1.2直角三角形培优训练-2020-2021学年北师大版八年级数学下册

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北师大版2020-2021学年度八年级数学下册1.2直角三角形自主学习同步练习题1(含答案)

北师大版2020-2021学年度八年级数学下册1.2直角三角形自主学习同步练习题1（含答案）1．下列条件中，不能判断两个直角三角形全等的是（）A．两条直角边对应相等B．一条边和一个角对应相等C．一条边和一个锐角对应相等D．有两条边对应相等2．下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（）A．两条直角边对应相等B．有两条边对应相等C．一条边和一锐角对应相等D．一条边和一个角对应相等3．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，BC交AD于O．给出下列结论：①BC 平分∠ABD；②△ABO≌△CDO；③∠AOC＝120°；④△BOD是等腰三角形．其中正确的结论有（）A．①③B．②④C．①②D．③④4．在如图中，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则下列结论中不正确的是（）A．△ABE≌△ACF B．点D在∠BAC的平分线上C．△BDF≌△CDE D．点D是BE的中点5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A的正弦值是，那么下列各式正确的是（）A．AB＝4BC B．AB＝4AC C．AC＝4BC D．BC＝4AC6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8，BC＝6，那么∠B的余切值为（）A．B．C．D．7．如图，AB∥DF，AC⊥CE于C，BC与DF交于点E，若∠A＝20°，则∠CEF等于（）A．110°B．100°C．80°D．70°8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，则BC的长为（）A．3B．2C．3D．29．如图，将一个含有45°角的直角三角板的直角顶点放在一张宽为2cm的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上．若测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板最长边的长是（）A．2cm B．4cm C．2cm D．4cm10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，∠A＝30°，则AC的长度为（）A．8B．12C．10D．1011．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，观察图中尺规作图的痕迹，则AD的长是（）A．B．4C．D．212．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，点D、E分别在边AC、AB 上，若AD＝DC，AE＝CB+BE，则线段DE的长为（）A．2B．C．D．213．已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是AB，BC的中点，延长AC到F，使得CF＝AC，连接EF．若EF＝4，则AB的长为（）A．8B．C．4D．14．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点，AC＝6，BD＝10，则EF的长为（）A．3B．4C．5D．15．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线．已知AC＝3，CD＝2，则tan A的值为（）A．B．C．D．16．如图，三角形ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你填加一个适当的条件，使△AEC≌△CDA．17．如图，AC⊥BC，AD⊥DB，要使△ABC≌△BAD，还需添加条件．（只需写出符合条件一种情况）18．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为9，则BE＝．19．当三角形中的一个内角α是另一个内角β的一半时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”为直角三角形，则这个“特征角”的度数为．20．如图，在△ABC中∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．点D是BC上的中点．点P是边AB 上的动点，若要使△BPD为直角三角形，则BP＝．21．已知∠AOB＝30°，点D在OA上，OD＝，点E在OB上，DE＝2，则OE的长是．22．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连结ME、MD、ED．设AB＝4，∠DBE＝30°，则△EDM的面积为．23．如图，在Rt△ABC中，∠B的度数是度．24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝．25．在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，AD⊥AB，AD交直线BC于点D，CD＝1，则BC＝．26．如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB边的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．若CE＝1，则△ABC的面积是．27．如图，△ABC中，AB＝AC＝15，∠BAC＝120°，小明要将该三角形分割成两个直角三角形和两个等腰三角形，他想出了如下方案：在AB上取点D，过点D画DE∥AC交BC 于点E，连结AE，在AC上取合适的点F，连结EF可得到4个符合条件的三角形，则满足条件的AF长是．28．Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，那么sin B＝．29．如图，已知Rt△ABC斜边AB长为13，则中线CD长为．30．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝65°，D是AC的中点，连结BD，则∠ADB ＝度．31．已知：如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD．求证：OB＝OC．32．已知如图，∠A＝90°，∠D＝90°，且AE＝DE，求证：∠ACB＝∠DBC．33．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E在AC上，且AE＝BC，ED⊥AB于点D，过A点作AC的垂线，交ED的延长线于点F．求证：AB＝EF．34．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F＝30°，DE＝1，求BE的长．35．如图，△ABC中，AB＝AC，AD、CE是高，连接DE．（1）求证：BC＝2DE；（2）若∠BAC＝50°，求∠ADE的度数．参考答案1．解：A、两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合全等三角形的判定定理SAS，能判定全等；B、如果一直角和一斜边对应相等，不能判定两个直角三角形全等，不能判定全等；C、一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形，符合全等三角形的判定定理AAS，能判定全等；若一锐角和一直角边对应相等的两个直角三角形，符合全等三角形的判定定理ASA，也能判全等；D、一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形，符合全等三角形的判定定理HL，能判定全等；若两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合全等三角形的判定定理SAS，也能判全等．故选：B．2．解：∵A、两条直角边对应相等可利用SAS判定两直角三角形全等，B、两边对应相等，可利用HL或SSA判定两直角三角形全等；C、一条边和一锐角对应相等，可利用AAS或ASA判定两直角三角形全等．D、一条边和一个角对应相等不能判定两直角三角形全等．故选：D．3．解：∵把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，∴∠C＝∠A＝90°，AB＝CD；∵∠AOB＝∠COD，∴△ABO≌△CDO（第二个正确）；∴OB＝OD；∴△BOD是等腰三角形（第四个正确）．其它无法证明．故选：B．4．解：A、∵AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠A＝∠A∴△ABE≌△ACF（AAS），正确；B、∵△ABE≌△ACF，AB＝AC∴BF＝CE，∠B＝∠C，∠DFB＝∠DEC＝90°∴DF＝DE故点D在∠BAC的平分线上，正确；C、∵△ABE≌△ACF，AB＝AC∴BF＝CE，∠B＝∠C，∠DFB＝∠DEC＝90°∴△BDF≌△CDE（AAS），正确；D、无法判定，错误，故选：D．5．解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∴sin A＝＝，∴AB＝4BC，故选：A．6．解：如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴cot B＝＝＝，故选：A．7．解：∵AC⊥BC于C，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣20°﹣90°＝70°，∴∠ABC＝∠1＝70°，∵AB∥DF，∴∠1+∠CEF＝180°，即∠CEF＝180°﹣∠1＝180°﹣70°＝110°．故选：A．8．解：如图，∵∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，∴AC＝AB＝3，由勾股定理，BC＝＝＝3．故选：C．9．解：过点C作CD⊥AD，∴CD＝2，在直角三角形ADC中，∵∠CAD＝30°，∴AC＝2CD＝2×2＝4，又∵三角板是有45°角的三角板，∴AB＝AC＝4，∴BC2＝AB2+AC2＝42+42＝32，∴BC＝4，故选：D．10．