高中数学定积分训练题
定积分训练题 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(每小题5分,共50分). 1.将和式的极限)0(.......321lim 1 >+++++∞→p n n P p p p p n 表示成定积分 ( ) A .dx x ?101 B .dx x p ?10 C .dx x p ?10)1( D .dx n x p ?10)( 2.下列等于1的积分是 ( ) A . dx x ? 1 B .dx x ?+10 )1( C .dx ? 1 01 D .dx ?1 021 3.dx x |4|1 02 ? -= ( ) A . 321 B .322 C .3 23 D .325 4.已知自由落体运动的速率gt v =,则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为 ( ) A .320gt B .2 0gt C .2 2 0gt D .6 2 0gt 5.曲线]2 3 ,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的面积 ( ) A .4 B .2 C .2 5 D .3 6.dx e e x x ? -+1 )(= ( ) A .e e 1 + B .2e C . e 2 D .e e 1- 7.求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时,若选择x为积分变量,则积分区间为( ) A .[0,2e ] B .[0,2] C .[1,2] D .[0,1] 8.由直线1,+-==x y x y ,及x轴围成平面图形的面积为 ( ) A .()[]dy y y ?--1 1 B . ()[]dx x x ?-+-210 1 C . ()[]dy y y ?--210 1 D .()[]dx x x ? +--10 1 9.如果1N 力能拉长弹簧1cm ,为将弹簧拉长6cm ,所耗费的功是 ( ) A .0.18 B .0.26 C .0.12 D .0.28 10.将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为ρ的液体中,使其上距液面距离为2米, 则该正方形薄片所受液压力为 ( ) A .? 3 2 dx x ρ B . ()?+2 1 2dx x ρ C .? 1 dx x ρ D . ()?+3 2 1dx x ρ 二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题6分,共24分). 11.将和式)21 .........2111( lim n n n n +++++∞ →表示为定积分 . 12.曲线1,0,2===y x x y ,所围成的图形的面积可用定积分表示为 . 13.由x y cos =及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积,利用定积分应表达为 .
微积分公式与定积分计算练习大全
微积分公式与定积分计算练习(附加三角函数公式) 一、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼ ()x x e e '= ⑽ ()ln x x a a a '= ⑾ ()1 ln x x '= ⑿ () 1log ln x a x a '= ⒀ ( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂ ()21arctan 1x x '=+ ⒃() 21arccot 1x x '=-+⒄()1 x '= ⒅ '= 二、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v ''' -??= ??? 三、高阶导数的运算法则 (1)()()() () () () () n n n u x v x u x v x ±=±??? ? (2)()() ( ) ()n n cu x cu x =??? ? (3)()() () ()n n n u ax b a u ax b +=+??? ? (4) ()()() ( ) ()() ()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=???? ∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 (1) ()() ! n n x n = (2) ()() n ax b n ax b e a e ++=? (3) ()() ln n x x n a a a = (4) ()() sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ??? ??(5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ???? ? (6) () () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +???=- ?+?? + (7) ()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-???? + 五、微分公式与微分运算法则
高中数学定积分知识点
高中数学定积分知识点Newly compiled on November 23, 2020
数学选修2-2知识点总结 一、导数 1.函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111 212 注1:其中x ?是自变量的改变量,可正,可负,可零。 注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数,记作)(0'x f 或0|'x x y =,即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率; 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景(1)切线的斜率;(2)瞬时速度; 5、常见的函数导数 6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ,()g x 均可导(可积),则有:
用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式,得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式,得x的范围,就是递减区间; [注]:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表 f x在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大格,检查/() 值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值 8.利用导数求函数的最值的步骤:求) f在[]b a,上的最大值与最小值的步骤如下: (x a,上的极值; ⑴求) (x f在[]b ⑵将) f a f b比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小 f的各极值与(),() (x 值。[注]:实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点; 9.求曲边梯形的思想和步骤(“以直代曲”的思想) 10.定积分的性质 根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质:
