信号与系统-公式总结

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信号与系统常用公式

常用公式第一章判断周期信号方法两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。

2/2/2/(2/),/N N M M N πβπβπβπβπβ==仅当为整数时正弦序列才具有周期当为有理数时正弦序列仍具有周期性，其周期为取使为整数的最小整数当2为无理数时正弦序列不具有周期性，1、连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。

2、两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。

信号的能量 def2()E f t dt +∞-∞=⎰信号的平均功率 def2/2/21lim ()T T T P f t dt T +-→∞=⎰ 冲激函数的特性'''()()(0)()(0)()f t t f t f t δδδ=- ()()(0)()f t t f t δδ=()()()()f t t a f a t a δδ-=- ()()(0),f t t dt f δ∞-∞=⎰()()()f t t a dt f a δ∞-∞-=⎰()()11()()n n n at t a a δδ=g 001()()t at t t a aδδ-=- 000()()()()f k k k f k k k δδ-=-()()()()(1)(0)n n n t f t dt f δ∞∞=-⎰- ''()()(0)t f t dt f δ∞∞=-⎰-动态系统是线性系统的条件可分解性 {}{}{}{}()()()0,()(0),0f x y y y T f T x •=•+•=•+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 零状态线性 {}{}{}{}{}{}12120,()()0,()0,()T af t bf t aT f bT f +=•+•⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 零输入线性 {}{}{}{}{}{}1212(0)(0),0(0),0(0),0T ax bx aT x bT x +=+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦判断系统时不变、因果、稳定的方法。

信号与系统-公式

r 2

C1k C0
k
j
Z域尺度变换
z ak f k F , a z a a
k m f k z
f k k m
1,2 a jb
e j
k C cos k D sin k 或A k cos k , 其中Ae
z
1

km
Pm k Pm 1k
m r m
m 1

m 1
Pk P0 1
k Pm k Pm 1k
Pa
k
k

Pk P0 1
时域积分
f
1
t F 0
F j j
不等于特征根时等于特征单根时
t
尺度变换
f at
1 a
F j
a
F j
1,2 j
C cos t D sin t 或A cos t , 其中Ae
j
C jD
时移特性
f t t0 e
jt0
r 重共轭复根
r 1 r 2 Ar 1t cos t r 1 Ar 2t cos t r 2
t A0t r 2 cos t 0 e
频移特性
f t e
j0 t
F j 0
微分方程激励 f t
微分方程特征根单实根
不同特征根所对应的齐次解齐次解
yh t
对称性
傅里叶变换的性质
时域f t F j 频域 F jt 2 f

信号与系统概念公式总结

信号与系统概念，公式集：第一章：概论1.信号：信号是消息的表现形式。

（消息是信号的具体内容）2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。

第二章：信号的复数表示：1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。

常数形式的复数C=a+jb a 为实部，b 为虚部；或C=|C|e j φ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为复数的辐角。

（复平面）2.欧拉公式：wt j wt e jwtsin cos +=（前加-，后变减）第三章：正交函数集及信号在其上的分解1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f Fn =如果满足：ni K dt t f ji dt t f t f iT T i T T j i 2,1)(0)()(21212==≠=⎰⎰则称集合F 为正交函数集如果n i K i,2,11==，则称F 为标准正交函数集。

如果F 中的函数为复数函数条件变为：ni K dt t f t f ji dt t f t f iT T i i T T j i 2,1)()(0)()(2121**==⋅≠=⋅⎰⎰其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。

2.正交函数集的物理意义：一个正交函数集可以类比成一个坐标系统；正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴；在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点；点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。

3.正交函数集完备的概念和物理意义：如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。

如果在正交函数集()()()()t g n ,t g ,t g ,t g 321之外，不存在函数x （t ）()∞<<⎰2120t t dt t x ，满足等式：()()⎰=210t t i dt t g t x ，则此函数集称为完备正交函数集。

信号与系统常用公式

精品文档交流信号与系统常用公式一、周期信号的傅里叶级数1．三角函数形式的傅里叶级数：0111()[cos()sin()]n n n f t a a n t b n t ωω∞==++∑，其中01011()t T t a f t dt T +=⎰，010112()cos()t T n t a f t n t dt T ω+=⎰，01112()sin()t T n t b f t n t dt T ω+=⎰。