解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝2×10＝20，由勾股定理得：AC＝＝＝10，故选：D．11．解：连接CD，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，∴AB＝8，∵BD＝CD，∴∠B＝∠BCD＝30°，∴∠DCA＝60°，∵∠A＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴CD＝AD＝BD＝AB＝4，故选：B．12．解：过点E作EF∥BC∵∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4∴BC＝2，AC＝，∠EF A＝90°∵AD＝DC∴AD＝DC＝∵AE＝CB+BE∴AE＝CB+BE＝（4+2）÷2＝3，BE＝1∵EF∥BC∴△AFE∽△ACB∴∴EF＝，AF＝∴DF＝AF﹣AD＝根据勾股定理：DE＝＝故选：B．13．解：连接CD，∵点D，E分别是AB，BC的中点，∴DE∥AC，DE＝AC．∵延长AC到F，使得CF＝AC，∴DE∥CF且DE＝CF，∴四边形CDEF是平行四边形．∴CD＝EF＝4．∵∠ACB＝90°，CD为斜边AB中线，∴AB＝2CD＝8．故选：A．14．解：连接AE，CE，∵∠DAB＝90°，∠DCB＝90°，E是BD，∴AE＝BD，CE＝BD，∴AE＝CE，∵F是AC的中点，∴EF⊥AC，∵AC＝6，BD＝10，∴AE＝5，AF＝3，∴EF＝＝4，故选：B．15．解：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AB＝2CD＝4，∴BC＝＝＝∴tan A＝＝故选：C．16．解：∵AD⊥BC，CE⊥AB∴∠AEC＝∠CDA＝90°，∴当CE＝AD（HL）或∠DAC＝∠ECA（AAS）或∠BAC＝∠ACB（ASA）时，△AEC≌△CDA．17．解：∵AC⊥BC，AD⊥DB，∴∠C＝∠D＝90°∵AB为公共边，要使△ABC≌△BAD∴添加AC＝BD或BC＝AD或∠DAB＝∠CBA或∠CAB＝∠DBA后可分别根据HL、HL、AAS、AAS判定△ABC≌△BAD．18．解：过B作BF垂直DC的延长线交于点F，∵∠ABC＝∠CDA＝90°，BF⊥CD，∴∠ABE+∠EBC＝∠CBF+∠EBC，∴∠ABE＝∠CBF；又∵BE⊥AD，BF⊥DF，且AB＝BC，∴△ABE≌△CBF，即BE＝BF；∵BE⊥AD，∠CDA＝90°，BE＝BF，∴四边形BEDF为正方形；由以上得四边形ABCD的面积等于正方形BEDF的面积，即等于9，∴BE2＝9，即BE＝3．19．解：①“特征角”的2倍是直角时，“特征角”＝×90°＝45°；②“特征角”的2倍与“特征角”都不是直角时，设“特征角是x”，由题意得，x+2x＝90°，解得x＝30°，所以，“特征角”是30°，综上所述，这个“特征角”的度数为45°或30°．故答案为：45°或30°．20．解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，∵D是BC中点，∴CD＝BD＝4，分两种情形：①当∠DPB＝90°时，△DPB∽△ACB，∴＝，∴＝，∴BP＝．②当∠PDB＝90°，易证：DP∥AC，∵CD＝DB，∴AP＝PB＝5，综上所述，满足条件的PB的值为5或．故答案为5或21．解：如图所示，过D作DF⊥OB于F，∵∠AOB＝30°，OD＝2，∴DF＝OD＝，OF＝3，又∵DE＝2，∴Rt△DEF中，EF＝1，当点E在点F左侧时，OE＝OF﹣EF＝3﹣1＝2；当点E'在点F右侧时，OE'＝OF+E'F＝3+1＝4；综上所述，OE的长为2或4，故答案为：2或4．22．解：∵在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，∴△ABE，△ADB是直角三角形，∴EM，DM分别是它们斜边上的中线，∴EM＝DM＝AB，∵ME＝AB＝MA，∴∠MAE＝∠MEA，∴∠BME＝2∠MAE，同理，MD＝AB＝MA，∴∠MAD＝∠MDA，∴∠BMD＝2∠MAD，∴∠EMD＝∠BME﹣∠BMD＝2∠MAE﹣2∠MAD＝2∠DAC＝60°，所以△DEM是边长为2的正三角形，所以S△DEM＝．故答案为：．23．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵∠A＝65°，∴∠B＝25°，故答案为25．24．解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE＝1，又∵直角△BDE中，∠B＝30°，∴BD＝2DE＝2，∴BC＝CD+BD＝1+2＝3．故答案为：3．25．解：在Rt△ABD中，∠ABC＝30°，∴BD＝2AD，由勾股定理得，BD2＝AD2+AB2，即BD2＝（BD）2+（4）2，解得，BD＝8，当点D在线段BC上时，BC＝BD+CD＝9，当点D在线段BC′的延长线上时，BC＝BD﹣CD＝7，故答案为：7或9．26．解：连接EB，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵DE是AB边的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠EBA＝∠A＝30°，∴∠EBC＝30°，∴EB＝2EC＝2，由勾股定理得，BC＝＝，∴△ABC的面积＝×BC×AC＝，故答案为：．27．解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠C＝30°，∠BDE＝120°，∴△BDE是等腰三角形，∠ADE＝180°﹣∠BDE＝60°．被分割的四个三角形中有两个直角三角形和两个等腰三角形．①当∠AED＝90°时，如图1：∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝30°，∴∠EAF＝∠BAC﹣∠DAE＝90°．则△EFC是等腰三角形．∵∠AEC＝180°﹣∠BED﹣∠DEA＝60°，∴△EFC是等腰三角形只可能存在∠FEC＝∠C＝30°的情况，设AF＝x，∵∠AEF＝180°﹣∠BED﹣∠AED﹣∠FEC＝30°，∴EF＝2x，∵EF＝FC＝2x，∴AF+FC＝3x＝AC＝15，∴AF＝5．②当∠DAE＝90°且∠AEF＝90°时，如图2：此时∠EAF＝∠BAC﹣∠DAE＝30°，∴∠AFE＝180°﹣∠AEF﹣∠EAF＝60°设AF＝x，则EF＝x，∵∠EFC＝180°﹣∠AFE＝120°，又∵∠FEC＝180°﹣∠C﹣∠EFC＝30°，∴△EFC是等腰三角形，CF＝EF＝x，∵AC＝AF+FC＝x+x＝15，∴AF＝x＝10．③当∠DAE＝90°且∠FEC＝90°时，如图3．∠F AE＝∠BAC﹣∠DAE＝30°，∵∠AED＝180°﹣∠DAE﹣∠ADE＝30°，∴∠AEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC﹣∠AED＝30°．∴AF＝AE，设AF＝EF＝x，∵∠FEC＝90°，∠C＝30°，∴CF＝2x，∵AF+FC＝x+2x＝3x＝AC＝15，∴AF＝x＝5．④当∠AFE＝∠EFC＝90°时，则△ADE是等腰三角形，如图4∵∠ADE＝60°，∴∠DAE＝∠AED＝60°，∵∠EAF＝∠BAC﹣∠DAE＝60°，∴∠AEF＝180°﹣∠EAF﹣∠AFE＝30°．设AF＝x，则EF＝x．∵∠EFC＝90°，∠C＝30°，∴FC＝EF＝3x，∵AC＝AF+FC＝x+3x＝4x＝15，∴AF＝．故答案为：5、10或28．解：由题意，得sin B＝＝，故答案为：．29．解：∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，∴CD＝AB＝6.5，故答案为：6.5．30．解：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，则BD是斜边AC上的中线，∴BD＝AD，∴∠DBA＝∠A＝65°，∴∠ADB＝180°﹣2∠A＝50°．故答案是：50．31．证明：∵∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，BC＝BC，∴Rt△BAC≌Rt△CDB（HL）∴∠ACB＝∠DBC．∴∠OCB＝∠OBC．∴OB＝OC（等角对等边）．32．证明：∵∠A＝∠D＝90°，AE＝DE（已知），∠AEB＝∠DEC（对顶角相等），∴△ABE≌△DCE（ASA），∴BE＝CE，∴∠ACB＝∠DBC．33．证明：∵ED⊥AB，∴∠ADE＝∠ACB＝90°；∴∠DAE+∠DEA＝∠DAE+∠B＝90°，即∠DEA＝∠B；∵AD⊥EF，F A⊥AC，∴∠F AE＝∠C＝90°，在△AFE和△CAB中∵，∴△AFE≌△CAB（ASA）．∴AB＝EF．34．解：∵AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，∴∠BDF＝90°，AE＝BE，∴∠ABE＝∠A，∵∠F＝30°，∴∠DBF＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠A＝30°，∴∠ABE＝30°，∴BE＝2DE＝2．35．（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∴DE＝BD＝CD，∴BC＝2DE；（2）解：∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠BAD＝BAC，∵∠BAC＝50°，∴∠BAD＝25°，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°，∵∠B＝∠B，∴∠BCE＝∠BAD＝25°，∵DE＝CD，∴∠DEC＝∠DCE＝25°，∴∠BDE＝50°，∴∠ADE＝40°。

北师大版八年级数学下册 1.2.1直角三角形的性质和判定培优训练(含答案)

