1.7.1定积分在几何中的应用(学、教案)

1. 7.1 定积分在几何中的应用

课前预习学案

【预习目标】

1. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理. 2．掌握利用定积分求曲边图形的面积 【预习内容】

1. 定积分的概念及几何意义

2. 定积分的基本性质及运算的应用

3．若11(2)a

x x

+⎰d x = 3 + ln 2，则a 的值为（ D ） A ．6

B ．4

C ．3

D ．2

4．设2(01)

()2(12)

x x f x x x ⎧≤<=⎨-<≤⎩，则1

()a f x ⎰d x 等于（ C ）

A ．34

B ．45

C ．56

D ．不存在

5．求函数dx a ax x a f )46()(1

022⎰++=的最小值

解：∵

1

02231

022)22()46(x a ax x dx a ax x ++=++⎰2

2

3

2

2

12

(64)(22)|22x ax a dx x a a x a a ++=++=++⎰

．

∴22()22(1)1f a a a a =++=++． ∴当a = – 1时f (a )有最小值1． 6．求定分3

22

166x x -+-⎰

d x ．

7．怎样用定积分表示：

x =0，x =1，y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积？

3

1

)(102101⎰⎰===dx x dx x f S

课内探究学案

一、学习目标：

2. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理. 2．掌握利用定积分求曲边图形的面积 二、学习重点与难点：

3. 定积分的概念及几何意义

4. 定积分的基本性质及运算的应用

三、学习过程

（一）你能说说定积分的几何意义吗？例如

⎰

b

a

dx x f )(的几何意义是什么?

表示x 轴，曲线)(x f y =及直线a x =，b x =之间的各部分面积的代数和， 在x 轴上方的面积取正，在x 轴下方的面积取负 （二）新课

例1．求椭圆122

2

2=+b y a x 的面积。

例2．求由曲线3324,

16y y x y y x -=-=所围成的面积。

练习：P58面

例3．求曲线y=sinx ,x ]32,

0[π∈与直线x=0 ,3

2π

=x ,x 轴所围成图形的面积。

课后练习与提高

1、下列积分正确的一个是（ ）

2、下列命题中不正确的是（ ）

A、1

B、2

C、

D、0

4、曲线y=x3与直线y=x所围图形的面积等于( )

1.7.1 定积分在几何中的应用

一、教学目标：

1. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理. 2．掌握利用定积分求曲边图形的面积 二、教学重点与难点： 1. 定积分的概念及几何意义

2. 定积分的基本性质及运算的应用

三、教学过程：

（一）练习

1．若11(2)a

x x

+⎰d x = 3 + ln 2，则a 的值为（ D ） A ．6

B ．4

C ．3

D ．2

2．设2(01)

()2(12)

x x f x x x ⎧≤<=⎨-<≤⎩，则1

()a f x ⎰d x 等于（ C ）

A ．34

B ．45

C ．56

D ．不存在

3．求函数dx a ax x a f )46()(1

022⎰++=的最小值

解：∵

1

02231

022)22()46(x a ax x dx a ax x ++=++⎰2

2

3

2

2

12

(64)(22)|22x ax a dx x a a x a a ++=++=++⎰

．

∴22()22(1)1f a a a a =++=++． ∴当a = – 1时f (a )有最小值1． 4．求定分3

22

166x x -+-⎰

d x ．

5．怎样用定积分表示：

x =0，x =1，y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积？

3

1

)(1

021

01⎰⎰===dx x dx x f S

6． 你能说说定积分的几何意义吗？例如

⎰

b

a

dx x f )(的几何意义是什么?

表示x 轴，曲线)(x f y =及直线a x =，b x =之间的各部分面积的代数和， 在x 轴上方的面积取正，在x 轴下方的面积取负 二、新课

14S

x 0例1．求椭圆122

22=+b y a x 的面积。

解 先画出椭圆的图形，见图6-16，因为椭圆是关于坐标轴对称的，所以整个椭圆

的面积S 是第一象限内那部分面积的4倍，即有

⎰=b

a

ydx

S 4

其中 22x a a b y -=

所以

⎰⎰

-=-=a a

dx x a a b dx x a a b S 02

20

22441.

利用§6.5例2已算出的结果

⎰=

-a a dx x a 0

2

224

π

，可得

2

44b a S ab

a ππ=⨯=(平方单位)

当a b =时，我们得到圆的面积2

a S π=

例2．求由曲线3324,

16y y x y y x -=-=所围成的面积。

解 由332416y y x y y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 得交点 000

,,011x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===-⎩

⎩⎩ 得

例3．求曲线y=sinx ,x ]32,0[π∈与直线x=0 ,3

2π=

x ,x 轴所围成图形的面积。

练习：

1．如右图，阴影部分面积为（ B ） A ．[()()]b

a f x g x -⎰d x

B ．[()()][()()]c

b

a

c

g x f x dx f x g x -+-⎰⎰d x C ．[()()][()()]b

b

a

c

f x

g x dx g x f x -+-⎰⎰d x

D ．[()()]b

a

g x f x +⎰d x

2．求抛物线y = – x 2 + 4x – 3及其在点A （1，0）和点B （3，0）处的切线所围成的面积．

3

2