定积分与微积分含答案
定积分与微积分基本定理
基础热身
1.已知f (x )为偶函数,且
??0
6f(x)d x =8,则?
?6-6f(x)d x =( )
A .0
B .4
C .8
D .16
2. 设f(x)=???????
x 2
x ∈[01]
1
x x ∈(1e ]
(其中e 为自然对数的底数),则??0
e f(x)d x
的值为( )
A 、43
B .2
C .1
D 、23
3.若a =??0
2x 2d x,b =??0
2x 3d x,c =??0
2sin x d x,则a 、b 、c 的大小关系就是
( )
A .a B .a C .c D .c 4.如图K 15-1, ) 图K 15-1 A .2 3 B .2- 3 C 、323 D 、35 3 能力提升 5.设函数f(x)=ax 2+1,若??0 1f(x)d x =2,则a =( ) A .1 B .2 C .3 D .4 6.由直线x =-π3,x =π 3,y =0与曲线y =cos x 所围成的封闭图形的面积为( ) A 、12 B .1 C 、3 2 D 、 3 7.一物体以v =9、8t +6、5(单位:m /s )的速度自由下落,则下落后第二个4 s 内经过的路程就是( ) A .260 m B .258 m C .259 m D .261、2 m 8.若??0 k (2x -3x 2)d x =0,则k 等于( ) A .0 B .1 C .0或1 D .以上均不对 9.如果10 N 的力能使弹簧压缩10 cm ,为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm ,则力所做的功为( ) A .0、28 J B .0、12 J C .0、26 J D .0、18 J 10.设函数y =f(x)的定义域为R +,若对于给定的正数K ,定义函数 f K (x )=????? K f (x )≤K f (x ) f (x )>K 则当函数f (x )=1x ,K =1时,定积分? ?21 4f K (x)d x 的值为 ________. 11、??0 1(x -x 2)d x =________、 12. ∫π 20(sin x +a cos x)d x =2,则实数a =________、 13.由抛物线y 2=2x 与直线x =1 2及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为________. 14.(10分)已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx +c 的图象如图K 15-2所示,直线y =0在原点处与函数图象相切,且此切线与函数图象所围成 的区域(阴影)面积为27 4,求f(x)的解析式. 图K 15-2 15.(13分)如图K 15-3所示,已知曲线C 1:y =x 2与曲线C 2:y =-x 2+2ax(a>1)交于点O 、A,直线x =t(0 (1)写出曲边四边形ABOD(阴影部分)的面积S 与t 的函数关系式S =f(t); (2)求函数S =f(t) 图K 15-3 难点突破 16.(12分)已知点P 在曲线y =x 2-1上,它的横坐标为a(a>0),由点P 作曲线y =x 2的切线PQ(Q 为切点). (1)求切线PQ 的方程; (2)求证:由上述切线与y =x 2所围成图形的面积S 与a 无关. 参考答案: 【基础热身】 1.D [解析] ? ?6-6f(x)d x =2??0 6f(x)d x =2×8=16、 2.A [解析] 根据积分的运算法则,可知∫e 0f(x)d x 可以分为两段, 即∫e 0f(x)d x =? ?0 1x 2d x +∫e 11x d x =13x 3??????10 +ln x e 1=13+1=43,所以选A 、 3.D [解析] a =?? 2x 2d x = 13x 3??? 20=83,b =??0 2x 3d x =14x 4??? 2 0=4,c =? ?0 2sin x d x =-cos x ??? 2 0=1-cos 2<2, ∴c 4.C [解析] ??1-3(3-x 2 -2x)d x =? ????3x -13x 3-x 2??? 1-3 =32 3、 【能力提升】 5.C [解析] ??0 1f(x)d x =? ?0 1(ax 2 +1)d x =ax 3 3+x ??? 10=a 3+1=2,解得a =3、 6.D [解析] 根据定积分的相关知识可得到:由直线x =-π 3,x =π 3,y =0与曲线y =cos x 所围成的封闭图形的面积为: ???S =∫π3-π3cos x d x =sin x π3-π3=sin π 3-sin ? ?? ??-π3=3, 故选D 、 7.D [解析] ??4 8(9、8t +6、5)d t =(4、9t 2+6、5t)??? 8 4=4、9×64 +6、5×8-4、9×16-6、5×4=313、6+52-78、4-26=261、2、 8.C [解析] ?? k (2x -3x 2)d x =?? k 2x d x -??0 k 3x 2d x =x 2?? ????k 0-x 3k 0=k 2 -k 3=0,∴k =0或k =1、 9.D [解析] 由F(x)=kx,得k =100,F(x)=100x,W =∫0、06 0100x d x =0、18(J ). 10.2ln 2+1 [解析] 由题设f 1 (x)=????? ?? 11x ≤1 1 x 1x >1 于就是定积分? ?21 4 f 1(x )d x =??1141x d x +? ?1 21d x =ln x ??? 114+x ??? 21=2ln 2+1、 11、1 3 [解析] ? ?0 1(x -x 2)d x = ? ??? ????23x 32-13x 310=13、 12.1 [解析] ∫π 20(sin x +a cos x)d x =(a sin x -cos x)错误!=错误!-a sin 0+cos 0=a +1=2,∴a =1、 13、π 4 [解析] 如图所示,因为y 2=2x,x ∈???? ??012, ???所以V =π∫1202x d x =πx 2120=π4、 14.[解答] 由图象过点y =0在原点处相切知b =0,则有f (x )=x 3+ax 2,令f (x )=0,得x 3+ax 2=0,可得x =0或x =-a (-a >0,即a <0).可以得到图象与x 轴交点为(0,0),(-a,0),故∫-a -f (x )d x = ? ??? ????-x 44-ax 33-a 0=-a 44+a 43=a 412=27 4,a =-3,所以f (x )=x 3- 3x 2、 15.[解答] (1)由? ??? ? y =x 2y =-x 2 +2ax 解得????? x =0y =0或????? x =a y =a 2、 ∴O (0,0),A (a ,a 2).又由已知得B (t ,-t 2+2at ),D (t ,t 2), ∴S =? ?0 t (-x 2+2ax )d x -12t ×t 2+1 2(-t 2+2at -t 2)×(a -t ) =? ????-13x 3+ax 2??? t 0 -12t 3+(-t 2+at )×(a -t ) =-13t 3+at 2-12t 3+t 3-2at 2+a 2 t =16t 3 -at 2+a 2t 、 故S =f (t )=1 6t 3-at 2+a 2t (0 (2)f ′(t )=12t 2 -2at +a 2, 令f ′(t )=0,即1 2t 2-2at +a 2=0, 解得t =(2-2)a 或t =(2+2)a 、 ∵0 ①若(2-2)a ≥1,即a ≥1 2-2 =2+22, ∵0 是f (1)=a 2-a +1 6、 ②若(2-2)a <1,即1 2, (i)当0 ∴f (t )在区间(0,(2-2)a )上单调递增,在区间[(2-2)a ,1]上单调 递减.