广西桂林十八中2020-2021学年高三下学期第二次月考数学含解析【含高考模拟卷14套】

广西桂林十八中2020-2021学年高三下学期第二次月考数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知条件:1p a =-，条件:q 直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行，则p 是q 的( ) A ．充要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分不必要条件

D ．既不充分也不必要条件

2．如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的1a ，2a ，3a ，，50a 为

茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是（ ）

A ．38m =，12n =

B ．26m =，12n =

C ．12m =，12n =

D ．24m =，10n =

3．以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断拟合效果，2R 越小，模型的拟合效果越好； ③若数据123,,,,n x x x x 的方差

为1，则1232+1,2+1,2+1,

,2+1n x x x x 的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据

()()()11221010,,,,,,x y x y x y ，其线性回归方程???y

bx a =+，则“()00,x y 满足线性回归方程???y bx a =+”是“1210010x x x x +++= ，1

210

010

y y y y ++

=”的充要条件；其中真命题的个数为( )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

4．设1F ，2F 分别是椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，

且120AF AF ?=，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为( ) A ．

2

3

B

．

34

C

D 5．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（ 注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，则3a b -<的概率是（ ） A ．1

5

B ．

415

C ．1

3

D ．

25

6．已知随机变量X 服从正态分布()1,4N ，()20.3P X >=，()0P X <=（ ） A ．0.2

B ．0.3

C ．0.7

D ．0.8

7．已知双曲线C 的一个焦点为()0,5，且与双曲线2

214

x y -=的渐近线相同，则双曲线C 的标准方程为

( )

A ．2

214

y x -=

B ．22

1520y x -=

C ．22

1205x y -=

D ．2

2

14

x y -=

8．过抛物线()2

20y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且2AF FB =，抛物线的准线

l

与x 轴交于C ，ACF ?的面积为AB =（ ）

A ．6

B ．9

C

．

D ．9．已知数列{}n a 中，12a =，1

1

1n n a a -=-(2n ≥)，则2018a 等于（ ） A ．

12

B ．12

-

C ．1-

D ．2

10．已知数列{}n a 满足11a =,1n n a a n --=(2n ≥),则数列{}n a 的通项公式n a =( )

A

．

()1

12

n n +

B ．

()1

312

n n - C ．2n n 1-+ D ．222n n -+

11．将函数()sin(2)f x x ?=-的图象向右平移1

8

个周期后，所得图象关于y 轴对称，则?的最小正值是（ ） A ．

8

π B ．

34

π C ．

2

π D ．

4

π 12．木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积（ ）

A ．2493π+

B ．4893π+

C ．48183π+

D ．144183π+

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于点,A B ，以线段AB 为直径的圆E 上存在点,P Q ，使得以PQ 为直径的圆过点(2,)D t -，则实数t 的取值范围为________． 14．如图，养殖公司欲在某湖边依托互相垂直的湖岸线CA 、CB 围成一个三角形养殖区ACB .为了便于管理，在线段AB 之间有一观察站点M ，M 到直线BC ，CA 的距离分别为8百米、1百米，则观察点M 到点A 、B 距离之和的最小值为______________百米.

15．设变量x ，y 满足约束条件20

24030x y x y y -+≤??

+-≥??-≤?

，则目标函数2z x y =-的最小值为______．

16．若曲线()ln x f x ae x =-（其中常数0a ≠）在点(1,(1))f 处的切线的斜率为1，则a =________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知12

5

()a c b ac +=

．

（1）若a ，b ，c 成等差数列，求cos B 的值；

（2）是否存在ABC 满足B 为直角？若存在，求sin A 的值；若不存在，请说明理由． 18．（12分）甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1

,,2

a a (01)a <<，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ.

（1）求ξ的分布列及数学期望；

（2）在概率()P i ξ=(i =0，1，2，3)中, 若(1)P ξ=的值最大, 求实数a 的取值范围.

19．（12分）在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知AB ＝1，AA 1＝2，E ，F ，G 分别是棱AA 1，AC 和A 1C 1的中点，以{}

,,FA FB FG 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.

