全国卷高考选做题——坐标系与参数方程专题剖析
高考数学-坐标系与参数方程(含22年真题讲解)
高考数学-坐标系与参数方程 （含22年真题讲解）1．【2022年全国甲卷】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+t 6y =√t（t 为参数），曲线C 2的参数方程为{x =−2+s 6y =−√s（s 为参数）．(1)写出C 1的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为2cosθ−sinθ=0，求C 3与C 1交点的直角坐标，及C 3与C 2交点的直角坐标． 【答案】(1)y 2=6x −2(y ≥0)；(2)C 3,C 1的交点坐标为(12,1)，(1,2)，C 3,C 2的交点坐标为(−12,−1)，(−1,−2)．【解析】 【分析】(1)消去t ，即可得到C 1的普通方程；(2)将曲线C 2,C 3的方程化成普通方程，联立求解即解出． (1) 因为x =2+t 6，y =√t ，所以x =2+y 26，即C 1的普通方程为y 2=6x −2(y ≥0)．(2) 因为x =−2+s 6,y =−√s ，所以6x =−2−y 2，即C 2的普通方程为y 2=−6x −2(y ≤0)，由2cosθ−sinθ=0⇒2ρcosθ−ρsinθ=0，即C 3的普通方程为2x −y =0． 联立{y 2=6x −2(y ≥0)2x −y =0 ，解得：{x =12y =1 或{x =1y =2 ，即交点坐标为(12,1)，(1,2)；联立{y 2=−6x −2(y ≤0)2x −y =0 ，解得：{x =−12y =−1 或{x =−1y =−2 ，即交点坐标为(−12,−1)，(−1,−2)． 2．【2022年全国乙卷】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√3cos2t y =2sint ，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρsin (θ+π3)+m =0． (1)写出l 的直角坐标方程；(2)若l 与C 有公共点，求m 的取值范围． 【答案】(1)√3x +y +2m =0 (2)−1912≤m ≤52 【解析】 【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；（2）联立l 与C 的方程，采用换元法处理，根据新设a 的取值范围求解m 的范围即可. (1)因为l ：ρsin (θ+π3)+m =0，所以12ρ⋅sinθ+√32ρ⋅cosθ+m =0，又因为ρ⋅sinθ=y,ρ⋅cosθ=x ，所以化简为12y +√32x +m =0，整理得l 的直角坐标方程：√3x +y +2m =0 (2)联立l 与C 的方程，即将x =√3cos2t ，y =2sint 代入 √3x +y +2m =0中，可得3cos2t +2sint +2m =0， 所以3(1−2sin 2t)+2sint +2m =0， 化简为−6sin 2t +2sint +3+2m =0，要使l 与C 有公共点，则2m =6sin 2t −2sint −3有解，令sint =a ，则a ∈[−1,1]，令f(a)=6a 2−2a −3，(−1≤a ≤1)， 对称轴为a =16，开口向上，所以f(a)max =f(−1)=6+2−3=5， f(a)min =f(16)=16−26−3=−196，所以−196≤2m ≤5m 的取值范围为−1912≤m ≤52.1．（2022·宁夏·吴忠中学三模（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244x t y t ⎧=-⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=．(1)求曲线1C 与2C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 的极坐标方程为πR 02θαρα⎛⎫ ⎪=∈⎝<<⎭，，直线l 与曲线1C ，2C 分别交于M ，N （均异于点O ）两点，若4OMON=，求α． 【答案】(1)曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=， (2)π4α=【解析】 【分析】（1）1C 的参数方程消参可求出1C 的直角坐标方程；2C 的极坐标方程同乘ρ，把cos x ρθ=，222x y ρ=+代入2C 的极坐标方程可求出2C 的直角坐标方程.（2）设M 、N 两点的极坐标分别为()1,ρα、()2,ρα，用极径的几何意义表示出4OMON=，即124ρρ=，解方程即可求出α. (1)解：1C 的参数方程为244x t y t ⎧=-⎨=⎩（t 为参数），把2216y t =代入24x t =-中可得，24y x =-，所以曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，即22cos ρρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，综上所述：曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=， (2)由（1）知，1C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=-， 设M 、N 两点的极坐标分别为()1,ρα、()2,ρα，则21sin 4cos ραα=-，22cos ρα=，由题意知02πα<<可得sin 0α≠，因为4OMON=，所以124ρρ=，所以24cos 42cos sin ααα-=⨯，故21sin 2α=，所以sin 2α=或sin 2α=（舍） 所以π4α=.2．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2C 的参数方程为2221x t t y t ⎧=-⎨=-⎩（t 为参数）.已知曲线2C 与x ，y 正半轴分别相交于,A B 两点.(1)写出曲线1C 的极坐标方程，并求出,A B 两点的直角坐标；(2)若过原点O 且与直线AB 垂直的直线l 与曲线1C 交于P 点，与直线AB 交于Q 点，求线段PQ 的长度.【答案】(1)2cos ρθ=，A 点为()3,0，B 点为()0,3(2)2【解析】 【分析】（1）普通方程()2211x y -+=，即可得2cos ρθ=（2）求出直线AB 的方程为3y x =-+，然后求出直线l 的方程，然后可求出PQ 的长度 (1)曲线1C 的普通方程()2211x y -+=，极坐标方程()()22cos 1sin 1ρθρθ-+=，∴2cos ρθ=.在曲线2C 上，当0x =时，0=t 或2t =，此时3y =或1y =-（舍），所以B 点为()0,3. 当0y =时，1t =-或1t =，此时3x =或1x =-（舍），所以A 点为()3,0. (2)直线AB 的方程为3y x =-+，极坐标方程为sin cos 3ρθρθ=-+， ∴()sin cos 3ρθθ+=，过原点O 且与直线AB 垂直的直线l 的极坐标方程为4πθ=.4πθ=与2cos ρθ=联立，得1ρ 4πθ=与()sin cos 3ρθθ+=联立，得2ρ=∴21PQ ρρ=-=. 3．（2022·江西·南昌市八一中学三模（理））在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)设点Q的直角坐标为(，P 为C 上的动点，求PQ 中点R 的轨迹的极坐标方程. 【答案】(1)直线l 的普通方程为2x y +=，曲线C 的普通方程为()(2214x y ++=；(2)21ρ= 【解析】 【分析】（1）消去参数t ，即可得到直线l 的普通方程，再由两角和的正弦公式及222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设(),R x y ，即可表示P 点坐标，再根据点P 在曲线C 上，代入C 的方程，即可得到点R 的轨迹方程，再将直角坐标方程化为极坐标方程即可；(1)解：因为直线l的参数方程为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 所以直线l 的普通方程为2x y +=，因为曲线C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即4sin cos cos sin 66ππρθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即2cos ρθθ=--，所以2sin 2cos ρθρθ=--，又222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，所以222x y x +=--，即()(2214x y +++=，即曲线C 的普通方程为()(2214x y ++=；(2)解：设(),R x y，则(21,2P x y -，因为点P 在曲线C 上，所以()(2221124x y -++=，即221x y +=，所以PQ 中点R 的轨迹方程为221x y +=，即21ρ=4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2cos θsin θρ=+. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设点()2,1P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求PA PBPB PA+的值. 【答案】(1)10x y --=，22220x y x y +--= (2)4 【解析】 【分析】（1）直接消去参数，将直线l 的方程化为普通方程，利用互化公式将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程（2）将直线的参数方程代入曲线C的普通方程，得到210t -=，得到12121t t t t +==- ，化简()222121212122112122PA PBt t t t t t t t PB PA t t t t t t +-++=+==，代入韦达定理，即可得到答案 (1)直线l的参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 消去参数t 可得l 的普通方程为10x y --=.曲线C 的极坐标方程为2(cos θsin θ)ρ=+，即22(cos θsin θ)ρρ=+，根据222cos θsin θx y x y ρρρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，可得2222x y x y +=+.∴曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--= (2)在直线l的参数方程21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）中，设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ， 将直线l的参数方程221x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入22220x y x y +--=，得210t +-=，∴12t t +=121t t =-.∴()2221212121221121224PA PBt t t t t t t t PB PA t t t t t t +-++=+=== 5．（2022·安徽淮南·二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（其中α为参数，02πα≤<），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线1l 的极坐标方程为(R)3πθρ=∈．