高考理科数学全国3卷(2016-2018共3套真题)及参考答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（全国3卷）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =

A ．{}0

B ．{}1

C ．{}12，

D ．{}012，

， 2．()()1i 2i +-= A ．3i --

B ．3i -+

C ．3i -

D ．3i +

3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是

4．若1

sin 3α=，则cos2α=

A ．89

B ．79

C ．7

D ．89

5．5

22x x ?

?+ ??

?的展开式中4x 的系数为

A ．10

B ．20

C ．40

D ．80

6．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2

222x y -+=上，则ABP ?面积的取值范围是

A ．[]26，

B ．[]48，

C ．

D ．??

7．函数422y x x =-++的图像大致为

8．某群体中的每位成品使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =

A ．0．7

B ．0．6

C ．0．4

D ．0．3

9．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ?的面积为

222

a b c +-，则C = A ．π2 B ．π3 C ．π4 D ．π6

10．设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ?为等边三角形且其面积为锥D ABC -体积的最大值为

A ．

B ．

C ．

D ．

11．设12F F ，是双曲线22

221x y C a b

-=：（00a b >>，）的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近

线的垂线，垂足为P ．若1PF =，则C 的离心率为

B ．2

C D

12．设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则

A ．0a b ab +<<

B ．0ab a b <+<

C ．0a b ab +<<

D ．0ab a b <<+ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．

14．曲线()1x y ax e =+在点()01，

处的切线的斜率为2-，则a =________． 15．函数()πcos 36f x x ?

?=+ ??

?在[]0π，的零点个数为________．

16．已知点()11M -，

和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB =?∠，则k =________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考

生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。 17．（12分）

等比数列{}n a 中，15314a a a ==，．（1）求{}n a 的通项公式；

（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ． 18．（12分）

某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：

（3）根据（2）中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()

()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()20.0500.0100.001

3.8416.63510.828P K k k ≥．

19．（12分）

如图，边长为2的正方形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M

是CD 上异于C ，D 的点．

（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；

（2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．

20．（12分）

已知斜率为k 的直线l 与椭圆22

143

x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为()()10M m m >，．

（1）证明：1

k <-；

（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差． 21．（12分）

已知函数()()

()22ln 12f x x ax x x =+++-．

（1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >；（2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=??=?

，

（θ为参数），过点(0，且倾斜角为α的

直线l 与O ⊙交于A B ，两点．

（1）求α的取值范围；

（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

设函数()211f x x x =++-．（1）画出()y f x =的图像；

（2）当[)0x +∞∈，， ()f x ax b +≤，求a b +的最小值．

绝密★启用前

2018年普通高等学校招生全国统一考试（全国3卷）

理科数学试题参考答案

一、选择题

二、填空题

13．1

14．3-15．316．2 17．解：

（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1

n n a q -=．

由已知得42

4q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =．

故1(2)n n a -=-或1

2n n a -=．

（2）若1

(2)

n n a -=-，则1(2)3

n n S --=．由63m S =得(2)188m

-=-，此方程没有正整数解．

若12n n a -=，则21n

n S =-．由63m S =得264m =，解得6m =．

综上，6m =． 18．解：

（1）第二种生产方式的效率更高．理由如下：

（i ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．

（ii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85．5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73．5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．

（iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高．

（iv ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8

大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．

以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．

（2）由茎叶图知

7981

==．

列联表如下：

（3）由于

40(151555)

10 6.635

20202020

?-?

==>

???

，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．

19．解：

（1）由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．因为BC⊥CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．

因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．

又BC CM=C，所以DM⊥平面BMC．

而DM?平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．

（2）以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz．

当三棱锥M?ABC体积最大时，M为CD的中点．

由题设得(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,1,1)

D A B C M，

(2,1,1),(0,2,0),(2,0,0)

AM AB DA

=-==

设(,,)x y z =n 是平面MAB 的法向量，则

0,0.

AM AB ??=??

