新北师大版九年级下册数学圆的对称性第1课时
圆的对称性—知识讲解(基础)
圆的对称性—知识讲解（基础） 【学习目标】 1.理解圆的对称性；并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法；理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系； 2.通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、弦三者之间的关系； 3. 掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用. 【要点梳理】 要点一、圆的对称性 圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴． 圆是中心对称图形，对称中心为圆心． 要点诠释： 圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合． 要点二、与圆有关的概念 1.弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 要点诠释： 直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD. 证明：连结OC、OD ∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) ∴直径AB是⊙O中最长的弦. 2.弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
圆的对称性_知识点与典型例题
圆的对称性 【典型例题】 例1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E。求AB、AD的长。 分析：求AB较简单，求弦长AD可先求AF。 解： 例2. 如图，⊙O中，弦AB＝10cm，P是弦AB上一点，且PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径。 分析：⊙O中已知弦长求半径，通常作弦心距构造直角三角形，利用勾股定理求解。 解： 例3. 如图“五段彩虹展翅飞”是某省利用国债资金修建的横跨渡江的琼洲大桥已正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，求这个圆拱所在圆的直径。 分析：略 解： 【模拟试题】一. 选择题。 1. ⊙O中，弦AB所对的弧为120°，圆的半径为2，则圆心到弦AB的距离OC为（） A. B. 1 C. D. 2. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果，则AE的长为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 如图，⊙O的弦AB垂直于直径MN，C为垂足，若OA＝5cm，下面四个结论中可能成立的是（） 第5题
第8题 A. B. C. D. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 圆只有一条对称轴 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 垂直于弦的直径平分这条弦 D. 相等的圆心角所对的弧相等 5. 如图，已知AD ＝BC ，则AB 与CD 的关系为（ ） A. AB ＞CD B. AB ＝CD C. AB ＜CD D. 不能确定 二. 填空题。 6. 半径为6cm 的圆中，有一条长的弦，则圆心到此弦的距离为___________cm 。 7. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为 厘米． 8. 如图，∠A ＝30°，则B ＝___________。 9. 过⊙O 内一点M 的最长的弦为6cm ，最短的弦长为4cm ，则OM 的长为___________。 10. ⊙O 的半径为10cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝12cm ，CD ＝16cm ，则AB 和CD 的距离为___________。 11. ⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE ＝1cm ，EB ＝ 5cm ，∠DEB ＝60°， 则CD ＝___________。 三. 解答题。 12. 如图，⊙O 的直径为4cm ，弦AB 的长为，你能求出∠OAB 的度数吗？写出你的计算过程。 13. 已知，⊙O 的弦AB 垂直于直径CD ，垂足为F ，点E 在AB 上，且EA ＝EC 。 求证： 14. 如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点（不与A 、B 重合），过点O 作OC⊥AP 于点C ，OD⊥PB 于点D ，则CD 的长是怎么变化的？请说明理由。 15. 如图，⊙O 上有三点A 、B 、C 且AB ＝AC ＝6，∠BAC ＝120°，求⊙O 的半径。 第11题
圆的对称性—知识讲解(提高)
圆的对称性—知识讲解（提高） 【学习目标】 1.理解圆的对称性；并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法；理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系； 2.通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、弦三者之间的关系； 3. 掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用. 【要点梳理】 要点一、圆的对称性 圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴． 圆是中心对称图形，对称中心为圆心． 要点诠释： 圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合． 要点二、与圆有关的概念 1.弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 要点诠释： 直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD. 证明：连结OC、OD ∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) ∴直径AB是⊙O中最长的弦. 2.弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧 AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
