三角函数复习课
28章锐角三角函数小结与复习教案 -
（一）激趣导入你能根据本章内容画出知识结构图吗？试一试。
（二）指导自学学生查看教材61-77页内容，熟悉本章知识点，教师巡视指导。
（三）合作互助学生分组进行讨论，画出本章知识结构图，学生代表展示结果。
【课件展示】直角三角形中的边角关系锐角三角函数解直角三角形实际问题提问：（1）锐角三角函数定义在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,如图所示.我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sin A,即sin A=;我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cos A,即cos A=;我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tan A,即tan A=.（2）特殊角的函数值[规律方法] 在非直角三角形中求角的三角函数值,常通过作垂直构造直角三角形,利用直角三角形中的边角关系解决.例2计算°°-°°°.解:原式=°---=---=2---=1-2.[解题策略]准确地代入特殊角的三角函数值,再根据二次根式的性质进行化简计算.例3 如图①所示,一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处,渔船从A处沿正南方向航行一段距离后,到达位于小岛南偏东60°方向的B处. (1)求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最短距离(结果用根号表示);(2)若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶,求渔船从B到达小岛M的航行时间(结果精确到0.1小时,参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45).〔解析〕(1)如图②所示,过点M作MD⊥AB于点D,由∠AME 的度数得∠AMD=∠MAD=45°,根据AM的值和特殊角的三角函数值可得DM的值,即为所求;(2)在Rt△DMB中,由∠BMF=60°,得∠DMB=30°,进而求出MB的值,最后根据路程÷速度=时间,即可得出答案.解:(1)如图②所示,过点M作MD⊥AB于点D,∵∠AME=45°,∴∠AMD=∠MAD=45°,∵AM=180海里,∴MD=AM·cos 45°=90海里.答:渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最短距离是90海里.(2)在Rt△DMB中,∵∠BMF=60°,∴∠DMB=30°,∵MD=90海里,∴MB=60海里,∴60÷20=3≈3×2.45=7.35≈7.4(小时).答:渔船从B到达小岛M的航行时间约为7.4小时.[规律方法] 实际问题中的许多问题可以用直角三角形的边角关系解决,解决这类问题的关键是将实际问题转化为解直角三角形问题,选择恰当的边角关系(即三角函数)求解.（五）检测达标1.如图所示,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=,则BC的长是( )A.2B.8C.2D.42.如图所示,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,若BD∶AD=1∶4,则tan∠BCD的值是( )A. B. C. D.23.10.如图所示,在塔AB前的平地上选择一点C,测出看塔顶的仰角为30°,从C点向塔底B走100米到达D点,测出看塔顶的仰角为45°,则塔AB的高为( )A.50米B.100米米C.米D.-通过本节课的学习，你有什么收获？布置作业：1.-(2015-π)0-4cos 45°+(-3)2;2.如图所示,一渔船由西往东航行,在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向,前进20海里到达B点,此时,测得海岛C位于北偏东30°的方向,则海岛C到航线AB的距离CD 等于海里.3.Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=,AC=6 cm,那么BC等于( )A.8 cmB. cmC. cmD. cm。
第10课时 三角函数(复习)
基础训练
1．如图，求下列各直角三角形中字母的值．
2 、在 Rt△ABC 中，∠ C ＝ 90°， AC ＝ 12 ， BC ＝15. （1）求AB的长； （2）求sinA、cosA的值； （3）求 sin2 A cos2 A 的值； （4）比较sinA、cosB的大小.
0 0 sin2 450 tan60 cos30 (3) 0 0 2cos45 tan45
基础训练
典型例题
【例1】在△ABC 中，∠ C=90 °． 1 （1）若cosA= 2，则tanB=______; 4 （ 2） • 若cosA= 5，则tanB=______． 【例2】（1）已知：cosα= ，则锐角α的取值 范围是（ ） A．0°<α<30° B．45°<α<60° C．30°<α<45° D．60°<α<90°
2 3
【 例 4】 如 图 ， 梯 形 ABCD 中 ， AB⊥BC ， ∠BAC＝60°，∠ADC＝135°，BC 12 3，求 梯形的面积和周长．
练习
【例3】（1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AD是∠BAC的平分线，∠CAB=60°，• CD= ， BD=2，求 3 AC，AB的长．
3、由下列条件解题：在Rt△ABC中，∠C=90°： （1）已知a=4，b=8，求c． （2）已知b=10，∠B=60°，求a，c． （3）已知c=20，∠A=60°，求a，b． 4、已知等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10， 求顶角∠A的三角函数值． 5、求下列各式的值. (1) 3cos30°+ 2 sin45° (2)6tan2 30°－ 3 sin 60°－2sin 45°
三角函数复习课件[精编文档]
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4
8
2
4
C 3.下列各式中，正确的是
（）
A. Sin
5>sin
7
4 7
B. sin(- 5 )>sin(- 6 )
C.tan15>tan(- ) D.cos(- 3)>cos(-9 )
8
7
5
4
4.要得到函数y=cos(2x- )的图象，只需将函数y=sin2x的图
A 象 （ ）
4
A.向左平移 8
若存在这样的常数 a, b, 则
当 a>0 时, 有 - 3 a+2a+b=-3, 且 4a+b= 3 -1.