?=??n n 即20,

20.x y z y -++=??=? 可取(1,0,2)=n ．

DA 是平面MCD 的法向量，因此

cos ,||||DA DA DA ?=

n n n 2sin ,

DA =

n ，所以面MAB 与面MCD ． 20．解：

（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则2222

12121,14343

y x y x +=+=．两式相减，并由

1y x y k x -=-得

1122

043

y x y k x +++?=．由题设知

12121,22

x y x y

m ++==，于是 3

4k m

．① 由题设得302m <<

，故12

k <-．（2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则

331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=．

由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<．又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3

||2

FP =．于是

1||(22

FA x ===-．

同理2

||22

x FB =-

．所以121

||||4()32

FA FB x x +=-

+=．故2||||||FP FA FB =+，即||,||,||FA FP FB 成等差数列．设该数列的公差为d ，则

1212||||||||||2FB FA x x d =-=

-=．② 将3

m =

代入①得1k =-．所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2

171404

x x -+=．

故121212,28

x x x x +==

，代入②解得||d =．

所以该数列的公差为28或28

-． 21．解：

（1）当0a =时，()(2)ln(1)2f x x x x =++-，()ln(1)1x

f x x x

'=+-+．设函数()()ln(1)1x

g x f x x x

'==+-

+，则2

()(1)x g x x '=+．当10x -<<时，()0g x '<；当0x >时，()0g x '>．故当1x >-时，()(0)0g x g ≥=，且仅当0x =时，()0g x =，从而()0f x '≥，且仅当0x =时，()0f x '=．

所以()f x 在(1,)-+∞单调递增．

又(0)0f =，故当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >．

（2）（i ）若0a ≥，由（1）知，当0x >时，()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ≥++->=，这与0x =是()f x 的极大值点矛盾．

（ii ）若0a <，设函数22

()2()ln(1)22f x x

h x x x ax x ax =

=+-++++．

由于当||min{x <时，220x ax ++>，故()h x 与()f x 符号相同．又(0)(0)0h f ==，故0x =是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()h x 的极大值点．

22222222

12(2)2(12)(461)

()1(2)(1)(2)x ax x ax x a x ax a h x x x ax x ax x ++-++++'=-=++++++．

如果610a +>，则当6104a x a +<<-

，且||min{x <时，()0h x '>，故0x =不是()h x 的极大值点．

如果610a +<，则22

4610a x ax a +++=存在根10x <，故当1(,0)x x ∈

，且||min{x <时，()0h x '<，所以0x =不是()h x 的极大值点．

如果610a +=，则322

(24)

()(1)(612)x x h x x x x -'=+--．则当(1,0)x ∈-时，()0h x '>；当(0,1)x ∈时，

()0h x '<．所以0x =是()h x 的极大值点，从而0x =是()f x 的极大值点

综上，16

a =-． 22．解：

（1）O 的直角坐标方程为221x y +=．

当2

απ

=时，l 与O 交于两点．当2απ≠

时，记tan k α=，则l

的方程为y kx =l 与O

交于两点当且仅当|

1<，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ∈或(,

)24

απ3π

∈．综上，α的取值范围是(,)44

π3π

．

（2）l

的参数方程为cos ,

(sin x t t y t αα

=???

=??为参数，44απ3π<<)．设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2

A B

P t t t +=

，且A t ，B t

满足2sin 10t α-+=．

于是A B t t α+=

，P t α．又点P 的坐标(,)x y

满足cos ,

sin .P P

x t y t αα=???

=?? 所以点P

的轨迹的参数方程是sin 2,2cos 222

x y αα

?=?

?=--??(α为参数，44απ3π<<)． 23．解：

（1）13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ?

-<-??

=+-≤

≥???

()y f x =的图像如图所示．

（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[0,)+∞成立，因此a b +的最小值为5．

绝密★启用前

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ卷）

理科数学

注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1．已知集合A ={

}

(,)1x y x y +=│

，B ={}

(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

2．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=

A ．

B ．

C D ．2

3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加

C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份

D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

4．(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为 A ．-80

B ．-40

C ．40

D ．80

5．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为2y x =

,且与椭圆221123

x y +=有公共焦点，则C 的方程为

A ．

1810

x y -=

B ．

145x y -= C ．22

154x y -= D ．

143

x y -= 6．设函数f (x )=cos(x +

)，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为?2π

B ．y =f (x )的图像关于直线x =83

对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =

6π D ．f (x )在(

,π)单调递减 7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．π

B ．

3π4

C ．

π2

D ．

π4

9．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．-24

B ．-3

C ．3

D ．8

10．已知椭圆C ：22

221x y a b

+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线

20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为

D ．

11．已知函数2

1()2()x x f x x x a e

e --+=-++有唯一零点，则a =

A ．12

B ．

C ．

D ．1

12．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为 A ．3

B ．

D ．2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若x ，y 满足约束条件y 0200x x y y -≥??

+-≤??≥?