圆的对称性
圆的对称性 温故知新： 1.已知:如图,点O是∠EPF的平分线的一点,以O为圆心的圆和∠EPF的两边分别交于点 A、B和C、D.求证: ∠OBA=∠OCD 1、圆的对称性 (1)圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 (2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 (3)圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 (1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。 (2)推论： 平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 【例1】如图，AB、AC、BC是⊙O的弦，∠AOC＝∠BOC.∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？ 【例2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心， DE的度数． CA为半径的圆交AB于点D，交BC与点E．求⌒ AD、⌒
【例3】如图，在同圆中，若⌒ AB＝2⌒ CD，则AB与2CD的大小关系是( ) ． A. AB＞2CD B. AB＜2CD C. AB＝2CD D. 不能确定 【例4】如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径． 【例5】如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=10cm，水深GF=1cm，若水面上升1cm（EG=1cm），则此时水面宽AB为多少？
【例6】有一座弧形的拱桥，桥下水面的宽度AB 为7.2米，拱顶高出水面CD ，长为2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并且高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座弧形拱桥吗？ 课堂练习 1．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝122°，则∠AOC 的度数为( ) A ．122° B ．120° C ．61° D ．58° 2．下列结论中，正确的是( ) A ．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 B ．等弧所对的圆心角相等 C ．相等的圆心角所对的弧相等 D ．长度相等的两条弧是等弧 3．如图，在⊙O 中，若C 是AB ︵的中点，∠A ＝50°，则∠BOC 等于( ) A ．40° B ．45° C ．50° D ．60° 4．如图，已知BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝ 60°，则∠COD 的度数是________． 5．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠BOC ＝40°，则∠AOE ＝
九年级数学中考典型及竞赛训练专题18 圆的对称性(附答案解析)
九年级数学中考典型及竞赛训练专题18 圆的对称性 阅读与思考 圆是一个对称图形． 首先，圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条；同时，圆又是一个中心对称图形，圆心就是对称中心，圆绕其圆心旋转任意角度，都能够与本身重合，这是圆特有的旋转不变性． 由圆的对称性引出了许多重要的定理：垂径定理及推论；在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、弦心距、弧之间的关系定理及推论．这些性质在计算和证明线段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面有广泛的应有．一般方法是通过作辅助线构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形相结合使用． 熟悉以下基本图形和以上基本结论． 我国战国时期科学家墨翟在《墨经》中写道：“圆，一中间长也．”古代的美索不达米亚人最先开始制造圆轮．日、月、果实、圆木、车轮，人类认识圆、利用圆，圆的图形在人类文明的发展史上打下了深深的烙印． 例题与求解 【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB ，AC BAC 度数为_______． （黑龙江省中考试题） 解题思路：作出辅助线，解直角三角形，注AB 与AC 有不同位置关系． 由于对称性是圆的基本特性，因此，在解决圆的问题时，若把对称性充分体现出来，有利于圆的问题的解决． 【例2】如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB ，D C ，EF ．如果AB +D C =EF ，那么AB +CD 与EF 的大小关系是（ ） A ．A B +CD =EF B ．AB +CD >EF C ．AB +C D 圆的对称性教学设计与反思 一、教学内容分析：《圆的对称性》是青岛版九年数学圆的章节的第一课时，在认识了圆这种图形了解了圆的概念、表示方法和点和园的位置关系之后从本节课开始学习圆的有关性质。