解得 a=1, b= 3 -5. ∵bQ,
故此时不存在符合条件的 a, b.
当 a<0 时, 有 - 3 a+2a+b= 3 -1, 且 4a+b=-3.
解得 a=-1, b=1, 且 aQ, bQ.
②函数
y=sin(x+)
图象的纵坐标不变,
横坐标变为原来的
1
,
得到函数 y=sin(x+) 的图象;
一、三角函数图象的作法
3.变换法: 函数 y=Asin(x+)+k 与 y=sinx 图象间的关系:
③函数 y=sin(x+) 图象的横坐标不变, 纵坐标变为原来的 A 倍, 得到函数 y=Asin(x+) 的图象;
二、考查记忆、理解能力题 如：简单的运用诱导公式
要求做到：记忆熟悉、计算细心、答案正确
三、求值题 1、特殊角、非特殊角的三角函数求值题
三、三角函数的图象与性质题
1、求定义域 （注意与不等式的结合）
三角函数复习课件
x
O
x
2k k Z
k k Z
k k Z 2
四、任意角的三角函数定义
y
P(x,y)
●
的终边
r
y x y sin , cos , tan r r x
oHale Waihona Puke 2xr x y
2
三角函数值的符号：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”
五、同角三角函数的基本关系式
平方关系： 商关系：
sin 2 cos 2 1
sin tan cos
3).三角函数线:（有向线段）
正弦线: MP
余弦线:OM 正切线: AT
y
T
P
o
余 弦 线
正切线
正弦线 M A
x
sin( k 2 ) sin cos( k 2 ) cos tan( k 2 ) tan
变式：已知sinα=0.8，求tanα.
方法指导：此类例题的结果可分为以下二种情况. (1)已知一个角的某三角函数值，又知角所在象限，有一解.
(2)已知一个角的某三角函数值，但不知角所在象限，有两解.
例1、已知tan = 3，求式子
2 2
4cos sin cos sin 的值 . 2 2 2sin sin cos 4cos
三角函数
复 习 课
一、任意角的三角函数
1、角的概念的推广 y
的终边
正角 x 零角
(,)
的终边
o
负角
与a终边相同的角的集合 A k 3600 , k R 象限角与非象限角
解直角三角形复习课(公开课课件)
解直角三角形复习课(公开课课件)一、教学内容本节课为解直角三角形复习课，教材选用人教版《数学》六年级下册第107页至109页的内容。
主要包括直角三角形的定义、勾股定理、直角三角形的边角关系以及三角函数的初步认识。
二、教学目标1. 能够熟练运用勾股定理计算直角三角形的长度；2. 掌握直角三角形的边角关系，并能解决实际问题；3. 理解三角函数的概念，并能运用三角函数解决简单问题。
三、教学难点与重点1. 教学难点：勾股定理的应用，直角三角形边角关系的运用，三角函数的理解；2. 教学重点：勾股定理的灵活运用，直角三角形边角关系的掌握，三角函数的初步认识。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、直尺、三角板；2. 学具：练习本、直尺、三角板、计算器。
五、教学过程1. 情景引入：以实际生活中的情景，如建筑物、树木等，引出直角三角形的概念，让学生感知直角三角形在生活中的应用。
2. 知识回顾：引导学生回顾直角三角形的定义、勾股定理、直角三角形的边角关系以及三角函数的初步认识，为复习奠定基础。
3. 例题讲解：选取具有代表性的例题，如直角三角形中两个直角边的长度分别为3cm和4cm，求斜边的长度。
引导学生运用勾股定理进行计算，并解释原理。
4. 随堂练习：布置具有层次性的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
如：已知直角三角形中一个锐角为30°，另一个锐角为60°，求该三角形的面积。
5. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，探讨直角三角形的边角关系在实际问题中的应用。
如：在直角三角形中，已知一个锐角和斜边的长度，如何求另一个锐角的大小？6. 三角函数的认识：引导学生运用三角板和直尺，进行实际测量，了解三角函数的定义和应用。
如：测量一个直角三角形的两个锐角，并计算对应的正弦、余弦和正切值。
六、板书设计板书设计如下：1. 直角三角形的定义2. 勾股定理：a² + b² = c²3. 直角三角形的边角关系：锐角互余，钝角互补4. 三角函数的初步认识：正弦、余弦、正切七、作业设计1. 题目：已知直角三角形中一个锐角为30°，另一个锐角为60°，求该三角形的面积。
人教高中数学必修一A版《三角恒等变换》三角函数说课教学课件复习(第4课时二倍角的正弦余弦正切公式)
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1－2sin2α 2cos2α－1
3．正弦的二倍角公式的变形
(1)sin
αcos
α＝12sin
2α，cos
sin 2α α＝___2_s_in__α__.
