0803曲面及其方程课件
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第三节 曲面及其方程8-3
解 设M( x, y, z)是曲面上任一点，
根据题意有 | MO | 1 , | MM0 | 2
x2 y2 z2
1,
x 22 y 32 z 42 2
所求方程为
x
22
y
12
z
42
116 .
3
3 9
第八章 第三节
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
第八章 第三节
8
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
（讨论旋转曲面）
（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）
第八章 第三节
9
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
第八章 第三节
10
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
第八章 第三节
11
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
第八章 第三节
12
5
例 3 已知A(1,2,3)，B(2,1,4)，求线段AB 的
垂直平分面的方程.
解 设M( x, y, z)是所求平面上任一点， 根据题意有 | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32
x 22 y 12 z 42 ,
8-3曲面及其方程
2 2 2
定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 定义
的轨迹叫做柱面 C 叫做准线 l 叫做母线 柱面. 准线, 母线. 柱面 准线 母线 • 表示抛物柱面 抛物柱面, 抛物柱面 母线平行于 z 轴; 准线为xoy 面上的抛物线.
z
C
o x
z
x y 表示母线平行于 • 2 + 2 =1 a b z 轴的椭圆柱面 椭圆柱面. 椭圆柱面
z
C
f (y , z1) =0 1
当绕 z 轴旋转时, 该点转到 M(x, y, z) , 则有
M(x, y, z)
M (0, y1, z1) 1
z = z1,
x +y = y 1
2 2
o
y
故旋转曲面方程为
x
f (± x2 + y2 , z) =0
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？ 思考：
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程, 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 方程 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形 图形. 图形 两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
f (y, z) =0绕 z 轴的旋转曲面: 如, 曲线 =0 x =0
f (± x + y , z) =0
2 2
• 柱面 如,曲面F(x, y) =0表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
2. 二次曲面
• 椭球面 • 抛物面:
三元二次方程
椭圆抛物面
双曲抛物面
第3节 曲面及其方程
定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 定义
的轨迹叫做柱面 C 叫做准线 l 叫做母线 柱面. 准线, 母线. 柱面 准线 母线 • 表示抛物柱面 抛物柱面, 抛物柱面 母线平行于 z 轴; 准线为xoy 面上的抛物线.
z
C
o x
z
x y 表示母线平行于 • 2 + 2 =1 a b z 轴的椭圆柱面 椭圆柱面. 椭圆柱面
z
C
f (y , z1) =0 1
当绕 z 轴旋转时, 该点转到 M(x, y, z) , 则有
M(x, y, z)
M (0, y1, z1) 1
z = z1,
x +y = y 1
2 2
o
y
故旋转曲面方程为
x
f (± x2 + y2 , z) =0
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？ 思考：
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程, 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 方程 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形 图形. 图形 两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
f (y, z) =0绕 z 轴的旋转曲面: 如, 曲线 =0 x =0
f (± x + y , z) =0
2 2
• 柱面 如,曲面F(x, y) =0表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
2. 二次曲面
• 椭球面 • 抛物面:
三元二次方程
椭圆抛物面
双曲抛物面
第3节 曲面及其方程
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空间曲面及其方程ppt幻灯片
•
46、寓形宇内复几时，曷不委心任去 留。
•
47、采菊东篱下，悠然见南山。
•
48、啸傲东轩下，聊复得此生。
•
49、勤学如春起之苗，不见其增，日 有所长 。
•
50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡空， 晏如也 。
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
•
46、寓形宇内复几时，曷不委心任去 留。
•
47、采菊东篱下，悠然见南山。
•
48、啸傲东轩下，聊复得此生。
•
49、勤学如春起之苗，不见其增，日 有所长 。
•
50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡空， 晏如也 。
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
8-3 曲面及其方程
（2）用坐标面 xoz ( y 0)与曲面相截
截得中心在原点的双曲线.
x2 a2
z2 c2
1
y
0
实轴与 x 轴相合， 虚轴与 z 轴相合.
返回
与平面 y y1 ( y1 b) 的交线为双曲线.
x2
a
2
z2 c2
1
y12 b2
双曲线的中心都在 y轴上.
y y1
(1) y12 b2 , 实轴与 x 轴平行, 虚轴与 z 轴平行.
y
o
x
x
抛物柱面
平面
y
y x
返回
从柱面方程：
只含 x, y而缺z的方程F(x, y) 0，在
空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱
面，其准线为 xoy面上曲线C .（其他类推）
实 例
x2 y2 1 a2 b2
椭圆柱面 // z轴
x2 z2 1
双曲柱面 // y轴
a2 c2
y 2 2 px 抛物柱面 // z 轴
椭球面
平面 xk (|k|<a) 与椭球面的交线也是椭圆；
平面 yk (|k|<b) 与椭球面的交线也是椭圆；
返回
椭球面
椭球面 x2 y 2 z 2 1的图形： a2 b2 c2
椭球面的画法：
z
1．选择坐标系；
2．画坐标面与曲面的交线；
c
3．画出轮廓线。
O a x
b y
返回
椭球面的几种特殊情况：
y
0
.