北师版八年级数学下册1.2.1 直角三角形的性质和判定培优训练一、选择题（共10小题，3*10=30）1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高线，则图中与∠A互余的角有( ) A．0个B．1个C．2个D．3个2．下列各线段中，能够组成直角三角形的一组是( )A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．1，2，33．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则下列说法错误的是( ) A．∠A＋∠B＝∠C B．a2＝c2－b2C．b2＝a2－c2D．∠B＝90°－∠A4．已知△ABC三边长为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是( ) A．∠A＝37°，∠C＝53° B．a∶b∶c＝3∶4∶5C．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 D．a2∶b2∶c2＝1∶2∶35. 如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝()A．50° B．45° C．40° D．30°6．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是( )A．48 B．60 C．76 D．807．下列定理中，没有逆定理的是( )A．等腰三角形的两个底角相等B．对顶角相等C．三边对应相等的两个三角形全等D．直角三角形两个锐角的和等于90°8. 已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形9．下列命题的逆命题不正确的是( )A．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方B．如果x2＝4，那么x＝±2C．等腰三角形的两个底角相等D．如果a＞0，b＞0，那么ab＞010. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是( )A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC二．填空题（共8小题，3*8=24）11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，如果∠A＝50°，则∠DCB等于_________.12. 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为__________.13. 一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为________.14．如图，在△ABC 中，∠C ＝30°，∠BAC ＝105°，AD ⊥BC ，垂足为D ，AC ＝2 cm ，则BC 的长为___________cm.15．在△ABC 中，∠B ＝∠A ＝12∠C ，AB ＝2，则S △ABC 等于_______. 16．如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20，3，2，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是____.17．一副直角三角板按如图所示方式放置，点C 在FD 的延长线上， AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，AC ＝5，则CD 的长为___________.18. 如图，圆柱的高AB ＝3，底面直径BC ＝3，现有一只蚂蚁想从A 处沿圆柱表面爬到对角C 处捕食，则它爬行的最短距离是_________.三．解答题（共7小题， 46分）19．(6分) 如图，在△ABC 中，∠B ＞∠A ，CD 是∠ACB 的平分线，CE 是AB 边上的高．若∠A ＝40°，∠B ＝72°，求∠DCE 的度数；20．(6分) 如图，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝12，AD ＝13，求四边形ABCD 的面积．21．(6分) 如图，在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，求△ABC 的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．作AD ⊥BC 于D ，设BD ＝x ，用舍x 的代数式表示CD →根据勾股定理，利用AD 作为“桥梁”，建立方程模型求出x →利用勾股定理求出AD 的长，再计算三角形面积22．(6分) 如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若a a －b ＋c＝12（a ＋b ＋c ）c ，求证：△ABC 是直角三角形．23．(6分) 如图，在斜坡AB上有一棵树BD，由于受台风影响而倾斜，恰好与坡面垂直，测得∠BAE＝30°，∠DCA＝60°(D为树的顶端，C为地面上一点)，AB＝6米，AC＝4米，求树高BD是多少米？(结果保留根号)24．(8分) 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．如图，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段AM的长．25．(8分) (1)以a，b为直角边，c为斜边作两个全等的Rt△ABE与Rt△FCD拼成如图1所示的图形，使B，E，F，C四点在一条直线上(此时E，F重合)，可知△ABE≌△FCD，AE⊥DF，请你证明：a2＋b2＝c2；(2)在(1)中，固定△FCD，再将△ABE沿着BC平移到如图2的位置(此时B，F重合)，请你重新证明：a2＋b2＝c2.参考答案1-5CDCCC 6-10 CBBDC11．50°12．313．5或714. (1＋3)15. 116. 25 17. 15－53218．34＋π2219. 解：∵∠A ＝40°，∠B ＝72°，∴∠ACB ＝180°－∠A －∠B ＝68°. ∵CD 是∠ACB 的平分线，∴∠BCD ＝12∠ACB ＝34°. 又∵CE ⊥AB ，∠B ＝72°，∴∠BCE ＝18°.∴∠DCE ＝∠BCD －∠BCE ＝16°.20. 解：连接AC ，∵∠B ＝90°，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝32＋42＝5.在△ACD 中，AC 2＋CD 2＝52＋122＝169，AD 2＝132＝169，∴AC 2＋CD 2＝AD 2，∴∠ACD ＝90°，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12×3×4＋12×5×12＝36 21. 解：在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，设BD ＝x ，则CD ＝14－x.由勾股定理，得AD 2＝AB 2－BD 2＝152－x 2，AD 2＝AC 2－CD 2＝132－(14－x)2，故152－x 2＝132－(14－x)2，解得x ＝9.∴AD ＝AB 2－BD 2＝152－92＝12，∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×14×12＝84 22. 证明：∵a a －b ＋c＝12（a ＋b ＋c ）c ， ∴ac ＝12(a ＋b ＋c)(a －b ＋c)＝12[(a 2＋2ac ＋c 2)－b 2]， ∴2ac ＝a 2＋2ac ＋c 2－b 2，∴a 2＋c 2＝b 2，∴△ABC 是直角三角形．23. 解：延长DB 交AE 于点F ，由题意可得BD ⊥AB ，在Rt △ABF 中，∠BAF ＝30°，AB ＝6，设BF ＝x ，则AF ＝2x ，由勾股定理求得x ＝23，∴BF ＝23，AF ＝43，由题意易得∠DFC ＝60°，又∵∠C ＝60°，∴∠C ＝∠CFD ＝∠D ＝60°，∴△CDF 是等边三角形，∴DF ＝CF ＝4＋43，∴DB ＝DF －BF ＝23＋4.则树高BD 是(23＋4)米24. 解：∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ，∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∠BAD ＝∠CAD ＝45°.∴AD ＝BD ＝CD.∵AB ＝2，∴AD ＝BD ＝CD ＝ 2.∵∠AMN ＝30°，∠BMN ＝90°，∴∠BMD ＝180°－90°－30°＝60°.∴∠MBD ＝30°.∴BM ＝2DM.由勾股定理得BM 2－DM 2＝BD 2，即(2DM)2－DM 2＝(2)2，解得DM ＝63.∴AM ＝AD －DM ＝2－63. 25. (1)证明：连接AD ，则四边形ABCD 是直角梯形，∴四边形ABCD 的面积＝12(a ＋b)(a ＋b)＝12(a ＋b)2， ∵四边形ABCD 的面积＝△ABE 的面积＋△FCD 的面积＋△ADE 的面积，即12(a ＋b)2＝12ab ×2＋12c 2，化简得：(a ＋b)2＝2ab ＋c 2，∴a 2＋b 2＝c 2 (2)证明：连接AD ，DE ，则四边形ABCD 的面积＝四边形ABED 的面积＋△DCE 的面积，即12(a ＋b)×a ＝12c 2＋12b(a －b)，化简得：ab ＋a 2＝c 2＋ab －b 2，∴a 2＋b 2＝c 2。

2020-2021学年八年级数学北师大版下册第一章：三角形的证明培优达标卷

