定态薛定谔方程北京邮电大学理学院原子物理
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大学物理薛定谔方程(老师课件)
2 2 2 2 2 推广到三维： x 2 x 2 y 2 z 2
P2 E U (x , t ) 2m
一般的薛定谔方程：
▽
( r , t ) 2 2 i U ( r , t ) ( r , t ) t 2m
U(x)
n很大
n
2
E2 E1 E0
0
2
2
1 2 0
2
符合不确定关系 概率分布特点:
x
E < U 区有隧道效应
通过扫描可观 测固体表面的 微观结构. 探 针头还可吸附 并搬动原子， 形成人工微结 构.
1986年获诺贝尔物理学奖
显示器
压电 控制 隧道 电流
加电压 反馈传感 器 参考信号
扫描隧道显微镜示意图
某种型号的扫描隧道显微镜
原子搬迁：操纵原子不是梦
“原子书法”
硅单晶 表面直 接提走 硅原子 形成2 纳米的 线条 1994年中国科学院科学家“写”出的
薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，它在 量子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是 一样的。 同牛顿方程一样，薛定谔方程也不能由其它的基 本原理推导得到，而只能是一个基本的假设，其正确 性也只能靠实验来检验。
一、自由粒子的薛定谔方程 由自由粒子波函数
i ( Et px) Ψ( x, t ) Ψ e 0
2 2 d 阱外： ( x ) E ( x ) 2 2 m dx 2 2 阱内： d 2 ( x ) E ( x ) 2m dx
2. 求通解 阱外: 根据波函数有限 ( x ) 0 x a , x 0 2mE 2 阱内: 令 k 2 则： ( x ) k 2 (x ) 0 其通解为 (x ) A cos kx B sin kx
P2 E U (x , t ) 2m
一般的薛定谔方程：
▽
( r , t ) 2 2 i U ( r , t ) ( r , t ) t 2m
U(x)
n很大
n
2
E2 E1 E0
0
2
2
1 2 0
2
符合不确定关系 概率分布特点:
x
E < U 区有隧道效应
通过扫描可观 测固体表面的 微观结构. 探 针头还可吸附 并搬动原子， 形成人工微结 构.
1986年获诺贝尔物理学奖
显示器
压电 控制 隧道 电流
加电压 反馈传感 器 参考信号
扫描隧道显微镜示意图
某种型号的扫描隧道显微镜
原子搬迁：操纵原子不是梦
“原子书法”
硅单晶 表面直 接提走 硅原子 形成2 纳米的 线条 1994年中国科学院科学家“写”出的
薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，它在 量子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是 一样的。 同牛顿方程一样，薛定谔方程也不能由其它的基 本原理推导得到，而只能是一个基本的假设，其正确 性也只能靠实验来检验。
一、自由粒子的薛定谔方程 由自由粒子波函数
i ( Et px) Ψ( x, t ) Ψ e 0
2 2 d 阱外： ( x ) E ( x ) 2 2 m dx 2 2 阱内： d 2 ( x ) E ( x ) 2m dx
2. 求通解 阱外: 根据波函数有限 ( x ) 0 x a , x 0 2mE 2 阱内: 令 k 2 则： ( x ) k 2 (x ) 0 其通解为 (x ) A cos kx B sin kx
高等量子力学 定态薛定谔方程
A n = n n − 1 ， A 2 n = n(n − 1) n − 2 ， L， An n = n！ 0
而
A 0 = 0 −1 = 0
A 0 = 0 −1 = 0
A λ = λ λ −1
是不存在的, 保证了本征值不小于零的(9.24)式成立 于是 式成立. 因此 A 0 是不存在的 保证了本征值不小于零的 式成立 式知谐振子的本征值谱: 由(9.22)式知谐振子的本征值谱 式知谐振子的本征值谱
(9.3)
等等, 此式称为泡利方程.若哈密顿中无自旋变 式中 H + + = + H + 等等 此式称为泡利方程 若哈密顿中无自旋变 即系统的能量与自旋无关时, 量 , 即系统的能量与自旋无关时 H + + = H − − = H , H + − = H − + = 0 . 这时(9.3)式回到 式回到(9.1)式. 多粒子系统情况 可以仿此讨论 可以仿此讨论. 这时 式回到 式 多粒子系统情况,可以仿此讨论
v p / µ = r ⋅ ∇V
2
v ⇒ 2T = r ⋅ ∇V
v 2 T = r ⋅ ∇V
2T =
∑ xi
i
∂V v = r ⋅ ∇V ∂xi