(1)求曲线C 的极坐标方程与直线1l 的直角坐标方程；(2)设直线1l 与曲线C 交于点O ，A ，直线2l 与曲线C 交于点O ，B ，求AOB 面积的最大值． 【答案】(1)4sin ρθ=，y(2)【解析】【分析】（1）依据参数方程与普通方程的互化和极坐标方程与直角坐标方程的互化即可解决； （2）先求得AOB 面积的表达式，再对其求最大值即可. (1)曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=，展开得2240x y y +-=， 则曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=． 直线1l的直角坐标方程为y (2)由（1）可知π||4sin3OA == 设直线2l 的极坐标方程为(R)θβρ=∈，根据条件知要使AOB 面积取最大值，则ππ3β<<，则||4sin OB β=，于是1ππsin sin 233OAB S OA OB βββ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π6sin cos cos 2)3sin 226ββββββ⎛⎫=-=--=+ ⎪⎝⎭，所以当π3π262β+=即2π3β=时，AOB的面积取最大值，最大值为6．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为))cos sin cos sin 2x y ϕϕϕϕ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同单位长度，直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 100ρθρθ+-=. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 距离的最小值. 【答案】(1)2214x y +=，23100x y +-=；【解析】 【分析】（1）消去曲线C 的参数方程中的参数即可得解，利用极坐标与直角坐标互化得直线l 的直角坐标方程作答.（2）设出曲线C 上任意一点的坐标，利用点到直线距离公式及辅助角公式求解作答. (1)由))cos sin cos sin x y ϕϕϕϕ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（ϕ为参数），消去参数得2214x y +=， 所以曲线C 的普通方程为2214x y +=，把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入直线l 的极坐标方程2cos 3sin 100ρθρθ+-=得：23100x y +-=，所以直线l 的直角坐标方程为23100x y +-=. (2)由（1）知，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），设()2cos ,sin P αα为曲线C 上一点，P 到直线l 的距离为d ，则105sin d αϕ-+===ϕ由4tan 3ϕ=确定，因此，当()sin 1αϕ+=时，d所以曲线C 上的点到直线l 7．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐sin cos 0θρθ-．(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程： (2)若直线与曲线C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(0,1)，求11||||PA PB +的值． 【答案】(1)224x y -=，0x+= (2)5【解析】【分析】（1）消去参数t 可得曲线C 的方程，利用公式法转化得到直线l 的直角坐标方程； （2）利用直线l 的参数方程中t 的几何意义求解. (1)∴11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），∴22222222112112x t t t t y t t t t ⎧⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎩，所以224x y -=， 所以曲线C 的方程为224x y -=又∴cos x ρθ=，sin y ρθ=，0x - 所以直线l的直角坐标方程为0x =； (2)∴()0,1P 在直线l 上，∴直线l的参数方程为112x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）设A ，B 对应的参数分别为1t 与2t将直线l 的参数方程代入到224x y -=得22100t t --=． ∴2Δ(2)41(10)440=--⨯⨯-=>， ∴122t t +=，12100t t ⋅=-<， ∴1||PA t =，2||PB t =∴1212121111||||-+=+====t tPA PB t t t t，所以11||||+=PA PB 8．（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 满足参数方程2241421t x t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩（t 为参数且11t -≤≤）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点P 为曲线1C 上一动点，且极坐标为(),ρθ. (1)求曲线1C 的直角坐标方程； (2)求()cos 3sin ρθθ+的取值范围.【答案】(1)y =()2204y x y +=≥(2)⎡-⎣ 【解析】 【分析】（1）消去参数t 可得普通方程，由11t -≤≤，得到0y ≥，即可求出曲线1C 的直角坐标方程； （2）先判断出2ρ=利用三角函数出()cos 3sin ρθθ+的范围. (1)由2241421t x t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩消去t 可得：224x y +=. 由于11t -≤≤，则212t +≤，即0y ≥.因此曲线1C的直角坐标方程为y ()2204y x y +=≥(2)曲线1C 为上半圆，点P 在1C 上，因此2ρ=，0,θπ⎡⎤∈⎣⎦ 由三角函数的性质知，在[]0,π上，1cos 3sin θθ-≤+≤因此()cos 3sin 2,ρθθ⎡+∈-⎣9．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为22x y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ---=. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为()2,2，求1PA PB-.【答案】(1)()()22126x y -+-=；【解析】 【分析】(1)将222x y ρ=+、cos x ρθ=、sin y ρθ=代入圆C 的极坐标方程即可求其直角坐标方程； (2)将直线l 的参数方程化为标准形式，代入圆C 的直角坐标方程得到关于参数t 的二次方程，根据韦达定理和直线参数方程参数的几何意义即可求出1PA PB-．(1)∴22cos 4sin 10ρρθρθ---=，∴222410x y x y +---=， 即()()22126x y -+-=； (2)直线l参数方程的标准形式为2122x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)， 代入圆C直角坐标方程整理得250t -=， 设方程的两根为1t 、2t ，则A 、B 对应参数1t 、2t ，则121250t t t t ⋅=-<⎧⎪⎨+⎪⎩，∴1PA PB-121211t t t t ==+-10．（2022·河南·模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为222x m y m⎧=⎨=⎩（m 为参数），直线l 的参数方程为12x tcos y tsin αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与1C 交于点P ，Q ，与2C 交于点S ，T ，与x 轴交于点R .(1)写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； (2)若()4PR QR SR TR -=-，求直线l 的倾斜角. 【答案】(1)22y x =，()2211x y -+= (2)2π或4π或34π【解析】 【分析】（1）消参求得曲线1C 的普通方程为22y x =.由2cos ρθ=同乘ρ得到2C 的直角坐标方程. （2）l 过定点1,02R ⎛⎫ ⎪⎝⎭.将直线l 的参数方程代入21:2C y x =，整理得22sin 2cos 10t t αα--=，利用参数的几何含义化简求解. (1)曲线1C 的普通方程为22y x =.由2cos ρθ=得22cos ρρθ=.所以2C 的直角坐标方程为222x y x +=，即()2211x y -+=.(2)不妨设0απ<<，则sin 0α>.易知1,02R ⎛⎫ ⎪⎝⎭是l 过的定点.将直线l 的参数方程代入21:2C y x =，整理得22sin 2cos 10t t αα--=，设P ，Q 对应的参数分别为P t ，Q t ，则22cos sin P Q PR QR t t αα-=+=.将直线l 的参数方程代入()222:11C x y -+=，得23cos 04t t α--=， 设S ，T 对应的参数分别为S t ，T t ，则cos S T SR TR t t α-=+=.由()4PR QR SR TR -=-得22cos 4cos sin ααα=，得cos 0α=或sin α=l 的倾斜角为2π或4π或34π. 11．（2022·河南洛阳·三模（理））在直角坐标系xOy 中，直线1l的参数方程为12x ty kt⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），直线2l的参数方程为x m m y k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（m 为参数），设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线1C .(1)求曲线1C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，射线OM ：()04πθρ=≥与1C ，2C 分别交于A ，B 两点，求线段AB 的长.【答案】(1)22163x y +=，()0y ≠(2)2【解析】 【分析】（1）消去参数得到直线1l 、2l 的普通方程，联立两方程消去k ，即可得到P 的轨迹； （2）首先将1C 的方程化为极坐标方程，再将()04πθρ=≥代入两极坐标方程即可求出OA ，OB ，即可得解；(1)解：因为直线1l的参数方程为12x ty kt⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）， 消去参数t 得直线1l的普通方程为(12y k x =①， 直线2l的参数方程为x m m y k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（m 为参数）， 消去参数m 得直线2l的普通方程为(1y x k=-②， 设(),P x y ，由①②联立得((121y k x y x k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去k 得()22162y x =--即曲线1C 的普通方程为22163x y +=，()0y ≠；(2)解：设1OA ρ=，2OB ρ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线1C 的极坐标方程为2261sin ρθ=+（02θπ<<，θπ≠），代入()04πθρ=≥得12OA ρ==，将()04πθρ=≥代入2cos ρθ=得2OB ρ==所以2AB OA OB =-= 即线段AB的长度为212．