∴f (t )的最大值就是f ((2-2)a )=1 6[(2-2)a ]3-a [(2-2)a ]2+ a 2 (2-2)a =22-23a 3 、 综上所述f (t )max =? ???? a 2 -a +16? ?? ?? a ≥2+2222-23a 3? ??? ? 1 【难点突破】 16.[解答] (1)设点P 的坐标为(a ,a 2-1),又设切点Q 的坐标为(x ,x 2). 则k PQ =a 2-1-x 2a -x ,由y ′=2x 知a 2-1-x 2 a -x =2x , 解得:x =a +1或x =a -1、 所以所求的切线方程为2(a +1)x -y -(a +1)2=0或2(a -1)x -y -(a -1)2=0、 (2)证明:S =? ?a a -1[x 2-2(a -1)x +(a -1)2]d x +∫a +1a [x 2 -2(a +1)x +(a +1)2 ]d x =23、 故所围成的图形面积S =2 3,此为与a 无关的一个常数. 一、教学目标:1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理,并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念:函数)(x f 在区间[a ,b ]上的定积分表示为:?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义: (1)当函数f (x )在区间[a ,b]上恒为正时,定积分?b a dx x f )(的几何意义是:y=f (x )与x=a ,x= b 及x 轴围成的曲边梯形面积,在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f (x )的图象、以及直线x=a ,x= b 之间的各部分的面积代数和,在x 轴上方的面积取正号,x 轴下方的面积取负号. 在图(1)中:0s dx )x (f b a >=?,在图(2)中:0s dx )x (f b a <=?,在图(3)中:dx )x (f b a ?表示 函数y=f (x )图象及直线x=a ,x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注:函数y=f (x )图象与x 轴及直线x=a ,x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(,仅当在区间[a ,b]上f (x )恒正时,其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质,(设函数f (x ),g (x )在区间[a ,b ]上可积) (1)???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ (2)??=b a b a dx x f k dx x kf )()(,(k 为常数) (3)???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( (4)若在区间[a , b ]上,?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论:(1)若在区间[a ,b ]上,??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则 (2)??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| (3)若f (x )是偶函数,则??=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(,若f (x )是奇函数,则0)(=?-a a dx x f 4. 微积分基本定理: 一般地,若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b a -==?上可积,则在且 注:(1)若)()('x f x F =则F (x )叫函数f (x )在区间[a ,b ]上的一个原函数,根据 定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·山东日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A .a 定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为 S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积 定积分与微积分基本定理复习讲义[备考方向要明了] 考什么怎么考 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题. 2.考查简单定积分的求解. 3.考查曲边梯形面积的求解. 4.与几何概型相结合考查. 1.定积分 (1)定积分的相关概念:在∫b a f(x)d x中,a,b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)d x叫做被积式. (2)定积分的几何意义 ①当函数f(x)在区间[a,b]上恒为正时,定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分). ②一般情况下,定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x=a,x=b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所 示),其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数. (3)定积分的基本性质:①∫b a kf(x)d x=k∫b a f(x)d x. ②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x=∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x. ③∫b a f(x)d x=∫c a f(x)d x+∫b c f(x)d x. [探究] 1.若积分变量为t,则∫b a f(x)d x与∫b a f(t)d t是否相等? 提示:相等. 2.一个函数的导数是唯一的,反过来导函数的原函数唯一吗? 提示:一个函数的导数是唯一的,而导函数的原函数则有无穷多个,这些原函数之间都相差一个常数,在利用微积分基本定理求定积分时,只要找到被积函数的一个原函数即可,并且一般使用不含常数的原函数,这样有利于计算. 3.定积分∫b a[f(x)-g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么? 提示:由直线x=a,x=b和曲线y=f(x),y=g(x)所围成的曲边梯形的面积. 2.微积分基本定理:如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F′(x)=f(x),那么∫b a f(x)d x=F(b)-F(a),这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼兹公式.为了方便,常把F(b)-F(a)记成F(x)| b a,即∫b a f(x)d x=F(x) |b a=F(b)-F(a). 课前预测: 1.∫421 x d x等于( ) A.2ln 2 B.-2ln 2 C.-ln 2 D.ln 2高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
定积分与微积分基本定理练习题及答案
1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版
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定积分及微积分基本定理练习题及答案