2．指数形式的傅里叶级数：11()()jn tn f t F n e ωω∞=-∞=∑，其中0110111()()t T jn t t F n f t e dt T ωω+-=⎰。

二、傅里叶变换1．傅氏正变换：()[()]()j t F F f t f t e dt ωω∞--∞==⎰2．傅氏逆变换：11()[()]()2j t f t F F F e d ωωωωπ∞--∞==⎰3三、拉普拉斯变换1．拉氏正变换：0()[()]()st F s L f t f t e dt ∞-==⎰2．拉氏逆变换：11()[()]()2j st j f t L F s F s e ds jσσπ+∞--∞==⎰精品文档交流3四、z 变换1．z 正变换：0()[()]()k k X z Z x k x k z ∞-===∑2．z 逆变换：111()[()]()2k Cx k Z X z X z z dz j π--==⎰3．z 1．连续时间信号的卷积：121221()()()()()()f t f t f f t d f f t d ττττττ∞∞-∞-∞*=-=-⎰⎰2．离散时间信号的卷积：()()()()()()n n x k h k x n h k n h n x k n ∞∞=-∞=-∞*=-=-∑∑3．卷积定理：（1）1212[()()]()()F f t f t F F ωω*=⋅ （2）12121[()()]()()2F f t f t F F ωωπ⋅=*（3）1212[()()]()()L f t f t F s F s *=⋅ （4）12121[()()]()()2L f t f t F s F s j π⋅=*（5）[()()]()()Z x k h k X z H z *= （6）1[()()]()()2Cz dv Z x k h k X v H jv vπ⋅=⎰【下载本文档，可以自由复制内容或自由编辑修改内容，更多精彩文章，期待你的好评和关注，我将一如既往为您服务】精品文档交流。

信号与线性系统分析_公式全总结

信号与线性系统分析_公式全总结信号与线性系统分析公式大总结第一章1冲激函数的各种性质2系统线性时不变性的判断线性可分解性零状态线性零输入线性时不变性P19,例1.4.1/P35,1.10连续系统的时域分析1卷积积分卷积积分定义卷积积分的性质见P1常用卷积结果2单位冲激响应和单位阶跃响应P70,例2.4.2,2.4.3/P79,2.172.22,30离散系统的时域分析1卷积和单位序列卷积和定义卷积和的性质常用卷积和结果2单位冲激响应和单位阶跃响应P107,例3.3.3/P113,3.12,18,21连续系统的频域分析1周期信号的傅立叶级数(a)(b)(c)2周期信号的频谱单边谱单边幅度谱单边相位谱双边谱双边幅度谱双边相位谱3周期信号的傅立叶变换4周期信号作用于系统5傅立叶变换的定义能量等式：6傅立叶变换的性质反转对称性尺度变换时移频移时域卷积频域卷积时微频微7常用傅立叶变换对8傅立叶逆变换求的傅立叶变换9频域分析(1)频域分析（2）（傅立叶变换应用于滤波、调制与解调系统的分析）如f(t)y(t)s(t)10取样定理时域取样定理：P146,例4.5.2,4.5.3/例4.5.5,4.5.7(4.5.11)/P173,例4.8.1,4.8.4/P202,4.13,17,18,20,21,34,35,45连续系统的S域分析1单边拉普拉斯变换定义2单边拉普拉斯变换性质尺度变换时移频移时微时域卷积s域微分3常用拉普拉斯变换对拉普拉斯逆变换（部分分式法，公式略）s域分析(1)微分方程的求解a求零状态响应，零输入响应，全响应。

b求单位冲激响应，单位阶跃响应。

(2)系统函数(S域分析)(3)s域框图P215,例 5.1.3,5.2.2,5.2.3,5.2.4,5.2.5,5.2.8,5.2.11,5.3.3-5.3.6,5.3.9,5.4.1,5.4.3-5.4.8/P263,5.3,4,8,11,12,14,15,17,18,19,20,22,23,24,25,28离散系统的Z域分析Z变换定义Z变换性质移位双边单边k域乘k域卷积z域微分k域反转常用Z变换对4逆Z变换（部分分式法，公式略）5Z域分析(1)差分方程的求解a求零状态响应，零输入响应，全响应。