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 3sin x y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），将曲线1C 经过伸缩变换13x xy y =⎧''⎪⎨=⎪⎩得到曲线2C .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线2C 的极坐标方程；(2)已知射线():0l θαρ=≥与曲线2C 交于A 、B 两点，若3OB OA =，求tan α的值. 【答案】(1)24cos 30ρρθ-+= (2)0 【解析】 【分析】（1）求出曲线2C 的参数方程，化为普通方程，再利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转换关系可得出曲线2C 的极坐标方程；（2）设()1,A ρα、()2,B ρα，则1ρ、2ρ为方程24cos 30ρρα-+=的两根，由已知可得213ρρ=，结合韦达定理可求得cos α的值，利用同角三角函数的基本关系可求得tan α的值. (1)解：由题可得2C 的参数方程为2cos sin x y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），则2C 的直角方程为()2221x y -+=，即22430x y x +-+=， 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以24cos 30ρρθ-+=，所以曲线2C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=. (2)解：设()1,A ρα、()2,B ρα，则1ρ、2ρ为方程24cos 30ρρα-+=的两根， 2Δ16cos 120α=->，则124cos ρρα+=①，123ρρ=②， 因为3OB OA =，所以213ρρ=③，由①②③解得cos 1α=，则sin 0α=，tan 0α∴=，此时16120∆=->，合乎题意. 故tan 0α=.13．（2022·贵州遵义·三模（文））在极点为O 的极坐标系中，经过点π2,6M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与极轴所成角为α，且与极轴的交点为N ． (1)当π2α=时，求l 的极坐标方程； (2)当ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求MON △面积的取值范围．【答案】(1)cos ρθ=(2)⋃⎣⎦⎣⎦【解析】 【分析】（1）先求得l 的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.（2）对直线l 的倾斜角进行分类讨论，结合三角形的面积公式求得MON △面积的取值范围. (1)点π2,6M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则π2cos 6π2sin 16x y ⎧=⨯=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩，所以M点的直角坐标为)，当π2α=时，直线l的直角坐标方程为x =转化为极坐标方程为cos ρθ=.(2)在极坐标系下：经过点π2,6M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与极轴所成角为α，在直角坐标系下：经过点)M的直线l 的倾斜角为α或πα-.即直线l 的倾斜角是α或πα-. 当直线l 的倾斜角为α时，直线l 的方程为(1tan y x α-=，令0y =得1tan N x α-=ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，tan α⎡∈⎣，111,1,,tan tan tan N x ααα⎤⎡∈-∈-=-⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎦，所以1π111sin 2262tan 2MONSOM ON α⎛=⨯⨯⨯=⨯⨯-+⨯ ⎝11tan 2α⎛=-⨯∈ ⎝⎣⎦.当直线l 的倾斜角为πα-时，直线l 的方程为()((1tan πtan y x x αα-=-=-，令0y =得1tan N x α=11,1tan tan N x αα⎤⎤∈=⎥⎥⎣⎦⎣⎦，所以1π111sin 2262tan 2MONSOM ON α⎛=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ ⎝11tan 2α⎛=⨯∈ ⎝⎣⎦.综上所述，MON △面积的取值范围是⋃⎣⎦⎣⎦. 14．（2022·江西·上饶市第一中学二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的普通方程为：22(2)4x y -+=，曲线2C 的参数方程是2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），点2,2P π⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求曲线1C 和2C 的极坐标方程； (2)设射线(0)3πθρ=>分别与曲线1C 和2C 相交于A ，B 两点，求PAB △的面积.【答案】(1)4cos ρθ=，22123sin ρθ=+(2)1 【解析】 【分析】（1）由公式法求极坐标方程（2）联立方程后分别求出A ，B 坐标，及P 到直线AB 距离后求面积 (1)曲线1C 的直角坐标方程为：2240x y x +-=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式并化简， 得曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=. 曲线2C 的普通方程是：22143x y +=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式并化简， 得曲线2C 的极坐标方程为：22123sin ρθ=+.(2)设12,,,33A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1||4cos23OA πρ===，22221216||53sin 3OB ρπ===+，所以||OB =，所以||||||2AB OA OB =-=-. 又(0,2)P到直线:AB y =的距离为：1d ==所以12112PABS⎛=⨯⨯= ⎝⎭ 15．（2022·全国·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθθ=. (1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若点M ，N 分别为曲线C 和直线l 上的动点，求MN 的最小值.【答案】(1)22163x y +=，40x -=2- 【解析】 【分析】（1）利用22cos sin 1θθ+=消去参数θ，可得曲线C 的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可求出直线l 的直角坐标方程， （2）设曲线C上任意一点)Mθθ到直线l 的距离为d ，然后利用点到直线的距离公式表示出d ，再根据三角函数的性质可求出其最小值 (1)由曲线C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）可知2222cos sin 1θθ+=+=，故曲线C 的直角坐标方程为22163x y +=.由直线l的极坐标方程为cos sin 4ρθθ=，结合cos x ρθ=，sin y ρθ=可知l的直角坐标方程为40x -=. (2)MN 的最小值即为曲线C 上任意一点到直线l 距离的最小值.设曲线C上任意一点)Mθθ到直线l 的距离为d ，则2cos 24d πθ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，故MN 2..。
坐标系与参数方程全国高考新课程卷试题分析与启示
备注：此论文于2015年4月已发表在《教学考试》（理论版2双月刊）杂志上。
坐标系与参数方程试题分析与启示748200 甘肃省渭源县第一中学何伟军“坐标系与参数方程”是新课标新增内容,是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化.从2007年到至今已经走过整整八年的考试历程，研究它的命题规律，有助于把握命题动向，整体感知，有利于实施具体的备考计划，这成为高考备考独一无二的选择.纵观历年考题，我们可以从以下几个方面分析：一、坐标系与参数方程试题的综合分析1、坐标系与参数方程考点分析题型不变、第23题位置固定不变，文理同题不变，分值10分不变，命题本源是选修4-4：坐标系与参数方程,是以直线、圆参数方程和极坐标方程、仅以及椭圆的参数方程为背景，求曲线的交点坐标、点的轨迹的参数方程、弦长、取值范围等；考题涵盖《考纲》所涉及的知识点，现分析如下：2、试题源于课本课本是什么？课本是数学知识结构的外在呈现，是高中教学的依据；课本是试题的基本来源；是高考命题的主要依据；是中低档题的直接来源；是解题能力的生长点.集中考察八年坐标系与参数方程考题，分析对比，不难发现大多数试题的产生都是课本中的例习题、探究和思考为源题，在此基础上组合、加工和发展的结果，如表2所示.二、命题方法再现由表1所考查的知识点和表2所涉猎的课本题不难看出，大多数考题由课本题变化而来.课本习题为素材的变式题，通过变形、延伸与拓展来命制高考数学题.这些题目（1）选编源题，采用串并方式的仿制题；（2）精编源题，与三角函数巧结合，“题”高一筹；（3）改装源题条件，深层加工，力图创新；（4）课本源题做“引子”，传承精髓，题在书外，理在书中.下面我们将遴选高考真题，分别给予剖析.1.选编源题，采用串并方式的仿制题；1.1并联方式，重现源题案例1（2007年全国新课标卷Ⅱ）1O e 和2O e 的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，．（Ⅰ）把1O e 和2O e 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求经过1O e ，2O e 交点的直线的直角坐标方程．解析：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（Ⅰ）cos x ρθ=，sin y ρθ=，由4cos ρθ=得24cos ρρθ=．所以224x y x +=．即2240x y x +-=为1O e 的直角坐标方程．同理2240x y y ++=为2O e 的直角坐标方程．（Ⅱ）由22224040x y x x y y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩解得1100x y =⎧⎨=⎩，，2222x y =⎧⎨=-⎩．即1O e ，2O e 交于点(00)，和(22)-，．过交点的直线的直角坐标方程为y x =-．源题：（1）把极坐标方程θρcos 10-=，θρsin 2=化为直角坐标方程；（2）已知圆0882:221=-+++y x y x C ，圆0244:222=---+y x y x C ，试判断圆1C 与圆2C 的位置关系.思考：考题第（Ⅰ）问是课本习题重现，剥去极坐标“外装”后，第(Ⅱ)问也是必修2所学内容，是课本源题的重现，背景熟悉，朴实无华，基本上是并联方式构成命题. 