2020-2021学年八年级数学北师大版下册第一章三角形的证明培优达标卷一、单选题1．下列各组数，能够作为直角三角形的三边长的是（）A ．4，6，8B ．3，4，5C ．5，12，14D ．23，22，252．如图，在ABC 中，30C ∠=︒，点D 是AC 的中点，DE AC ⊥交BC 于E ；点O 在DE 上，OA OB =，2OD =，4OE =，则BE 的长为（）A ．12B ．10C ．8D ．63．如图，90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠，且120ADC =∠︒，20cm BC =，则AM 的长度为（）A ．20cmB ．10cmC ．5cmD ．15cm4．如图，△ABC 的三边长分别是6,9,12,其三条角平分线将其分为三个三角形，则::ABO BCO CAO S S S ∆∆∆等于（）A ．1:1:1B ．1:2:3C ．2:3:4D ．3:4:55．在等边三角形ABC 中，D E ，分别是BC AC ，的中点，点P 是线段AD 上的一个动点，当PC PE +的长最小时，P 点的位置在（）A ．A 点处B ．AD 的中点处C ．ABC ∆的重心处D ．D 点处6．如图，在△ABC 中，∠B=30°，BC 的垂直平分线交AB 于点E ，垂足为D ，CE 平分∠ACB,若BE=2，则AE 的长为（）A ．3B ．1C ．2D ．27．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于点M ，交AC 于点N ．若BM+CN=7，则MN 的长为（）A ．6B ．7C ．8D ．98．已知三条不同的射线OA 、OB 、OC 有下列条件：①∠AOC=∠BOC ②∠AOB=2∠AOC ③∠AOC+∠COB=∠AOB ④∠BOC=12∠AOB ，其中能确定OC 平分∠AOB 的有（） A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个 9．已知：如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，AE 与BD 相交于点F ，给出下面四个条件：①∠1=∠2；②AD=BE ；③AF=BF ；④DF=EF ，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC 是等腰三角形的是（）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④αCE 平分ACB ∠交AB 于点E ，连接DE ，则DEC ∠的度数为（）A ．α3B ．α2C ．α302︒-D ．45α︒-11．如图，在△ABC 中，AC ＝AB ，∠BAC ＝90°，BD 平分∠ABC ，与AC 相交于点F ，CD ⊥BD ，垂足为D ，交BA 的延长线于点E ，AH ⊥BC 交BD 于点M ，交BC 于点H ，下列选项不正确的是（）A ．∠E ＝67.5°B ．∠AMF ＝∠AFMC ．BF ＝2CD D ．BD ＝AB +AF12．如图，已知∠MON=30°，点123......A A A 、、在射线ON 上，点123......B B B 、、在射线OM 上，111OA A B =，12B A OM ⊥，222OA A B =，23B A OM ⊥，以此类推，若11OA =，则66A B 的长为（）A ．6B ．152C ．32D ．72964二、填空题 13．一个等腰三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则它的周长为______cm ．14．如图在钝角△ABC 中，已知∠BAC=135°，边AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点D 、E ，连接AD 、AE ，则∠DAE=_____15．如图，在△ABC 中，直线l 垂直平分BC ，射线m 平分∠ABC ，且l 与m 相交于点P ，若∠A ＝60°，∠ACP ＝24°，则∠ABP ＝_____°．16．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，P 是BC 上一点，且∠BAP ＝90°，CP ＝4cm ．则BP 的长＝________．17．如图，射线OC 是AOB ∠的平分线，Р是射线C 上一点，PD OA ⊥于点,6D DP =，若E 是射线OB 上一点，4,OE =则OPE 的面积是_______________________．18．如图，△ABC 中，∠C =90°，AB =6，AD 平分∠BAC ，CD =2，DE ⊥AB 于E ，则ABD S 等于_____________．19．如图，在ABC ∆中，BD 、BE 分别是高和角平分线，点F 在CA 的延长线上，FH ⊥BE 交BD 于G ，交BC 于H ，下列结论：①∠DBE=∠F ；②2∠BEF=∠BAF+∠C ；③()12F BAC B ∠=∠-∠；④∠BGH=∠ABE+∠C ．其中正确的是_________ ．20．如图，在第1个△A 1BC 中，∠B ＝30°，A 1B ＝CB ；在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到A 2，使A 1A 2＝A 1D ，得到第2个△A 1A 2D ；在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3＝A 2E ，得到第3个△A 2A 3E ，…按此做法继续下去，则第4个三角形中以A 4为顶点的底角度数是_____．第n 个三角形中以A n 为顶点的底角度数是_____．三、解答题21．已知ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且18a =，32b =，50c =．（1）判断ABC 的形状，并说明理由；（2）如果一个正方形的面积与ABC 的面积相等时，求这个正方形的边长．22．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，12AC =，13AB =，点D 是Rt ABC ∆外一点，连接DC ，DB ，且4CD =，3BD =．（1）求证：90D ∠=︒（2）求：四边形ABDC 的面积．23．如图所示，已知AB AC =，AD 是中线，BE CF =．（1）求证：BDE CDF ≌；（2）当60B ∠=︒时，过AB 的中点G ，作//GH BD ，求证：4GH AB 1=． 24．已知：如图，在ABC 中，AB AC >，45B ∠=，点D 是BC 边上一点，且AD AC =，过点C 作CF AD ⊥于点E ，与AB 交于点F（1）若CAD α∠=，求：①BAC ∠的大小；②BCF ∠的大小；（用含α的式子表示）（2）求证：AC FC =25．如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上一点，且,//,AD AB AE BC BAD CAE =∠=∠，连接,DE 交AC 于点F ．（1）若65B ∠=︒，求C ∠的度数．（2）若AE AC =，则AD 平分BDE ∠是否成立？判断并说明理由．26．如图，AE 、BD 是ABM 的高，AE ，BD 交于点C ，且AE BE =．（1）求证；AME BCE ≌△△；（2）当BD 平分ABM ∠时，求证：2BC AD =；（3）求MDE ∠的度数．27．在平面直角坐标系中，点A 坐标(5,0)-，点B 坐标(0,5)，点 C 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AD BC ⊥交y 轴于点E ．（1）如图①，若点C 的坐标为(3,0)，求点E 的坐标；（2）如图②，若点C 在x 轴正半轴上运动，且5OC <，其它条件不变，连接DO ，求证：DO 平分ADC ∠；（3）若点C 在x 轴正半轴上运动，当OC CD AD +=时，则OBC ∠的度数为________．28．（1）如图①，D 是等边ABC 的边AB 上一动点（点D 与点B 不重合），连接CD ，以CD 为边，在BC 上方作等边DCE ，连接AE ，你能发现AE 与BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论；（2）如图②，当动点D 运动至等边ABC 边BA 的延长线时，其他作法与（1）相同，猜想AE 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；（3）如图③，当动点D 在等边ABC 边BA 上运动时（点D 与B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方和下方分别作等边DCE 和等边DCE '，连接AE ，BE '，探究AE ，BE '与AB 有何数量关系？并证明你的探究的结论．参考答案1．DA. 4，6，8，468<<，∴2224+6=16+36=5264=8<，∴A 选项不能够作为直角三角形的三边长； B. 3，4，5，345<<，∴2223+4=3+4=75=5>，∴B 选项不能够作为直角三角形的三边长；C. 5，12，14， 51214<<，∴2225+12=25+144=169196=14<，∴C 选项不能够作为直角三角形的三边长；D. 23，22，25，222325<<，∴()()()22222+23=8+12=20=25， ∴D 选项不能够作为直角三角形的三边长，2．C连接OC ，过点O 作OF BC ⊥于F ，如图，∵2OD =，4OE =，∴6DE OD OE =+=，在Rt △CDE 中，30C ∠=︒，∴212CE DE ==，9060CED C ∠=︒-∠=︒， ∵D 为AC 的中点，DE AC ⊥，∴OA OC =，∵OA OB =，∴OB OC =，∵OF BC ⊥， ∴12CF BF BC ==，在Rt △OEF 中，∵60OEF ∠=︒，∴9030EOF OEF ∠=︒-∠=︒，∴122EF OE ==， ∴10CF CE EF =-=， ∴8BE BC CE =-=；3．A解：作MN ⊥AD 于N ，如图，∵∠B ＝∠C ＝90°，∠ADC ＝120°，∴∠DAB ＝60°，∵DM 平分∠ADC ，MC ⊥CD ，MN ⊥AD ，∴MC ＝MN ，∵M 点为BC 的中点，∴MC ＝MB=12BC=12×20=10cm ， ∴MN ＝MB ，∴AM平分∠DAB，∴∠MAB＝12∠DAB＝12×60°＝30°，∴AM=2MB=20cm，4．C过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，∵O是三角形三条角平分线的交点，∴OD=OE=OF，∵AB=6，BC=9，AC=12，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=2：3：4，故选C.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形面积的求法，难度不大，作辅助线很关键．5．C解：连接BP，∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线，∴PB=PC，当PC PE的长最小时，即PB+PE最小则此时点B、P、E在同一直线上时，又∵BE为中线，∴点P为△ABC的三条中线的交点，也就是△ABC的重心，6．B∵BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，∴∠B＝∠ECD，BE＝CE，∠BDE＝∠CDE＝90o,又∵∠B=30°，BE=2,∴∠ECD=30°,CE=2,DE=12BE=1,又∵CE平分∠ACB，∴∠ECD＝∠ACE＝30°，∴∠ACB＝60°，又∵在△ABC中，∠B=30°，∴∠BAC＝90°，在Rt△ACE，CE＝2，∠ACE＝30°，∴AE＝12CE＝1；7．B【详解】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，∵MN∥BC，∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，∴BM=ME，EN=CN，∴MN=ME+EN，即MN=BM+CN，∵BM+CN=7，∴MN=7，8．