次齐次函数,即 若势能算符是粒子坐标的 s 次齐次函数 即
V (λx1 , λx 2 , λx3 ) = λ sV ( x1 , x 2 , x3 )
则将此式对 λ 取偏导数有
ψ H ψ ≥ E0
(9.4)
为基态能量.使等号成立的 式中 E 0 为基态能量 使等号成立的 ψ ,就是基态 ψ 0 . 就是基态
利用这一定理去求基态的能量和态矢量,通常在位置表象中 利用这一定理去求基态的能量和态矢量 通常在位置表象中 进 行 . 先 选 取 一 个 含 有 若 干 参 量 λ1 , λ2 , … 的 适 当 试 探 函 数
原子物理练习题答案
原⼦物理练习题答案(346.6210h J s -=??，319.1110e m kg -=?，191.610e C -=?，711.110R m -=?，()10.467L B T cm -≈，2419.2710B J T µ--≈??，1010.52910a m -=?，2310 6.0210N mol -=?，121108.85410A s V m ε---=，1240hc nm eV =?，20 1.44e nm eV πε=?，2511e m c KeV =）⼀、单项选择题1、原⼦核式结构模型的提出是根据α粒⼦散射实验中（ C ）A.绝⼤多数α粒⼦散射⾓接近180?B.α粒⼦只偏2?～3?C.以⼩⾓散射为主也存在⼤⾓散射D.以⼤⾓散射为主也存在⼩⾓散射2、欲使处于基态的氢原⼦发出αH 线，则⾄少需提供多少能量（eV ）? ( B )A.13.6B.12.09C.10.2D.3.43、由玻尔氢原⼦理论得出的第⼀玻尔轨道半径的数值是（ B ）A.105.2910m -?B. 100.52910m -?；C. 125.2910m -?；D. 1252910m -?4、⼀次电离的氦离⼦He +处于第⼀激发态（n=2）时的电⼦轨道半径为（ B ）A.100.5310m -?；B. 101.0610m -?；C. 102.1210m -?；D. 100.2610m -?5、基于德布罗意假设得出的公式V 26.12=λ ? （其中V 是以伏特为单位的电⼦加速电压）的适⽤条件是：( A )A.⾃由电⼦，⾮相对论近似B.⼀切实物粒⼦，⾮相对论近似C.被电场束缚的电⼦，相对论结果D.带电的任何粒⼦，⾮相对论近似6、⼀强度为I 的α粒⼦束垂直射向⼀⾦箔，并为该⾦箔所散射。
若θ=90°对应的瞄准距离为b ，则这种能量的α粒⼦与⾦核可能达到的最短距离为（ B ）A. b ;B. 2b ;C. 4b ;D. 0.5b 。
大学物理薛定谔方程
若势能曲线 如图所示：
U
( x) U= U0
有一个有限 E 宽度的“势垒”。 U= 0
U= 0 x
Ⅰ区是波动解， Ⅱ区是指数解，
0a
Ⅰ区 Ⅱ区 Ⅲ区
Ⅲ区也是波动解，但是只有向+x方向的波； 没有向-x方向的反射波了。
可以想见，原来在Ⅰ区的粒子也可以在势垒 的另一边Ⅲ 区出现！这在经典物理是不可想象的！
即可得总波函数 (x, t )。
例.一维自由运动微观粒子的波函数。 电子枪
K
自由运动区
A
U=0
其定态薛定谔方程为
d2
d x2
2m 2
E
0
2 2m
d2
d x2
U
E
……二阶常系数
E 是能量（动能）
常微分方程
令 2mE p2 ，P 是动量。
d2
d x2
2m 2
E
0
得
d2
d x2
p2 2
0
它有两个特解:
量子物理： 粒子有波动性，遵从不确定关系，
粒子穿过势垒区和能量守恒并不矛盾。
只要势垒区宽度 x = a 不是无限大，
粒子能量就有不确定量E 。
p2
2pΔ p pΔ p
E ΔE
2m
2m
m
x = a 很小时，P 很大，使 E也很大 ， 以至
可以有： E U0 E E +E > U0
§2.4 一维谐振子
Ⅱ区：
d2
d x2
2m 2 (E
U0 )
0
令
k22
2m 2
E U0
2 C ek2x D ek2x
2 C ek2x Dek2x
15.6 波函数 一维定态薛定谔方程
k nπ a
2
2mE
2
2
, n 1, 2 ,
En n
π
2 2
,
n 1, 2 ,
2ma
n 为主量子数，表明粒子的能量是量子化的。
大学物理 第三次修订本
13
第15章 量子物理基础
波函数
nπ Ψ n x A sin a
2 a
x , n 1, 2 ,
i t Ψ (r , t ) Ψ (r )e
E
定态薛定谔方程
2m 2 2 2 Ψ( r ) 2 E V Ψ(r ) 0 x y z
2 2 2
若粒子在一维空间运动，则
d Ψ x
2
dx
2
2m
大学物理 第三次修订本
o
a
x
势能曲线
11
第15章 量子物理基础
薛定谔方程
d Ψ x
2
dx
2
2mE
2
Ψ x 0
d Ψ x
2
,0 xa
k Ψ x 0
2
令 k
2 mE
2
则
dx