信号与线性系统分析公式总结

4 周期信号 f ( t ) 作用于系统
f ( t ) = e jω0t → H ( jω ) → y ( t ) = H ( jω 0 ) e jω0t
∞
f (t ) =
∑ n
Fne jnΩt → H ( j ω ) → y (t ) =
=−∞
F nH ( jn Ω )e jn ∑ n
=−∞
∞
Ωt
2 f ( t ) cos ( nΩ t ) dt (a) T ∫<T > 2 bn = ∫ f (t ) sin ( nΩt ) dt T <T >
A0 ∞ f (t ) = + ∑ An cos ( nΩt + ϕ n ) 2 n=1
(b)
2 2 An = an + bn
n = 0,1,L n = 1,2,L
第一章信号与系统 1 冲激函数的各种性质 1 定义 ⎧0 t < 0 ε (t ) = ⎨ ⎩1 t > 0 ⎧ t≠0 ⎪ δ (t ) = 0 ∞ ⎨ δ t dt = 1 ⎪ ⎩ ∫−∞ ( ) 2 δ ( t ) 与ε ( t ) 关系
δ ' ( t ) → δ ( t ) → ε ( t ) → tε ( t )
2 单位冲激响应 h ( t ) 和单位阶跃响应 g (t )
h ( t ) = y zs ( t ) g ( t ) = y zs ( t )
f ( t ) =δ ( t ) f ( t ) =ε ( t )
P70,例 2.4.2,2.4.3/P79,2.17 2.22,30
第三章离散系统的时域分析 1 卷积和单位序列卷积和定义
sin β t ↔
-7-

《信号与线性系统分析》重要公式汇总

信号与线性系统重要公式第一章：信号与系统1.1单位阶跃函数ε(t) 单位冲激函数δ(t )1.2冲激函数的性质：'''''()()()()()(0)()()()(0)()()(0)()(0)()()()(0)()()(1)(0)n n n f t t f t f t t dt f f t t f t f t f t t dt f f t t dt fδδδδδδδδ∞-∞∞-∞∞-∞===-=-=-⎰⎰⎰1111111'''11111''11()()()()()()()()()()()()()()()()()()f t t t f t t t f t t t dt f t t t dt f t f t t t f t t t f t t t f t t t dt f t δδδδδδδδ∞∞-∞-∞∞-∞-=--=-=-=----=-⎰⎰⎰''()()()1()()11()()11()()n n n at t a at t a aat t a a δδδδδδ===()()()()()()()()n n n n t t n t t n δδδδ-=-=-为偶数为奇数1.3线形系统的性质：齐次性可加性[()]()T af af ∙=∙ 1212[()()][()][()]T f f T f T f ∙+∙=∙+∙11221122[()()][()][()]T a f a f a T f a T f ∙+∙=∙+∙零输入响应，零状态响应，全响应()[{(0)},{0}]x y T x ∙= ()[{0},{()f y T f ∙=∙ ()()()x f y y y ∙=∙+∙第二章连续系统的时域分析法全解=齐次解（自由响应）()h y t +特解（强迫响应）()p y t 全响应=零输入响应()x y t +零状态响应()f y t()()()h p y t y t y t =+= ()()x f y t y t +零输入响应是指激励为零，仅由系统的初始状态所引起的响应，用 ()x y t 表示。