(2)1±sin 2α＝ (sin α±cos α)2 .
1－cos 2α 2
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15°cos 15°＝12sin 30°＝14.]
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3.12－cos2π8＝________.
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课件－Leabharlann 2 4[12－cos2π8＝12－1＋2cosπ4
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记法
公式
S2α
sin 2α＝ 2sin αcos α
C2α
cos 2α＝ cos2α－sin2α
tan 2α＝ 2tan α
T2α
三角函数公开课(高三复习) PPT课件 图文
(2)由S＝12bcsin A＝12bc·23＝ 43bc＝5 3，得bc＝20.又b＝ 5，知c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝25＋16－20＝ 21，故a＝ 21.
又由正弦定理得sin Bsin C＝basin A·acsin A＝bac2sin2A＝2201 ×34＝57.
(1)求ω的值； (2)求 f(x)在区间 π，32π 上的最大值和最小值．
[自主解答]
(1)f(x)＝ 3－ 3sin2ωx－sin ωxcos ωx 2
＝ 3－ 2
3·1－cos 2
2ωx－12sin
2ωx
＝
3cos 2
2ωx－1sin 2
2ωx＝－sin
2ωx－π 3
.
因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π， 4
入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值． 2．三角恒等变换的“五遇六想” (1)遇正切，想化弦；(2)遇多元，想消元；(3)遇差异，想联
系；(4)遇高次，想降次；(5)遇特角，想求值；(6)想消元，引辅 角．
——————————————————————
练习 1.(2013·北京高考)已知函数 f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋ 1cos 4x. 2
(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数 的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化 为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后再求解．
(2)对于形如y＝asin ωx＋bcos ωx型的三角函数，要通过
引入辅助角化为y＝ a2＋b2 sin(ωx＋φ) cos φ＝ a2a＋b2，
b
＝cos C，求函数 f(A)的取值范围． cos B
人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)精品课件：第五章三角函数章末复习课
(2)由题意知，cos α＝xr≤0，sin α＝yr>0， 即x≤0，y>0， 所以3mm＋－29>≤0，0， 所以－2<m≤3，即实数m的取值范围为(－2，3].
【训练 1】 已知角 α 的终边过点 P(－8m，－6sin 30°)，且 cos α＝－45，则 m
的值为( )
A.－12
B.12
(3)正切曲线：
6.三角函数的性质(表中k∈Z)
y＝sin x
定义域
R
y＝cos x R
y＝tan x {x|x∈R，且 x≠π2＋kπ}
增区间：[－π2＋2kπ，π2＋2kπ]， 单调性
减区间：[π2＋2kπ，32π＋2kπ]
增减区区间间：：[[2－kππ，＋π2＋kπ，2kπ2]kπ]，增区间：(－π2＋kπ，π2＋kπ)
章末复习课
[网络构建]
[核心归纳] 1.任意角与弧度制 (1)与角 α 终边相同的角的集合为 S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}. (2)角度与弧度的互化：1°＝1π80 rad，1 rad＝(1π80)°. (3)弧长公式：l＝|α|r， 扇形面积公式：S＝12lr＝12|α|r2.