本节课设两课时，第一课时主要是对圆是轴对称图形的认识和圆的第一个性质定理：垂径定理（及逆定理）。作为初中阶段圆的重要的性质定理。本节课的教学策略是通过学生自己动手折叠、思考、交流等操作活动，让学生亲身经历知识的发生、发展及其探求过程，再者通过教师演示讲解认识圆的轴对称性和垂径定理，学习定理的推导和使用。 二、学生情况分析：我所教学的两个教学班一个是一直带着的一个是新接手的，后者学生的基础差了一些。基本情况：一部分学生自主学习能力差，自习预习能力不好；一部分男生的头脑很聪明但是有懒惰的状态，课后复习巩固的不够，学点丢点，丢点学点；还有一部分女同学学习热情不高，有时依赖答案；每班都有一部分同学学习水平较高，甚至可以为其他同学答疑解惑。 三、教学目标及重难点： 学习目标 1．理解圆的对称性（轴对称）及有关性质. 2．理解垂径定理并运用其解决有关问题. 学习重点：垂径定理及其运用. 学习难点：灵活运用垂径定理. 教学过程 一、情境创设 （1）什么是轴对称图形？ （2）如何验证一个图形是轴对称图形？ 二、探究学习 1.尝试 （1）在圆形纸片上任意画一条直径. （2）沿直径将圆形纸片对折，你能发现什么？请将你的发现写下来： 2.探索 如图，CD是⊙O的弦，画直径AB⊥CD，垂足为P；将圆形纸片沿AB对通过折叠活动，你发现了什么？请试一试证明！ 3.总结 垂径定理： 4.典型例题 例1.如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D.AC与B D相等吗？为什么？ 例2.如图，已知：在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3。 （1）求的半径； （2）若点P是AB上的一动点，试求OP的范围。 5.巩固练习 （1）判断下列图形是否具有对称性？如果是中心对称图形，指出它的对称中心，如果是轴对称图形，指出它的对称轴。 （2）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离是3.求⊙O的半径. （3）如图，在⊙O中，直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为E，OE=3，求弦CD的长. （4）如图，OA=OB，AB交⊙O与点C、D，AC与BD是否相等？为什么？ （5）在直径为650mm的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB= 600mm，求油的最大深度. （6）设AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，若⊙O的半径为5，AB=8,CD=6，则AB与CD之间的距离为_____________（有两种情况）. 三、归纳总结 1．圆的轴对称性及有关性质. 2．理解垂径定理并运用其解决有关问题. 【课后作业】 1．如图，∠C=90°，⊙C与AB相交于点D，AC=5，CB=12，则AD=_____。 §4.2.1 圆的对称性 设计理念 数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动.数学教学重在引导学生走向自主学习和探求知识之路，重在引导学生积极参与教学过程.重视学生的主体作用，倡导“自主、合作、探究”的学习方式，让学生经历学习的探索过程，真正成为学习的主人. 教学内容 《义务教育课程标准实验教科书数学》（鲁教版）九年级（下）第四章“圆”第二节“圆的对称性”第一课时. 教材分析 圆有许多重要性质，其中最主要的是圆的对称性，在探索、发现和证明圆的许多重要性质时，都运用了它的对称性.同时圆的对称性在日常生活和生产中有着广泛的应用，因此这一节的内容在整章中具有举足轻重的意义.“圆的对称性”第一课时的主要内容是垂径定理及其推论，它反映了圆的重要性质，是圆的轴对称性的具体化，也是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法与依据.所以本节知识与方法的学习积累直接影响着后续学习. 教学目标 1.知识与技能 理解圆的轴对称性和相关概念（弦、弧）及性质；掌握垂径定理及其推论，能运用它们进行有关的作图、计算和证明． 2.过程与方法 经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步理解研究几何图形的各种方法（折叠、平移、推理证明），用运动变化的观点体会从特殊到一般研究问题的方法，积累学习经验，进一步发展学生自主学习、合作学习的能力． 3.情感、态度与价值观 通过“找圆心”等问题情境激发学生探究的兴趣和热情，在探究垂径定理及其推论的过程中，让学生领会数学的严谨性，并培养学生的数学应用意识，体会数学与生活的联系. 教学重点 垂径定理及其推论的探索． 教学难点 课时教学设计首页 课题圆的对称性课型新授第几 课时 2课时 知识与技能（1）理解圆的轴对称性和中心对称性，会画出圆的对称轴，会找圆的对称中心； （2）掌握圆心角、弧和弦之间的关系，并会用它们之间的关系解题。 过程与方法（1）通过对圆的对称性的理解，培养学生的观察、分析、发现问题和概括问题的能力，促进学生创造性思维水平的发展和提高； （2）通过对圆心角、弧和弦之间的关系的探究，掌握解题的方法和技巧． 情感态度价值观 经过观察、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的乐趣． 教学重点与难点 重点：对圆心角、弧和弦之间的关系的理解． 难点：能灵活运用圆的对称性解决有关实际问题，会用圆心角、弧和弦之间的关系解题． 教学 方法 与 手段 自主探究和合作探究相结合． 使 用 教 材 的 构 想 圆有许多重要性质，其中最主要的是圆的对称性，在探索、发现和证明圆的许多重要性质时，都运用了它的对称性.同时圆的对称性在日常生活和生产中有着广泛的应用，因此这一节的内容在整章中具有举足轻重的意义.“圆的对称性”是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法与依据.所以本节知识与方法的学习积累直接影响着后续学习. 育才中学课时教学流程 教师行为学生行为课堂变化及处理 主要环节的效果 一、创设情境，导入新课 问：前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？ 