初中数学知识点精讲精析 截一个几何体

1.3 截一个几何体
学习目标
1.通过参与对实物的切截活动和观察，了解一些几何体截面的形状。

2.通过经历对几何体切截的实践过程，认识面与体之间的转换。

知识详解
1．截面
定义：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面。

如图所示，阴影部分就是截面。

截面的理解：①由前面的知识我们知道“面与面相交得到线”，而用平面去截几何体，所得的截面就是这个平面与几何体每个面相交的线所围成的图形②截面的形状与所截几何体有关，也与所截角度和方向有关③对于同一个几何体，截面的方向不同，得到的截面形状一般也不相同，同一个几何体可能有多种不同形状的截面。

2.正方体的截面
正方体截面的形状：
如图所示，正方体的截面的形状可以是：
（1）三角形（包括等腰三角形、等边三角形和一般三角形），如图①
（2）四边形（包括正方形、长方形、梯形等），如图②③④
（3）五边形，如图⑤
（4）六边形，如图⑥
正方体中不同形状的截面的截法：
（1）沿竖直或水平方向截正方体，截面为正方形。

（2）图①中的截面是等边三角形，与该平面平行，能截正方体三条棱的平面，都能截出等边三角形。

（3）过正方体同一个面上不相邻的两个顶点和一条棱上的一点，可截出等腰三角形（如图），且与该面平行的能截正方体三条棱的平面，都能截出等腰三角形。

（4）分别过正方体的上、下底面，且与任何棱都不平行的截面，可截出梯形。

（5）只要截面与五个面相交或与六个面相交，即可截出五边形或六边形。

3．圆柱、圆锥、球的截面
（1）圆柱的截面
用一个平面去截一个圆柱，可得到的截面形状是长方形、圆、椭圆、椭圆的一部分。

（2）圆锥的截面
用一个平面去截圆锥，可得到的截面形状是三角形、圆、椭圆及椭圆的一部分。

（3）球体的截面
用一个平面去截球体，可得到的截面形状是圆。

4．根据截面判断几何体
（1）常见几何体截面的比较
常见几何体主要是棱柱、圆柱、圆锥和球体．棱柱包括正方体、长方体、三棱柱、五棱柱、六棱柱……其中以正方体为代表，各种几何体的截面如下表：
（2）根据截面判断原几何体的方法：
①截面中有曲线，则原几何体一定有曲面．例如截面形状是圆的几何体可能是圆柱、圆锥、球或圆台。

②若一个几何体的各面都是平面，则所得截面一定是多边形；若几何体有曲面，则所得截面可能是多边形，也可能是由直线和曲线组成的图形，还可能是由曲线组成的图形。

5.判断截后剩余几何体的顶点数、棱数和面数
一个棱柱，截去一部分后，剩余几何体的顶点数、棱数和面数与该图形的形状有关。

6．截面的应用
把一个长方体木块锯成几段，可以看成用几个平面去截长方体，其截面的面积等于与截面平行的底面的面积，如图所示：
【典型例题】
例1. 下列关于截面的说法正确的是（）．
A．截面是一个平面图形B．截面的形状与所截几何体无关
C．同一个几何体，截面只有一个D．同一个几何体，截面的形状都相同
【答案】A
【解析】根据截面的定义“用一个平面去截几何体，截出的面叫做截面”可知，A是正确的；截面与几何体的形状有关，B是错误的；从不同的角度和方向去截同一个几何体，所得的截面一般不同，所以C，D是错误的．故选A.
例2. 下列说法正确的是（）．
①正方体的截面可以是等边三角形②正方体不可能截出七边形③用一个平面截正方体，当这个平面与四个平面相交时，所得的截面一定是正方形④正方体的截面中边数最多的是六边形
A．①②③④B．①②③C．①③④D．①②④
【答案】D
【解析】过正方体三个不相邻顶点的截面是等边三角形，①正确；正方体只有六个面，所以最多与六个面相交，截面最多是六边形，②正确；当一个平面与四个平面相交时，截面也可能是长方形和梯形，③错误；正方体有六个面，当与六个面都相交时，截面是六边形，④正确．
例3. 下列几何体的截面分别是__________、________、________、________.
【答案】圆长方形三角形圆
【解析】观察时要注意平面截几何体的方向和角度，找出它与几何体的几个面相交，同时注意截面是否与底面平行或垂直。

【误区警示】
易错点1：几何体截面的理解
1.一个几何体的一个截面是三角形，则原几何体一定不是下列图形中的（）．
A．圆柱和圆锥B．球体和圆锥
C．球体和圆柱D．正方体和圆锥
【答案】C
【解析】球的截面只能是圆形；圆柱的截面可以是圆、长方形、椭圆和椭圆的一部分；正方体和圆锥都可以截出三角形，故选C.
易错点2：根据截面形状判断图形
2.一个几何体，用水平的面去截，所得截面都是圆，用竖直的面去截，所得截面是长方形，判断这个几何体的名称（写出一种几何体的名称即可）．
【答案】这个几何体可能是圆柱．
【解析】本题考查由截面的形状判断几何体．用水平面截，所得截面都是圆，该几何体可能是圆柱、圆锥、球；用竖直的面去截，所得截面是长方形，该几何体可能是棱柱、圆柱、正方体、长方体．综合两个条件可得该几何体可能是圆柱．
【综合提升】
针对训练
1. 小丽制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒(如图所示)，则这个正方体礼品盒的平面展开图可能是（）．
2. 图中给出的是哪个正方体的展开图？（）．
3. 如图，一平面经过圆锥的顶点截圆锥所得到的截面形状是（）
A．
B．
C．
D．
1.【答案】A
【解析】这个正方体的平面展开图属于1－4－1型的，根据规律可知，第一行的与第三行的为相对面，中间一行的第1个与第3个、第2个与第4个为相对面，故应选A
2.【答案】D
【解析】显然带有黑色的面是相对的面，所以A，B错误．又因为两个黑色小正方形应该是
相对的，所以选D
3.【答案】B
【解析】经过圆锥顶点的平面与圆锥的侧面和底面截得的都是一条线，由图可知经过圆锥顶点的平面截圆锥所得的截面应该是个等腰三角形，故选B．
课外拓展
最大面积的截面形状
正方体的截面可以分为：三角形、正方形、梯形、矩形、平行四边形、五边形、六边形、正六边形。

其中三角形还分为锐角三角型、等边、等腰三角形。

梯形分位非等腰梯形和等腰梯形。

首先比较三角形与五边形和六边形，所得这三种截面的情况有一共同特点：不能完整在该截面所在平面在正方体内所截的范围的最大值，有部分空间空出。

因此可以得到：最大面积一定是四边形。

所以最大面积的截面形状：即最大截面四边形（猜想）。