2.任意角的三角函数 设任意角 α 的终边上任意一点 P(x，y)，r＝ x2＋y2，则 sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0).
C.－
3 2
D.
3 2
解析 由题意知 P(－8m，－3)且 cos α＝－45，∴r＝ 64m2＋9，∴cos α＝
6－4m82m＋9＝－45，且 m>0，∴m2＝14，∴m＝12.故选 B.
答案 B
要点二 同角三角函数基本关系式的应用 同角三角函数基本关系式的应用方法 (1)利用 sin2α＋cos2α＝1 可以实现 α 的正弦、余弦的转化，利用csoins αα＝tan α 可 以实现角 α 弦切互化. (2)关系式的逆用与变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－ sin2α，(sin α＋cos α)2＝(sin α－cos α)2＋4sin αcos α. (3)sin α，cos α 的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于 sin α，cos α 的齐次 式或含有 sin2α，cos2α 及 sin αcos α 的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”， 利用“sin2α＋cos2α＝1”代换后转化为“切”求解.
高一数学最新课件-三角函数复习课1001 精品
③降幂公式: 1 cos 2 α 1 cos 2 α 2 cos α ; sin α 2 2 ④半角公式 : p45
2
α 1 cosα α 1 cosα cos ;sin 2 2 2 2 α 1 cosα sinα 1 cosα tg 2 1 cosα 1 cosα sinα ⑤万能公式:
左右 平移 上下 伸缩 y=f(x) 图 象
向左(φ>0)或向右(φ<0)移︱φ︱单位
y=f(x+φ) 图 象
点的纵坐标变为原来的A倍 横坐标不变
y=Af(x)图象
左右 伸缩
点的横坐标变为原来的1/ω倍 纵坐标不变
y=f(ωx)图象
三角解题常规
分析差异
指角的、函数的、运算的差异
宏 观 思 路
寻找联系
伸长到原来的 2倍, 得到y 2 sin( x π / 6)的图象. 12分
例4(94年，上海) 3 π 1 已知 sinα ，α ( ,π )， tan( π －β ) , 5 2 2 求 tan( α －2 β )值.
解题步骤 : ①由sinα 值求出cosα 值，得出 tanα 值; ②由tan( π β )值，求出tanβ 值，再求 tan 2 β 值; ③再利用差角公式求出 tg(α 2 β )值.
点评: 本题先由α所在象限确定α/2所在象限,再α/2的 余弦符号确定结论.
例2(94年, 全国) π 如果函数y sin 2x a cos 2x 的图像关于直线 x 8 对称，那么a等于( )A. 2 ; B. 2 ; C.1; D. 1
2 y 1 a sin( 2 x φ ) 思路:函数y=sin2x+acos2x可化为
高中数学必修四第一章三角函数章末复习课
三角函数章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．关注角的概念的推广(1)由于角的概念的推广，有些术语的含义也发生了变化．如小于90°的角可能是零角、锐角或负角．(2)注意象限角、锐角、钝角等概念的区别和联系，如锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角．2．确定角所在象限的关注点由三角函数值符号确定角α的象限时，不要忽视α的终边可能落在坐标轴上，如sin α<0时，α终边在第三、四象限或y 轴负半轴上．3．关注正切函数的定义域(1)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，不可写为{x |x ≠k ·360°＋90°，k ∈Z}．(2)有关正切的公式(同角三角函数商关系，诱导公式)应用时有限制条件．4．平方关系应用的关注点由平方关系sin 2α＋cos 2α＝1，开方后求另一个三角函数值，易错的地方是未对角所在象限进行讨论．5．正确应用诱导公式(1)明确诱导公式的基本功能：将k ·π2±α(k ∈Z)的三角函数值化为α的三角函数值，实现变名、变号或变角等作用．(2)熟悉应用口诀解题，一方面注意函数名称，另一方面注意符号的变化．6．关注三角函数的定义域、值域(1)解正弦、余弦函数值问题时，应注意正弦、余弦函数的有界性，即－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1.(2)解正切函数问题时，应注意正切函数的定义域，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z .7．正确掌握含三角函数的复合函数的单调性(1)要求y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间，先研究正弦函数y ＝sin x 和余弦函数y ＝cos x 的相应单调区间，再把其中的“x ”用“ωx ＋φ”代替，解关于x 的不等式即可求出所求的单调区间，但要特别关注A 的正负．(2)正切函数只有单调递增区间无单调递减区间.专题一 三角函数的概念三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算；掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．[例1] (1)设角α属于第二象限，⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，试判定α2角属于第几象限．(2)求函数y ＝3tan x ＋3的定义域．解：(1)依题意得2k π＋π2<α<2k π＋π(k ∈Z)，所以k π＋π4<α2<k π＋π2(k ∈Z)． 当k ＝2n (n ∈Z)时，α2为第一象限角； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，α2为第三象限角． 又⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2≥0，所以cos α2≤0. 所以α2应为第二、三象限角或终边落在x 非正半轴上或y 轴上．综上所述，α2是第三象限角．(2)3tan x ＋3≥0，即tan x ≥－33. 