问：我们是用什么方法来研究轴对称图形？ 今天我们继续来探究圆的对称性． 二、探究交流，获取新知 知识点一：圆的对称性 1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 2．大家交流一下：你是用什么方法来解决这个问题的呢？ 生：如果一个图形沿着 某一条直线折叠后，直线两 旁的部分能够互相重合，那 么这个图形叫做轴对称图 形，这条直线叫做对称轴 生：折叠． ． 动手操作：同学们通过 折叠自己准备好的圆形纸 片的方法可以得到以下结 论： 1、圆是轴对称图形 2、它的对称轴是经过圆心 的一条折痕，这样的折痕有 无数条，所以圆的对称轴也 有无数条． 学生可能只会找 到1条、2条、3 条……让学生自 己得出结论：无 数条，对称轴是 任意一条过圆心 的直线.师出示 课题. 圆的对称性 教学目标 (一)教学知识点 1．圆的轴对称性． 2．垂径定理及其逆定理． 3．运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明． (二)能力训练要求 1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法． 2．培养学生独立探索、相互合作交流的精神． (三)情感与价值观要求 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神． 垂径定理及其逆定理． 垂径定理及其逆定理的证明． 指导探索和自主探索相结合． 投影片两张： 第一张：做一做(记作§3．2．1A) 第二张：想一想(记作§3．2．1B) 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义[生]如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴． [师]我们是用什么方法研究了轴对称图形 [生]折叠． [师]今天我们继续用前面的方法来研究圆的对称性． Ⅱ．讲授新课 [师]同学们想一想：圆是轴对称图形吗如果是，它的对称轴是什么你能找到 多少条对称轴 [生]圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴． [师]是吗你是用什么方法解决上述问题的大家互相讨论一下． [生]我们可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便可知圆有无数条对称轴． [师]很好． 教师板书： 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线． 下面我们来认识一下弧、弦、直径这些与圆有关的概念． 1．圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)． 2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord)． 3．直径：经过圆心的弦叫直径(diameter)． 如下图，以A、B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”；线段AB是⊙O的一条弦，弧CD是⊙O的一条直径． 注意： 1．弧包括优弧(major arc)和劣弧(minor arc)，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．如上图中，以A、D为端点的弧有两条：优弧ACD(记作ACD)，劣弧ABD(记作AD)．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆．半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧． 2．直径是弦，但弦不一定是直径． 下面我们一起来做一做：(出示投影片§3．2．1A) 按下面的步骤做一做： 1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两 3.2 圆的对称性 同步练习 一、填空题: 1.圆既是轴对称图形,又是_________对称图形,它的对称轴是_______, 对称中心是____. 2.已知⊙O 的半径为R,弦AB 的长也是R,则∠AOB 的度数是_________. 3. 圆的一条弦把圆分为5: 1 两部分, 如果圆的半径是2cm, 则这条弦的长是_____cm. 4.已知⊙O 中,OC ⊥弦AB 于C,AB=8,OC=3,则⊙O 的半径长等于________. 5.如图1,⊙O 的直径为10,弦AB=8,P 是弦AB 上的一个动点,那么OP 长的取值范围是_____. B P A O D C B A E D C B A O （1） （2） （3） 6.已知:如图2,有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径是____m. 7.如图3,D 、E 分别是⊙O 的半径OA 、OB 上的点,CD ⊥OA,CE ⊥OB,CD= CE, 则AC 与CB 弧长的大小关系是_________. 8.如图4,在⊙O 中,AB 、AC 是互相垂直且相等的两条弦,OD ⊥AB,OE ⊥AC,垂足分别为D 、E,若AC=2cm,则⊙O 的半径为_____cm. E D C B A O B A O B P A O （4） （5） （6） （7） 二、选择题: 9.如图5,在半径为2cm 的⊙O 中有长为的弦AB,则弦AB 所 对的圆心角的度数为( ) A.60° B.90° C.120° D.150° 10.如图6,⊙O 的直径为10cm,弦AB 为8cm,P 是弦AB 上一点,若OP 的长为整数, 则满足条件的点P 有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 11.如图7,A 是半径为5的⊙O 内一点,且OA=3,过点A 且长小于8的弦有( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.4条 三、解答题: 12.如图,AB 是⊙O 的弦(非直径),C 、D 是AB 上两点,并且AC=BD.