信号与系统主要公式和内容摘要

信号与系统主要公式和内容摘要一．单位冲激信号()t δ的基本特性： 1. √()()()()()0t x dt t t t x dt t t t x =+=-⎰⎰∞∞-∞∞-δδ2.()()()⎩⎨⎧><=⎰0ab ab dt t t b aϕδϕ3.()()t aat δδ1=4. √ ()()()()000t t t x t t t x -=-δδ5. ()()t t δδ=- 偶函数6.()()t dtt du δ= ()()t u d t =⎰∞-ττδ 7. ()()()t x t t x =*δ ()()()00t t x t t t x -=-*δ 8. ()()()2121t t t t t t t --=-*-δδδ 9. ()()()t x t t x '='*δ ()()()ττd x t u t x t⎰∞-=*10. 若：()()()t x t x t y 21*=则：()()()()()t x t x t x t x t y 2121'*=*'=' ()()()()()()()()t x t x t x t x t y 1212111---*=*=()()()212211t t t y t t x t t x --=-*- 二．单位脉冲序列[]n δ的基本特性： 1. [][]∑+∞=-=k k n n u δ [][]∑-∞==nk k n u δ √[][][]1--=n u n u n δ2. √[][][][]000n n n x n n n x -=-δδ√[][][]n x n n x =*δ √[][][]00n n x n n n x -=-*δ 3. [][][]k n k x n x k -=∑∞-∞=δ特殊：()()()()t r t tu t u t u ==* [][]()[]n u n n u n u 1+=* 1欧拉公式：()()()[]()[]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+=+=--t j t j t j t j t j e e j t Sin e e t Cos t jSin t Cos e ααααααααα2121三．线性时不变系统（LTI 系统）的主要特性 1. 线性：（1）无初值：()()()()t y a t y a t x a t x a 22112211+→+ [][][][]n y a n y a n x a n x a 22112211+→+ （2）含初值：若：()()()t y x t f 1110→⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ()()()t y x t f 2220→⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 则：()()()()()()t y t y x t f x t f 21221100βαβα+→⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡[][][][][][]k y k y x k f x k f 21221100βαβα+→⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 2. 时不变性：()()00t t y t t x -→- [][]00n n y n n x -→- 3. 微（差）分性：()()dtt dy dt t dx → [][]k n y k n x -→- 4. 积分（累加）特性：()()⎰⎰→ttd y d x 0ττττ [][]∑∑==→Nk Nk k y k x 05. 因果性：若：()0=t h ，当0<t 时 √若：[]0=n h ，当0<n 时 6. 稳定性：()∞<⎰∞∞-ττd h √[]∑∞-∞=∞<k k h27. 卷积特性： ()()()()()()()ττττττd t x h d t h x t h t x t y f ⎰⎰∞∞-∞∞--=-=*=[][][][][][][]k n x k h k n h k x n h n x n y k k f -=-=*=∑∑∞-∞=∞-∞=有：()()()ωωωj H j X j Y f =()()()S H S X S Y f =()()()Z H Z X Z Y f =四．信号的基本运算： 1. 相加：()()()t x t x t y 21+= [][][]n x n x n y 21+=2. 相乘：()()()t x t x t y 21= [][][]n x n x n y 21=3. 幅度加权：()()t x t y α= [][]n x n y α=4. 反折：()()t x t y -= [][]n x n y -=5. 时移：()()0t t x t y -= [][]0n n x n y -=00>t （或00>n ）为右移，00<t （或00<n ）为左移 6. 尺度变换：（1）连续时间信号的尺度变换：()()at x t y =1>a 时，表示()t x 在时间轴上被压缩a 倍 1<a 时，表示()t x 在时间轴上被扩展a 倍（2）离散时间信号的内插与抽取：内插：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡→L k f k f , L 为正整数[]0f 不动，在序列2点之间插入1-L 个零点 3抽取：[][]Mk f k f →， M 为正整数[]0f 不动，在原序列中每隔1-M 点抽取一点 7. 微分（差分）： ()()dtt dx t y =[][][]1--=n x n x n y8. 积分（累加）： ()()ττd x t y t⎰∞-= [][]∑-∞==nk k x n y9. 卷积()()()()()()()ττττττd t x x d t x x t x t x t y -=-=*=⎰⎰∞∞-∞∞-122121[][][][][][][]k n x k x k n x k x n x n x n y k k -=-=*=∑∑∞-∞=∞-∞=122121五．几何级数的求值公式：1. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠--=+=∑1111121220a n a a a a n n n n2. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-≠--=+=∑11111212121a n n a a a a a n n n n n n210n n ≤<3.aa n n -=∑+∞=110 1<a 4. a a a n n-=∑+∞=11 1<a 5. a a a n n n n-=∑+∞=1111<a六．傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z 变换 1.LTI 系统对虚指数信号的响应：→t j e ω()()t j e j H t y ωω=→()()()tjn n n n tjn n e jn H C t y eC t f 000ωωω∑∑∞-∞=∞-∞==→=42.傅里叶级数公式： ()∑∞-∞==n tjn n eC t x0ω 其中：()dt e t x T C tjn Tn 01ω-⎰= 3. 