（1）求异面直线AC 与BE 所成角的余弦值； （2）求二面角F-BC 1-C 的余弦值．

20．（12分）已知点()0,1P ，直线()0y x t t =+<与抛物线2

2y x =交于不同两点A 、B ，直线PA 、PB

与抛物线的另一交点分别为两点C 、D ，连接CD ，点P 关于直线CD 的对称点为点Q ，连接AQ 、BQ ．

（1）证明：//AB CD ；

（2）若QAB ?的面积1S t ≥-，求t 的取值范围． 21．（12分）已知()sin(1)ln f x a x x =-+，其中a R ∈． （1）当0a =时，设函数2

()()g x f x x =-，求函数()g x 的极值．

（2）若函数()f x 在区间(0,1)上递增，求a 的取值范围；

（3）证明：

2

1

1

sin

ln 3ln 2(2)

n

k k =<-+∑． 22．（10分） 已知函数()ln f x x a x =+，a R ∈． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在[]1,e 上的最小值； （Ⅲ）若函数()()21F x f x x =

，当2a =时，()F x 的最大值为M

，求证：3

2

M <. 参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。 1、C 【解析】 【分析】

先根据直线10x ay -+=与直线2

10x a y +-=平行确定a 的值，进而即可确定结果.

【详解】

因为直线10x ay -+=与直线2

10x a y +-=平行，

所以20a a +=，解得0a =或1a =-；即0q a =：或1a =-； 所以由p 能推出q ；q 不能推出p ； 即p 是q 的充分不必要条件. 故选C 【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型. 2、B 【解析】 【分析】 【详解】

试题分析：由程序框图可知，框图统计的是成绩不小于80和成绩不小于60且小于80的人数，由茎叶图可知，成绩不小于80的有12个，成绩不小于60且小于80的有26个，故26m =，12n =．

考点：程序框图、茎叶图． 3、C 【解析】 【分析】

①根据线性相关性与r 的关系进行判断, ②根据相关指数2R 的值的性质进行判断, ③根据方差关系进行判断,

④根据点00,x y 满足回归直线方程，但点00,x y 不一定就是这一组数据的中心点，而回归直线必过样本中心点，可进行判断. 【详解】

①若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r 的绝对值越接近于1,故①正确; ②用相关指数2R 的值判断模型的拟合效果,2R 越大,模型的拟合效果越好,故②错误; ③若统计数据123,,,

,n x x x x 的方差为1,则1232+1,2+1,2+1,,2+1n x x x x 的方差为224=,故③正确;

④因为点00,x y 满足回归直线方程，但点00,x y 不一定就是这一组数据的中心点，即

1210010x x x x +++=

，1

210010y y y y ++

=不一定成立，而回归直线必过样本中心点，所以当

1210010x x x x +++=，1

210

010y y y y ++=时，点 00,x y 必满足线性回归方程 ???y

bx a =+；因此“00,x y 满足线性回归方程???y

bx a =+”是“1210010x x x x +++= ，

1210

010

y y y y ++

=”必要不充分条

件.故 ④错误; 所以正确的命题有①③. 故选：C. 【点睛】

本题考查两个随机变量的相关性，拟合性检验，两个线性相关的变量间的方差的关系，以及两个变量的线性回归方程，注意理解每一个量的定义，属于基础题. 4、C 【解析】 【分析】

根据222AF F B =表示出线段长度，由勾股定理，解出每条线段的长度，再由勾股定理构造出,a c 关系，求出离心率. 【详解】

222AF F B =

设2BF x =，则22AF x =

由椭圆的定义，可以得到1122,2AF a x BF a x =-=-

120AF AF ?=,12AF AF ∴⊥

在1Rt AF B 中，有()()()2

2

2

2232a x x a x -+=-，解得3

a x =

2124,33

a a AF AF ∴=

= 在12Rt AF F △中，有()2

2

242233a a c ????+= ? ?

????