试判断OC 与OD 的数量关系并说明理由. 第三章圆 2．圆的对称性（一） 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础：学生在七、八年级已经学习过轴对称图形以及中心对称图形的相关概念及性质，以及本节定理的证明要用到三角形全等的知识等。 学生的活动经验基础：在平时的学习中，学生逐步适合应用多种手段和方法探究图形的性质。同时，在平时的教学中，我们都鼓励学生独立探索和四人小组互相合作交流，使学生形成一些数学活动的经验基础，具备一定探求新知的水平。 二、教学任务分析 圆是一种特殊图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形。该节内容分为2课时。本节课是第1课时，学生通过前面的学习，能用折叠的方法得到圆是一个轴对称图形。其对称轴是任一条过圆心的直线。具体地说，本节课的教学目标是： 知识与技能： 1．理解圆的轴对称性及其相关性质； 2．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理． 过程与方法： 1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。 情感态度与价值观： 1．培养学生独立探索，相互合作交流的精神。 2．通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。 教学重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理． 教学难点：和圆相关的相关概念的辨析理解。 三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节：课前准备（制作实验器材、完成预习提纲）、创设问题情境引入新课、讲授新课、课堂小结、创新探究、课后作业。 第一环节课前准备 活动内容：（提前一天布置） 1.每人制作两张圆纸片（最好用16K打印纸） 2.预习课本P88~P92内容 活动目的：通过第1个活动，希望学生能利用身边的工具去画图，并制作图纸片，培养学生的动手水平；在第2个活动中，主要指导学生展开自学，培养良好的学习习惯。 实际教学效果： 1.学生在制作图纸片时，有时可能没有将圆心标出来，老师要对其实行启 发引导，找出圆心。 2.预习提纲，要简明扼要，学生基本上能通过阅读教材就能较好完成。 第二环节创设问题情境，引入新课 活动内容： 教师提出问题：轴对称图形的定义是什么？我们是用什么方法研究了轴对称图形？学生回忆并回答。 活动目的：通过教师与学生的互动，一方面使学生能较快进入新课的学习状态，另一方面也提升学生的学习的兴趣，让他们带着问题去学习，揭开了探究该节课内容的序幕。 实际教学效果： 1.因为学生在七年级学习了轴对称图形的内容。部分学生可能遗忘了定义， 所以教师要通过一些学生熟悉的轴对称图形来引导同学准确叙述其定 义，比如通过矩形。教师作出演示，学生会更容易表达。 2.通过几何图形去记忆或理解几何概念性质定理，是学生学好几何知识的 有效途径。 圆的对称性教学设计 圆的对称性 （第二课时） 一、教学背景分析 教学内容分析：本节圆的对称性（第二课时）主要内容是圆心角、弧、弦之间的关系，它由圆的旋转不变性引出，是圆的轴对称性学习之后圆的又一重要性质，圆心角、弧、弦之间的相等关系在以后的证明和计算中有着重要的作用。 学生情况分析：学生在第二学段已经学习过中心对称与中心对称图形，对于直线型的图形如平行四边形、矩形、菱形等中心对称图形有一定的了解，了解中心对称的概念以及相关的性质。前一节已经学习过弦、弧等圆的有关概念和垂径定理的内容，利用垂径定理及推论解决了与直径、弦、弧等有关的问题，对于圆是中心对称图形和圆具有旋转不变性容易理解。但对弦、弧以及要学到的圆心角、弦心距等之间的关系，并且怎样利用这些关系解决一些有关的证明和计算等方面，学生缺乏亲身体验和总结。 教学方式及教学准备： 教学方式：任务驱动问题教学小组合作探究 教学准备：学生课前准备圆形纸片（两个等圆）；教师制作几何画板课件；辅助教学的CAI软件 二、教学目标 知识目标：理解圆的旋转不变性，掌握圆心角、弧、弦之间的关系定理及其推论，会用这三者之间的关系进行简单的证明。 能力目标：通过本节课的学习培养学生观察、实验、探究、归纳和概括能力。 情感态度与价值观：结合本课教学内容向学生渗透事物之间可相互转化的辩证唯物主义教育；渗透圆的内在美。并使得学生在小组合作中尝试交流，在“做数学”中体会数学的严谨性。 三、教学重点、难点 重点：圆心角、弧、弦之间的关系定理及其推论 难点：对定理中“在同圆或等圆中”前提条件的理解，以及从感性到理性的认识，发现归纳能力的培养。 四、教学过程设计 教学 进程 教学内容学生活动设计意图 创设情境直观感知知识链接： 问题1：什么是中心对称图形？中心对 称图形有什么性质？ 问题2：说出你所了解的中心对称图 形。 情境引入：课件展示（我来转一转） 如图是一个转盘，转盘分成六个相同 的扇形，颜色分为红、绿两种颜色， 指针的位置固定。 口答交流问题提出后，有些同学在列举 时会举出圆是中心对称图形， 但是对于圆具有旋转不变性缺 乏感性认识。中心对称图形的 复习目的是引起学生对图形对 称性的关注，那就是“重 合”——“相等”，为圆旋转以后 与原来图形重合从而得到弧、 弦等相等关系作好认知上的准 备 ４.１圆的对称性(第一课时) 〖学习目标〗1．经历探索圆的对称性及有关性质的过程. 2．理解圆的对称性及有关性质. 3．会垂径定理解决有关问题. 〖学习过程〗 一.知识回顾: （1）什么是轴对称图形？ （2）我们采用什么方法研究轴对称图形？ 二、探究新知: 活动一操作、思考 1.在圆形纸片上任意画一条直径. 2.沿直径将圆形纸片对折，你能发现什么？请将你的发现写下来： ________________________________________________________________________. 活动二思考、探索 如图，CD是⊙O的弦，画直径AB⊥CD，垂足为P；将圆形纸片沿AB对折. 通过折叠活动，你发现了什么？ __________________________________________________________________. 请试一试证明！ 