D【解析】如图，根据角平分线的意义，可由∠AOC=∠BOC，知OC是∠AOB的平分线；如图，此时，∠AOB=2∠BOC ，∠BOC=12∠AOB ，但OC 不是∠AOB 的平分线；由于∠AOC+∠COB=∠AOB ，但是∠AOC 与∠COB 不一定相等，所以OC 不一定是∠AOB 的平分线. 所以只有①能说明OC 是∠AOB 的角平分线.9．C选取①②:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中1=2{12AFD BFEAD BEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取①④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中 1=2{12AFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取③④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中={12AF BFAFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴= 10．B解：过点E 作EM AC ⊥于M ，EN AD ⊥于N ，EH BC ⊥于H ，如图， DAC α∠=，αDAB 902∠=︒-，αEAM 902∠∴=︒-， AE ∴平分MAD ∠，EM EN ∴=，CE 平分ACB ∠，EM EH ∴=，EN EH ∴=，DE ∴平分ADB ∠，11ADB 2∠∠∴=，由三角形外角可得：1DEC 2∠∠∠=+，12ACB 2∠∠=，11DEC ACB 2∠∠∠∴=+，而ADB DAC ACB ∠∠∠=+， 11DEC DAC α22∠∠∴==，故选：B ．11．D【详解】解：∵AC ＝AB ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABF ＝∠CBF ＝22.5°，∵BD ⊥CD ，∴∠E ＝67.5°，故选项A 正确，∵AH ⊥BC ，∴∠AHB ＝∠BAC ＝90°，∴∠ABF+∠AFB ＝90°，∠CBF+∠BMH ＝90°，∴∠AFB ＝∠BMH ，∴∠AFM ＝∠BMH ＝∠AMF ，故选项B 正确，∵CD ⊥BD ，∴∠BDE ＝∠BAC ＝90°，∴∠E+∠EBD ＝90°，∠E+∠ACE ＝90°，∴∠EBD ＝∠ACE ，在△ABF 和△ACE 中，BAC CAE AB ACABF ACE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABF ≌△ACE （ASA ），∴AE ＝AF ，BF ＝CE ，∴AB+AF ＝AB+AE ＝BE ，∵Rt △BED 中，BE ＞BD ，∴AB+AF ＞BD ，故选项D 错误，在△EBD 和△CBD 中，EBD CBD BD BDBDC BDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△EBD ≌△CBD （ASA ），∴BF ＝CE ＝2CD ，故选项C 正确，12．C【详解】∵=30MON ∠︒，111OA A B =，12B A OM ⊥∴1=30∠︒，∴===60︒∠3∠4∠12，∵11OA =，∴111A B =，∴21121A B A A ==，∴22OA =，∵222OA A B =，∴22122A B B A =∵23B A OM ⊥，∴122334////B A B A B A∴1===30︒∠∠6∠7，==90︒∠5∠8∴3323324A B B A OA ===，∴331244A B B A ==，441288A B B A ==，55121616A B B A ==，以此类推：66123232A B B A ==．故选：C ．13．17【详解】解：当7为腰时，周长=7+7+3=17cm ；当3为腰时，因为3+3＜7，所以不能构成三角形；故三角形的周长是17cm ．故答案为：17．解：连接DA、EA，如图，∵∠BAC=135°，∴∠B+∠C=180°-135°=45°，∵DF是AB的垂直平分线，EG是AC的垂直平分线，∴DA=DB，EA=EC，∴∠B=∠DAB，∠C=∠EAC，∴∠DAB +∠EAC =∠B+∠C=45°，∴∠DAE=∠BAC –(∠DAB +∠EAC)=135°-45°=90°．15．32解：∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，∵直线l是线段BC的垂直平分线，∴BP＝CP，∴∠CBP＝∠BCP，∴∠ABP＝∠CBP＝∠BCP，∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝60°，∠ACP＝24°，∴3∠ABP+24°+60°＝180°，解得：∠ABP＝32°，16．8cm解：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵∠BAC=120°，∠BAP=90°，∴∠PAC=30°，∴∠C=∠PAC，∴PA=PC=4cm，∵∠BAP=90°，∠B=30°，∴BP=2AP=8cm．故答案为：8cm17．12【详解】解：作PH⊥OB于点H，∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，PH⊥OB，∴PH=DP=6，∴△OPE的面积=12×OE×PH=12×4×6=12，故答案为：12．18．6解：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，CD=2，∴CD=DE=2，∵AB=6，∴16262ABDS=⨯⨯=．故答案为：6．19．①②③④①∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F=90°，∵FH⊥BE，∴∠BGH+∠DBE=90°，∵∠FGD=∠BGH，∴∠DBE=∠F，故①正确；②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BEF=∠CBE+∠C，∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，∠BAF=∠ABC+∠C ，∴2∠BEF=∠BAF+∠C ，故②正确；③∠ABD=90°-∠BAC ，∠DBE=∠ABE-∠ABD=∠ABE-90°+∠BAC=∠CBD-∠DBE-90°+∠BAC ， ∵∠CBD=90°-∠C ，∴∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE ，由①得，∠DBE=∠F ，∴∠F=∠BAC-∠C-∠DBE ，∴∠F=12（∠BAC ﹣∠C ），故③正确； ④∵∠AEB=∠EBC+∠C ，∵∠ABE=∠CBE ，∴∠AEB=∠ABE+∠C ，∵BD ⊥FC ，FH ⊥BE ，∴∠FGD=∠FEB ，∴∠BGH=∠ABE+∠C ，故④正确．20．758 11()752n -⨯︒ 【详解】在1CBA 中，30B ∠=︒，1A B CB =， ∴1118030752BAC BCA ︒-︒∠=∠==︒，又∵121A A A D =,1BA C ∠是12A A D 的外角． ∴21211117522DA A A DA BAC ∠=∠=∠=⨯︒．同理可得：2323221111175()752222EA A A EA DA A ∠=∠=∠=⨯⨯︒=⨯︒， 34343321175()75228FA A A FA EA A ︒∠=∠=∠=⨯︒=，综上可知规律：第n 个三角形中以n A 为顶点的底角度数是11()752n -⨯︒ 故答案为758，11()752n -⨯︒． 21．解：（1）在ABC <<222250a b +=+=，2250c ==，222a b c ∴+=，ABC ∴是直角三角形；（2）设这个正方形的边长为x ，∵一个正方形的面积与ABC 的面积相等，∴212x =，解得：x =±0x ，x ∴=答：这个正方形的边长为x =22．解：（1）在Rt △ABC 中，∠BCA=90°，AC=12，AB=13， ∴BC 2=AB 2-AC 2=132-122=25，∴BC=5，∵CD=4，BD=3，∴CD 2+BD 2=42+32=25，∵BC=5，即BC 2=25，∴CD 2+BD 2=BC 2，∴△DBC 是直角三角形，∴∠D=90°．（2）∵△DBC 是直角三角形，且∠D=90°， ∴1134622S ∆=⨯=⨯⨯=DBC BD DC ， ∵在Rt △ABC 中，∠BCA=90°，AC=12，BC=5， ∴115123022S ∆=⨯=⨯⨯=ABC BC AC ， ∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △DBC =30+6=36．23．．证明（1）如图：∵AB=AC ，AD 是中线，∴∠B=∠C ，BD=CD ，在△BDE 与△CDF 中，BE CF B C BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE ≌△CDF ；（2）∵GH ∥BD ，∠B=60°，∴∠AGH=60°，∵AB=AC ，AD 是中线，∴AD ⊥BC ，∴∠BAD=30°∠AHG=90°，∴GH=12AG ， ∵AG=12AB ， ∴GH=14AB ． 24．（1）解：①AD AC =，CAD α∠=， 11(180)9022BCA ，②过点A 作AG BC ⊥于点G ，如图所示：90DAG ADG ∴∠+∠=︒，1122CAG DAG CAD ，CF AD ⊥于点E ，90DCE ADG ， 1122DCE DAG CAD ，即12BCF ；（2）证明：45B ∠=︒，AG BC ⊥，45BAG =∴∠︒，45BAC CAG ，45AFC DCE ，DCE DAG ，CAG DAG ∠=∠，BAC AFC ，AC FC ．25．解：（1）∵∠B=65°，AB=AD ，∴∠ADB=∠B=65°，∵∠B+∠BAD+∠BAD=180°，∴∠BAD=50°，∵∠CAE=∠BAD ，∴∠CAE=50°，∵AE ∥BC ，∴∠C=∠CAE=50°；（2）AD 平分∠BDE ，理由是：∵∠BAD=∠CAE ，∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD ，即∠BAC=∠DAE ，在△BAC 和△DAE 中，ABADBAC DAE AC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAC ≌△DAE （SAS ）∴∠B=∠ADE ，∵∠B=∠ADB ，∴∠ADE=∠ADB ，即AD 平分∠BDE ．