(完整)2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何(三)

2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何（三）

53.如图，在四棱锥E ﹣ABCD 中，平面CDE ⊥平面ABCD ，∠DAB =∠ABC =90°，AB =BC =1，AD =ED =3，EC =2． （1）证明：AB ⊥平面BCE ；

（2）求直线AE 与平面CDE 所成角的正弦值．

54.如图1，2，已知ABCD 是矩形，M ，N 分别为边AD ，BC 的中点，MN 与AC 交于点O ，沿MN 将矩形MNCD 折起，设AB =2，BC =4，二面角B ﹣MN ﹣C 的大小为θ． （1）当θ=90°时，求cos ∠AOC 的值；

（2）点θ=60°时，点P 是线段MD 上一点，直线AP 与平面AOC 所成角为α．若sin α=

7

14

，求线段MP 的长．

55.在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，∠CDA =∠BAD =90°，AD =DC =2，AB =P A =22，且E 为线段PB 上的一动点． （1）若E 为线段PB 的中点，求证：CE ∥平面P AD ； （2）当直线CE 与平面P AC 所成角小于3

π

，求PE 长度的取值范围．

56.如图，在几何体111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥底面ABC ，四边形11A ACC 是正方形，11B C BC ∥，Q 是1A B 的中点，且112AC BC B C ==，2π3

ACB ∠=． (Ⅰ) 证明：1B Q ∥平面11A ACC ；

(Ⅱ) 求直线AB 与平面11A BB 所成角的正弦值．

57.如图，已知ABC V 和BCD V 所在平面互相垂直，且0

90BAC BCD ∠=∠=，

,AB AC =CB CD =，点,E F 分别在线段,BD CD 上，沿直线EF 将EFD V 向上翻折使

得D 与A 重合

（Ⅰ）求证：AB CF ⊥；

（Ⅱ）求直线AE 与平面ABC 所成角。

58.如图，四边形ABCD 是圆台1OO 的轴截面，24AB CD ==，点M 在底面圆周上，且

2

π

=

∠AOM ，DM AC ⊥．

（Ⅰ）求圆台1OO 的体积；

（Ⅱ）求二面角A DM O --的平面角的余弦值．

59.如图，已知菱形ABCD 与等腰PAB ?所在平面相互垂直.120PAB BAD ∠=∠=o

. E 为PB 中点 ．

（Ⅰ）求证：//PD 平面ACE ； （Ⅱ）求二面角B CE D --的余弦值

60.如图，在四面体ABCD 中，平面ACD ⊥平面BCD ，90BCA ∠=?， 1AC =，

2AB =，BCD ?为等边三角形.

（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BCD

（Ⅱ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值.

61.已知：平行四边形ABCD 中，∠DAB =45°，AB =2AD =22，平面AED ⊥平面ABCD ，△AED 为等边三角形，EF ∥AB ，EF =2，M 为线段BC 的中点。 （I ）求证：直线MF ∥平面BED ；

（II ）求平面BED 与平面FBC 所成角的正弦值； （III ）求直线BF 与平面BED 所成角的正弦值。

62.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2AB =，

60BAD =?∠.

（1）若PA AB =，求PB 与AC 所成角的余弦值； （2）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长.

63.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA BE P ，

4AB PA ==，2BE =．

（Ⅰ）求证：//CE 平面PAD ；

（Ⅱ）求PD 与平面PCE 所成角的正弦值；

（Ⅲ）在棱AB 上是否存在一点F ，使得平面DEF ⊥平面

PCE ？如果存在，求

AF

AB

的值；如果不存在，说明理由．

64.如图，在四棱锥P ABCD -中，AB AP ⊥，AB ∥CD ，且

PB BC ==6BD =,222CD AB ==，120PAD ∠=o .

（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面PCD ；

（Ⅱ）求直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值．

65.如图，四面体ABCD 中，31

132

AB BC CD BD AD ===

==，平面ABD ⊥平面CBD ．

（1）求AC 的长；

（2）点E 是线段AD 的中点，求直线BE 与平面ACD 所成角的正弦值．

66.在四棱锥ABCD P -中， BC AD //，90ABC APB ∠=∠=?，点M 是线段AB 上的一点，且CD PM ⊥，

BM AD PB BC AB 422====．

（1）证明：面⊥PAB 面ABCD ；

（2）求直线CM 与平面PCD 所成角的正弦值．

67.如图，四棱锥P ABCD -,底面ABCD 为菱形，

PA ⊥平面ABCD ，2PA PB ==，E 为CD 的中点，60ABC ∠=?.

（I ）求证：直线AE ⊥平面PAB ；

（II ）求直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值.

68.如图，四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ，DC AB ∥，BC CD ⊥，

EA ED ⊥，且4AB =，2BC CD EA ED ====．

（1）求证：BD ⊥平面ADE ；

（2）求BE 和平面CDE 所成角的正弦值；

（3）在线段CE 上是否存在一点F 使得平面BDF ⊥平面CDE ，请说明理由．

69.如图，在空间几何体ABCDFE 中，底面ABCD 是边长为

2的正方形，AF AB ⊥，//AF BE ，22BE AF ==. （1）求证：AC//平面DEF ；

（2）已知5DF =，若在平面DEF 上存在点P ，使得

BP ⊥平面DEF ，试确定点P 的位置.