定积分与微积分基本定理
定积分与微积分基本定 理 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
课题:定积分与微积分定理使用时间:2011-10-11 【使用说明及学法指导】 1.先仔细阅读教材选修2-2:,再思考知识梳理所提问题,有针对性的二次阅读教材,构建知识体系,画出知识树; 2.限时30分钟独立、规范完成探究部分,并总结规律方法. 【学习目标】 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念、几何意义。 2.直观了解微积分基本定理的含义,并能用定理计算简单的定积分。 3.应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力作功等问题,在解决问题的过程中体验定积分的价值.? 学习重点:正确计算定积分,利用定积分求面积。 学习难点:定积分的概念,将实际问题化归为定积分问题。 学习策略: ①运用“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法,理解定积分的概念。 ②求定积分主要是要找到被积函数的原函数,也就是说,要找到一个函数,它的导函数等于被积函数. ③求导运算与求原函数运算互为逆运算. 【课前预习】 一、基础知识梳理: 知识点一:定积分的概念
如果函数在区间上连续,用分点 将区间分为n个小区间,在每个小区间上任取一点 (i=1,2,3…,n),作和式,当时,上述和式无限趋近于某个常数,这个常数叫做在区间上的定积分.记作.即=,这里,与分别叫做积分与积分,区间 叫做,函数叫做,叫做,叫做 . 说明:(1)定积分的值是一个常数,可正、可负、可为零;(2)用定义求定积分的四个基本步骤:①分割;②近似代替;③求和;④取极限. 知识点二:定积分的几何意义: 设函数在区间上连续. 在上,当时,定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的; 在上,当时,由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方,定积分在几何上表示曲边梯形面积 的;
定积分与微积分含答案
定积分与微积分基本定理 基础热身 1.已知f (x )为偶函数,且 ??0 6f(x)d x =8,则? ?6-6f(x)d x =( ) A .0 B .4 C .8 D .16 2. 设f(x)=??? x 2,x ∈[0,1], 1 x ,x ∈ 1,e ] (其中e 为自然对数的底数),则??0 e f(x)d x 的值为( ) B .2 C .1 3.若a =??0 2x 2d x ,b =??0 2x 3d x ,c =??0 2sin x d x ,则a 、b 、c 的大小关 系是( ) A .a8.若??0 k (2x -3x 2)d x =0,则k 等于( ) A .0 B .1 C .0或1 D .以上均不对 9.如果10 N 的力能使弹簧压缩10 cm ,为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm ,则力所做的功为( ) A . J B . J C . J D . J 10.设函数y =f(x)的定义域为R +,若对于给定的正数K ,定义函 数f K (x )=? ?? ?? K ,f x ≤K , f x ,f x >K , 则当函数f (x )=1 x ,K =1时,定积分??2 1 4f K (x)d x 的值为________. | (x -x 2)d x =________. 12. ∫π 20(sin x +a cos x)d x =2,则实数a =________. 13.由抛物线y 2 =2x 与直线x =12及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为________. 14.(10分)已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx +c 的图象如图K 15-2所示,直线y =0在原点处与函数图象相切,且此切线与函数图象所围 成的区域(阴影)面积为27 4,求f(x)的解析式. 图K 15-2 15.(13分)如图K 15-3所示,已知曲线C 1:y =x 2与曲线C 2:y =-x 2+2ax(a>1)交于点O 、A ,直线x =t(0定积分与微积分练习题及答案
定积分与微积分练习题及答案 一、选择题: 1如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2- 3 C.323 D.35 3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为 S =??-31 (3-x2-2x)dx =(3x -13x3-x2)|1-3=32 3. 2.??0 24-x2dx =( ) A .4π B .2π C .π D.π2 [答案] C [解析] 令y =4-x2,则x2+y2=4(y≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积,∴S =1 4 ×π×22=π. 3.(2012·山东日照模拟)向平面区域Ω={(x ,y)|-π4≤x≤π 4,0≤y≤1}内随机投掷一点,该 点落在曲线y =cos2x 下方的概率是( ) A.π 4 B.12 C.π 2 -1 D.2π [答案] D[解析] 平面区域Ω是矩形区域,其面积是 π 2 ,在这个区 4.设f(x)=? ??? ? x2, x ∈[0,1],2-x ,x ∈[1,2],则 2 ? f(x)dx 等于 ( ) A.34 B.45 C.5 6 D .不存在 解析:数形结合, 2 ? f(x)dx= 1 ? x2dx+ 2 1 ? (2-x)dx
= 321211(2)3021x x x +-=3115(422)326x +--+= .答案:C 5.如图,函数y =-x2+2x +1与y =1相交形成一个闭合 图形(图中的阴影部分),则该闭合图形的面积是 ( ) A .1 B.4 3 C. 3 D .2 解析:函数y =-x2+2x +1与y =1的两个交点为(0,1)和(2,1),所以闭合图形的面积等于 2 ? (-x2+2x +1-1)dx = 2 ? (-x2+2x)dx =4 3 .答案:B 6.(2010·烟台模拟)若y = x ? (sint +costsint)dt ,则y 的最大值是 ( ) A .1 B .2 C .-7 2 D .0 解析:y = x ? (sint +costsint)dt = x ? (sint +1 2 sin2t)dt =(-cost -14cos2t)0x =-cosx -14cos2x +54=-cosx -14(2cos2x -1)+54=-12cos2x -cosx +32=-1 2 (cosx +1)2+2≤2. 答案:B 7.(2010·惠州模拟)??0 2(2-|1-x|)dx =________.[答案] 3 [解析] ∵y =? ???? 1+x 0≤x≤1 3-x 1