，则z 34x y =-的最小值为__________．

14．设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 = ___________．

15．设函数10()20x x x f x x +≤?=?>?，，，，

则满足1

()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________。

16．a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边

AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最小值为60°；

其中正确的是________。（填写所有正确结论的编号）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生

都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 17．（12分）

△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A

A =0，a

,b =2．（1）求c ；

（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥ AC,求△ABD 的面积．

18．（12分）

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？

19．（12分）

如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C 的余弦值．

20．（12分）

已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．

（1）证明：坐标原点O在圆M上；

（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程．

21．（12分）

已知函数()

f x=x﹣1﹣a ln x．

（1）若

()0

f x ，求a的值；

（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，21111++

1+)222n

()(1)(﹤m ，求m 的最小值．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,

,x t y kt =??=?

（t 为参数），直线l 2的参数方程为

,x m m m y k =-+??

=??

（为参数）．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：

ρ(cos θ+sin θ=0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│．（1）求不等式f （x ）≥1的解集；

（2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围．

绝密★启用前

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国3卷）

理科数学试题正式答案

一、选择题

1.B

2.C

3.A

4.C

5.B

6.D

7.D

8.B

9.A 10.A 11.C 12.A 二、填空题

13. -1 14. -8 15.

∞1（-，+）4

16. ②③ 三、解答题 17.解：

（1）由已知得

tanA=π

2A=3

在 △ABC 中，由余弦定理得

2222844cos

+2-24=0

c 6c c c c c π

=+-=-，即解得（舍去），=4 （2）有题设可得π

∠∠=∠-∠=

，所以2

CAD BAD BAC CAD

故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为π

=1sin 261

AB AD AC AD 又△ABC

的面积为??∠=?1

42sin 2

BAC ABD

18.解：

（1）由题意知，X 所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知

()216

2000.290P X +==

= ()36

3000.490

P X ===

()2574

5000.490

P X ++==

因此X 的分布列为

，因此只需考虑200500n ≤≤ 当300500n ≤≤时，

若最高气温不低于25，则Y=6n-4n=2n

若最高气温位于区间[)20，,25，则Y=6×300+2（n-300）-4n=1200-2n; 若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n; 因此EY=2n ×0.4+（1200-2n ）×0.4+(800-2n) ×0.2=640-0.4n 当200300n <≤时，

若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n;

若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n; 因此EY=2n ×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n 所以n=300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元。 19.解：

（1）由题设可得，,ABD CBD AD DC ???=从而又ACD ?是直角三角形，所以0=90ACD ∠ 取AC 的中点O ，连接DO,BO,则DO ⊥AC,DO=AO 又由于ABC BO AC ?⊥是正三角形，故所以DOB D AC B ∠-

-为二面角的平面角 2222222220,Rt AOB BO AO AB AB BD BO DO BO AO AB BD ACD ABC

?+==+=+==∠⊥在中，又所以

，故DOB=90所以平面平面

（2）

由题设及（1）知，OA,OB,OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OA

为单位长，

建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则

-(1，0，0),(0(1，0，0),(0，0，1)A B C D

由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的

，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的

12，即E 为DB 的中点，得E 10，，22??

? ???

.故

()()11，0，1，2，0，0，1，2AD AC AE ??

=-=-=- ? ???

设()=x,y,z n 是平面DAE

的法向量，则00，即1

00，22x z AD x y z AE -+=??=??

??-++==????

n n

可取113=,??

? ???

设m 是平面AEC 的法向量，则0，

0，

AC AE ?=??=??m m

同理可得(01,=-m

则7

cos ,=

=n m n m n m

所以二面角D-AE-C 的余弦值为7

20.解

（1）设()()11222A x ,y ,B x ,y ,l :x my =+ 由2

2x my y x

=+??

=?可得2

12240则4y my ,y y --==-

又()2

12121212==故=224

y y y y x ,x ,x x =4

因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212-4

==-14

y y x x 所以OA ⊥OB

故坐标原点O 在圆M 上.

（2）由（1）可得()2121212+=2+=++4=24y y m,x x m y y m +

故圆心M 的坐标为(

+2，m m ，圆M 的半径r =

由于圆M 过点P （4，-2），因此0AP BP =,故()()()()121244220x x y y --+++= 即()()121212124+2200x x x x y y y y -++++= 由（1）可得1212=-4，=4y y x x ，所以2

210m m --=，解得1

1或2

m m ==-

当m=1时，直线l 的方程为x-y-2=0，圆心M 的坐标为（3,1），圆M ，圆M 的方程为

()()

3110x y -+-=

当12m =-

时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91，-42??

???

，圆M 的半径为4，圆M 的

方程为2

9185++4216x y ?

???-= ? ?????

21.解：（1）()f x 的定义域为()0，+∞.

①若0a ≤，因为11=-+2＜022

f a ln ??

???