2.2、串联方式，多层“拼接”、叠加案例2（2008年全国新课标卷Ⅱ）已知曲线C 1：cos ()sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，曲线C 2：()x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数（Ⅰ）指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；（Ⅱ）若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线1'C ，2'C .写出1'C ，2'C 的参数方程.1'C 与2'C 公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由.解析：（Ⅰ）1C 是圆，2C 是直线．1C 的普通方程为221x y +=，圆心1(00)C ，，半径1r =．2C的普通方程为0x y -+=．因为圆心1C到直线0x y -+=的距离为1，所以2C 与1C 只有一个公共点． （Ⅱ）压缩后的参数方程分别为1C '：cos 1sin 2x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，（θ为参数）2C '：2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数） 化为普通方程为：1C '：2241x y +=，2C '：12y x =+，联立消元得2210x ++=，其判别式24210∆=-⨯⨯=，所以压缩后的直线2C '与椭圆1C '仍然只有一个公共点，和1C 与2C 公共点个数相同．源题：（1）把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：①⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ；②⎩⎨⎧--=-=t y t x 4123（t 为参数）（2）已知直线063:=-+y x l 和圆心为C 的圆04222=--+x y x ，判断直线l 与圆的位置关系；如果相交，求出它们交点坐标.（3)在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧='='y y xx 32后的图形.①032=+y x ；②122=+y x .（4）求直线023=+-y x 和椭圆141622=+y x 的交点坐标.思考：考题两问，考题其实由课本4道题稍加“包装”“拼接”叠加而成.若把源题（2）的直线方程和圆方程化为参数方程后就与考题相差无几.换言之，考题以参数方程“包装”，化为普通方程后，发现两题形异质同，而这正是高考命题的基本依据和发源地.高考复习中单打一显然不能应对多层次组合的考题，串通教材为提高能力之为，只有平时扎实的基础才能从容不迫应对综合考题.2.精编源题，与三角函数精巧结合，“题”高一筹 2.1与三角交汇，主体结构和源题基本一致案例3：（2009年全国新课程卷Ⅱ）已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），C 2：8cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. （Ⅰ）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）若C 1上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线332,:2x t C y t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）距离的最小值. 解析：（Ⅰ）222212:(4)(3)1,:1.649x y C x y C ++-=+=1C 为圆心是（4,3)-，半径是1的圆.3(4,4).(8cos ,3sin ),(24cos ,2sin ).2P Q M θθθθ--++故2C 是以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆. （Ⅱ）当2t π=时，3C 为直线072=--y x ，M 到3C 的距离13sin 3cos 455--=θθd ，从而当43cos ,sin 55θθ==-时，558min =d 源题：（1）把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：①⎩⎨⎧=+=θθsin cos 3y x (θ为参数）；②⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 5y x （ϕ为参数）；（2）在椭圆14922=+y x 上求一点M ，使点M 到直线0102=-+y x 的距离最小，并求出最小距离.思考：考题设置两问，第（Ⅰ）课本习题类型，第（Ⅱ）中PQ 中点M 的坐标和课本和椭圆14922=+y x 上的点)sin 2,cos 3(θθ完全类似，主体结构和课本题基本一致，直接取材于课本，选编源题，与三角函数精巧结合，串通例习题的思想方法，“题”高一筹. 2.2将源题抽象化、模型化，求解参数化案例4(2012年全国新课标卷Ⅱ)已知曲线1C 的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x (ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π（Ⅰ）求点,,,A B C D 的直角坐标；（Ⅱ）设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围. 解析:（Ⅰ）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ 点,,,A B C D的直角坐标为1,1)-- （Ⅱ）设00(,)P x y ；则⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 200y x (ϕ为参数）2222224440t PA PB PC PD x y =+++=++25620sin [56,76]ϕ=+∈源题：（1）在图1-9中，用点E D C B A ,,,,分别表示教学楼，体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置.建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标.（2）已知点的极坐标分别为),23(),2,4(),32,2(),4,3(ππππ，求它们的直角坐标. (3)已知点)2,4(),6,2(),2,2(----C B A ，点P 在圆422=+y x 上运动，求222PC PB PA ++的最大值和最小值.思考：以椭圆的参数方程和圆的极坐标方程为载体，已知圆内接正方形的一个顶点的极坐标，求其它各顶点的坐标，此问与源题相似，将源题抽象化、模型化就是考题，将考题生活化、具体化就是源题，这是常见命题方法，该题目就是课本源题的深层次变形.第（2）问是将源题（3）中的圆改编为椭圆参数的方程后，从题干到设问就“酷似”考题.因此扎根教材，夯实基础策略永远不变.3.改装源题条件，深层加工，力图创新 3.1 变更源题载体，构成形异质同题图1-9E案例5 （2010年全国新课程卷Ⅱ）已知直线C 1x 1t cos sin y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），C 2x cos sin y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. （Ⅰ）当α=3π时，求C 1与C 2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为A ，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线. 解析：（Ⅰ）当3πα=时，1C的普通方程为1)y x =-，2C 的普通方程为221x y +=.联立方程组221)1y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，解得1C 与2C 的交点为)23,21(),0,1(-.（Ⅱ）1C 的普通方程为sin cos sin 0x y ααα--=.A 点坐标为()2sin cos sin ααα-，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==αααcos sin 21sin 212y x （α为参数），P 点轨迹的普通方程为161)41(22=+-y x .故P 点轨迹是圆心为)0,41(，半径为14的圆. 源题：（1）设直线l 经过点)5,1(0M 、倾斜角为3π.①求直线l 的参数方程；②求直线l 和圆1622=+y x 的两个交点到点0M 的距离的和与积.（2）求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长. （3）已知O 是直角坐标原点，B A ,是抛物线)0(22>=p px y 上异于顶点的两动点，且AB OM OB OA ⊥⊥,并与AB 相交于点M ，求点M 的轨迹方程.思考：两题有极大的相似性，第（Ⅰ）与课本题十分接近，如果把必修②中4.2直线、圆的位置关系一节的题目的普通方程用参数方程改装，就已经相差无几了.第（Ⅱ）问与源题（3）外形稍有不同，一个是以定圆与动直线为载体，求以过原点与动直线的垂线段的中点轨迹；一个是以定抛物线与动直线为载体，求过原点与动直线垂直时垂足的轨迹.两者都有垂直的情结，都是以动直线中参数为变量来表示点M 的轨迹方程的，求解问题思想方法一脉相承，试题所承载的知识、思想方法没变. 3.2 多重组合，深层加工，交汇创新案例6（2011年全国新课标Ⅱ）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 22cos 2y x α(为参数），M 为1C 上的动点，P 点满足OM OP 2=，点P 的轨迹为曲线2C ．（Ⅰ）求2C 的方程；（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB .解析（Ⅰ）设),(y x P ，则由条件知)2,2(yx M .由于M 点在1C 上，所以⎩⎨⎧+==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==ααααsin 44cos 4sin 22cos 22y x y x，从而2C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 44cos 4y x （α为参数）（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为θρsin 4=，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 8=．射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为3sin41πρ=，射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为3sin 82πρ=．所以3212=-=ρρAB .源题：（1）圆O 的半径为2，P 是圆上的动点，)0,6(Q 是x 轴上的定点，M 是PQ 的中点.当点P 绕O 作匀速圆周运动时，求点M 的轨迹的参数方程.（2）在极坐标系中，求适合下列条件的直线或圆的极坐标方程：①过极点，倾斜角是3π的直线；②圆心在)2,(πa ，半径为a 的圆. （3）在极坐标系中，已知两点)32,1(),3,3(ππB A -，求B A ,两点间的距离. 思考： 多重组合的痕迹从源题上可以看得出来，从源题的问题再设计和改动，并赋予向量进行条件的改装，第（I ）问条件中P 点满足2=，与源题中M 是PQ 的中点高度吻合.求曲线的参数方程和求轨迹方程是类似的，即“建系、设点、列式、化简”.