傅里叶变换公式（系统稳定）：（1）非周期信号：()()ωωπωd ej X t x tj ⎰∞+∞-=21()()dt e t x j X t j ωω-∞+∞-⎰=条件：()⎰∞+∞-∞<dt t x 或()⎰∞+∞-∞<dt t x 2（2）周期信号：()∑∞-∞==k t jk k e a t xω()()∑∞-∞=-=k k k a j X 02ωωδπω 002T πω=()dt e t x T a tjk Tk 01ω-⎰=4. 拉普拉斯变换公式： ()()dt et x S XtS -∞-⎰=0 ()()dS e S X j t x t S j j ⎰∞+∞-=σσπ215. Z 变换公式： ()[]n n Z n x Z X -∞=∑=[]()dZ Z Z X j n x n C121-⎰=π6. 典型信号的三种变换公式：（1）√()1−→←FTt δ√()1−→←LT t δ √()()n LTn S t −→←δROC:整个S 平面√[]1−→←Zn δ ROC:整个Z 平面 (2) √()00t j FTe t t ωδ-−→←-√()00t S LT e t t -−→←-δ ROC:整个S 平面√[]00nZ Z n n -−→←-δROC:整个Z 平面(可能去除0=Z )(3) ()()ωπδω+−→←j t u FT15()St u LT1−→← ROC:{}0>S R e √ []111--−→←Zn u ZROC: 1>Z (4) ()ωj a t u eFTat+−→←-1{}0>a R e√()a S t u eLTat+−→←-1ROC: {}a S R e -> []111--−→←aZn u a Z nROC: a Z > (5) ()()21ωj a t u teFTat+−→←- {}0>a R e()()21a S t u teLTat+−→←- ROC: {}a S R e ->()[]()21111--−→←+aZ k u a k Zk ROC: a Z >(6)()∑∑+∞-∞=+∞-∞=-−→←k kFTk tjk kk a ea 020ωωδπω(7) ()020ωωπδω-−→←FT tj e()020ωωπδω+−→←-FTt j e(8) ()ωπδ21−→←FT(9) √()()[]000ωωδωωδπω++-−→←FTt Cos()220)(ωω+−→←S S t u t Cos LTROC: {}0>S R e(10) ()()[]000ωωδωωδπω--+−→←j t Sin FT()2020)(ωωω+−→←S t u t Sin LTROC: {}0>S R e (11) ()∑∑∞-∞=∞-∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→←-k FTn T kT nT t πωδπδ226（12） −→←FTT ASa T )(211ω（13） −→←FTtt ASin πλ√()()21ωSa t p FT−→← ()()()2211ωSa t p t p FT−→←* 七．傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z 变换的主要性质设：()S X ：ROC {}0Re σ>S ()Z X ：ROC Rf Z > 1. 线性：()()()()ωωj bY j aX t by t ax FT+−→←+()()()()S bY S aX t by t ax lT +−→←+ ROC ：公共收敛域 [][]()()Z bY Z aX n by n ax ZT +−→←+ ROC ：公共收敛域2. 时移： √()()ωωj X e t t xt j FT00-−→←-√()()S X e t t xt S LT 00-−→←- 要求：右移，即00>tROC ：未变因果序列：√[][]()Z X Z n n u n n xn ZT00-−→←-- 要求：右移，即00>nROC ：未变非因果序列：√[][]()[]111-+−→←--x Z X Z n u n x ZT√ [][]()[][]21212-+-+−→←---x x Z Z X Zn u n x ZT73. 频移：()()[]00ωωω-−→←j X t x e FTt j()()00S S X t x e LT tS -−→← ROC: {}00Re σ>-S S []⎪⎭⎫ ⎝⎛−→←a Z X n x a ZT n ROC: Rf a Z >()[]()Z X n x ZTn -−→←-1 ROC:Rf Z >-4．反折：()()ωj X t x FT -−→←-()()S X t x LT -−→←- ROC: {}0Re σ>-S5．尺度变换：()⎪⎭⎫ ⎝⎛−→←a j X a at x FT ω1 √()⎪⎭⎫ ⎝⎛−→←a S X a at x LT1 ROC ：0Re σ>⎭⎬⎫⎩⎨⎧a S6．卷积：√()()()()ωωj Y j X t y t x FT−→←*()()()()S Y S X t y t x LT−→←* ROC ：公共收敛域 [][]()()Z Y Z X n y n x ZT −→←* ROC ：公共收敛域7．时域微分：()()ωωj X j t x dtd FT−→←：未修正不含初值：√()()S SX t x dt d LT −→← √()()S X S t x dtd n LTn n −→← 含初值： √()()()--−→←0x S SX t x dt d LT √ ()()()()--'--−→←00222x Sx S X S t x dtd LT 8．频域微分： 8()()ωωj X d djt tx FT−→← ()()S X dSd t tx LT-−→← ROC ：未变[]()dZZ dX Z n nx ZT-−→← ROC ：未变9．积分(累加)：()()()()ωδπωωττ01X j X j d x FTt +−→←⎰∞- ()()S X Sd x LTt1−→←⎰-ττ ROC ：{})0,max(Re 0σ>S []()Z X Zn x ZT kn 111-=-−→←∑ ROC ：),1max(Rf Z > 10．调制（频域卷积）：()()()(){}ωωπj Y j X t y t x FT *−→←2111．对偶：若：()()ωj F t g FT−→← 则：()()ωπ-−→←g jt F FT2 八．系统函数： 1.连续系统：()()∑∑===Nk M k kk k k k k dt t x d b dt t y d a 00√()()()()()∑∑====Nk kk kMk k j a j b j X j Y j H 00ωωωωω√()()()∑∑====Nk kk Mk kk f Sa Sb S X S Y S H 0()()ωωπωd ej H t h tj ⎰∞∞-=21()()dS e S H j t h t S j j ⎰∞+∞-=σσπ212. 离散系统：[][]∑∑==-=-Mk kN k kk n x b k n y a 0√()()()k Nk k Mk Kk f Z a Zb Z X Z Y Z H -==-∑∑==[]()dZ Z Z H j n h n C121-⎰=π3. 系统的因果性：（1）连续系统：S 域一个具有有理系统函数H(S)的LTI 系统，其因果性等价于H(S)的ROC 位于S 平面上最右边极点的右半平面。