垂径定理：_________________________________________________________。 三、例题分析 1300多年前,我国隋代建造的赵州桥的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为３７.４m,拱高(拱的中点到弦的距离,也叫弓形的高)为７.2m,求桥拱的半径.(精确到0.1m) Ｂ Ｏ 四、巩固练习 1．如何确定圆形纸片的圆心？说说你的想法。 2．（1）判断下列图形是否具有对称性？如果是轴对称图形，指出它的对称轴。 ① ② ③ ④ ⑤ D D B B （2）如果将图①中的弦AB 改成直径(AB 与CD 相互垂直的条件不变) ，结果又如何？将图②中的直径AB 改成怎样的一条弦，图②将变成轴对称图形。 3.如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离是3.求⊙O 的半径. 4.如图，在⊙O 中，直径AB=10，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，OE=3 ，求弦CD 的长. 五、拓展延伸 １.如图，过⊙O 内一点P ，作⊙O 的弦AB ，使它以点P 为中点。 ２.如图，⊙O 的直径是10，弦AB 的长为8，P 是AB 上的一个动点，求OP 的求值范围。 ３.如图，OA=OB ，AB 交⊙O 与点C 、D ，AC 与BD 是否相等？为什么？ 初三数学培优之圆的对称性 阅读与思考 圆是一个对称图形． 首先，圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条；同时，圆又是一个中心对称图形，圆心就是对称中心，圆绕其圆心旋转任意角度，都能够与本身重合，这是圆特有的旋转不变性． 由圆的对称性引出了许多重要的定理：垂径定理及推论；在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、弦心距、弧之间的关系定理及推论．这些性质在计算和证明线段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面有广泛的应有．一般方法是通过作辅助线构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形相结合使用． 熟悉以下基本图形和以上基本结论． 我国战国时期科学家墨翟在《墨经》中写道：“圆，一中间长也．”古代的美索不达米亚人最先开始制造圆轮．日、月、果实、圆木、车轮，人类认识圆、利用圆，圆的图形在人类文明的发展史上打下了深深的烙印． 例题与求解 【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB ，AC BAC 度数为_______． （黑龙江省中考试题） 解题思路：作出辅助线，解直角三角形，注AB 与AC 有不同位置关系． 由于对称性是圆的基本特性，因此，在解决圆的问题时，若把对称性充分体现出来，有利于圆的问题的解决． 【例2】如图，在三个等圆上各自有一条劣弧? AB ，?D C ，?EF ．如果?AB +?D C =?EF ，那么AB +CD 与EF 的大小关系是（ ） A ．A B +CD =EF B ．AB +CD >EF C ．AB +C D 第三十二讲 圆的定义与圆的对称性 【知识要点】 （1）在同一平面内，一条线段OP 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点P 所经过的封闭曲线叫做圆.定点O 就是圆心，线段OP 就是圆的半径.以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”,读作“圆O ”. 说明：①这是圆的描述性定定义，由定义可以看出：确定圆的两个条件是圆心和半径，圆心确定圆的位置，圆的半径确定圆的大小；②要注意圆是指“圆周”，而非“圆面”. (2）在同一个平面内，圆是到定点的距离等于定长的点的集合，定点叫做圆心，定长叫做半径. 说明：这是圆的点集定义，它包括两个方面的含义：①圆上各点到定点（即圆心）的距离等于定长（即半径）;②.到定点的距离等于定长的点都在圆上 点和圆的位置关系有点在圆内、点在圆上、点在圆外三种，点和圆的位置关系是由这个点到圆心的距离与圆的半径的大小关系决定的.如果圆的半径是r ，这个点到圆心的距离为 d ，那么 点在圆外d r ?>；点在圆上d r ?=；点在圆内d r ?< 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线(通过折叠可发现此性质) 圆是中心对称图形，对称中心是圆心(利用旋转的方法可以得到此性质) 圆具有旋转不变性：一个圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与原来的图形重合. 说明：(1)中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。 轴对称图形是指沿对称轴对折后完全重合的图形.。(2)圆的对称轴是直线，不能说直径是它的对称轴，而应说直径所在的直线是它的对称轴；圆的对称轴有无数条 （1经过圆心的弦叫做直径，直径等于半径的2倍 （2A 、B 为端点 的弧记作 AB ,读作“圆弧AB ”或“弧AB ” 大于半圆的弧叫做优弧（用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧 圆的对称性（3） 教学目标： 1．知道1°弧的意义 2．理解圆心角的度数与它所对弧的度数的关系，能综合运用这一关系解决相关问题． 教学重点：圆心角的度数与它所对弧的度数的关系 教学难点：“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及证明．预习任务： 一、回顾圆的对称性的有关知识： 1、垂径定理：垂直于弦的直径平分____，并且平分____________________. 2、顶点在_______的角叫做圆心角. 3、在 _____中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有___量相等，那么它们所对应其余各组量都分别分别相等. 