2
方程通解
Ψ x A sin kx B cos kx
Ψ 利用边界条件 x = 0， 0 0 , 则 B = 0 。
物质波波函数是复数，它本身并不代表任 何可观测的物理量。 波函数是怎样描述微观粒子运动状态的？
大学物理 第三次修订本
3
第15章 量子物理基础
1926年德国物理学家玻恩提出了物质波的 统计解释：实物粒子的物质波是一种概率波, t 时刻粒子在空间 r 处附近的体积元 dV 中出现的 概率dW与该处波函数绝对值的平方成正比。
2
2mE
2
2
, n 1, 2 ,
En n
π
2 2
,
n 1, 2 ,
2ma
n 为主量子数，表明粒子的能量是量子化的。
大学物理 第三次修订本
13
第15章 量子物理基础
波函数
nπ Ψ n x A sin a
2 a
x , n 1, 2 ,
i t Ψ (r , t ) Ψ (r )e
E
定态薛定谔方程
2m 2 2 2 Ψ( r ) 2 E V Ψ(r ) 0 x y z
2 2 2
若粒子在一维空间运动，则
d Ψ x
2
dx
2
2m
大学物理 第三次修订本
o
a
x
势能曲线
11
第15章 量子物理基础
薛定谔方程
d Ψ x
2
dx
2
2mE
2
Ψ x 0
d Ψ x
2
,0 xa
k Ψ x 0
2
令 k
2 mE
2
则
dx
2
方程通解
Ψ x A sin kx B cos kx
Ψ 利用边界条件 x = 0， 0 0 , 则 B = 0 。
物质波波函数是复数，它本身并不代表任 何可观测的物理量。 波函数是怎样描述微观粒子运动状态的？
大学物理 第三次修订本
3
第15章 量子物理基础
1926年德国物理学家玻恩提出了物质波的 统计解释：实物粒子的物质波是一种概率波, t 时刻粒子在空间 r 处附近的体积元 dV 中出现的 概率dW与该处波函数绝对值的平方成正比。
12.6 定态薛定谔方程 ( 非相对论 )
第6节
§12.6 定态薛定谔方程 ( 非相对论 ) 下面介绍一种定态薛定谔方程的由来： (只是一种说明，不是严格的证明推导。事 实上，不可能严格推导，而是一个假设。) 一维波动方程：2/ x2 = u-2 2/ t 假设： (x , t ) = (x) f(t)，且系统的总能 量恒守，即频率是精确地规定的。 所以随时间而变化的项 f(t)必然随时间作简 谐变化，我们可以取 f(t) = cos 2 t，于是 2 / x2 = f(t) d2/dx2 2 / t = (x) d2f/dt2 = - 42 2 f(t) (x)
第6节
定态波函数 (x) 应满足的条件： （1）有限 （2） 连续（3） 单值 （4）粒子在整个空间出现的几率为 1，即： -∞+∞ 2(x) dx =1 （归一化条件） 而更重要的是 (x) 必须符合由势能 V 决定 的边界条件。的确，把边界条件施加于波 函数，这才使得束缚系统能量量子化。 用非解析术语来说，我们必须把粒子 视为波，这波限制在束缚系统之内来回反 射，形成驻波。正是由于驻波适合边界条 件，才导致系统容许能量的量子化。
第12章
第6节
粒子在光滑的斜面上滑动
第12章
墙 壁
5
斜 面
O
X
第6节
例 ： NH3 分子的波函数、概率分布、能级。
第12章
势 能 曲 线
第6节
例 ： NH3 分子的波函数、概率分布、能级。 波函数 概率分布
第12章
第6节
例 ： NH3 分子的波函数、概率分布、能级。 能 级
第12章
第6节
第12章
第6节
f(t) 2 / t = (x) d2f/dt2 = - 42 2 f(t) (x) 代入方程 2/ x2 = u-2 2/ t , 则得： f(t) d2 /dx2 = - 42 2 f(t) (x) / u2 即： d2 /dx2 = - ( 2 / )2 = - ( p / h )2 系统的总能量 E = EK + V = p2/ 2m + V p2 = 2m ( E - V ) d2 /dx2 + (2m/ h2) ( E - V ) = 0 一般形式： 2 + (2m/ h2) ( E - V ) =高 势 阱
§12.6 定态薛定谔方程 ( 非相对论 ) 下面介绍一种定态薛定谔方程的由来： (只是一种说明，不是严格的证明推导。事 实上，不可能严格推导，而是一个假设。) 一维波动方程：2/ x2 = u-2 2/ t 假设： (x , t ) = (x) f(t)，且系统的总能 量恒守，即频率是精确地规定的。 所以随时间而变化的项 f(t)必然随时间作简 谐变化，我们可以取 f(t) = cos 2 t，于是 2 / x2 = f(t) d2/dx2 2 / t = (x) d2f/dt2 = - 42 2 f(t) (x)
第6节