，所以不满足题意；

②若＞0a ，由()1a x a f 'x x x

-=-

=知，当()0x ,a ∈时，()＜0f 'x ；当()，+x a ∈∞时，()＞0f 'x ，所以()f x 在()0,a 单调递减，在()，+a ∞单调递增，故x=a 是()f x 在()0，+x ∈∞的唯一最小值点. 由于()10f =，所以当且仅当a =1时，()0f x ≥. 故a =1

（2）由（1）知当()1，+x ∈∞时，1＞0x ln x -- 令1=1+

x 得1

1+＜22

n n ln ?? ???，从而

2211111

111++1+++1+＜+++=1-＜122222

22n n n ln ln ln ???????????? ? ? ???????

故21111+1+

1+＜222n e ?

???????? ??? ???????

而231111+1+1+＞2222?

?????

????????

???

，所以m 的最小值为3. 22.解：

（1）消去参数t 得l 1的普通方程()12l :y k x =-；消去参数m 得l 2的普通方程()21

2l :y x k

+ 设P （x,y ）,由题设得()()21

2y k x y x k ?=-??=+??

，消去k 得()22

40x y y -=≠. 所以C 的普通方程为()2240x y y -=≠ （2）C 的极坐标方程为()()2

2240＜＜2cos sin ,r

q q p q p

-=≠

联立()(

)222

4+cos sin cos sin

r q q r q q ?-=????得()=2+cos sin cos sin q q q q -.

故13tan

q =-，从而2

291=，

=1010

cos sin q q 代入()2

-=4cos sin r

q q 得2

=5r

，所以交点M

23.解：

（1）()3＜1

21123＞2

,x f x x ,

x ,x --??

=--≤≤???

当＜1x -时，()1f x ≥无解；

当12x -≤≤时，由()1f x ≥得，211x -≥，解得12x ≤≤ 当＞2x 时，由()1f x ≥解得＞2x . 所以()1f x ≥的解集为{}

1x x ≥.

（2）由()2f x x x m ≥-+得212m x x x x ≤+---+，而

2016年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)及答案

2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）2．（5分）若z=1+2i，则=（） A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i 3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120° 4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（） A．各月的平均最低气温都在0℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于20℃的月份有5个 5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）

A．B．C．1 D． 6．（5分）已知a=，b=，c=，则（） A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA=（）A．B．C．﹣D．﹣ 9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）

A．18+36B．54+18C．90 D．81 10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（） A．4πB． C．6πD． 11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点， A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（） A．B．C．D． 12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（） A．18个B．16个C．14个D．12个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．

2018年高考全国二卷理科数学真题(解析版)

2018年高考全国二卷理科数学真题（解析版）注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解：选D. 点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力. 2. 已知集合，则中元素的个数为 A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数. 详解：，当时，；当时，；当时，；所以共有9个，选A. 点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.

3. 函数的图像大致为 A. A B. B C. C D. D 【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：为奇函数，舍去A, 舍去D; ，所以舍去C；因此选B. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 4. 已知向量，满足，，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果. 详解：因为所以选B. 点睛：向量加减乘： 5. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】A

2016年高考数学全国二卷(理科)

2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）()31-，（B ）()13-，（C ）()1,∞+ （D ）()3∞--，（2）已知集合{1,23}A =,，{|(1)(2)0}B x x x x =+-<∈Z ，，则A B =U （A ）{}1 （B ）{12}，（C ）{}0123，，，（D ）{10123}-，，，，（3）已知向量(1,)(3,2)a m b =-r r ， =，且()a b b +⊥r r r ，则m = （A ）8- （B ）6- （C ）6 （D ）8 （4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a= （A ）43- （B ）3 4 - （C ）3 （D ）2 （5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9 （6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π （7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π 12 个单位长度，则平移后图象的对称轴为（A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ 26k x k =+∈Z （C ）()ππ 212 Z k x k = -∈ （D ）()ππ212Z k x k = +∈ （8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2x =， 2n =，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s = （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若π3 cos 45 α??-= ???，则sin 2α= （A ） 725 （B ）15 （C ）1 5 - （D ）725 - （10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…， (),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为

2018年全国高考ii卷理科数学试题及答案

绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的、号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解：选D. 点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力. 2. 已知集合，则中元素的个数为 A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】分析：根据枚举法，确定圆及其部整点个数. 详解：，当时，；当时，；当时，；所以共有9个，选A. 点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.