二、自学课本P72---73完成下列问题： 1、什么叫做1°的弧？什么叫做n°的弧？ n°的圆心角与它所对的弧的度数有什么关系？ 3、圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系是： 4、独立完成例4，并与课本相对照，思考一般解题思路。 例4、（书写过程） 5、独立完成例5，并与课本相对照，思考一般解题思路。 例5 二、预习检测： 1. 如图，已知O 中， ⌒AB=⌒BC ，且⌒AB ：AMC ⌒ =3:4，则AOC ∠=______. 2.如图，已知AB ，CD 是⊙O 的直径，CE 是弦，且AB ∥CE ，∠C=035，则⌒BE 的度数为 教学过程： 一、创设问题情境，引入新课 圆心角与它所对的弧的度数有什么关系？ 二、精讲点拨： 1、1°的弧n°的弧的意义 2、圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系：相等（注意：只是度数相等） 3、例 4、5解题思路及辅助线的添加方法 三、拓展延伸： 如图，以□ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交BC.AD 于E.F ，若∠D=50°，求⌒BE 的度数和⌒EF 的度数． 四、系统总结: 通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些疑惑？ _ B _A _C _E _D _F 第2课 圆的对称性（1） 初三（ ） 班 姓名： 学号： 环节一 1．（1）圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合，对称中心即为其 ； （2）圆是中心对称图形； （3）圆是轴对称图形，其对称轴是 ，有 条对称轴. 环节二、新课学习 （一）圆心角：顶点在圆心，两边和圆相交的角叫做圆心角. 如图2， 是圆心角. （二）在同一个圆中，圆心角、弧、弦之间的关系 2． （1）将图（1）中的扇形AOB （阴影部分）绕点O 逆时针旋转某个角度，得到图（2）， 比较前后两个图形，你能否找到相等的圆心角、相等的弦、相等的弧？ （2）由于圆心角∠AOB （或孤AB ，或弦AB ）确定了扇形AOB 的大小，所以，在一个圆中，如果圆心角相等（''AOB A OB ∠=∠），那么它所对的弧______，所对的弦_____. 在一个圆中，如果弧相等(? ?''AB A B =)，那么所对的圆心角_____，所对的弦_______. 在一个圆中，如果弦相等(''AB A B =)，那么所对的圆心角_____，圆心角所对的弧_ _ （3）结论： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等. O 图5 D C B A O A B C （三）例题 24.1-10 分析图：AOC BOC AOB ∠=∠=∠ AB=AC= AB= , ABC ?是 。 ABC ?是 是 ， 060=∠ACB ( ) AB= = . ∴AOB ∠= AB ︵＝AC ︵ 环节三、练习： 1.如图4，若21∠=∠，则可以推出哪些相等关系？ 2．在图4中，已知弦AB DC =，0 501=∠，则=∠2 ； =∠D ． 3. 如图5，已知∠AOB=∠COD ，则AB=CD 吗？ 第27章圆 27.1.2．圆的对称性 一、学情分析 学生的知识技能基础：学生在七、八年级已经学习过轴对称图形以及中心对称图形的有关概念及性质，以及本节定理的证明要用到三角形全等的知识等。在上节课中，学生学习了圆的轴对称性，并利用轴对称性研究了垂径定理及其逆定理。学生具备一定的研究图形的方法，基本掌握探究问题的途径，具备合情推理的能力，并逐步发展了逻辑推理能力。 学生的活动经验基础：在平时的学习中，学生逐步适应应用多种手段和方法探究图形的性质。同时，在平时的教学中，比较注重学生独立探索和四人小组互相合作交流，使学生形成一些数学活动的经验基础，具备一定探求新知的能力。 二、教学任务分析 知识与技能： 1．理解圆的旋转不变性； 2．利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理． 过程与方法： 1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。 2．通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展学生推理观念，推理能力以及概括问题的能力。 情感态度与价值观： 培养学生积极探索数学问题的态度与方法。 教学重点：利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理． 教学难点：理解相关定理中“同圆”或“等圆”的前提条件． 三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节：课前准备，创设问题情境引入新课，讲授新课，课堂小结，创新探究，课后作业。 第一环节 课前准备 活动内容：（提前一天布置） 1、每人用透明的胶片制作两个等圆。 2、预习课本P37--39内容。 第二环节 创设情境，引入新课 活动内容： 问题提出：我们研究过轴对称图形和中心对称图形，我们是用什么方法来研究它的，它们的定义是什么？ 活动目的：为了引出圆的轴对称和旋转不变性。 第三环节 合作探究 感受新知 活动内容： （一）通过教师演示实验，探究圆的旋转不变性； 请同学们观察屏幕上两个半径相等的圆。请回答： 它们重合吗？如果重合，将它们的圆心固定。将上面的圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗 ? 归纳：圆具有旋转不变性。即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的圆形重合。圆的中心对称性是其旋转不变性的特例。即圆是中心对称圆形，对称中心为圆心。 （二）通过师生共同实验，探究圆心角、弧、弦之间相等关系定理； 做一做 按下面的步骤做一做 1、利用手中已准备的两张半径相等的透明圆胶片，在⊙O 和⊙O ′上分别作相等的圆心角 ∠A O B 和∠A ′O ′B ′ 圆心固定。 