定态波函数 (x) 应满足的条件： （1）有限 （2） 连续（3） 单值 （4）粒子在整个空间出现的几率为 1，即： -∞+∞ 2(x) dx =1 （归一化条件） 而更重要的是 (x) 必须符合由势能 V 决定 的边界条件。的确，把边界条件施加于波 函数，这才使得束缚系统能量量子化。 用非解析术语来说，我们必须把粒子 视为波，这波限制在束缚系统之内来回反 射，形成驻波。正是由于驻波适合边界条 件，才导致系统容许能量的量子化。
第12章
第6节
粒子在光滑的斜面上滑动
第12章
墙 壁
5
斜 面
O
X
第6节
例 ： NH3 分子的波函数、概率分布、能级。
第12章
势 能 曲 线
第6节
例 ： NH3 分子的波函数、概率分布、能级。 波函数 概率分布
第12章
第6节
例 ： NH3 分子的波函数、概率分布、能级。 能 级
第12章
第6节
第12章
第6节
f(t) 2 / t = (x) d2f/dt2 = - 42 2 f(t) (x) 代入方程 2/ x2 = u-2 2/ t , 则得： f(t) d2 /dx2 = - 42 2 f(t) (x) / u2 即： d2 /dx2 = - ( 2 / )2 = - ( p / h )2 系统的总能量 E = EK + V = p2/ 2m + V p2 = 2m ( E - V ) d2 /dx2 + (2m/ h2) ( E - V ) = 0 一般形式： 2 + (2m/ h2) ( E - V ) =高 势 阱
原子物理习题解答
) =13.6 ev∗
= 12.75 ev
光子的能量为 12.75 ev，依据E2 = p2 c 2 + E0 2 考虑到光子的静止能量为 0， 对应的动量为 E 2 − E0 2 = c2 E2 E 12.75 ev = = m c = 光子 c2 c c
p=
因为 m光子 c = M原子 V反冲 V反冲 = = m光子 c M原子
E=ℎ + ������������ ������ 2
������ 2
������
1
⇒ ������ = 0.29 ������������
By
ghrui
3
1.2
动能 T=0.87 Mev 的质子轰击静止的汞核，当散
������ ������
射角������ =
时，求它们之间的最小距离和瞄准距离。
=
=12.4 KeV∙ c −1
By
ghrui
14
2.9 下列各粒子限制在限度 L 的一维盒中，请利用海 森伯不确定关系式估计它们具有的最小动能： （1）电子限制在 L=1Å的盒子中； （2）电子限制在 L=10 fm（原子核尺寸）的盒子中， 1 fm=������������−������������ ������； （3）中子（静止能量为 940MeV）限制在 L=10 fm 的 盒子中； （ 4 ） 质 量 为 L=������������−������ ������的盒子中；
解：透入距离
1 k2
= =
ℏ 2m(v 0 −E) 6.63 ∗10 −34
2.3.14 ∗ 2∗9.1∗10 −31 ∗4∗1.6∗10 −19
=0.097 Å
By
ghrui
量子力学--定态薛定谔方程 ppt课件
此波函数与时间t的关系是正弦型的，其角频率ω=2πE/h。 由de Broglie关系可知： E 就是体系处于波函数Ψ(r,t)所描写 的状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这 种状态称为定态，波函数Ψ(r,t)称为定态波函数。
空间波函数ψ(r)由方程
2 2 [ V ] (r ) E (r ) 2
* n
推论
x 常量 p 0
4. 能量本征函数是完备的正交归一系 可以证明（以后证明）
* m (r) n (r)dr mn
正交归一性
薛定鄂方程的通解可以用定态波函数的叠加表示为
( x, t ) cn n ( x, t ) cneiE t / n ( x)
PPT课件 4
（三）求解定态问题的步骤
讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数 Ψ(r,t)和在这些态中的能量 E。其具体步骤如下：
2 2 [ V ] ( r ) E ( r ) 2
（1）列出定态 Schrodinger方程 （2）根据波函数三个标准 条件求解能量 E 的 本征值问题，得： （3）写出定态波函数即得 到对应第 n 个本征值 En 的定态波函数
令：
( r , t ) ( r ) f ( t )
两边同除 (r ) f (t )
等式两边是相互无 关的物理量，故应 等于与 t, r 无关 的常数
d 2 2 i ( r ) f ( t ) f ( t )[ V ] ( r ) dt 2 2 1 d 1 2 i f (t ) V ] ( r ) E [ f ( t ) dt ( r ) 2
III 0