第（Ⅱ）问可在源题中找到“影子”，也可找到解决问题的方法，这就是求极坐标系下的两点间的距离除了转化成直角坐标方程，在同一极角下两点间的距离，可以用极经的差来计算.关键要掌握两种坐标系下的曲线与方程的关系与其他知识的联系.3.3紧扣教材立意、创新，推陈出新案例7 （2013年全国新课标卷Ⅱ）已知动点,P Q 都在曲线⎩⎨⎧==ββsin 2cos 2:y x C （β为参数)上,对应参数分别为βα=与)20(2πααβ<<=,M 为PQ 的中点. (Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程；(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点. 解析：(Ⅰ)依题意有)2sin 2,2cos 2(),sin 2,cos 2(ααααQ P ， 因此)2sin sin ,2cos (cos αααα++M .M 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧+=+=.2sin sin ,2cos cos ααααy x （α为参数，πα20<<） (Ⅱ)M 点到坐标原点的距离αcos 2222+=+=y x d )20(πα<<.当πα=时，0=d ，故M 的轨迹过坐标原点.源题：（1）经过抛物线)0(22>=p px y 的顶点O 任作两条互相垂直的线段OA 和OB ，以直线OA 的斜率k 为参数，求线段AB 的中点M 的轨迹的参数方程.（2）圆O 的半径为2，P 是圆上的动点，)0,6(Q 是x 轴上的定点，M 是PQ 的中点.当点P 绕O 作匀速圆周运动时，求点M 的轨迹的参数方程. 同案例6源题（1）相同.思考：两题外形基本一致，结构相同，紧扣教材立意，属于课本试题的多层改装.第(Ⅰ)问，是将源题中抛物线改为圆，并以圆的参数方程呈现，改090=∠AOB 为α=∠POQ ，并且以直线OA 的斜率k 为参数，其实与直线OA 的倾斜角有关，这样两题从本质也是相同的.第(Ⅱ)用两点之间的距离公式转化为关于参变量α的三角函数，精巧构思、与三角结合，天衣无缝，具有深度和“一箭双雕”功效，有力考查学生灵活运用知识解决问题能力.实现同一源题，不同的“组装”，衍生不同题，辐射不同的考点的目的.4.课本源题做“引子”，传承精髓，题在书外，理在书中例8（2014年全国新课标卷Ⅱ）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.解析：（Ⅰ）C 的普通方程为).10(1)1(22≤≤=+-y y x 可得C 的参数方程⎩⎨⎧=+=ty tx sin cos 1（t 为参数，π≤≤t 0） （Ⅱ）设)sin ,cos 1(t t D +.由（Ⅰ）知C 是以)0,1(G 为圆心，1为半径的上半圆.因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同.3,3tan π==t t . 故D 的直角坐标为)3sin,3cos1(ππ+，即).23,23( 源题：（1）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，求半径为a ，圆心坐标为)0)(0,(>a a C 的圆的极坐标方程. （2）把极坐标方程θρcos 10-=化为直角坐标方程. （3）把圆1)3(22=+-y x 化为参数方程.（4)判断直线5034=-y x 与圆10022=+y x 的位置关系.如果有公共点，求出公共点的坐标.思考：考题源于教材“探究”“思考”的问题中，串通教材改编，第（Ⅱ）问结合必修2的内容，用切线、垂直、合情推理，精巧构思，拾级而上，给人以耳目一新的感觉. 明确参数t 是该圆的离心角，离心角的正切值就是等于3，即l GD //，抓住3tan ===t k k GD l 这一关键.研究教材，抓住知识要点，挖掘知识形成过程中蕴含的思想方法是高考复习的重要目标.二、备考启示1、研读《考纲》和《考试说明》,重视回归课本我们应认真研读《考纲》和《考试说明》，明确“考什么”、“考多难”、“怎么考”这三个问题.对比《考纲》研究直线、圆、椭圆的极坐标方程和参数方程与应用；研究高考试题，不难发现试题有如下特征：极坐标与直角坐标、参数与普通方程的互化，是属于课本最基本的内容，只变其形不变其质，万变不离其宗.题目以“极参”包装，考查点的轨迹、直线与圆、椭圆位置关系的量.与必修2中直线与圆珠联璧合，通常可化为普通方程解决.选修课本与必修相比少了练习题、B 组题，总复习参考题，由此选修课本中的习题很珍贵，非常具有代表性，在习题教学中，要突破照本宣科和就题论题的教学模式，越是到复习的后期，我们教师就越要有“花招”，以“大显身手”，充分以课本例习题为题根，引导学生分析、整合、拓展、创新进行新的构建，进行“一题多变”训练，同时链接高考，剖析同根同源查证.我们必须带着“考纲”回归课本，特别是考纲上与往年不同的地方，近几年没有考到的点，一定要重点复习，做到不遗漏，扎实的基础是智取的法宝.2、注重交汇综合，提升解决问题的能力学科内跨章节知识交汇问题常常是命题的高频考点，直线、圆、椭圆的极坐标方程只是在两种坐标系下“数”的“外现”，而参数方程与普通方程是同一动点轨迹“数”的直接和间接关系的两种表达.由于参数方程中常常以角为参数，极坐标方程中的极角，这为命题者提供丰富资源与联系，往往与三角函数问题交汇、融合，成为考查能力的“佳品”，象2009年第Ⅱ问，2010年第Ⅱ问，2012年第Ⅱ问，均与三角函数的最值有关，一石击二鸟.高考复习回归课本时要有意将必修2中《直线与圆方程》一章的例习题以极限或参数“包装”后，重新审视新情景下所设置的问题有如何作答，教师的功夫花在组合、加工课本题，使其与高考题充分的“逼真”.领会课本中各知识点的内在联系，揭示问题的实质，培养学生抓住问题本质的思维能力，提升解决问题能力就是高效备考.3、强化训练，志在必得仔细研究试题不都是课本原题，都是重组、加工和改造的创新题，没有一年是“拼盘式”、原题复制式的，而是命题专家精心由浅入深，层次递进，智慧与灵感撞击的佳题，似曾相识，比较“眼熟”，有亲切感，考生没有心理压力.此题虽然属于中档题，是属于送分题，是志在必得的夺分题，但对能力要求并不低.高考复习要强化落实，不能只是“刀光剑影”“雨过地皮湿”“匆匆而过”要渗透下去.要查找盲区，夯实基础，重视方法，学会知识迁移.数学大师陈省升先生说：“做数学要做得很熟练，要多做，要反复做，要做很长时间，你就明白其中的奥妙，你就可以创新了.灵感完全是苦功的结果，要不灵感不会来.”数学解答需要有扎实的基础，否则基础分是不能轻易拿到手的.参考文献[1]人民教育出版社中学数学室.选修4—4：坐标系与参数方程[M].北京：人民教育出版社，2007.1第2版.[2]人民教育出版社中学数学室.必修 A版[M].北京：人民教育出版社，2007.2第3版.。
坐标系与参数方程典型例题含高考题----答案详细)
选修4-4《坐标系与参数方程》复习讲义一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：1．坐标系：①理解坐标系的作用.②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程：①了解参数方程，了解参数的意义. ②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.二、基础知识归纳总结：1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下， 点P(x,y)对应到点)y ,x (P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ.极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
“坐标系与参数方程”高考考查分析
“坐标系与参数方程”高考考查分析高考中的“坐标系与参数方程”是数学考试中的一个重要考点，也是考生容易出错的地方之一。
本文将从考查形式、考点分布以及解题方法等方面进行分析。
一、考查形式在高考数学试卷中，关于坐标系与参数方程的考查形式主要有选择题和解答题两种形式。
选择题要求考生根据给定的图形或方程，找出与之对应的参数方程或坐标系。
解答题则要求考生根据所给图形的特点，给出相应的参数方程或坐标系，并进行论证和解答。
二、考点分布在考查“坐标系与参数方程”这个知识点时，主要涉及以下几个考点：1. 直角坐标系与参数方程的相互转化。
要求考生能够根据直角坐标系确定对应的参数方程，并能够根据参数方程确定对应的直角坐标系。
2. 特殊曲线的参数方程。
考生要掌握常见曲线的参数方程，如直线、抛物线、圆等，并能够通过对应的参数方程描述其特点。
4. 图形的平移与旋转。
要求考生能够根据图形的平移、旋转等操作确定它的参数方程。
三、解题方法解题时，考生可根据以下方法进行思考和求解：1. 根据图形的特点确定参数方程。
可以通过观察图形的形状、对称性等特点来确定参数方程。
如对称图形的参数方程往往与对称轴或对称中心有关，曲线的平移与旋转也会影响参数方程。
2. 利用参数方程求解方程组。
可以通过联立参数方程得到相应的方程组，然后通过解方程组来求解。
3. 利用参数方程确定特点。
可以通过代入不同的参数值来观察曲线的特点，如拟合方程的参数可以表示曲线的倾斜角度、交点、切线等。
4. 注意特殊情况的处理。
在解题过程中，应注意特殊情况的处理，如分母为零、参数有限制等。
“坐标系与参数方程”是高考数学中的一个重要知识点，掌握好该知识点对于解题和提高成绩至关重要。
考生在备考期间应通过大量的练习和理解来加深对该知识点的理解，掌握相应的解题方法，以取得更好的成绩。
“坐标系与参数方程”高考考查分析
“坐标系与参数方程”高考考查分析高考数学中，“坐标系与参数方程”是一个经常被考查的知识点。
这部分内容一般在高二下学期学习，主要是介绍平面直角坐标系的性质、参数方程的定义与应用等。
接下来，本文将对“坐标系与参数方程”这一知识点进行详细的考查分析。
一、知识点概要1.平面直角坐标系平面直角坐标系是描述平面点的一种方法，它由两个互相垂直的坐标轴组成。
我们通常称横坐标轴为x轴，纵坐标轴为y轴。
坐标系的原点是两个坐标轴的交点。
在平面直角坐标系中，除了原点之外的点，均可表示为一个有序数对(x，y)，称为点的坐标。
坐标系具有以下性质：1）两个点的距离公式：$\large\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$2）平行于x轴或y轴的直线称为坐标轴上的直线；直线不与坐标轴平行或垂直则称为斜直线。
对于一般方程$ax+by+c=0$的直线，称其为隐式方程，也可以转化为$y=kx+b$的斜截式方程。
反之，斜截式方程可转化为隐式方程。
坐标系中，平面内任意两点坐标已知，就可确定它们所在的直线，反之，也可以通过直线方程，求出相应的点的坐标。
3）圆的方程：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中(a,b)是圆心的坐标，r是半径的长度。
4）图形的相似性：在坐标系中，若两个图形中点的相对位置关系保持不变，则称这两个图形相似。
相似性质可以用来求解坐标变换等问题。
2.参数方程参数方程是一类常见的函数定义方式，它将自变量x,y表示成另一个变量t的函数，形式为$x=x(t)$，$y=y(t)$。
参数方程在数学、物理等领域具有广泛的应用，在分析曲线和图形变换上尤其有用。
在参数方程中，当参数t的取值范围确定时，对于不同的t值，所对应点的坐标(x,y)也就明确了。
二、考查形式1.单选题高考中涉及坐标系与参数方程的单选题，在形式上比较多样化，主要分为以下几种：（1）考察基础定义如2018年全国卷II第23题，考查了$x=\frac{y+2}{y-2}$的定义域，此题需要学生掌握函数的定义，促使其灵活运用数学知识。
“坐标系与参数方程”高考考查分析
“坐标系与参数方程”高考考查分析高考数学是许多考生最担心的一门科目，而其中的坐标系与参数方程更是让许多人感到头疼。
这两个知识点涉及到的内容较多，而且给学生设置的考查题目也相对难度较大。
本文将针对坐标系与参数方程在高考中的考查情况进行分析，帮助考生更好地应对这一部分的考试内容。
