专题 求递推数列通项的特征根法

递归数列通项公式的求法

确定数列的通项公式，对于研究数列的性质起着至关重要的作用。求递归数列的通项

公式是解决数学竞赛中有关数列问题的关键，本文着重对递归数列通项公式加以研究。 基础知识

定义：对于任意的*

N n ∈，由递推关系),,,(21k n n n n a a a f a ---= 确定的关系称为k 阶

递归关系或称为k 阶递归方程，由k 阶递归关系及给定的前k 项k a a a ,,,21 的值(称为初始值)所确定的数列称为k 阶递归数列。若f 是线性的，则称为线性递归数列，否则称为非线性递归数列，在数学竞赛中的数列问题常常是非线性递归数列问题。 求递归数列的常用方法： 一．公式法

(1)设}{n a 是等差数列，首项为1a ，公差为d ，则其通项为d m n a a m n )(-+=；

(2)设}{n a 是等比数列，首项为1a ，公比为q ，则其通项为m

n m n q a a -=；

(3)已知数列的前n 项和为n S ，则)2()1(11

≥=⎩⎨⎧-=-n n S S S a n n

n 。

二．迭代法

迭代恒等式：112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- ； 迭乘恒等式： 11

2211a a a

a a a a a n n n n n ⋅⋅⋅⋅=

--- ，(0≠n a ) 迭代法能够解决以下类型一和类型二所给出的递推数列的通项问题： 类型一：已知)(,11n f a a b a n n +==+，求通项n a ； 类型二：已知n n a n f a b a )(,11==+，求通项n a ； 三．待定系数法

类型三：已知)1(,11≠+==+p q pa a b a n n ，求通项n a ； 四．特征根法

类型四：设二阶常系数线性齐次递推式为n n n qx px x +=++12（0,,1≠≥，q q p n 为常数），其特征方程为q px x +=2

，其根为特征根。

（1）若特征方程有两个不相等的实根βα,，则其通项公式为n

n n B A x βα+=（1≥n ），

其中A 、B 由初始值确定；

（2）若特征方程有两个相等的实根α，则其通项公式为1

)1([--+=n n n B A x αα（1≥n ），

其中A 、B 由初始值确定。

证明：设特征根为βα,，则,p =+βαq -=αβ

所以12++-n n x x α=11++-+n n n x qx px α=n n qx x p +-+1)(α=n n x x αββ-+1=)(1n n x x αβ-+ 即}{1n n x x α-+是以β为公比，首项为)12x x α-的等比数列。

所以1121)(-+-=-n n n x x x x βαα，所以2

121)(---+=n n n x x x x βαα

(1)当βα≠时，则其通项公式为n n n B A x βα+=，其中α

βαβ)(12--=x x A ，ββαα)(12

--=x x B ； (2)当βα=时，则其通项公式为1

)]1([--+=n n n B A x αα，其中α

αα

1

21

,x x B x A -=

=

4.（改编）已知数列{}n x 12x =且143

2n n n x x x ++=

+

则数列{}n x 的通项公

式 。

命题意图：

本试题主要考查了数列的通项公式的求法，根据递推公式构造等比数列进而求得数列的通项，虽然这样的解决对于学生来说是比较有点难度的，但通过不同的构造方法使学生体会一些特殊的数列通项公式的推导，有利于学生思维的开发。

参考答案：

解法一：由1432n n n x x x ++=+得1

33324n n n

x x x ++-=

-+ 得 1

1

5

13

3n n

x

x +=

+-- ∴

11

111

5()3434

n n x x ++

=+--

故数列11

{

}34

n x +-是以34-为首项以5为公比的等比数列

∴1134n x +-=34-1

5n -⨯ 故1

43315n n x -=-⨯+

解法二：由143

2n n n x x x ++=

+ 得1

31124n n n

x x x +++=

++ 得 111111515

n n

x x +=⨯+++ ∴

11

1111

()14514

n n x x +-

=-++

故数列11

{

}14

n x -+是以112为首项以15为公比的等比数列

∴1114n x -+=112115

n -⨯（） 故1

43315n n x -=-⨯+ 解法三 由

1432n n n x x x ++=

+得到该数列的一个特征方程43

2x x x +=+

即2230x x --=，解得3x =或1x =-

∴14333322n n n n n x x x x x ++--=

-=++ ① 14355(1)122n n n n n x x x x x +++--=+=++② 两式相除可得

11331151

n n n n x x x x ++--=⨯++,而1

13231

1213x x --==-++ 故数列31n n x x ⎧⎫-⎨⎬

+⎩⎭

是以13-为首项以1

5为公比的等比数列 ∴1

311()135n n n x x --=-⋅+,故11195143351351

n n n n x ---⨯-==-⨯+⨯+。

五．代换法

代换法主要包括三角代换、分式代换与代换相消等，其中代换相消法可以解决以下

类型五：已知c a b a ==21,，)0(11≠++=-+r r qa pa a n n n ，求通项n a 。 六．不动点法

若αα=)(f ，则称α为)(x f 的不动点，利用不动点法可将非线性递归式化归为等差数列、等比数列或易于求解的递关系的递推关系，从而达到求解的目的。 类型六：(1)已知0(1≠+⋅+⋅=

+c d

a c b

a a a n n n ，且)0≠-bc ad ，求通项n a ；

(2)已知c

a a b

a a a n n n +⋅+⋅=

+22

1

，求通项n a ；