从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。 根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁 外波函数为零，特别是 ψ(-a) = ψ(a) = 0。
定态薛定谔方程
电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？
“ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不是经典的粒 子也不是经典的波，但是我们也可以说，“ 电子既 是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。” 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念 中的粒子。 经典概念 中粒子意 味着 1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性; 2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
§2.1 波函数的统计解释（续10）
t 时刻，在空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的 相对概率是： 2 2 (r1 , t ) (r1 , t ) (r2 , t ) (r2 , t ) r , t 和 r , t 所描写状态的相对概率是相 同的，这里的 C 是常数。 r , t 可见， 和 r , t 描述的是同一概率波，所 以波函数有一常数因子不定性。
r
1926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函数的统计解释： 波函数在空间中某一点的强度（波函数模的平 方）与粒子在该点出现的概率成比例。
§2.1 波函数的统计解释（续8）
设粒子状态由波函数 (r , t ) 描述，波的强度是 2 * (r , t ) (r , t ) ( r , t )
§2.1 波函数的统计解释（续15）
注
意
（1）归一化后的波函数 (r , t ) 仍有一个模为一的因 子 ei 不定性（δ为实函数）。 若 r , t 是归一化波函数，那末， r , t e i 也是 归一化波函数，与前者描述同一概率波。
（2）只有当概率密度 (r , t ) 对空间绝对可积时，才 2 能按归一化条件 (r 进行归一化。 , t ) d 1
“ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不是经典的粒 子也不是经典的波，但是我们也可以说，“ 电子既 是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。” 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念 中的粒子。 经典概念 中粒子意 味着 1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性; 2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
§2.1 波函数的统计解释（续10）
t 时刻，在空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的 相对概率是： 2 2 (r1 , t ) (r1 , t ) (r2 , t ) (r2 , t ) r , t 和 r , t 所描写状态的相对概率是相 同的，这里的 C 是常数。 r , t 可见， 和 r , t 描述的是同一概率波，所 以波函数有一常数因子不定性。
r
1926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函数的统计解释： 波函数在空间中某一点的强度（波函数模的平 方）与粒子在该点出现的概率成比例。
§2.1 波函数的统计解释（续8）
设粒子状态由波函数 (r , t ) 描述，波的强度是 2 * (r , t ) (r , t ) ( r , t )
§2.1 波函数的统计解释（续15）
注
意
（1）归一化后的波函数 (r , t ) 仍有一个模为一的因 子 ei 不定性（δ为实函数）。 若 r , t 是归一化波函数，那末， r , t e i 也是 归一化波函数，与前者描述同一概率波。
（2）只有当概率密度 (r , t ) 对空间绝对可积时，才 2 能按归一化条件 (r 进行归一化。 , t ) d 1
§2.5定态薛定谔方程解的算例