首先来看坐标系的考查情况。
在高考试卷中，坐标系通常涉及到直角坐标系、极坐标系和空间直角坐标系。
对于直角坐标系来说，考生需要掌握平面直角坐标系的性质、方程和应用，在平面几何、函数和方程中经常会涉及到直角坐标系。
极坐标系则会涉及到平面向量、极坐标方程和直角坐标系与极坐标系的相互转化等知识点。
而空间直角坐标系则会涉及到空间中的点、直线、平面以及它们之间的位置关系等内容。
在高考试题中，通常会通过图形、空间位置关系、距离等方式考查考生对坐标系的掌握程度。
除了坐标系，参数方程也是高考数学的一个重要考查点。
参数方程是描述曲线的一种常见方法，它通过引入参数来表示曲线上的点的位置，常见的参数方程有直角坐标系、极坐标系和参数方程的相互转化等内容。
在高考试卷中，参数方程通常会涉及到曲线的方程、参数方程的性质、参数的确定和解释等内容。
考生需要掌握参数方程和一般方程、参数曲线与一般曲线的关系，以及参数曲线的对称性、单调性和渐近线等知识点。
坐标系与参数方程是高考数学中的一个重要考查部分，它们不仅涉及到数学知识本身的掌握，还需要考生具备一定的数学建模和解题能力。
在备考过程中，考生可以通过多做习题，加强对知识点的理解和掌握。
还可以通过查阅相关资料和听取老师的指导，来提升自己对这一部分知识点的掌握程度。
而对于教师和学校来说，也可以针对坐标系与参数方程这一部分的知识点进行针对性的讲解和练习安排，帮助学生更好地掌握这部分知识。
在日常教学中也可以加强对数学建模和解题能力的培养，提升学生的数学素养和解题能力。
“坐标系与参数方程”高考考查分析
“坐标系与参数方程”高考考查分析廖福辉叶东辉“坐标系与参数方程”属于全国卷一中的选做内容，体现了数学中转化与化归的思想，是沟通代数与几何的桥梁。
本文将结合近年全国卷一中“坐标系与参数方程”这一部分知识点的考查，对2019年全国卷一中此部分的试题进行探究分析。
一、“坐标系与参数方程”考纲分析“坐标系与参数方程”为人教版高中教材选修4-4的内容，一般安排在高二下学期进行教学。
这一部分内容既是解析几何、平面向量与三角函数等内容的综合应用，也是对这些内容进一步的延伸和拓展，在教材中有着重要的地位。
2019年《考试大纲》对此部分内容的要求如下：1.坐标系（1）理解坐标系的作用;（2）了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况;（3）能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化;（4）能在极坐标系中给出简单图形的方程。
学生通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义。
2.参数方程（1）了解参数方程，了解参数的意义;（2）能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。
《考纲》中主要强调了对于极坐标、参数方程基本概念的理解，曲线的极坐标方程和参数方程的建立，及极坐标和直角坐标的相互转化。
二、“坐标系与参数方程”试题简析在全国卷一中，“坐标系与参数方程”为选做题二选一中的一道，中等难度，分数为10分。
最近几年的高考试题对“坐标系与参数方程”这一部分内容的考查方式越来越灵活新颖，愈来愈注重学生对于极坐标中ρ，θ几何意义的理解和应用，同时，也越来越侧重考查学生对于此类问题的理解和分析，以及运用合理的方法来解决相应问题的能力。
下面来具体分析2019年全国卷一中对于“极坐标与参数方程”的考查。
【點睛】极坐标方程与直角坐标方程的互化、将参数最值问题转化为三角函数的最值求解问题，消元化、化归思想的应用是解题关键。
高考数学最新真题专题解析—坐标系与参数方程(全国通用)
高考数学最新真题专题解析—坐标系与参数方程（全国通用）考向一 极坐标与参数方程 【母题来源】2022年高考浙江卷【母题题文】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为26t x y t +⎧=⎪⎨⎪=⎩（t 为参数），曲线2C 的参数方程为26s x y s +⎧=-⎪⎨⎪=⎩（s 为参数）．（1）写出1C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为2cos sin 0θθ-=，求3C 与1C 交点的直角坐标，及3C 与2C 交点的直角坐标． 【试题解析】【小问1详解】因为26t x +=，y t =226y x +=，即1C 的普通方程为()2620y x y =-≥．【小问2详解】 因为2,6sx y s +=-=-262x y =--，即2C 的普通方程为()2620y x y =--≤，由2cos sin 02cos sin 0θθρθρθ-=⇒-=，即3C 的普通方程为20x y -=．联立()262020y x y x y ⎧=-≥⎨-=⎩，解得：121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或12x y =⎧⎨=⎩，即交点坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，()1,2；联立()262020y x y x y ⎧=--≤⎨-=⎩，解得：121x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩，即交点坐标为1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()1,2--．【命题意图】本题考查极坐标、参数方程与直角坐标的互化，属于较为简单题目． 【命题方向】这类试题在考查题型上以解答题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点，考查学生的基本运算能力． 常见的命题角度有：（1）极坐标与直角坐标互化；（2）参数方程与直角坐标互化；（3）直线参数方程中参数的几何意义. 【得分要点】(1)运用极坐标，借助极径的几何意义；(2)参数方程与直角方程的互化，借助直线的参数的几何意义； 真题汇总及解析1．（2022·四川成都·模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为常数且2πα≠），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为：22sin 40ρρθ--=． (1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)点(1,1)P ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，若2PA PB =，求直线l 的斜率． 【答案】(1)tan (1)1y x α=⋅-+；22240x y y +--=(2)±1 【解析】 【分析】（1）消参可以把参数方程转化为普通方程，根据极坐标和直角坐标的转化，可将极坐标方程化成直角坐标方程.（2）根据直线的标准参数方程的几何意义以及韦达定理即可求解2cos α=tan α. (1)1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩()tan 11y x α⇒=⋅-+，2222sin 40240x y y ρρθ--=⇒+--=；(2)将1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入22240x y y +--=得22cos 40t t α+-=，12122cos 4t t t t α+=-⎧⎨=-⎩，因为点P 在圆内，故,A B 在点P 两侧，由题意知，122t t =-，因此122152t t t t +=-，即21212()12t t t t +=-， 故2(2cos )142α-=--，解得2cos α=tan 1k α==± 因此斜率为±1． 2．（2022·河南安阳·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，1C 的圆心为()11,1C ，2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，2C 的极坐标方程为2ρθ=．(1)求1C 的极坐标方程，判断1C ，2C 的位置关系；(2)求经过曲线1C ，2C 交点的直线的斜率． 【答案】(1)2cos 2sin=+，1C ，2C 相交21【解析】 【分析】（1）先求解1C 的标准方程，再根据直角坐标与极坐标的转换求解1C 的极坐标方程，再根据2C 的直角坐标方程，分析1C ，2C 圆心之间的距离与半径之和差的关系判断即可；（2）根据1C ，2C 均过极点，联立极坐标方程，求解tan θ即可(1)由题意，1C 的标准方程为()()22112x y -+-=，即22220x y x y +--=，故1C 的极坐标方程为22cos 2sin =+ρρθρθ，即2cos 2sin=+，又，2C 的极坐标方程为22cos ρρθ=，即222x y x +=，(2222x y +=.因为()()22122110422C C -+-- 1C ，2C 半径相等，半径和为22124224222C C -=<1C ，2C 相交.故1C 的极坐标方程2cos 2sin=+，1C ，2C 相交.(2)由（1）1C ：2cos 2sin=+，2C ：22ρθ=均经过极点且相交，联立2cos 2sin 22ρθθρθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩有2cos 2sin 22θθθ+=，显然cos 0θ≠，故22tan 22θ+=tan 21θ，即经过曲线1C ，2C 213．（2023·四川·成都七中模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为：2cos 3sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩，(t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22cos 8ρρθ=+． (1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A B ，两点，且42AB =，求直线l 的倾斜角． 【答案】(1)当π2α=时，直线l 的普通方程为2x =；当π2α≠时，直线l 的普通方程为()3tan 2y x α-；22280x y x +--= (2)π6或π2【解析】 【分析】（1）因为直线l 的参数方程为2cos 3sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），讨论π2α=和π2α≠时，消去参数t ，即可求出直线l 的普通方程，因为222x y ρ=+，cos x ρθ=即可求出曲线C 的直角坐标方程.（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程整理，()2232cos 50t t αα++-=．因为0∆>，可设该方程的两个根为2,l t t ，所以()2121224l AB t t t t t t =-=+-可求出直线l 的倾斜角.(1)因为直线l 的参数方程为2cos 3sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），当π2α=时，直线l 的普通方程为2x =．当π2α≠时，直线l 的普通方程为()3tan 2y x α=-． 因为222x y ρ=+，cos x ρθ=，因为22cos 8ρρθ=+，所以2228x y x +=+． 所以C 的直角坐标方程为22280x y x +--=． (2)曲线C 的直角坐标方程为22280x y x +--=， 将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程整理，得()2232cos 50t t αα++-=．