所以k π－π6≤x <k π＋π2，所以函数y ＝3tan x ＋3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π－π6≤x <k π＋π2，k ∈Z . 归纳升华1．由α所在象限，判断α2角所在象限时，一般有两种方法：一种是利用终边相同角的集合的几何意义，用数形结合的方法确定α2的所属象限；另一种方法就是将k 进行分类讨论．2．求函数的定义域注意数形结合，应用单位圆中三角函数线或函数图象解题；求与正切函数有关问题时，不要忽视正切函数自身的定义域．[变式训练] (1)若θ为第四象限的角，试判断sin(cos θ)·cos(sin θ)的符号；(2)已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求α的正切值． 解：(1)因为θ为第四象限角，所以0<cos θ<1<π2，－π2<－1<sin θ<0，所以sin(cos θ)>0，cos(sin θ)>0，所以sin(cos θ)·cos(sin θ)>0.(2)因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos θ<0， 所以r ＝x 2＋y 2＝9cos 2θ＋16cos 2θ＝－5cos θ，故sin α＝y r ＝－45， cos α＝x r ＝35，tan α＝y x ＝－43. 专题二 同角三角函数的基本关系与诱导公式在知道一个角的三角函数值求这个角的其他的三角函数值时，要注意题中的角的范围，必要时按象限进行讨论，尽量少用平方关系，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简，求值时，要注意正负号的选取．[例2] 已知2＋tan （θ－π）1＋tan （2π－θ）＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的值．解：法一：由已知2＋tan θ1－tan θ＝－4， 所以2＋tan θ＝－4(1－tan θ)，解得tan θ＝2，所以(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝4tan θ－tan 2θ－3tan 2θ＋1＝ 8－4－34＋1＝15. 法二：由已知2＋tan θ1－tan θ＝－4， 解得tan θ＝2，即sin θcos θ＝2， 所以sin θ＝2cos θ，所以(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝(2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ)＝cos 2θ＝cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝1tan 2θ＋1＝15.归纳升华三角函数式的化简，求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式．解题中的常用技巧有：(1)弦切互化，减少或统一函数名称；(2)“1”的代换，如：1＝sin 2α＋cos 2α(常用于解决有关正、余弦齐次式的化简求值问题中)，1＝tanπ4等；(3)若式子中有角k π2，k ∈Z ，则先利用诱导公式化简． [变式训练] (2015·福建卷)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125B ．－125 C.512 D ．－512解析：法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512.法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513， 所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512. 答案：D专题三 三角函数的图象及变换三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．[例3] 函数y ＝A sin(w x ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6 D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 解析：由图象知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，故φ＝2k π－π6(k ∈Z)，结合选项可知y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A.答案：A归纳升华1．求解析式的方法：A ＝y max －y min 2，k ＝y max ＋y min 2，ω＝2πT ，由“五点作图法”中方法令ωx ＋φ＝0，π2，π，32π或2π求φ. 2．图象变换中应注意方向变化与解析式加减符号变化相对应．[变式训练] 函数y ＝sin x 2的图象沿x 轴向左平移π个单位长度后得到函数的图象的一个对称中心是( )A ．(0，0)B ．(π，0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0 解析：函数y ＝sin x 2的图象沿x 轴向左平移π个单位长度后得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（x ＋π）＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π2＝cos 12x 的图象，它的一个对称中心是(π，0)． 答案：B专题四 三角函数的性质三角函数的性质，重点应掌握y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)及y ＝A tan(ωx ＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx ＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．[例4] 已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1(其中a 为常数)． (1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值； (3)求f (x )取最大值时x 的取值集合．解：(1)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z)，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π (k ∈Z)．