26．（1）证明：∵AE 、BD 是ABM 的高，∴90ADB AEB AEM ∠=∠=∠=︒，∵ACD ECB ∠=∠，180MAE ADC ACD ∠+∠+∠=︒，180CBE ECB CEB ∠+∠+∠=︒，∴MAE CBE ∠=∠，在AME △和BCE 中，MAE CBE AE BE AEM BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()AME B ASA CE ≌．（2）∵BD 平分ABM ∠，BD 是高，∴ABD MBD ∠=∠，90ADB MDB ∠=∠=︒，∵在ABD △和MBD 中，ADB MDB BD BD ABD MBD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ABD MBD ASA ≌△△， ∴12AD DM AM ==， ∵AME BCE ≌△△，∴AM BC =，∴2BC AD =．（3）∵45MDE ∠=︒，过点E 作EF ED ⊥交BC 于点F ，∵DEF AEB ∠=∠，∴DEA BEF ∠=∠；∵MAE CBE ∠=∠，且AE BE =，∴AED BEF △≌△；∴ED EF =，∴45EDF EFD ∠=∠=︒；∵90BDM ∠=︒，∴45MDE ∠=︒．27．证明：（1）AD BC ⊥，AO BO ⊥，90AOE BDE BOC ∠∠∠∴===︒．又AEO BED ∠=∠，OAE OBC ∴∠=∠．(5,0)A -，(0,5)B ，5OA OB ∴==．在AOE △和BOC 中OAE OBC OA OBAOE BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， (ASA)AOE BOC ∴≌，OE OC ∴=． C 点坐标(3,0)，3OE OC ∴==，(0,3)E ∴．（2）过O 作OM AD ⊥于M ，ON BC ⊥于N ，AOE BOC ≌，AOE BOC S S ∴=，AE BC =，1122AE OM BC ON ∴⨯⨯=⨯⨯， OM ON ∴=，OM AD ⊥，ON BC ⊥，DO ∴平分ADC ∠．（3）如所示，在DA 上截取DP=DC ，连接OP ，∵∠PDO=∠CDO ，OD=OD ，∴△OPD ≌△OCD ，∴OC=OP ，∠OPD=∠OCD ，∵OC CD AD +=，∴OC=AD-CD∴AD-DP=OP ，即AP=OP ，∴∠PAO=∠POA ，∴∠OPD=∠PAO+∠POA=2∠PAO=∠OCB ，又∵∠PAO+∠OCD=90°，∴3∠PAO=90°，∴∠PAO=30°，∵OAP OBC ∠=∠∴∠OBC=∠PAO =30°．28．（1）AE=BD ．证明：∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形， ∴ BC=AC ，∠BCA=60︒，DC=CE ，∠DCE=60︒，∴ ∠BCA −∠DCA=∠DCE −∠DCA ，即 ∠BCD=∠ACE ，在△BCD 和△ACE 中，BC AC BCD ACE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △BCD ≌△ACE ，∴ AE=BD ；（2）AE=BD 仍然成立．证明：∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形， ∴CB=CA ，CD=CE ，∠BCA=∠DCE=60︒， ∴ ∠BCA+∠DCA=∠DCE+∠DCA ， ∴∠BCD=∠ACE ，∴△BCD ≌△ACE （SAS ），∴ AE=BD ；（3） AE+BE ′=AB ．证明：由（1）知：△BCD ≌△ACE ，则 BD=AE ，在△BCE ′和△ACD 中，BC AC BCE ACD E C DC =⎧⎪'∠=∠⎨⎪'=⎩，∴△BCE ′≌△ACD （SAS ），则 BE ′=AD ，又∵BD=AE ，∴ AE+BE ′=BD+AD=AB ，即 AE+BE ′＝AB ．。

北师大版2020-2021学年度八年级数学下册1.2直角三角形自主学习同步练习题3(含答案)

北师大版2020-2021学年度八年级数学下册1.2直角三角形自主学习同步练习题3（含答案）1．直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，点E为CB延长线上一点，且BE＝CD，连接DE．（1）如图1，求证∠C＝2∠E；（2）如图2，若AB＝6，BE＝5，△ABC的角平分线CG交BD于点F，求△BCF面积．2．如图，△ABC是等边三角形，P是△ABC的角平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．（1）若BQ＝2，求PE的长（2）连接PF，EF，试判断△EFP的形状，并说明理由．3．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，P是射线BC上一动点（与B，C点不重合），连接AP．过点C作CD⊥AP于点D，交直线AB于点E，设∠APC＝α．（1）若点P在线段BC上，且α＝60°，如图1，直接写出∠P AB的大小；（2）若点P在线段BC上运动，如图2，求∠AED的大小（用含α的式子表示）；（3）若点P在BC的延长线上运动，且a≠50°，直接写出∠AED的大小（用含α的式子表示）．4．已知，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是边AC，BC上的点，点P是斜边AB上一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）如图①所示，当点P运动至∠α＝50°时，则∠1+∠2＝；（2）如图②所示，当P运动至AB上任意位置时，试探求∠α，∠1，∠2之间的关系，并说明理由．5．已知△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG 平分∠ABC，DG与BG交于点G．（1）如图1，若∠ACB＝90°，∠A＝50°，直接求出∠G的度数；（2）如图2，若∠ACB≠90°，试判断∠G与∠A的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，若FE∥AD，求证：∠DFE＝∠ABC+∠G．6．如图1，直线PQ⊥直线MN，垂足为O，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，斜边AB与直线PQ交于点C．（1）若∠A＝∠AOC＝30°，则BC BO（填“＞”“＝”“＜”）；（2）如图2，延长AB交直线MN于点E，过O作OD⊥AB，若∠DOB＝∠EOB，∠AEO ＝α，求∠AOE的度数（用含α的代数式表示）；（3）如图3，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点R，∠A＝36°，当△AOB绕O点旋转时（斜边AB与直线PQ始终相交于点C），问∠R的度数是否发生改变？若不变，求其度数；若改变，请说明理由．7．已知一副直角三角板如图放置，点C在ED的延长线上，AB∥CE，∠ACB＝∠EAD＝90°，∠E＝45°，∠B＝60°，BC＝6，求CD的长．8．如图：BE、CF是锐角△ABC的两条高，M、N分别是BC、EF的中点，若EF＝6，BC ＝24．（1）证明∠ABE＝∠ACF；（2）判断EF与MN的位置关系，并证明你的结论；（3）求MN的长．9．如图，在△ABC中，BE，CF分别是边AC，AB上的高，点D是BC的中点，BE，CF 交于点M．（1）指出图中的一个等腰三角形，并说明理由．（2）若∠A＝x°，求∠EDF的度数（用含x的代数式表达）．（3）若∠A＝60°，如果CM＝5，FM＝4，求BE的长度．10．已知：如图∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC、BD的中点．（1）求证：MN⊥BD．（2）若∠BAD＝45°，连接MB、MD，判断△MBD的形状，并说明理由．11．已知：如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，点M是BC的中点，且MN⊥DE，垂足为点N（1）求证：ME＝MD；（2）如果BD平分∠ABC，求证：AC＝4EN．12．如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E为AB的中点，（1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形；（2）如图2，CD与AB交点为F，若AD＝BD，EF＝3，DE＝4，求CD的长．13．（1）如图1，OB是Rt△ABC斜边上的中线，延长BO到D，使OD＝OB，连结DA．利用图1证明：中线OB等于斜边AC的一半．（2）上面（1）中的结论是一个很重要的定理，利用此定理证明下题：如图2，点E是Rt△ABC的直角边AC上的点，ED⊥AB于D，F是线段BE的中点，连结FC、FD、CD，则有∠FCD＝∠FDC．14．如图1，已知∠ABC＝90°，△ABC是等腰三角形，点D为斜边AC的中点，连接DB，过点A作∠BAC的平分线，分别与DB，BC相交于点E，F．（1）求证：BE＝BF；（2）如图2，连接CE，在不添加辅助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形．15．如图，直线a、b相交于点A，C、E分别是直线b、a上两点且BC⊥a，DE⊥b，点M、N是EC、DB的中点．求证：MN⊥BD．16．如图1，点P是∠AOB的内部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，D 是OP的中点．求证：∠MDN＝2∠MON．小尧同学思路如下：因为PM⊥OA，垂足是M，D是OP的中点．由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，得到MD＝OD，…课后，小尧同学发现上题中，当“点P是∠AOB的外部任意一点”结论也成立，请你证明其正确．如图2，P是∠AOB的外部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，D是OP 的中点．求证：∠MDN＝2∠MON．