因为()2232cos 200αα∆=++>，可设该方程的两个根为2,l t t ，则()2232cos l t t αα+=-+，25l t t =-． 所以()2121224l AB t t t t t t =-=+-()2[23sin 2cos ]2042αα=-++整理得)23cos 3αα+=，故π2sin 36α⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为0πα≤<，所以ππ63α+=或π2π63α+=， 解得或π6α=或π2α=，综上所述，直线l 的倾斜角为π6或π2．4．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为3x ty t ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.曲线2C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线1C ，2C 的极坐标方程；(2)若曲线1C ，2C 的交点为A ，B ，已知)3,1P -，求PA PB ⋅. 【答案】(1)1:C πsin 06ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（或5π6θ=，R ρ∈），2:C ρ＝4. (2)12 【解析】 【分析】（1）利用消参法进行化简曲线方程，然后通过公式将曲线的普通方程转化成极坐标方程；（2）利用直线的极坐标方程，结合参数的几何意义，联立曲线普通方程进行计算即可.(1)由曲线13:x t C y t⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），消去参数t 得30x +=， 化成极坐标方程得cos 3sin 0ρθρθ=.化简极坐标方程为πsin 06ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（或5π6θ=，R ρ∈）. 曲线24cos :4sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）消去参数θ得2216x y +=.化简极坐标方程为ρ＝4.(2)由已知得P 在曲线1C 上，将曲线1C 化为标准参数方程33112x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）代入2C 的直角坐标方程2216x y +=，得223131162t ⎫⎛⎫+-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， 即24120t t --=，即A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ，所以121212PA PB t t t t ⋅===. 5．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（其中α为直线的倾斜角，t 为参数），在以为O 极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0.ρθθ-=(1)当直线l 的斜率k =2时，求曲线C 上的点A 与直线l 上的点B 间的最小距离； (2)如果直线l 与曲线C 有两个不同交点，求直线l 的斜率k 的取值范围. 【答案】5(2)5151()---⋃ 【解析】 【分析】（1）利用极坐标与平面直角坐标互化公式得到曲线C 的平面直角坐标方程为24y x =，设出曲线上点()2,A s s ±，求出直线方程230x y -+=，利用点到直线距离公式，得到曲线C 上的点A 与直线l 上的点B 间的最小距离；（2）直线l 的普通方程为：()11y k x -=+，与曲线C ：24y x =联立消去x 后用根的判别式得到不等式，求出斜率k 的取值范围. (1)2sin 4cos 0ρθθ-=两边同乘以ρ得：22sin 4cos 0ρθ-ρθ=，所以曲线C 的平面直角坐标方程为24y x =，设曲线上的一点坐标为()2,2A s s ±，当直线l 的斜率k =2时，直线方程为()121y x -=+，即230x y -+=，则A 点到直线距离为2215222223415s s s d ⎛⎫±+⎪±+⎝⎭=+ 当12s =±时，d 5，故曲线C 上的点A 与直线l 上的点B 5；(2)直线l 的普通方程为：()()110y k x k -=+≠， 与曲线C ：24y x =联立得：24440y y k k-++=，由0∆>得：115k+>1152k -<， 解得：5151()k ---∈⋃ 6．（2022·全国·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 36πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=． (1)求C 的参数方程； (2)判断l 与C 的位置关系．【答案】(1)cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）(2)直线l 与圆C 相切.【解析】 【分析】（1）先将圆C 的极坐标方程转化为直角坐标方程，求出圆心及半径，再转化为参数方程即可；（2）将直线l 的极坐标方程转化为直角坐标方程，利用圆心到直线的距离判断直线l 与圆C 的位置关系即可.(1)解：因为圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=，则22sin ρρθ=， 则其直角坐标方程为222x y y +=， 即22(1)1y x +-=，圆心为(0,1)，半径为1, 则圆C 的参数方程为cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）.(2)解：因为直线l 的极坐标方程为2cos 36πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos cos sin sin 3066ππρθθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭3cos sin 30ρθρθ+-=，所以直线l 330x y +-=，由（1）得圆C 的直角坐标方程为22(1)1y x +-=，圆心为(0,1)，半径为1,则圆心(0,1)到直线l 22301131(3)1⨯+⨯-=+，故直线l 与圆C 相切.7．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2,2x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ+-=. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，且点(0,2)M ，求11||||MP MQ +的值. 【答案】(1)曲线2:2C y x =；直线:20+-=l x y 34 【解析】 【分析】（1）消去参数t 即可得C 的普通方程，并用极坐标与直角坐标互化即可得直线的普通方程；（2）写出直线l 参数方程的标准形式，再与C 的普通方程联立，借助参数的几何意义得解.(1)曲线C 的参数方程为2,2x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数）， 转化为直角坐标方程为22y x =，可得22y x =；直线l 的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ+-=，转化为直角坐标方程为20x y +-=；(2)把直线l 的方程换成参数方程，得2,222x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入22y x =.得2220t -=，∴121222t t t t +==-，显然12,t t 异号. 由22111211||,||22MP t t t MQ t =+==， ∴()212121212121212121841111342||||t t t t t t t t MP MQ t t t t t t t t ++-+-+=+=====8．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（取相同的单位长度），曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的参数方程为22222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），曲线1C ，2C 相交于A 、B 两点，曲线3C 经过伸缩变换22x x y y ='+='⎧⎨⎩后得到曲线1C . (1)求曲线1C 的普通方程和线段AB 的长度；(2)设点P 是曲线3C 上的一个动点，求PAB △的面积的最小值．【答案】(1)22(2)4x y -+=，22AB = (2)45【解析】【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式可求出1C 的普通方程，求出2C 的普通方程，然后求出圆心到直线的距离，再由圆心距，弦和半径的关系可求出AB 的长度，（2）由伸缩变换可求出曲线3C 的方程为2214x y +=，设点()2cos ,sin P ϕϕ，求出点P 到直线AB 的距离，化简后利用三角函数的性质可求出其最小值，从而可求出PAB △的面积的最小值(1)由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，又222x y ρ=+，cos x ρθ=，所以22(2)4x y -+=． 由2222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），消去参数得4x y -=， 1C 的圆心为(2,0)，半径为2，则圆心到直线4x y -=的距离为2422d -==，所以()2222222AB =-=(2)曲线3C 经过伸缩变换22x x y y='+='⎧⎨⎩后得到曲线1C ，则()()222224+-+=x y ，即曲线3C 的方程为2214x y +=，设点()2cos ,sin P ϕϕ，则点P 到直线AB 的距离为2555cos sin 4552cos sin 422d ϕϕϕϕ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭==()5sin 44522αϕαϕ---==25sin α=5cos α=）， 故当()sin 1αϕ-=时，d 取得最小值，且min 452d -=， 因此，当点P 到直线AB 的距离最小时，PAB △的面积也最小，所以PAB △的面积的最小值为min 11452245222AB d -⋅⋅=⨯= 9．（2022·全国·模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程是11cos 221sin 2x y ϕϕ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（ϕ为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为13()ρθρ=+∈R ．(1)求曲线1C 和曲线2C 除极点外的交点的极坐标(02π)θ≤<；(2)若A ，B 分别为曲线1C 和2C 上的异于极点O 的两点，且OA OB ⊥，求OAB 面积的最大值．【答案】(1)()1,0，14π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭31 【解析】【分析】（1）求出曲线1C 的普通方程，进而求出极坐标方程，与2C 的极坐标方程联立，求出曲线1C 和曲线2C 除极点外的交点的极坐标；（2）设出,A B 两点的极坐标方程，表达出OAB 的面积，利用三角函数的有界性求出最大值.