(2)因为0≤x ≤π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1， 所以f (x )的最大值为2＋a ＋1＝4，所以a ＝1，(3)当f (x )取最大值时，2x ＋π6＝π2＋2k π， 所以2x ＝π3＋2k π，所以x ＝π6＋k π，k ∈Z. 所以当f (x )取最大值时，x 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝π6＋k π，k ∈Z . 归纳升华1．形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 单调区间求法策略：可把“ωx ＋φ”看作一个整体，代入正弦函数的相应区间求解．2．求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的值域和最值时，先求复合角“ωx ＋φ”的范围，再利用y ＝sin x 的性质来求解．[变式训练] (2014·安徽卷)设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，当0≤x ≤π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( ) A.12 B.32 C ．0 D ．－12解析：因为f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，所以f (x )的周期T ＝2π，又因为当0≤x <π时，f (x )＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝0， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12. 答案：A专题五 转化与化归思想化归思想贯穿本章的始终，在三角函数的恒等变形中，同角关系式和诱导公式常化繁为简，化异为同，弦切互化；在研究三角函数的图象与性质时，常把函数y ＝A sin(ωx ＋φ)化归为简单的y ＝sin x 来研究．这些均体现三角函数中的转化与化归的思想方法．[例5] 求函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－23x 的单调区间． 解：将原函数化为y ＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π4. 由2k π－π2≤23x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z)， 得3k π－38π≤x ≤3k π＋98π(k ∈Z)，此时函数单调递减． 由2k π＋π2≤23x －π4≤2k π＋32π(k ∈Z)，得3k π＋98π≤x ≤3k π＋218π(k ∈Z)，此时函数单调递增． 故原函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π－38π，3k π＋98π(k ∈Z)，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π＋98π，3k π＋218π(k ∈Z)． 归纳升华1．求形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，(ω<0)的单调区间时：先把此函数化为y ＝－A sin(－ωx －φ)的形式后，再利用函数y ＝sin x 的单调区间来求解是常用策略，其目的是使x 的系数为正数是关键．2．在求形如y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C 的值域或最值时，常令t ＝sin x 转化为一元二次函数来求解．[变式训练] 已知|x |≤π4，求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值． 解：y ＝f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1.令t ＝sin x ，因为|x |≤π4，所以－22≤t ≤22. 则y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54⎝ ⎛⎭⎪⎫－22≤t ≤22， 所以当t ＝－22时，即x ＝－π4时，f (x )有最小值，且最小值为－⎝⎛⎭⎪⎫－22－122＋54＝1－22.。
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锐角三角函数 复习课
教学设计
辽阳市第二十中学 闯黎霞
一、学生知识状况分析
学生的认知水平：
学生在本章以前的学习中，已经掌握了直角三角形三边之间的
关系（勾股定理），三角之间的关系（两锐角之和为900），以及有30°角的特殊直角三角
形的边角关系，即；直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半.而通过本章的学
习，学生已更深入的学到了直角三角形的边角关系，基本掌握了特殊角（30°，45°，
60°）的三角函数值，并能用三角函数将直角三角形的边与角联系起来，解直角三角形.
还会应用三角函数知识解决生活中的实际问题.
学生活动感知基础：
学生已经经历了对特殊角三角函数值的探究及总结过程，
利用计算器进行任意锐角的度数与其对应的三角函数值的互换的操作，也能把简单的实
际问题转化为数学问题.因此，学生能熟练使用计算器，具备了一定的探究能力，解决实
际问题的能力也有了一定的提升.
二、教学任务分析
本节课是本章的复习课，主要是让学生熟练掌握本章各知识点并能解决实际问题，
同时逐步渗透“转化思想、数形结合思想、方程思想、从特殊到一般的思想、数学的建
模思想.”加深学生对本章知识的理解，提升学生应用本章知识的能力.
知识与技能：
1．以问题的形式梳理本章的内容，通过实例进一步掌握锐角三角函数的定义，并能
熟练掌握特殊角的三角函数值.使学生进一步会运用三角函数知识解直角三角形，并能解
决与直角三角形有关的实际问题.
2．提升学生操作计算器解决实际问题的能力.
过程与方法：
在练习过程中，使学生进一步体会数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想
分析问题和解决问题.
情感与态度：
2
通过本节课的学习，让学生在熟练掌握知识的基础上提升他们解决实际问题能力，
培养学生学习数学的兴趣.