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第一章信号分析的理论基础 1．周期信号的判断：)()(Ttxtx 信号正交判断：21221)(,0)()(ttiittjiKdttgjidttgtg ※2． (1))()0()()(tfttf (2)202010100120,()()(),ttifttttttftdtftifttt或 (3)()(1)()ununn

3．※信号的时域分析与变换信号的翻转：)()(tftf 平移：)()(0ttftf 展缩：)()(atftf 4．※卷积

1212()()*()()()tgtftftfftd

1212()()*()()()nmgnfnfnfmfnm 5．)(tf与奇异函数的卷积 ※)()(*)()()(*)(00ttftttftfttf 6．几何级数的求值公式表 220211,11,11nn

nnanaaaa 21211,11,1121nnnnnn

ann

a 

01,11nnaaa

第二章傅立叶变换 1 正变换：()()jtFftedt 逆变换：1()()2jtftFed 2 傅立叶变换的性质性质时域频域 ※时移 0

()ftt

0()jtFe





※时频展缩 ()fat0a

()fatb0a

1()F



1()bjaeF



※※频移 0

()jtfte



0()F

 精品文档交流 2

※※对称性 ()Ft 2()f 时域微分 ()nndftdt ()()njF



频域微分 ()()njtft ()nndF

d



※卷积定理 12()*()ftft 12()()FF

※3 抽样定理： (1)已知信号有限频带为mf，采样信号频率f满足2smff时，抽样信号通过理想低通滤波器后能完全恢复。其中，2mf称为奈奎斯特抽样率。

(2)抽样间隔sT满足条件12smTf时，抽样信号能够完全恢复。其中12smTf成为奈奎斯特抽样间隔。

4 典型信号的傅里叶变换及频谱图信号名称 ()ft 波形图 ()()()jFFe 频谱图

※※ 矩形脉冲 [()()]Eutut ()2ESa



冲激脉冲 ()Et E

※※ 直流函数 E 2()E

※ 冲激序列 1()T

t

11()