§2.5定态薛定谔方程解的算例4、方势垒方势垒如图所示，哈密顿方程为通解通解方程同Ⅰ区，但这里无反射波，故如果粒子是从势垒的左边入射，通解中表示从左侧入射的波(粒子)表示碰撞器壁后被反射回去的波(粒子)由于在势垒右侧原来没有粒子，所以B3=0于是表示贯穿势垒后而透射过来的波(粒子)可以计算出粒子流量，用几率流密度表示粒子从I区经过势垒进入III区，称作势垒贯穿或隧道效应。
可以利用下述边界条件和波函数的条件确定：一阶微商连续粒子从I区经过势垒进入III区的穿透率还可用如下方法计算入射粒子的概率(几率)幅反射粒子的概率幅贯穿势垒的粒子的几率幅所以透射率和反射率可按下面的方法求出：通常只需计算向右运动的粒子。
如果势垒的高度V0比入射粒子能量E大得多，或势垒较宽时，即物理意义：1）能量E小于势垒高度的粒子确实有一定的几率穿越势垒。
透射系数T与势垒宽度a、(V0–E)和粒子质量有关2）随着势垒宽度a的增加，透射率T按指数衰减。
若把上式简单看做主要是由指数部分决定的，于是如果在势垒内部距表面距离为d处，几率衰减为表面的1/e，则d被定义为粒子在势垒中的穿透深度：透射系数例：试求入射电子能量为1ev，势垒高度为2ev，宽度为的几率。
如果粒子是质子，求透射系数。
解：由势垒宽度电子：质子：其质量是电子的1840倍，质子的质量约为940MeV例，一粒子质量为1kg，势垒的厚度a=10cm，V 0-E=1eV，穿透几率约为：几乎不能穿透！这说明对宏观物体来说，即便是总能量比势垒仅少1eV，其量子效应也是极其不明显的。
而对质量轻的电子而言，隧道效应就变得十分明显了！经典量子《聊斋志异》中，蒲松龄讲述的故事，说一个崂山道士能够穿墙而过。
虽是虚妄之谈，但从量子力学的观点来看，它还是有一定道理的，只不过是概率“小”了些而已。
利用量子隧道效应，可解释放射性原子核的α粒子衰变现象如果一核半径为R，α粒子在核内由于核力的作用，其势能很低。
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我们希望找到一个类似于牛顿方程的方程来描述这种新的量子现象，而且这个 方程应当能完全描述各种系统的状态。我们可从自由粒子出发，假定一个质量
为 m 动量为 p ，在势场 u(x) 中运动的非相对论粒子，粒子的能量可写成（考
虑一维运动）
E p2 u(x) 2m
（1）
利用德布罗意关系 E , p k 代入上式得
低于 V0 时，按照经典力学观点，粒子不可能穿过势垒，将全
,
n 1,2,
(7)
注意到的是，最低的能级为E1
h2 8md 2
0,也可从不确定原理看出，
近似为位置不确定度为x d，则动量不确定度p，因而有：
(p)2 h2
E 2m 2md 2 O(E1)
(8)
北京邮电大学理学院 原子物理
§3.1 薛定谔方程
四、 态叠加原理
态叠加原理是量子力学中一个重要的基本概念，我们知道量子力学中波函 数是用来描述一个体系的量子态。如此态叠加原理显的很重要了，它是 “波叠加性”和“波函数完全描述一个体系的量子态”两个概念的概括。
第三章 量子力学基础
量子力学是关于微观世界的基本理论，它能够正
确地描述微观世界粒子运动的基本规律，它正确地反
本
映了实物粒子波粒二象性的客观事实。它与某些经典
物理概念是不相容的，也突破了玻尔理论的局限性。
章
如今的量子物理科学已与我们生活息息相关。
内
本章从量子力学薛定谔方程的引入开始，介绍如
容
何利用薛定谔方程解决具体实际问题，如无限深势阱、
(i t
2 2m
2 x 2
)
(E
p2 )
2m
0
(5)
对于一般情形,作如下变换: E i ; p i
(6)
t
x
作用于波函数上得一维的薛定谔方程
2 2 u(x) i
(7)
2m x2
t
北京邮电大学理学院 原子物理
§3.1 薛定谔方程
在阱外， 0。考略到描写实物粒子的波函数必须满足的标准条件:
波函数必须是单值，有限，连续。因而，方程（4）的解满足边界条件
(0) (d ) 0
(5)
联合（4）与（5）得量子化条件：kn
n d
, n 1,2,3,
(6)
n (x)
2 sin nx , dd
En
n2h2 8md 2
于是有分离常数E使（9）式得 i dT E T dt
北京邮电大学理学院 原子物理
(8)
(9) (10)
§3.1 薛定谔方程
和 1 [ 2 2 u(r)] E 2m
解得T T0eiEt 并将常数T0归到所含常数中，得 (r, t) (r)eiEt
粒子处于第n个状态 n的概率为cn*cn，则E ncn*cn n
北京邮电大学理学院 原子物理
§3.2 势垒贯穿
本小节我们考虑方势垒的穿透问题。
V
有
E
V0
方势垒为：u
(
x)
0, V0
,
x x1, x x2 (1) x1 x x2
限 高 势 垒
0
X1 X2
x
当入射粒子从 x x1 的地方向右入射，如其入射能量 E
,
设
是归一化的
n
，
则an
1.