整理得225=9c a ，c e a ∴==

故选C 项. 【点睛】

本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，构造出,a c 关系，得到离心率.属于中档题. 5、B 【解析】 【分析】

先列举出不超过15的素数，并列举出所有的基本事件以及事件“在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，满足3a b -<”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】

不超过15的素数有：2、3、5、7、11、13，

在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数，所有的基本事件有：()2,3、()2,5、()2,7、

12()()f x f x -、()2,13、()3,5、()3,7、()3,11、()3,13、()5,7、()5,11、()5,13、()7,11、()7,13、

()11,13，共15种情况，

其中，事件“在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，且3a b -<”包含的基本事件有：

()2,3、()3,5、()5,7、()11,13，共4种情况，

因此，所求事件的概率为4

15

P =. 故选：B. 【点睛】

本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题. 6、B 【解析】

【分析】

利用正态分布密度曲线的对称性可得出()()02P X P X <=>，进而可得出结果. 【详解】

()1,4X

N ，所以，()()020.3P X P X <=>=.

故选：B. 【点睛】

本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，属于基础题. 7、B 【解析】 【分析】

根据焦点所在坐标轴和渐近线方程设出双曲线的标准方程，结合焦点坐标求解. 【详解】

∵双曲线C 与2

214

x y -=的渐近线相同，且焦点在y 轴上，

∴可设双曲线C 的方程为22

14y x k k

-=，一个焦点为0,5，

∴425k k +=，∴5k =，故C 的标准方程为22

1520

y x -=.

故选：B 【点睛】

此题考查根据双曲线的渐近线和焦点求解双曲线的标准方程，易错点在于漏掉考虑焦点所在坐标轴导致方程形式出错. 8、B 【解析】 【分析】

设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设直线AB 的方程为2

p

x my =+

，由2AF FB =得122y y =-，将直线AB 的方程代入韦达定理，求得1y ，结合ACF ?的面积求得p 的值，结合焦点弦长公式可求得AB . 【详解】

设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设直线AB 的方程为x my p =+，

将直线AB 的方程与抛物线方程联立222p x my y px

?

=+

???=?，消去x 得2220y pmy p --=，

由韦达定理得122y y pm +=，2

12y y p =-，

11,2p AF x y ??=-- ???，22,2p FB x y ??

=- ???

，

2AF FB =，122y y ∴-=，122y y ∴=-，

2

21222y y y p ∴=-=-

，可得22

y p =

，122y y ==， 抛物线的准线l 与x 轴交于,02p C ??-

???

， ACF ?

的面积为2122

p p ?=

=4p =，则抛物线的方程为2

8y x =， 所以，2221

2

12524988

p

y y AB x x p p +=++=+=+=. 故选：B. 【点睛】

本题考查抛物线焦点弦长的计算，计算出抛物线的方程是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 9、A 【解析】 【分析】

分别代值计算可得，观察可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，问题得以解决. 【详解】

解：∵12a =，1

1

1n n a a -=-

(2n ≥)， 211122

a ∴=-

=， 3121a =-=-，

41(1)2a =--=，

511122

a =-

=， …，

∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，

201836722=?+， 2018212

a a ∴==

，

故选：A. 【点睛】

本题考查数列的周期性和运用：求数列中的项，考查运算能力，属于基础题. 10、A 【解析】 【分析】

利用数列的递推关系式，通过累加法求解即可． 【详解】

数列{}n a 满足：11a =，*1(2,)n n a a n n n N --=∈， 可得11a =

212a a -= 323a a -= 434a a -=

?

1n n a a n --=

以上各式相加可得：

1

123(1)2

n a n n n =+++?+=

+， 故选：A ． 【点睛】

本题考查数列的递推关系式的应用，数列累加法以及通项公式的求法，考查计算能力． 11、D 【解析】 【分析】

由函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式求出变换后的函数解析式，再利用诱导公式得到关于?的方程，对k 赋值即可求解. 【详解】

由题意知，函数()sin(2)f x x ?=-的最小正周期为22T π

π=

=,即88

T π=, 由函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式可得， 将函数()sin(2)f x x ?=-的图象向右平移

1

8

个周期后的解析式为