2T



第三章拉普拉斯变换 1 定义双边拉普拉斯变换()()stFsftedt 拉普拉斯反变换 1()()2jstjftFsedsj

单边拉普拉斯变换0()()stFsftedt 单边变换收敛条件：lim()0ttfte 0称为收敛域。精品文档交流 3

2 常见函数的拉普拉斯变换公式序号原函数()ft，0t

像函数()[()]Fsft

※1 ()t 1

※2 ()ut 1

s ※※3 t

s ※※4 at

sa ※ 5 sint

22s

※ 6 cost

22s

s

3 拉普拉斯的基本性质性质时域()ft 0t

复频域()Fs，0

※※1时间平移 00()()fttutt

0()stFse

※2频率频移 0()stfte

0()Fss

※3时域微分 ()dftdt ()(0)sFsf

4复频域微分 ()tft ()dFs

ds

5复频域积分 ()ftt ()sFsds



※6时域卷积 12()*()ftft 12()()FsFs

※4. 拉普拉斯反变换 ⑴部分分式展开法 111012()()()()mmmmnnbsbsbsbFsaspspsp



12

12()()()nn

kkk

spspsp

()()|iiispkspFs (1,2,)in

⑵留数法留数法是将拉普拉斯反变换的积分运算转换为求被积函数各极点上留数的运算，即 1()()2jstjftFsedsj

1Reniisp









aznuaaznuaazzznn)1( )(

变换的基本形式

αstut1e拉氏变换的基本形式：精品文档交流 4

其中 Re[()()]istiispspspFse （ip为一阶极点）或111Re[()()](1)!irpstiisprdspspFserds （ip为阶极点）

第四章 Z变换 1. Z变换定义正变换：双边：()()nnXzxnz 单边：0()()nnXzxnz

2. Z变换收敛域ROC：满足() nnxnz的所有z值 ★ ROC内不包含任何极点（以极点为边界）； ★ 右边序列的ROC为 1zR 的圆外；

★ 左边序列的ROC为 1zR 的圆内； ★ 双边序列的ROC为 12RzR 的圆环。 ★ 有限长序列的ROC为整个 z 平面（可能除去z = 0 和z = ）；

3. 典型信号的Z变换 (1) ()(),xnn()1Xz，0z

(2) ()(),xnun(),11zXzzz (3) ()()nxnaun,(),zXzzaza

4. 单边Z变换性质特性名称时间序列 Z变换

※位移性 ()()fnmun 10()()mmiizFzxiz









()()fnmunm ()mzFz

※时间反转 ()fn 1()Fz

尺度变换 ()nafn ()zFa

※卷积定理 12()*()fnfn 12

()()FzFz 精品文档交流 5

5 Z反变换 ⑴幂级数展开法（长除法）

※⑵部分分式展开法 ()()()NzFzDz11101110MMMMNNNNbzbzbzbazazaza

单极点时，将()Fzz展开为部分分式 ()Fzz=0NiiiAzp 根据收敛域给出反变换 A： if zR，则()fn为因果序列（右边序列），即1()()NniiifnApun

B： if zR，则()fn为非因果序列（左边序列），即1()(1)NniiifnApun ※⑶围线积分法（留数法） 11()()2ncfnFzzdzj

=1Re[(),]inizpisFzzp，ip为1()nFzz的极点。

式中围线C位于()Fz的收敛域内且包围坐标原点。对()Fz的收敛域为圆内部分或环形区域时，序列()fn中将出现左边序列，可以使用留数辅助定理（当ip为单极点）

A：C内极点： ()fn11Re[(),C][()()]iinnizpizpsFzzpzpFzz内极点 B：C外极点：()fn11Re[(),][()()]iinnizpizpsFzzCpzpFzz外极点注意：计算()fn时，要分别计算n0和n<0两种情况下的极点。

第六章第七章第八章连续系统时域、频域和复频域分析 1 线性和非线性、时变和非时变系统判别（1）线性和非线性先线性运算，再经系统＝先经系统，再线性运算

tf1tf2tfC

tfC

tfCtfCH2211

H



Htf1tf2tfH1tfH21C

2CtfHC11tfHC22tfHCtfHC2211H