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上（不与点A，C重合），DE⊥AB 于点E，连接BD，F为BD的中点．（1）若BD＝10，求EF的长；（2）写出图中的所有等腰三角形；（3）试猜想∠A与∠CEF的关系并证明．18．已知：如图，BD、CE是△ABC的两条高，M是BC的中点．求证：ME＝MD．19．如图，直线a、b相交于点A，C、E分别是直线b、a上两点且BC⊥a，DE⊥b，点M、N是中点．求证：（1）DM＝BM；（2）MN⊥BD．20．有一个直角三角形纸片BCE，设点A是斜边BE上的一点，连接AC，现沿AC将纸片剪开，并将纸片ADE顺时针旋转摆放成图2、图3、或图4的样子．（1）如图2，当点A是中点，且DE∥BC时，求∠BAE的度数；（2）如图3，当点A是中点，但DE不平行于BC时，设M是DE的中点，连接AM交BC于点N，求证：∠ANB+∠BAE＝180°；（3）如图4，当AB＜AE时，设M是DE上的一点，连接AM交BC于点N，若∠ANB+∠BAE＝180°，那么点M在DE上的位置满足什么条件？（温馨提示：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半）21．如图．已知AD⊥BD，AC⊥BC，AC与BD交于点F，E为AB的中点，（1）证明：DE＝CE；（2）试探究∠DEC以与∠DFC的数量关系．22．已知线段AB．请你以线段AB为斜边作Rt△ABP、Rt△ABQ，并判断点A、B、P、Q 在同一个圆上，为什么？23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD 的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，求DF的长．24．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，作∠ADB的角平分线DE 交AB于点E，（1）求证：DE∥BC；（2）若AE＝3，AD＝5，点P为线段BC上的一动点，当BP为何值时，△DEP为等腰三角形．请求出所有BP的值．25．如图，直线a、b相交于点A，C、E分别是直线b、a上两点且BC⊥a，DE⊥b，点M、N是EC、DB的中点．求证：MN⊥BD．26．如图1，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°AC＝1点D为AC上一动点，连接BD，以BD为边作等边△BDE，EA的延长线交BC的延长线于F，设CD＝n，（1）当n＝1时，则AF＝；（2）若0＜n＜1，如图2，在BA上截取BH＝AD，连接EH，求证：△AEH为等边三角形．27．如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD＝30°，．于是可得出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：（1）△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，AB＝a，则BC＝；（2）如图2所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD＝5cm，∠B＝30°时，△ACD的周长＝．（3）如图3所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，那么BE：EA＝．（4）如图4所示，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且∠CAD＝∠ABE，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，猜想PB与PQ的数量关系，并说明理由．28．已知∠MAN，AC平分∠MAN．（1）在图1中，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：AB+AD＝AC；（2）在图2中，若∠MAN＝120°，∠ABC+∠ADC＝180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．29．CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC ＝∠CF A＝∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE CF；EF|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．30．课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，已知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB＝60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD＝AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．（1）特殊情况入手添加条件：“∠B＝∠D”，如图2，可证AB+AD＝AC；（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）31．如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A，B两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．32．已知：如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，直线l经过点C，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D，E．求证：△ACD≌△CBE．（以上两个不同的图形所得的结论相同．请你任选其中一个图形加以证明）参考答案1．解：（1）证明：∵∠ABC＝90°，点D为AC的中点，∴BD＝AC＝CD＝AD，∵CD＝BE，∴BE＝BD，∴∠BDE＝∠E，∵BD＝CD，∴∠C＝∠DBC，∴∠C＝∠DBC＝∠BDE+∠E＝2∠E；（2）过点F作FM⊥BC，FN⊥AC∵CG平分∠ABC∴FM＝FN∵BE＝5∴CD＝AD＝BE＝5，AC＝10又∵AB＝6∴在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2∴BC＝8∵BD为△ABC的中线∴S△BCD＝S△ABC＝×AB×BC＝××6×8＝12又∵S△BCD＝S△BCF+S△CDF∴12＝CD•FN+BC•FM∴×5×FM+×8×FM＝12∴FM＝∴S△BCF＝BC•FM＝×8×＝．2．解：（1）∵△ABC是等边三角形，BP是∠ABC的平分线，∴∠EBP＝∠PBC＝30°，∵PE⊥AB于点E，∴∠BEP＝90°，∴PE＝BP，∵QF为线段BP的垂直平分线，∴BP＝2BQ＝2×2＝4，∴PE＝×4＝2；（2）△EFP是直角三角形．理由如下：连接PF、EF，如图所示：∵△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，∴∠ABC＝60°，∠ABP＝∠CBD＝30°，∵PE⊥AB，∴∠PEB＝90°，∴∠BPE＝60°，∵FQ垂直平分线段BP，∴FB＝FP，∴∠FBQ＝∠FPQ＝30°，∴∠EPF＝∠EPB+∠BPF＝90°，∴△EFP是直角三角形．3．解：（1）如图1，当α＝60°时，∠APC＝60°，△APB中，∠P AB＝∠APC﹣∠B＝60°﹣40°＝20°，（2）如图2，同（1）得：∠P AB＝α﹣40°，∵CE⊥AP，∴∠ADE＝90°，∴∠P AB+∠AED＝90°，∴∠AED＝90°﹣∠P AB＝90°﹣（α﹣40°）＝130°﹣α，（3）如图3，当α＞50°时，△APC中，∠ACP＝90°，∠APC＝α，∴∠CAP＝90°﹣α，∵CD⊥AP，∴∠ADE＝90°，∴∠AED＝90°﹣∠DAE＝90°﹣（50°+90°﹣α）＝α﹣50°，②如图4，当α＜50°时，∴∠AED＝90°﹣∠P AE＝90°﹣（α+40°）＝50°﹣α，综上，∠AED为α﹣50°或50°﹣α．4．解：（1）∵在四边形CEPD中，根据四边形内角和360°，可得∠CEP+∠CDP＝360°﹣90°﹣50°＝220°．又∠CEP+∠2+∠CDP+∠1＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣（∠CEP+∠CDP）＝360°﹣220°＝140°．故答案为140°；（2）在四边形CEPD中，∠C+∠CEP+∠α+∠CDP＝360°，∴∠C+∠α＝360°﹣∠CEP﹣∠CDP．又∵∠CEP+∠2+∠CDP+∠1＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣∠CEP﹣∠CDP．∴∠C+∠α＝∠1+∠2，即∠1+∠2＝90°+∠α．故答案为140°．5．解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠ABC＝40°，∵BG平分∠ABC，∴∠CBG＝20°，∵DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD＝90°，∵DG平分∠ADE，∴∠CDF＝45°，∴∠CFD＝45°，∴∠BFD＝180°﹣45°＝135°，∴∠G＝180°﹣20°﹣135°＝25°；（2）如图2，∠A＝2∠G，理由是：由（1）知：∠ABC＝2∠FBG，∠CDF＝∠CFD，设∠ABG＝x，∠CDF＝y，∵∠ACB＝∠DCF，∴∠A+∠ABC＝∠CDF+∠CFD，即∠A+2x＝2y，∴y＝，同理得∠A+∠ABG＝∠G+∠CDF，∴∠A+x＝∠G+y，即∠A+x＝∠G++x，∴∠A＝2∠G；（3）如图3，∵EF∥AD，∴∠DFE＝∠CDF，由（2）得：∠CFD＝∠CDF，△FBG中，∠G+∠FBG+∠BFG＝180°，∠BFG+∠DFC＝180°，∴∠DFC＝∠G+∠FBG，∴∠DFE＝∠CFD＝∠FBG+∠G＝+∠G．6．解：（1）∵△AOB是直角三角形，∴∠A+∠B＝90°，∠AOC+∠BOC＝90°，∵∠A＝∠AOC＝30°，∴∠B＝∠BOC＝60°∴△BOC是等边三角形，∴BC＝BO故答案为：＝；（2）∵OD⊥AB，∠AEO＝α，∴∠DOE＝90°﹣α，∵∠DOB＝∠BOE，∴∠BOE＝＝（90°﹣α）＝45°﹣α，∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝90°+45°﹣＝135°﹣；（3）∠R的度数不变，∠R＝27°．