(1)曲线1C 的普通方程为221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 化为极坐标方程为：()2211cos sin 24ρθρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，化简得到：cos ρθ=， 与13()ρθρ=+∈R 联立，得：cos 13θθ=+， 即π1cos 32θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为02πθ≤<，所以ππ7π333θ≤+<，所以π5π33θ+=，或ππ33θ+=， 解得：14π3θ=或20θ=， 当4π3θ=时，此时4π1cos 32ρ==-， 当0θ=时，此时cos01ρ==所以曲线1C 和曲线2C 除极点外的交点的极坐标为()1,0与14π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭； (2)因为OA OB ⊥，①设()ππcos ,,13,22A B αααα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()2πcos 13cos 133cos 2OAB S αααααα⎛⎫⎛⎫=⋅+=⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2333cos α=⎭因为[]cos 1,1α∈-，所以当cos 1α=时，OAB 31；②设()ππcos ,,13,22A B αααα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()2πcos 13sin cos 13cos 3cos cos 2OAB S αααααα⎛⎫⎛⎫=⋅+-=⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2333cos 612α⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭， 因为[]cos 1,1α∈-，所以当3cos 6α=时，OAB 面积取得最大值，最大值为312； 因为33112+>，所以OAB 面积最大值为31+. 10．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形被称为勒洛三角形，如图，在极坐标系Ox 中，曲边三角形OPQ 为勒洛三角形，且π2,6P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，π2,6Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，以极点O 为直角坐标原点，极轴Ox 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ，曲线1C 的参数方程为32112x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．(1)求PQ 的极坐标方程和OQ 所在圆2C 的直角坐标方程；(2)已知点M 的直角坐标为()0,1-，曲线1C 和圆2C 相交于A ，B 两点，求11||||MA MB -． 【答案】(1)ππ2,,66ρθ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭；222:(3)(1)4++=C x y (2)3 【解析】【分析】（1）由已知，可根据题意直接写出PQ 的极坐标方程，并标注范围，然后求解出点P 的直角坐标，写出OQ 所在圆的直角坐标方程即可； （2）由已知，设A ，B 对应的参数分别为12,t t ，将曲线1C 的参数方程带入圆2C ，并根据根与系数关系，求解11||||MA MB -即可. (1)因为π2,6P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，π2,6Q ⎛⎫⎪⎝⎭，所以PQ 的极坐标方程：ππ2,,66ρθ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭， 因为点P 的直角坐标是(3,1)-， 所以OQ 所在圆的直角坐标方程为222:(3)(1)4++=C x y ． （注：PQ 的极坐标方程不标明θ的取值范围或写错扣1分）(2)设A ，B 对应的参数分别为12,t t ， 将3112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入22(3)(1)4x y ++=得：2310,0--=∆>t t 所以12123,1+==-t t t t因为120t t <，由t 的几何意义得： 121212121111113||||+-=-=+==t t MA MB t t t t t t。
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命题：靳建芳
1．在直角坐标系 中，以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线 （ 为参数），曲线 ．
（Ⅰ）将曲线 化成普通方程，将曲线 化成参数方程；
（Ⅱ）判断曲线 和曲线 的位置关系．
2．曲线 的参数方程为 ， 是曲线 上的动点，且 是线段 的中点， 点的轨迹为曲线 ，直线l的极坐标方程为 ，直线l与曲线 交于 ， 两点。
（Ⅱ）将 代入 ，得 ，解得 = ， = ，|MN|= － = ，
因为 的半径为1，则 的面积 = .
7．（1） ；（2）18.
解析：（1）∵ ，∴ ，∴ ，故它的直角坐标方程为 ；
（2）直线 ： （t为参数），普通方程为 ， 在直线 上，过点M作圆的切线，切点为T，则 ，由切割线定理，可得 ．
8．（1） ， ；（2）2．
解析：解： （Ⅰ） ，
（Ⅱ）设 ，则点 到直线 的距离
当且仅当 ，即 （ ）时，Q点到直线l距离的最小值为 。
5．（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
试题解析：（Ⅰ）由 ，得 ，从而有
所以 （Ⅱ）设 ，又 ，
则 ，故当 时， 取得最小值，
此时 点的坐标为 .
6．（Ⅰ） , （Ⅱ）
试题解析：（Ⅰ）因为 ，
∴ 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 .……5分
9．（Ⅰ）曲线 ： ; ：，即 ；
直线 的参数方程为 （ 为参数），消去参数 ，化为普通方程是 ；
（Ⅱ）将直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程 中，
得 ；设A、B两点对应的参数分别为t1，t2，
则 ；∵ ，∴ ，
即 ；∴ ，解得： ，或 （舍去）；
∴ 的值为 ．
10．解析：（1）由 得 ，即 即
的参数方程为 （ 为参数）；（2）将 代入 得 解得 ， ，则
11．（Ⅰ） （Ⅱ）2
解析：（Ⅰ）圆C的普通方程为 又
所以圆C的极坐标方程为
（Ⅱ）设 ，则由 解得
设 ，则由 解得
所以
12．（1） ;（2） 解析：
(1)直线l的极坐标方程 ,则 , 即 ,所以直线l的直角坐标方程为 ;
（Ⅰ）求曲线 的普通方程；
（Ⅱ）求线段 的长。
3．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ，在极坐标系中,曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求曲线 的普通方程；
（2）设 与 相交于 两点，求 的长．
4．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C1的极坐标方程为 ，直线l的极坐标方程为 。
解析：（Ⅰ） ， ，由 得 ．
所以 即为曲线 的直角坐标方程；点 的直角坐标为 ，
直线 的倾斜角为 ，故直线 的参数方程为 （ 为参数）即 （ 为参数）
（Ⅱ）把直线 的参数方程 （ 为参数）代入曲线 的方程得
，即 ， ，
设 对应的参数分别为 ，则 又直线 经过点 ，故由 的几何意义得点 到 两点的距离之积
12．选修４－４：坐标系与参数方程）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 轴的正半轴重合.若直线 的极坐标方程为 .
(1)把直线 的极坐标方程化为直角坐标系方程;
(2)已知 为椭圆 上一点,求 到直线 的距离的最小值.
坐标系与参数方程选做专题（2015-10-14）（参考答案）
1．（Ⅰ） ， （ 为参数） ；（Ⅱ）相交.
解析：（Ⅰ）∵ ，∴ ，代入 得， ，即 ．∴曲线 的普通方程是 ．
将 ， ， 代入曲线 的方程
，得 ，
即 ．设 ， 得曲线 的参数方程： （ 为参数）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线 是经过点 的直线，曲线 是以 为圆心半径为 的圆．∵ ，∴点 在曲线 内，∴曲线 和曲线 相交．
2．（Ⅰ） （Ⅱ）
解：（Ⅰ）设 ，则由条件知 。因为点 在曲线 上，所以 ，即 。化为普通方程为 ，即为曲线 的普通方程。
（Ⅱ）求点 到两点 的距离之积．
9．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为 ，过点 的直线 的参数方程为 （ 为参数），直线 与曲线 相交于 两点．
（Ⅰ）写出曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程；
（Ⅱ）若 ，求 的值．
10．．(本小题满分12分)极坐标系的极点为直角坐标系 的原点，极轴为 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同．已知曲线 的极坐标方程为 ，斜率为 的直线 交 轴与点 ．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；
（2）设点M的直角坐标为 ，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．
8.在极坐标系中曲线 的极坐标方程为 ，点 ．以极点 为原点，以极轴为 轴正半轴建立直角坐标系．斜率为 的直线 过点 ，且与曲线 交于 两点．
（Ⅰ）求出曲线 的直角坐标方程和直线 的参数方程；
6．在直角坐标系 中，直线 : = 2，圆 ： ,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求 ， 的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线 的极坐标方程为 ，设 与 的交点为 , ,求 的面积.
7．已知直线 ： （t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为 ．
（Ⅱ）直线l的方程为 ，化为直角坐标方程为 。由（Ⅰ）知曲线 是圆心为 ，半径为4的圆，因为圆 的圆心到直线l 的距离 ，所以 。
3．（1） ．（2） ．
解析：（1）将 展开得： ①
（2）将 的参数方程化为普通方程得： ②。所以直线经过抛物线的焦点。由①，
②联立消去 得： 。 ．
4．（Ⅰ） ， ;（Ⅱ） .
（1）求 的直角坐标方程， 的参数方程；
（2）直线 与曲线 交于 、 两点，求 的值．
11．在直角坐标系 中，圆C的参数方程 为参数）.以 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线 的极坐标方程；
（Ⅱ）设直线 极坐标方程是 射线 与圆C的交点为 、 ，与直线 的交点为 ，求线段 的长.
（Ⅰ）写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值。
5．在直角坐标版权法 吕，直线 的参数方程为 为参数），以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 的极坐标方程为 .
（Ⅰ）写出 的直角坐标方程；
（Ⅱ） 为直线 上一动点，当 到圆心 的距离最小时，求点 的坐标.