曲线在某点处切线的方程时,一定要首先确定此点是否为切点,若此点是切点，则曲线在该点处切线的斜率即为该点的导数值，若此点不是切点，则需应先设切点，再求斜率,写出直线的方程．2．求函数单调区间的两个关注点单调区间的求解过程中,应关注两点：（1）不要忽略y＝f（x）的定义域；（2）增(减)区间有多个时，用“,”或者用“和”连接，切不可用“∪"连接．3．函数单调性与导数的关系的注意点若函数f（x）可导,其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明．f′(x)＞0与f(x)为增函数的关系：f′(x)＞0能推出f（x）为增函数，但反之不一定．如函数f(x）＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增,但f′(x）≥0，所以f′(x）＞0是f（x）为增函数的充分不必要条件．4．可导函数的极值与导数的关系的注意点x0为极值点能推出f′（x0）＝0，但反之不一定．f′（x0）＝0是x0为极值点的必要而不充分条件．x0是极值点的充要条件是f′（x0)＝0，且x0点两侧导数异号．5．函数的最值与极值的注意点（1)函数的最值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的．函数的极值可以有多个，但最大（小)值最多只能有一个．（2)在闭区间上求函数的最大值和最小值，应把极值点的函数值与两端点的函数值进行比较，不可直接用极大(小）值替代最大（小)值．专题1 导数的运算与导数的几何意义在导数的运算中，要熟练掌握基本导数公式和运算法则．由于函数y ＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f（x）在点P(x0，f(x0）)处的切线的斜率，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0）,因此关于曲线的切线问题可尝试用导数的方法解决．［例❶] 已知函数y＝x ln x。
(1)求这个函数的导数;(2)求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．解：(1)因为y＝x ln x，所以y′＝(x ln x)′＝x′(ln x)＋（ln x)′·x＝1·ln x＋错误!·x＝ln x＋1（x>0）．(2)由导数的几何意义得函数的图象在点x＝1处的切线斜率k＝y′错误!＝ln 1＋1＝1.又当x＝1时，y＝1×ln 1＝0,即切点为(1，0），所以所求的切线方程为y－0＝1·（x－1)，即x－y－1＝0.归纳升华1．函数y＝f（x）在点x0处的导数为f′(x0)就是曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0)）处的切线的斜率，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)（x－x0)，因此关于曲线的切线问题可尝试用导数的方法解决．2．求曲线y＝f（x）过点P(x0，f(x0))的切线方程：设切点Q（x1，f(x1)),则切线方程为y－f（x1)＝f′(x1）（x－x1)，把点P的坐标代入切线方程解得x1，再回代到切线方程中．［变式训练］已知曲线y＝x ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0。
金版新学案（人教版）高中数学选修1-1练习：模块综合检测（A）（含答案）
金版新学案（人教版）高中数学选修1-1练习：模块综合检测（A）（含答案）模块综合检测(A)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“任意的x ∈R,2x 4－x 2＋1<0”的否定是( )A ．不存在x ∈R,2x 4－x 2＋1<0B ．存在x ∈R,2x 4－x 2＋1<0C ．存在x ∈R,2x 4－x 2＋1≥0D ．对任意的x ∈R,2x 4－x 2＋1≥0解析：全称命题的否定是特称命题，所以该命题的否定是：存在x ∈R,2x 4－x 2＋1≥0. 答案： C2．已知f (x )＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x )等于( )A ．3x 2＋3xB ．3x 2＋3x ·ln 3＋13C ．3x 2＋3x ·ln 3D ．x 3＋3x ·ln 3 解析：(ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)′＝13的错误．答案： C3．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( )A ．p ：a ＋c >b ＋d ，q ：a >b 且c >dB ．p ：a >1，b >1，q ：f (x )＝a x －b (a >0，且a ≠1)的图象不过第二象限C ．p ：x ＝1，q ：x 2＝xD ．p ：a >1，q ：f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数解析： B ，C 中p 是q 的充分不必要条件，D 中p 是q 的充要条件．答案： A4．函数f (x )＝a ln x ＋x 在x ＝1处取得极值，则a 的值为( )A ．12C ．0D ．－12 解析：f ′(x )＝a x＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ，由题意知，当a ＝－1时，原函数在x ＝1处取得极值．答案： B5．下列四个命题：①“若x 2＋y 2＝0，则实数x ，y 均为0”的逆命题；②“相似三角形的面积相等”的否命题；③“A ∩B ＝A ，则A ?B ”的逆否命题；④“末位数不是0的数都能被3整除”的逆否命题．其中真命题为( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④解析：①的逆命题为“若实数x 、y 均为0，则x 2＋y 2＝0”，是正确的；③中，∵“A ∩B ＝A ，则A ?B ”是正确的，∴它的逆否命题也正确．