x
返回
z
抛物面
x2 y2 z （ p 与 q 同号） 2 p 2q
椭圆抛物面
o
用截痕法讨论： 设 p 0, q 0 x
第八章第3节曲面及其方程
磨璞见玉 砺剑生辉
祝同学们在新学期 取得更好的成绩
1
内容与学时
第八章 空间解析几何 6学时
第九章 多元函数微分法及其应用 20学时
第十章 重积分 12学时
第十一章 曲线积分与曲面积分 14学时
第十二章 无穷级数 18学时
第七章 微分方程 14学时
总复习 4学时
总计 88学时
2
第3节 曲面及其方程
40
习题8 3 P31
1,2，3，5，6，8（1，3）,9(1,3),10(1,4),11(3)
x
33
（三）双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
单叶双曲面
（1）用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截
截得中心在原点 O(0,0,0) 的椭圆.
x2 a2
y2 b2
1
z 0
34
与平面 z z1 的交线为椭圆.
x2
a
2
y2 b2
1
z12 c2
25
椭球面的几种特殊情况：
(1) a b,
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
旋转椭球c2
1绕
z 轴旋转而成．
方程可写为
x2 y2 a2
z2 c2
1
旋转椭球面与椭球面的区别：
与平面 z z1 ( | z1 | c)的交线为圆.
26
截面上圆的方程
（讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
（讨论柱面、二次曲面）
10
祝同学们在新学期 取得更好的成绩
1
内容与学时
第八章 空间解析几何 6学时
第九章 多元函数微分法及其应用 20学时
第十章 重积分 12学时
第十一章 曲线积分与曲面积分 14学时
第十二章 无穷级数 18学时
第七章 微分方程 14学时
总复习 4学时
总计 88学时
2
第3节 曲面及其方程
40
习题8 3 P31
1,2，3，5，6，8（1，3）,9(1,3),10(1,4),11(3)
x
33
（三）双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
单叶双曲面
（1）用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截
截得中心在原点 O(0,0,0) 的椭圆.
x2 a2
y2 b2
1
z 0
34
与平面 z z1 的交线为椭圆.
x2
a
2
y2 b2
1
z12 c2
25
椭球面的几种特殊情况：
(1) a b,
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
旋转椭球c2
1绕
z 轴旋转而成．
方程可写为
x2 y2 a2
z2 c2
1
旋转椭球面与椭球面的区别：
与平面 z z1 ( | z1 | c)的交线为圆.
26
截面上圆的方程
（讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
（讨论柱面、二次曲面）
10
曲面及其方程
z
M
表示怎样的曲面 .
解 在 xoy 面上，
o C 表示圆C, M
在圆C上任取一点 M 1 ( x, y,0) , 过此点作 x 平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点 M ( x, y, z ) 的坐标也满足方程 x 2 y 2 R 2
1
y
l
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
高等数学（ZYH）
二、旋转曲面 定义2 一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转
一周 所形成的曲面叫旋转曲面. 该定直线称为旋转轴 .
例如 :
高等数学（ZYH）
方程的建立 给定yoz 面上曲线 C ：f ( y, z ) 0 求 C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程.
若点 M1 (0, y1 , z1 ) C , 则有
的图形通常为二次曲面. 其基本类型有: 锥面、椭球面、双曲面、抛物面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍
高等数学（ZYH）
F ( x, y, z ) 0
z
S
o
两个基本问题 :
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ).
高等数学（ZYH）
x
y
例1 求到两定点 A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程. 解 设轨迹上的动点为 M ( x, y, z ) , 则 AM BM , 即
柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间
x 2 y 2 R 2 表示圆柱面
高等数学（ZYH）
定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
曲面及其方程
单叶双曲面
椭圆.
时, 截痕为
(实轴平行于x 轴；
虚轴平行于z 轴）
平面
上的截痕情况:
双曲线:
虚轴平行于x 轴）
01
时, 截痕为
02
时, 截痕为
03
(实轴平行于z 轴;
04
相交直线:
05
双曲线:
06
(2) 双叶双曲面
双曲线
椭圆
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:
双曲线
单叶双曲面
双叶双曲面
定义
以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义
以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义
以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.
三、柱面
定义 观察柱面的形成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.
三、柱面
定义 观察柱面的形成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.
①
(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换
得到, 见书 P316 )
2.椭球面
范围： 与坐标面的交线：椭圆
与
的交线为椭圆：
(4) 当 a＝b 时为旋转椭球面;
同样
的截痕
及
也为椭圆.
8.3-8.4空间曲面、空间曲线及其方程
(4)
方程(5)表示一个母线平行于z 轴的柱面,
注意：曲线 C 一定在柱面上. 空间曲线 C 在 x O y 面上的 投影曲线必定包含于:
z
C
o o
H (x, y) = 0 z=0
y
x
注: 同理可得曲线在yOz面或xOz面
上的投影曲线方程.
已知两个球面的方程分别为:x2 + y2 + z2 = 1和 例6 x2 + (y 1)2 + (z1)2 = 1.求它们的交线C在xOy 面上的投影曲线的方程. 解 联立两个方程消去 z ,得 椭圆柱面
定义1 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
故所求方程为
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 R 2 z
特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z 2 R2
表示上(下)球面 .
M0
M
o x
y
例2
研究方程
表示怎样
的曲面. 解 配方得 故此方程表示: 球心为 M 0 (1, 2, 0 ) , 半径为 5 的球面. 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物 面. (2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
x
y
z
x y z ( p , q 同号) 2p 2q
2
2