§1.1.1变化率问题

课题：§1.1.1变化率及导数的概念三维目标： 1、 知识与技能⑴理解平均变化率的概念；⑵了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；⑶理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ⑷会求函数在某点的导数或瞬时变化率； ⑸理解导数的几何意义。

2、过程与方法⑴通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数；⑵通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；⑶通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。

3、情态与价值观⑴通过学生的积极参与、学习变化率与导数的知识，培养学生思维的科学性、严密性，不断认识数形结合和等价转化的数学思想；⑵通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念，从而激发学生学习数学的兴趣； ⑶通过对变化率与导数的学习，不断培养自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成，导数及几何意义的理解。

教学难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，导数及几何意义的理解。

教学过程：一、引入课题：为了描述现实世界中运动、过程等变化的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度。

二、讲解新课：【探究1】气球膨胀率同学们，相信大家都玩过气球吧,我们回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内气体的容量的增加,气球的半径增加的越来越慢, 从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是34()3V r r π=，如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么()r V 。

【分析】⑴当V 从0增加到1时,气球半径增加了(1)(0)0.62()r r dm -≈，气球的平均膨胀率为(1)(0)0.62(/)10r r dm L -≈-；⑵当V 从1增加到2时,气球半径增加了(2)(1)0.16()r r dm -≈，气球的平均膨胀率为(2)(1)0.16(/)21r r dm L -≈-。

可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了。

【思考】当空气容量从1V 增加到2V 时,气球的平均膨胀率是多少? 【答案】2121()()r V r V V V --【探究2】高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系2() 4.9 6.510h t t t =-++，如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态? 【思考1】00.5t ≤≤和12t ≤≤的平均速度v 【分析】在00.5t ≤≤这段时间里，(0.5)(0)4.05(/)0.50h h v m s -==-；在12t ≤≤这段时间里，(2)(1)8.2(/)21h h v m s -==--◆ 平均变化率概念: 函数()y f x =在区间[]12,x x 上的平均变化率为2121()()f x f x x x --①本质：如果函数的自变量的“增量”为x ∆,且21x x x ∆=-,相应的函数值的“增量”为21,()()y y f x f x ∆∆=-, 则函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率为2121()()f x f x y x x x -∆=∆- ②几何意义：两点1122(,()),(,())x f x x f x 连线的斜率（割线的斜率）；③平均变化率反映了在函数在某个区间上平均变化的趋势（变化快慢），或说在某个区间上曲线陡峭的程度。

若设2121,()()x x x y f x f x ∆=-∆=-(这里x ∆看作是对于1x 的一个“增量”可用1x x +∆代替2x ,同样21()()y f x f x ∆=-；则平均变化率为2111()()()()f x f x f x x f x y y x x x x x -+∆-∆∆===∆∆-∆。

【理解】⑴平均变化率2121()()f x f x y x x x -∆=∆-表示两点1122(,()),(,())x f x x f x 连线的斜率，是曲线陡峭程度的数量化，此时12x x <或21x x <均可；⑵为求0x 附近的变化率，上述表达式常写为00()()f x x f x x+∆-∆的形式，需要注意的是，这里的x ∆可正可负，但不能为0，而y ∆是相应的函数值的改变量，它可以为正，也可以为负，也可以为零，特别是函数为常数函数时，0y ∆=；⑶平均变化率是函数值的增量与自变量的增量之比，注意分子和分母求差的一致性。

【思考3】观察函数()f x 的图象，平均变化率2121x x x =∆-表示什么?◆求函数()f x 在[]12,x x 上平均变化率的步骤：⑴求函数值的增量21()()y f x f x ∆=-； ⑵求自变量的增量21x x x ∆=-；⑶计算平均变化率2121()()f x f x y x x x -∆=∆-。

◆直线的斜率与平均变化率的联系：⑴若直线l 经过1122(,),(,)A x y B x y 两点，则直线l 的斜率为121212()y y k x x x x -=≠-；函数()y f x =在[]12,x x 上平均变化率为2121()()f x f x y x x x -∆=∆-； ⑵直线的斜率与函数的平均变化率是两个不同的概念，前者表示直线的倾斜程度，后者表示曲线的陡峭程度。

它们的联系在于函数()y f x =在[]12,x x 上平均变化率为2121()()f x f x y x x x -∆=∆-也就是过点1122(,()),(,())P x f x Q x f x 的直线的斜率，因此当平均变化率2121()()f x f x y x x x -∆=∆-的绝对值变大时，即直线PQ 的斜率的绝对值变大时，函数的图像变得陡峭；反之，函数的图像变得平缓时，直线PQ 的斜率的绝对值变小时，函数的图像变得平缓，即平均变化率（斜率）近似的刻画了曲线在某区间上的变化趋势。

【思考2】计算运动员在65049t ≤≤这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？【分析】如图是函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，结合图形可知，65()(0)49h h =，所以65()(0)490(/)65049h h v s m -==-，虽然运动员在65049t ≤≤这段时间里的平均速度为0(/)s m ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态。

【探究3】直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是21V t =-，求0t t =时的瞬时速度。

【分析】我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。

运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？【思想方法】局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

【解析】000()()2v t t v t V t t t t +∆-∆==+∆∆∆。

上述函数()V t 中，当t ∆无限趋近于0时，Vt∆∆都无限趋近于一个常数。

【定义】函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是0000()()lim limx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数,记作0()f x '或0|x x y ='，即00000()()()lim limx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'=∆∆=。

◆求导数的步骤：①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③取极限，得导数：00000()()()lim limx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'=∆∆=。

上述求导方法可简记为：一差、二化、三极限。

◆曲线的切线及切线的斜率：如图，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即0x ∆→时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线。

问题：⑴割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ ⑵切线PT 的斜率k 为多少？容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆。

【说明】⑴设切线的倾斜角为α,那么当0x ∆→时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率；这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数。

⑵曲线在某点处的切线:①与该点的位置有关;②要根据割线是否有极限位置来判断与求解。

如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;③曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个。

◆导数的几何意义：函数()y f x =在0x x =处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率， 即0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆，也就是说，曲线()y f x =在点00(,)p x y 处的切线斜率是()f x '，切线的方程为()()y y f x x x '-=-。

【总结】求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程。