答案： C6．两曲线y ＝x 2＋ax ＋b 与y ＝x －2相切于点(1，－1)处，则a ，b 的值分别为( )A ．0,2B ．1，－3C ．－1,1D ．－1，－1解析：点(1，－1)在曲线y ＝x 2＋ax ＋b 上，可得a ＋b ＋2＝0，①又y ′＝2x ＋a ，y ′|x ＝1＝2＋a ＝1，∴a ＝－1，代入①，可得b ＝－1.7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．圆C ．双曲线的一支D ．线段解析：∵P 为MF 1的中点，O 为F 1F 2的中点，∴OP ＝12MF 2，又MF 1＋MF 2＝2a ，∴PF 1＋PO ＝12MF 1＋12MF 2＝a . ∴P 的轨迹是以F 1，O 为焦点的椭圆．答案： A8．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：f ′(x )＝e x ＋(x －3)e x ＝e x (x －2)，由f ′(x )>0，得x >2.∴f (x )在(2，＋∞)上是递增的．。
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第三章 3. 1.1 3. 1.2
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知函数f (x )＝2x 2的图象上一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx
等于( ) A ．4
B ．4x
C ．4＋2Δx
D ．4＋2(Δx )2 解析： Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－2
＝2(Δx )2＋4Δx .
∴Δy Δx
＝2Δx ＋4. 答案： C
2．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( )
A ．0.41
B ．3
C ．4
D ．4.1 解析： v ＝Δs Δt ＝＋2.12－＋220.1＝0.410.1＝4.1. 答案： D
3．设函数f (x )＝ax ＋3，若f ′(1)＝3，则a 等于( )
A ．2
B ．－2
C ．3
D ．－3
解析： ∵f ′(x )＝lim Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx ＝lim Δx →0 a x ＋Δx ＋3－ax ＋Δx
＝a ， ∴f ′(1)＝a ＝3.
答案： C
4．当自变量从x 0变到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )
A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率
B ．在x 0处的变化率
C ．在x 1处的导数
D ．在区间[x 0，x 1]上的导数
解析： 根据平均变化率的定义可知，当自变量从x 0变到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比就是函数在区间[x 0，x 1]上的平均变化率．
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若函数y ＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx
等于________． 解析： Δy Δx ＝＋Δx 2－1－1Δx ＝4＋2Δx . 答案： 4＋2Δx
6．设f (x )在点x ＝x 0处可导，且f ′(x 0)＝－2，则
lim Δx →0 f x 0－f x 0－Δx Δx
等于________． 解析： lim Δx →0 f x 0
－f x 0－Δx Δx ＝lim Δx →0 f [x 0＋－Δx －f x 0－Δx
＝f ′(x 0) ＝－2.
答案： －2
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．求函数y ＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13
，哪一点附近平均变化率最大？
解析： 在x ＝1附近的平均变化率为
k 1＝f ＋Δx －f
Δx ＝＋Δx
2－1Δx
＝2＋Δx ；
在x ＝2附近的平均变化率为
k 2＝f ＋Δx －f Δx ＝＋Δx 2－22
Δx
＝4＋Δx ； 在x ＝3附近的平均变化率为
k 3＝f ＋Δx －f Δx ＝＋Δx 2－32
Δx
＝6＋Δx . 若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73
， k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193
. 由于k 1<k 2<k 3，
∴在x ＝3附近的平均变化率最大．
8．利用导数的定义，求出函数y ＝x ＋1x
在x ＝x 0处的导数，并据此求函数在x ＝1处的导数．
解析： y ′＝lim Δx →0
Δy Δx ＝lim Δx →0 x 0＋Δx ＋1x 0＋Δx －⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0Δx ＝lim Δx →0
Δx ＋－Δx x 0x 0＋Δx Δx ＝lim Δx →0 ⎣⎡⎦
⎤1－1x 0x 0＋Δx ＝1－1x 20
. 从而y ′|x ＝1＝1－112＝0.
9．(10分)一质点按规律s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．
解析： Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1
＝4a Δt ＋a (Δt )2，所以Δs Δt
＝4a ＋a Δt . 由题意知，在t ＝2 s 时，瞬时速度为s ′(2)＝lim Δt →0 Δs Δt
＝4a ， 故4a ＝8，所以a ＝2.。