70.如图，在四棱锥P ABCD -中，PBD ?是等边三角形，

AD BC ∥，2

2

AP AB AD BD ===

. （1）求证：平面PAB ⊥平面PAD ；

（2）若直线PB 与CD 所成角的大小为60°，求二面角B PC D --的大小.

71.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，

1

2

AD CD BC AB ===

，PAD ?为等边三角形，PA BD ⊥. （1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A PB C --大小的余弦值.

72.在正三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB =，12AA =，E ，F ，G 分别是1AA ，AC 和

11A C 的中点．以{,,}FA FB FG u u u r u u u r u u u r 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -．

⑴求异面直线AC 与BE 所成角的余弦值； ⑵求二面角1F BC C --的余弦值．

73.如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA=PD ，AB ⊥AD ，AB=1，AD=2，AC=CD=5．

（1）求证：PD ⊥平面PAB ．

（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．

（3）在棱PA 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AP

AM

的值；若不存在，说明理由．

74.如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB=BC=2AD=2，四边形EDCF 为矩形， CD=3，平面EDCF ⊥平面ABCD ． （1）求证：DF ∥平面ABE ．

（2）求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值．

（3）在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值为4

3

，若存在，求出线段BP 的长．

D

B

P

D A

B

C

E F

75.在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 平面ABCD ，PAD ?是等腰三角形，AD AB 2=，E 是

AB 的一个三等分点（靠近点A ），CE 与DA 的延长线

交于点F ，连接PF .

（Ⅰ）求证：平面⊥PCD 平面PAD ； （Ⅱ）求二面角F PE A --的正切值

76.在等腰梯形ABCD 中，//,2,60AD BC BC AD ABC =∠=o

，将梯形ABCD 沿着AB 翻折至11ABC D （如图），使得平面ABCD 与平面11ABC D 垂直．

（Ⅰ）求证：1BC AC ⊥；

（Ⅱ）求直线1DD 与平面1BCD 所成角的正弦值．

77.已知在四棱锥C ABDE -中，DB ⊥平面

ABC ,//AE DB ,ABC △是边长为2的等边三角形，

1AE =，M 为AB 的中点.

（1）求证：CM EM ⊥；

（2）若直线DM 与平面ABC 所成角的正切值为2，求二面角B CD E --的大小.

78.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，

60ABC ∠=?，侧面PAB 是边长为2的正三角形，侧

面PAB ⊥底面ABCD ．

（1）设AB 的中点为Q ，求证：PQ ⊥平面ABCD ． （2）求斜线PD 与平面ABCD 所成角的正弦值．

（3）在侧棱PC 上存在一点M ，使得二面角M BD C --的大小为60?，求

CM

CP

的值． 5

10

15

A D

E

M

B M D

A B

C

P

Q

试卷答案

53.证明：（1）∵∠DAB=∠ABC=90°，

∴四边形ABCD是直角梯形，

∵AB=BC=1，AD=ED=3，EC=2．

∴CD==，

∴CE2+DC2=DE2，∴EC⊥CD，

∵面EDC⊥面ABCD，面EDC∩面ABCD=DC，

∴CE⊥面ABCD，

∴CE⊥AB，又AB⊥BC，BC∩CE=C，

∴AB⊥面BCE．

解：（2）过A作AH⊥DC，交DC于H，

则AH⊥平面DCE，连结EH，

则∠AEH是直线AE与平面DCE所成的平面角，

∵=，

∴AH==，

AE==，

∴sin∠AEH=，

∴直线AE与平面CDE所成角的正弦值为．

54.解：如图，设E为AB的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．

（1）当θ=90°时，A（2，﹣1，0），C（0，1，2），∴，，∴．

（2）由θ=60°得，，M（0，﹣1，0），

∴，

设，则，

∴，

设平面AOC的法向量为，

∵，，∴，取，

由题意，得，即3λ2﹣10λ+3=0，∴或λ=3（舍去），

∴在线段MD上存在点P，且．

55.证明：（1）取PA的中点F，连结EF，DF，

则EF∥AB，EF=AB，

又DC∥AB，DC=AB，

∴EF∥CD，EF=DC，

∴四边形EFDC是平行四边形，

∴CE∥DF，又CE?平面PAD，DF?平面PAD，

∴CE∥平面PAD．

解：（2）∵AD=CD=，AD⊥CD，∴AC=2，

又AB=2，∠BAC=45°，∴BC=2，

∴AC⊥BC，

又PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，

∴PA ⊥BC ，又PA∩AC=A ， ∴BC ⊥平面PAC ，

过E 作EM ∥BC ，则EM ⊥平面PAC ，

∴∠PCE 为CE 与平面PAC 所成的角，即∠PCE ＜．

∵PA=2，AC=2，∴PC=2，BC=2，PB=4，

∴∠BPC=，

∴当∠PCE=时，CE ⊥PB ，此时PE=3， ∴当∠PCE

时，PE ＜3．

56.(Ⅰ) 证明：如图1所示，连接11,AC A C 交于M 点，连接MQ . 因为 四边形11A ACC 是正方形， 所以 M 是1AC 的中点 又已知Q 是1A B 的中点 所以 1 2