3. 函数的图像大致为 A. A B. B C. C D. D 【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：为奇函数，舍去A, 舍去D; ，所以舍去C；因此选B. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 4. 已知向量，满足，，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果. 详解：因为所以选B. 点睛：向量加减乘： 5. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为

2016年高考北京理科数学试题及答案(word解析版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）【2016年北京，理1，5分】已知集合{}|2A x x =<< ，{}1,0,1,2,3=-，则A B =I （）（A ）{}0,1 （B ）{}0,1,2 （C ）{}1,0,1- （D ）{}1,0,1,2- 【答案】C 【解析】集合{}22A x x =-<<，集合{}1,0,1,2,3B x =-，所以{}1,0,1A B =-I ，故选C ．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．（2）【2016年北京，理2，5分】若x ，y 满足2030x y x y x -≤?? +≤??≥?，，，则2x y +的最大值为（）（A ）0 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】C 【解析】可行域如图阴影部分，目标函数平移到虚线处取得最大值，对应的点为()1,2，最大值为2124?+=，故选C ．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．（3）【2016年北京，理3，5分】执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】B 【解析】开始1a =，0k =；第一次循环1 2 a =-，1k =；第二次循环2a =-，2k =，第三次循环1a =，条件判断为“是”跳出，此时2k =，故选B ．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．（4）【2016年北京，理4，5分】设a r ，b r 是向量，则“a b =r r ”是“a b a b +=-r r r r ”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】若=a b r r 成立，则以a r ，b r 为边组成平行四边形，那么该平行四边形为菱形，+a b r r ，a b -r r 表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以+=a b a b -r r r r 不一定成立，从而不是充分条件；反之，+=a b a b -r r r r 成立，则以a r ，b r 为边组成平行四边形，则该平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以=a b r r 不一定成立，从而不是必要条件，故选D ．【点评】本题考查的知识点是充要条件，向量的模，分析出“a b =r r ”与“a b a b +=-r r r r ”表示的几何意义，是解答的关键．（5）【2016年北京，理5，5分】已知x y ∈R ，，且0x y >>，则（）（A ）110x y -> （B ）sin sin 0x y ->_ （C ）11022x y ???? -< ? ????? （D ）ln ln 0x y +> 【答案】C 【解析】A ．考查的是反比例函数1 y x =在()0,+∞单调递减，所以11x y <即110x y -<所以A 错； B ．考查的是三角函数sin y x =在()0,+∞单调性，不是单调的，所以不一定有sin sin x y >，B 错；C ．考查的是指数函数12x y ??= ???在()0,+∞单调递减，所以有1122x y ????< ? ?????即11022x y ???? -< ? ????? 所以C 对；D 考查的是

2016年高考全国1卷理科数学试题及答案详解

启封前★绝密试题类型：A 2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（试题及答案详解）注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合 2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B = （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3(,3)2 （2）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则 i =x y + （A ）1（B ）2（C ）3（D ）2 （3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （A ）100（B ）99（C ）98（D ）97 （4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.科网小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A ）31（B ）21（C ）32（D ）43 （5）已知方程1322 22=--+n m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3) （6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（A ）17π（B ）18π（C ）20π（D ）28π

2018高考理科数学全国一卷试题及答案

2018高考理科数学全国一卷一．选择题 1.设则( ) A. B. C. D. 2、已知集合 ,则( ) A. B. C. D. 3、某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区系农村建设前后农村的经济收入构成比例。得到如下饼图: 则下面结论中不正确的是( ) A.新农村建设后,种植收入减少 B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加一倍 D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4、记为等差数列的前项和,若,则( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12 5、设函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为( ) A. B. C. D. 6、在中,为边上的中线,为的中点,则( ) A. B. C. D. 7、某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如下图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上, 从M到N的路径中,最短路径的长度为( ) A. B. C. D. 8、设抛物线的焦点为,过点且斜率为的直线与交于两点,则( ) A.5 B.6 C.7 D.8

9、已知函数,,若存在个零点,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 10、下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个车圈构成,三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边,直角边.的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ,在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别记为,则( ) A. B. C. D. 11、已知双曲线,为坐标原点,为的右焦点,过的直线与的两条渐近线的交点分别为若为直角三角形,则( ) A. B. C. D. 12、已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等,则截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A. B. C. D. 13、若满足约束条件则的最大值为。 14、记为数列的前n项的和,若,则。 15、从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案) 16、已知函数,则的最小值是。三解答题： 17、在平面四边形中, 1.求; 2.若求 18、如图,四边形为正方形,分别为的中点,以为折痕把折起,使点到达点的位置,且. 1. 证明:平面平面; 2.求与平面所成角的正弦值

2018高考理科数学模拟试题

2018学年高三上期第二次周练数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=，则数列{}n a 的前9项的和9S =（） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<<