此时在r
r
dr空间处粒子的概率为 *dV
* n
(r)n
(r)
d
r
3
北京邮电大学理学院 原子物理
§3.1 薛定谔方程
【举例】 一维无限深势阱
考虑一维空间中运动的粒子,它的势能在一定区域内(从x 0到x d )
为零，而在此区域外，势能为无限大，即u(
a e
i
n
t
n
n
n
(*)
【解薛定谔方程的一般方法】 1、首先用分离变量法:即把时间及空间分开 T (t)(r)
2、然后求解定态薛定谔方程。
3、最后方程的通解为(*)式, 其中Tn
an
e
i
nt
,
当只有一个an 0，其它an全为0时,
ane
i
nt n
得出定态薛定谔方程为
(11) (12)
[ 2 2 u(r)] E
2m
（13）
并注意到，由(12)式几率密度 * *与时间无关。
北京邮电大学理学院 原子物理
§3.1 薛定谔方程
三、解定态薛定谔方程的一般方法
h2 2m
2 n
un
En , n
1,2,...
若一个波函数可以表示为 cnn (r)
n
则利用{n}的完备性及正交性得: *(r) (r)dV 1或 cn*cn 1， n
其中:n用来描述粒子所处系统的某一状态; cn是系数, 表示粒子所处n的概率振幅, 例如：n是能量本征函数时,指粒子处于 n的状态函数.
推广到三维，得薛定谔方程为
[ 2 2 u(r)] (r, t) i (r, t)
2m
t
式（8）就是薛定谔方程的一般形式。
二、定态薛定谔方程
当势场u(r)不显含t时，式(8)可用分离变量法
求其特解，把波函数写为 (r, t) (r)T (t)得
i dT 1 [ 2 2 u(r)] T dt 2m
x)
0, ,
0 xd (1)
x d,x 0
显然势函数不显含时间，因而在阱内，
满足定态薛定谔方程：
2 2m
d 2
dt 2
E
0
(2)
记
k2
2mE 2
V
(3)
V=0
则方程可以写为：
d 2
dx2
k 2
(4)
x=0
x=L
北京邮电大学理学院 原子物理
§3.1 薛定谔方程
介
线性谐振子及氢原子问题，并介绍相关的量子力学概
绍
念和原理。
第三章 量子力学基础
【内容】 1. 薛定谔方程 2. 势垒贯穿 3. 量子力学中的一些理论与方法 4. 氢原子
【重点】 薛定谔方程 态叠加原理
氢原子能量本征值与本征函数
北京邮电大学理学院 原子物理
§3.1 薛定谔方程
一、薛定谔方程的引入
(k )2 u( x)
2m
（2）
北京邮电大学理学院 原子物理
§3.1 薛定谔方程
对于自由粒子，把其波函数写成平面波形式： (x，t) 0ei(kxt) (3)
从上式，有: i E , 2 p2
(4)
t
x
对于u(x) 0时,由(1)知 :
为 m 动量为 p ，在势场 u(x) 中运动的非相对论粒子，粒子的能量可写成（考
虑一维运动）
E p2 u(x) 2m
（1）
利用德布罗意关系 E , p k 代入上式得
低于 V0 时，按照经典力学观点，粒子不可能穿过势垒，将全
,
n 1,2,
(7)
注意到的是，最低的能级为E1
h2 8md 2
0,也可从不确定原理看出，
近似为位置不确定度为x d，则动量不确定度p，因而有：
(p)2 h2
E 2m 2md 2 O(E1)
(8)
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§3.1 薛定谔方程
四、 态叠加原理
态叠加原理是量子力学中一个重要的基本概念，我们知道量子力学中波函 数是用来描述一个体系的量子态。如此态叠加原理显的很重要了，它是 “波叠加性”和“波函数完全描述一个体系的量子态”两个概念的概括。
第三章 量子力学基础
量子力学是关于微观世界的基本理论，它能够正
确地描述微观世界粒子运动的基本规律，它正确地反
本
映了实物粒子波粒二象性的客观事实。它与某些经典
物理概念是不相容的，也突破了玻尔理论的局限性。
章
如今的量子物理科学已与我们生活息息相关。
内
本章从量子力学薛定谔方程的引入开始，介绍如
容
何利用薛定谔方程解决具体实际问题，如无限深势阱、
(i t
2 2m
2 x 2
)
(E
p2 )
2m
0
(5)
对于一般情形,作如下变换: E i ; p i