MQ BC ∥

又因为 11B C BC ∥且11=2BC B C

所以 11 MQ B C ∥， 即四边形11B C MQ 是平行四边形 所以 11B Q C M ∥，

因此 1B Q ∥平面11A ACC .…………………………………………………7分

(Ⅱ) 如图2所示，过点B 作面11A B B 与 面ABC 的交线BD ，交直线CA 于D .

过A 作线BD 的垂线AH ，垂足为H .再过A 作线1A H 的垂线AG ，垂足为G . 因为1,AH BD AA BD ⊥⊥, 所以BD ⊥面1A AH ,

所以BD ⊥AG ,又因为1A H AG ⊥,

所以AG ⊥面11A B B ，所以ABG ∠即AB 与面11A B B 所成的角．………………10分 因为11A B ∥面ABC ，所以11A B ∥BD ， 且A 为CD 的中点，

如图3所示，CP 为BD 边上的高，

22=2+2+22=23AB ?

, 22=2+4+24=27BD ?，

因为

011

sin12022

CB CD BD CP ?=? 所以23

7

CP =

，所以3=27CP AH = 因为12AA =，所以21331

277

A H =

+

=, 1

13

223731317

AH AA AG A H

?

?=

== 所以23

3131sin 31

2331ABG ∠=

==………………………………………15分

57.

（1）

090FC ABC AB CF BCD CF BC ⊥??

??⊥?⊥??∠=?⊥?

面ABC 面BCD

面ABC 面BCD=BC 面.............5分

（2）设12,2,2AB AC CD BD ===

=，则,

t BE =设，则ED=EA=2-t,

取,BC H HE AH 的中点，连接, 又0

2

2

1

452

EBH HE t t ∠==-+

，则 （3）AH BCD AH BC ⊥?

?

??⊥??⊥?

面ABC 面BCD 面ABC 面BCD=BC 面.............7分

()2222

2,112-,1

22

AH BCD AE AH EH t t t t ⊥=+∴=+-+∴=又面，

E BD ∴点是的中点,...........10分 ,HE BC HE ABC ∴⊥面P BEA ∠为所求角的线面角...........12分 22

1AE AH EH ==

=，...........14分 2sin 2

BEA ∴∠=

所以直线AE 与平面ABC 所成角为

4π

..............................15分

法2：A BCE E BCA V V --=,22

E ABC ∴到面的距离为

2sin 2θ∴=

所以直线AE 与平面ABC 所成角为4π（酌情给分）

58.

解法一：（Ⅰ）由已知可得: OM ⊥平面AOD.又AC ⊥DM.从而有AC ⊥DO 由平面几何性质可得AC ⊥CB -----4 设OO 1=h ，在直角△ABC 中，有AC 2+BC 2=AB 2 即 (9+h 2)+(1+h 2)=16

h ∴=

∴圆台1OO 的体积3

37)(31222121ππ=++=

r r r r h V . -----7 （Ⅱ）过点O 在△DOM 内作OE ⊥DM ，作OH ⊥平面DAM ，垂足分别为E ，H ，连EH. 易得EH ⊥DM,故∠OEH 就是二面角A DM O --的平面角. ----10 在△DOM 中

由V D-AOM =V O-ADM 得

OH=

7

-----13 在直角△OEH 中

,sin OEH ∠=

则二面角A DM O --的余弦值为

7

7

---15 解法二：（Ⅰ）由题意可得1OO 、OM 、OB 两两互相垂直，

以O 为原点，分别以直线OM 、OB 、1OO 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系 -----2 设1(0)OO h h =>，则(0,1,)D h -，(2,0,0),M (0,2,0)A -，(0,1,)C h (2,1,)DM h ∴=-u u u u r ，(0,3,)AC h =u u u r

DM AC ⊥Q 230DM AC h ∴?=-=u u u u r u u u r

解得h =∴圆台1OO 的体积3

37)(31222121ππ=++=

r r r r h V . -----7 （Ⅱ）(2,2,0)AM =u u u u r

,(2,1,DM =u u u u r ,(2,0,0)OM =u u u u r

-----9

设平面ADM 、平面ODM 的法向量分别为 111(,,)u x y z =r ，222(,,)v x y z =r

则00u AM u DM ??=????=?r u u u u r r u u u u r 且 00v DM v OM ??=????=?r u u u u r

r u u u u r

即11111220

20x y x y ?+=???+-=? 且

2222

2020x y x ?+=??=??

取u =r

v =r

-----13