重点：能综合运用直角三角形的边角关系解决实际问题.提高知识的理解水平和综合
能力.
突出策略：通过例题讲解和练习的分析与知识归纳，加深学生对本章知识的理解.
难点；能根据实际问题设计活动方案.及时地把有关知识上升为数学经验，形成个性
化的学习技能.
突破策略：通过例题及练习的思考与分析提升学生的能力.
本章主要数学思想方法：
数形结合思想：此部分内容经常用到数形结合思想，对于每一个题都可结合图形分析，
会更清楚简捷.数与形相结合，是问题清晰，思路简捷有条理，是几何知识中最常用的思
想方法之一，也是最应该坚持实施的方法.
从特殊到一般的思想；锐角三角函数中包含了特殊角的三角函数值，对于三角函数之间
的关系和转化，都可从特殊角开始.
转化思想：把直角三角形的线段比，转化为三角函数值或面积的比.
数学的建模思想：解直角三角形的实际应用，即将实际问题“数学化”，构建直角三角形
来解决问题.
教学方法：启发式、合作交流式.
教学手段：多媒体课件、学案
三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节：知识归纳——热身练习——应用分析——归纳与总结
——布置作业.
第一环节 知识归纳
设计内容：总结归纳直角三角形的边、角相关系，以及本章基础知识点.
1、直角三角形三边的关系: 勾股定理 a2+b2=c2.
2、直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 ∠A+∠B=90°.
3、 直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数
4、 4.特殊角300,450,600角的三角函数值.
设计意图：通过知识归纳总结，让学生把所做的练习题与知识点很自然的联系起来，使
学生能全面的掌握、理解并能应用这些知识点.
3
教学实际效果：绝大部分学生对本章知识点有了更全面、更清晰的认识和理解.
第二环节 热身练习
活动内容：
学生独立练习：
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，求∠ B的三个三角函数值．
2.如图，在△ABC中，∠C=90°
(1)若sinA = 0.4, AB = 8, 求 BC.
(2)若cosA = , AC = 6, 求 AB.
(3)若tanA = , BC = 9, 求 AC.
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝1.2 ，AC＝5，求 BC的长
解：BC=AC tanA = 5 ×1.2 = 6
设计意图：通过做几道练习题，巩固已实现的三角函数的基础目标（定义、特殊角的值、
解直角三角形），及对三角函数公式的应用；熟练利用计算器进行三角函数值及其对应的
锐角度数间的互换；主要是让学生回顾基础知识，巩固基本解题能力.
教学实际效果：这些题涉及到的知识点多，相对比较简单，绝大大部分学生都能在规定
时间内完成，准确度比较高，基本实现了设计意图.
第三环节 应用分析
设计内容：
学生独立完成练习
1)如图，码头A在码头B的正东方向，两个码头之间的距离为32海里，今有一货船
由码头A出发，沿北偏西60°方向航行到达小岛C处，此时测得码头B在南偏东45°方
向，求码头A与小岛C的距离．（3 ≈1.732，结果精确到0.01海里）
5
4
4
3
4
(2）直升飞机在高为200米的大楼AB左侧P点处，测得大楼的顶部仰角为45°，测得大
楼底部俯角为30°，求飞机与大楼之间的水平距离．
设计意图： 增强学生对问题的分析能力，能根据具体问题情景及已知条件，根据需要作
出辅助线，联系三角函数解题；增强学生将实际问题转为数学问题，并能针对性的利用
三角函数来解决.其中渗透“数形结合思想、转化思想、方程思想、”等思想方法.
第四环节 归纳与总结
1.准确掌握锐角三角函数的意义，灵活运用公式的变形求线段的长度.
2.记熟30 °,60°,45°的三角函数值，并能用适当的三角函数求线段的长度.
3.会将实际问题转化为数学问题，并用三角函数知识进行分析和解决.
第五环节 作业布置
导航练习册161页：第一章章末复习
四、教学反思
本节课是单元复习课，单元复习课要注意练习和知识归纳兼顾，而且要合理分配练
习和知识归纳的时间，最后一道题的时间有可能不够，应灵活处理，也可以考虑设为课
后练习.
整节课我始终坚持以学生活动为主，多倾听适当引导的原则，在教学中充分体现学
生的主体地位，让学生主动参与到学习中去，形成了较好的学习氛围，目标达成效果较
好.