(6)
t
x
作用于波函数上得一维的薛定谔方程
2 2 u(x) i
(7)
2m x2
t
北京邮电大学理学院 原子物理
§3.1 薛定谔方程
在阱外， 0。考略到描写实物粒子的波函数必须满足的标准条件:
波函数必须是单值，有限，连续。因而，方程（4）的解满足边界条件
(0) (d ) 0
(5)
联合（4）与（5）得量子化条件：kn
n d
, n 1,2,3,
(6)
n (x)
2 sin nx , dd
En
n2h2 8md 2
于是有分离常数E使（9）式得 i dT E T dt
北京邮电大学理学院 原子物理
(8)
(9) (10)
§3.1 薛定谔方程
和 1 [ 2 2 u(r)] E 2m
解得T T0eiEt 并将常数T0归到所含常数中，得 (r, t) (r)eiEt
粒子处于第n个状态 n的概率为cn*cn，则E ncn*cn n
北京邮电大学理学院 原子物理
§3.2 势垒贯穿
本小节我们考虑方势垒的穿透问题。
V
有
E
V0
方势垒为：u
(
x)
0, V0
,
x x1, x x2 (1) x1 x x2
限 高 势 垒
0
X1 X2
x
当入射粒子从 x x1 的地方向右入射，如其入射能量 E
,
设
是归一化的
n
，
则an
1.
此时在r
r
dr空间处粒子的概率为 *dV
* n
(r)n
(r)
d
r
3
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§3.1 薛定谔方程
【举例】 一维无限深势阱
考虑一维空间中运动的粒子,它的势能在一定区域内(从x 0到x d )
为零，而在此区域外，势能为无限大，即u(
a e
i
n
t
n
n
n
(*)
【解薛定谔方程的一般方法】 1、首先用分离变量法:即把时间及空间分开 T (t)(r)
2、然后求解定态薛定谔方程。
3、最后方程的通解为(*)式, 其中Tn
an
e
i
nt
,
当只有一个an 0，其它an全为0时,
ane
i
nt n
得出定态薛定谔方程为
(11) (12)
[ 2 2 u(r)] E
2m
（13）
并注意到，由(12)式几率密度 * *与时间无关。
北京邮电大学理学院 原子物理
§3.1 薛定谔方程
三、解定态薛定谔方程的一般方法
h2 2m
2 n
un
En , n
1,2,...
若一个波函数可以表示为 cnn (r)
n
则利用{n}的完备性及正交性得: *(r) (r)dV 1或 cn*cn 1， n
其中:n用来描述粒子所处系统的某一状态; cn是系数, 表示粒子所处n的概率振幅, 例如：n是能量本征函数时,指粒子处于 n的状态函数.
推广到三维，得薛定谔方程为
[ 2 2 u(r)] (r, t) i (r, t)
2m
t
式（8）就是薛定谔方程的一般形式。
二、定态薛定谔方程
当势场u(r)不显含t时，式(8)可用分离变量法
求其特解，把波函数写为 (r, t) (r)T (t)得
i dT 1 [ 2 2 u(r)] T dt 2m
x)
0, ,
0 xd (1)
x d,x 0
显然势函数不显含时间，因而在阱内，
满足定态薛定谔方程：
2 2m
d 2
dt 2
E
0
(2)
记
k2
2mE 2
V
(3)
V=0
则方程可以写为：
d 2
dx2
k 2
(4)
x=0
x=L
北京邮电大学理学院 原子物理
§3.1 薛定谔方程
介
线性谐振子及氢原子问题，并介绍相关的量子力学概
绍
念和原理。
第三章 量子力学基础
【内容】 1. 薛定谔方程 2. 势垒贯穿 3. 量子力学中的一些理论与方法 4. 氢原子
【重点】 薛定谔方程 态叠加原理
氢原子能量本征值与本征函数
北京邮电大学理学院 原子物理
§3.1 薛定谔方程
一、薛定谔方程的引入
(k )2 u( x)
2m
（2）
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§3.1 薛定谔方程
对于自由粒子，把其波函数写成平面波形式： (x，t) 0ei(kxt) (3)
从上式，有: i E , 2 p2
(4)
t
x
对于u(x) 0时,由(1)知 :