0’ O 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 圆的对称性 教学目标 (一)教学知识点 1．圆的轴对称性． 2．垂径定理及其逆定理． 3．运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明． (二)能力训练要求 1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法． 2．培养学生独立探索、相互合作交流的精神． (三)情感与价值观要求 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神． 垂径定理及其逆定理． 垂径定理及其逆定理的证明． 指导探索和自主探索相结合． 投影片两张： 第一张：做一做(记作§3．2．1A) 第二张：想一想(记作§3．2．1B) 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？ [生]如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴． [师]我们是用什么方法研究了轴对称图形？ [生]折叠． [师]今天我们继续用前面的方法来研究圆的对称性． Ⅱ．讲授新课 [师]同学们想一想：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ [生]圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴． [师]是吗？你是用什么方法解决上述问题的？大家互相讨论一下． [生]我们可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便可知圆有无数条对称轴． [师]很好． 教师板书： 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线． 下面我们来认识一下弧、弦、直径这些与圆有关的概念． 1．圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)． 2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord)． 3．直径：经过圆心的弦叫直径(diameter)． 如下图，以A、B为端点的弧记作 AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”；线段AB是⊙O的一条弦，弧CD是⊙O的一条直径． 注意： 1．弧包括优弧(major arc)和劣弧(minor arc)，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．如上图中，以A、D为端点的弧有两条：优弧ACD(记作 ACD)，劣弧ABD(记作 AD)．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆．半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧． 2．直径是弦，但弦不一定是直径． 2 圆的对称性 一、选择题（共10小题） 1．（2012?江宁区二模）形如半圆型的量角器直径为4cm，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上），连接60°和120°刻度线的一个端点P、Q，线段PQ交y轴于点A，则点A的坐标为（） A．（﹣1，）B．（0，）C．（，0）D．（1，） 2．已知⊙O中，弦AB长为，OD⊥AB于点D，交劣弧AB于点C，CD=1，则⊙O的半径是（）A．1B．2C．3D．4 3．下列说法： ①若∠1与∠2是同位角，则∠1=∠2 ②等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合 ③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 ④等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形 ⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧， 其中正确的个数是（） A．0B．1C．2D．3 4．（2013?邵东县模拟）⊙O的半径为R，若∠AOB=α，则弦AB的长为（） A．B．2RsinαC．D．R sinα 5．已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4，如果以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，那么⊙A的半径r的取值范围是（） A．3＜r＜5 B．3＜r≤4C．4＜r≤5D．无法确定 6．已知圆的半径为5cm，圆心到弦的距离为4cm，那么这条弦长是（） A．3cm B．6cm C．8cm D．10cm 7．半径为5的⊙O，圆心在原点O，点P（﹣3，4）与⊙O的位置关系是（） A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．不能确定 8．一个点到圆周的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（） A．2.5 cm或6.5 cm B．2.5 cm C．6.5 cm D．5 cm或13cm 9．（2010?昌平区一模）如图，在半径为1的⊙O中，直径AB把⊙O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点（C与点A、B不重合），过点C作弦CD⊥AB，垂足为E，∠OCD的平分线交⊙O于点P，设CE=x，AP=y，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是（）圆的对称性教学设计与反思
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27.1.2圆的对称性(教学设计)
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