理由如下：设∠AOM＝β，则∠AOC＝90°﹣β，∵OF平分∠AOM，∴∠FOM＝∠RON＝，∴∠COR＝∠CON+∠RON＝90°+，∵∠OCB＝∠A+∠AOC＝36°+90°﹣β＝126°﹣β，∵CR平分∠BCO，∴∠OCR＝＝63°﹣，∴∠R＝180°﹣（∠OCR+∠COR）＝180°﹣63°+﹣90°﹣＝27°，∴∠R的度数不变，∠R＝27°．7．解：作CF⊥AB于F，AH⊥EC于H，则∠CFB＝∠AHC＝90°，∵∠B＝60°，∴∠BCF＝30°，∴BF＝BC＝3，由勾股定理得，CF＝＝3，四边形AHCF为矩形，则AH＝CF＝3，∵∠ADH＝45°，∴DH＝AH＝3，∵AB∥CE，∴∠ACH＝∠BAC＝30°，∴CH＝＝9，∴CD＝CH﹣DH＝9﹣3．8．解：（1）∵BE、CF是锐角△ABC的两条高，∴∠ABE+∠A＝90°，∠ACF+∠A＝90°，∴∠ABE＝∠ACF；（2）MN垂直平分EF．证明：如图，连接EM、FM，∵BE、CF是锐角△ABC的两条高，M是BC的中点，∴EM＝FM＝BC，∵N是EF的中点，∴MN垂直平分EF；（3）∵EF＝6，BC＝24，∴EM＝BC＝×24＝12，EN＝EF＝×6＝3，由勾股定理得，MN＝＝＝3．9．解：（1）△DEF是等腰三角形，理由：∵BE，CF分别是边AC，AB上的高，∴∠BFC＝∠CEB＝90°，∵点D是BC的中点，∴DF＝DE＝BC，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵∠A＝x°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣x°，∵DF＝BD＝DE＝CD，∴∠BFD＝∠ABC，∠DEC＝∠ACB，∴∠BFD+∠CED＝180°﹣x°，∴∠AFD+∠AED＝360°﹣（180°﹣x°），∴∠EDF＝360°﹣∠A﹣（∠AFD+∠AED）＝360°﹣x°﹣[360°﹣（180°﹣x°）]＝180°﹣2x°；（3）∵∠A＝60°，∠AFC＝∠AEB＝90°，∴∠FBM＝∠ECM＝30°，∵CM＝5，FM＝4，∴BM＝2FM＝8，EM＝CM＝2.5，∴BE＝BM+EM＝10.5．10．解：（1）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC、BD的中点，∴Rt△ABC中，BM＝AC，Rt△ACD中，DM＝AC，∴BM＝DM，又∵N是BD的中点，∴MN⊥BD．（2）等腰直角三角形，理由：∵M是AC的中点，∴AM＝AC＝BM，∴∠BAM＝∠ABM，∴∠BMC＝2∠BAM，同理可得∠DMC＝2∠DAM，又∵∠BAD＝45°，∴∠BMC+∠DMC＝2（∠BAM+∠DAM）＝2∠BAD＝90°，又∵BM＝DM，∴△BDM是等腰直角三角形．11．证明：（1）∵BD是边AC上的高，∴∠BDC＝90°，∵点M是BC的中点，∴DM＝BC，同理，EM＝BC，∴ME＝MD；（2）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，．∵BD是边AC上的高，∴∠ADB＝∠CDB＝90°．在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（ASA），∴AD＝CD，∵CE是边AB上的高，∴∠CEA＝90°，∴AC＝2ED，∵ME＝MD，MN⊥DE，∴DE＝2EN，∴AC＝4EN．12．（1）证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，又∵E为AB的中点，∴CE＝AB，DE＝AB∴CE＝DE，即△ECD是等腰三角形；（2）∵AD＝BD，E为AB的中点，∴DE⊥AB，已知DE＝4，EF＝3，∴DF＝5，过点E作EH⊥CD，∵∠FED＝90°，EH⊥DF，∴EH＝＝，∴DH＝＝，∵△ECD是等腰三角形，∴CD＝2DH＝．13．证明：（1）∵OB是Rt△ABC斜边上的中线，∴OA＝OC，在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB（SAS），∴AD＝CB，∠DAO＝∠C，又∵∠BAC+∠C＝90°，∴∠BAC+∠DAO＝90°，即∠DAB＝90°＝∠ABC，在△ABC和△BAD中，，∴△ABC≌△BAD（SAS），∴AC＝BD，又∵BO＝BD，∴BO＝AC，即Rt△ABC中，中线OB等于斜边AC的一半．（2）∵ED⊥AB，∴∠EDB＝90°＝∠BCE，又∵F是线段BE的中点，∴Rt△BCE中，CF＝BE，Rt△BDE中，DF＝BE，∴CF＝DF，∴∠FCD＝∠FDC．14．（1）证明：∠ABC＝90°，BA＝BC，点D为斜边AC的中点，∴BD⊥AC，∠DBC＝45°，∵AF是∠BAC的平分线，∴∠BAF＝22.5°，∴∠BFE＝67.5°，∴∠BEF＝180°﹣∠EBF﹣∠EFB＝67.5°，∴∠BFE＝∠BEF，∴BE＝BF；（2）∵∠ABC＝90°，BA＝BC，点D为斜边AC的中点，∴BD＝AD＝CD，∴△ABD、△CBD是等腰三角形，由已知得，△ABC是等腰三角形，由（1）得，△BEF是等腰三角形，∵AF是∠BAC的平分线，BD是∠ABC的平分线，∴点E是△ABC的内心，∴∠EAC＝∠ECA＝22.5°，∴△AEC是等腰三角形．15．证明：∵BC⊥a，DE⊥b，点M是EC的中点，∴DM＝EC，BM＝EC，∴DM＝BM，∵点N是BD的中点，∴MN⊥BD．16．证明：如图1，∵PM⊥OA，D是OP的中点，∴MD＝OD，∴∠DOM＝∠DMO，∴∠PDM＝2∠AOP，同理，∠PDN＝2∠BOP，∴∠MDN＝∠PDM+∠PDN＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠MON，如图2，由1得，∠PDM＝2∠AOP，∠PDN＝2∠BOP，∴∠MDN＝∠PDN﹣∠PDM＝2（∠BOP+∠AOP）＝2∠MON．17．解：（1）∵DE⊥AB，F为BD的中点，∴EF＝BD＝5；（2）△DEF、△BEF、△DCF、△BCF、△CEF是等腰三角形；（3）∠A＝∠CEF．证明：∵FE＝FB，FC＝FB，∴∠FEB＝∠FBE，∠FCB＝∠FBC，∴∠EFD＝2∠EBF，∠CFD＝2∠FBC，∴∠CEF＝×（180°﹣2∠EBF﹣2∠FBC）＝90°﹣∠EBF﹣∠FBC，又∠A＝90°﹣∠EBF﹣∠FBC，18．证明：∵BD、CE是△ABC的两条高，M是BC的中点，∴在Rt△BDC中，MD是斜边BC上的中线，∴MD＝BC；同理，得ME＝BC，∴ME＝MD．19．证明：（1）∵BC⊥a，DE⊥b，∴∠CDE＝∠CBE＝90°，∴△CBE，△CDE为直角三角形，∵点M是中点，∴DM＝BM＝EC，∴DM＝BM；（2）∵DM＝BM，∴△MDB为等腰三角形，又∵N为BD的中点，∴MN为BD边上的中线，∴MN⊥BD（三线合一）．20．解：（1）∵∠ECB＝90°，A是BE的中点，∴AB＝AE＝AC，∴∠B＝∠ACB，∠E＝∠ACE，∴∠B+∠ACE＝90°，∵DE∥BC，∴∠BAE＝180°﹣90°＝90°，答：∠BAE的度数是90°．（2）∵△ABN内角和180°，∠ANB和∠BAN是重合的，在第二问中A是中点，在直角三角形中连斜边中点得到的是两个等腰三角形，所以∠B＝∠ACB＝∠DAE（因为∠DAE是原来的外角），同时AD＝AE，∴△ADE是等腰三角形，中线就是垂线、角平分线，所以∠MAE＝∠DAE＝∠B，即∠ANB+∠BAE＝180°．（3）与（2）类似：同理∠B＝∠MAE，同时∠E是原来直角三角形里的另一个锐角，就是∠B的余角，所以∠E+∠MAE＝∠E+∠B＝90°结论：M是A在DE上的垂足．21．（1）证明：∵AD⊥BD，E为AB的中点，∴DE＝AB，：∵AC⊥BC，E为AB的中点，∴CE＝AB，∴DE＝CE；（2）答：∠DFC＝90°+∠DEC．解：∵ED＝EB，∴∠1＝∠2，∵EA＝EC，∴∠3＝∠4，∵∠DEA＝∠1+∠2＝2∠1，∠BEC＝∠3+∠4＝2∠4，∴2∠1+2∠4＝180°﹣∠DEC，即∠1+∠4＝90°﹣∠DEC，∠DFC＝∠4+∠5＝∠4+∠1+∠DEC，即∠DFC＝90°﹣∠DEC+∠DEC，∴∠DFC＝90°+∠DEC．22．解：取AB的中点O，连接PO、QO，在Rt△ABP中，O为AB的中点，∴OP＝OA＝OB，在Rt△AQB中，O为AB的中点，∴OQ＝OA＝OB，∴OP＝OQ＝OA＝OB，∴点A、B、P、Q在以O为圆心、AB的一半为半径的圆上．23．解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×120°＝60°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝∠BAD＝×60°＝30°，∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°，∴∠DAE＝∠F＝30°，∴AD＝DF，∵∠B＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝AB＝×9＝4.5，∴DF＝4.5．24．（1）证明：∵∠ABC＝90°，点D是AC的中点，∴BD＝AD＝AC，∵DE是∠ADB的角平分线，∴DE⊥AB，又∵∠ABC＝90°，∴DE∥BC；（2）解：∵AE＝3，AD＝5，DE⊥AB，∴DE＝＝4，∵DE⊥AB，AD＝BD，∴BE＝AE＝3，①DE＝EP时，BP＝＝，②DP＝EP时，BP＝DE＝×4＝2，③DE＝DP时，过点D作DF⊥BC于F，则DF＝BE＝3，由勾股定理得，FP＝＝，点P在F下边时，BP＝4﹣，点P在F上边时，BP＝4+，综上所述，BP的值为，2，4﹣，4+．25．证明：∵BC⊥a，DE⊥b，点M是EC的中点，∴DM＝EC，BM＝EC，∴DM＝BM，∵点N是BD的中点，∴MN⊥BD．26．（1）解：∵△BDE是等边三角形，∴∠EDB＝60°，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠BAC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴F AC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠F＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝180°﹣90°，∴AF＝2AC＝2×1＝2；（2）证明：∵△BDE是等边三角形，∴BE＝BD，∠EDB＝∠EBD＝60°，在△BCD中，∠ADE+∠EDB＝∠CBD+∠C，即∠ADE+60°＝∠CBD+90°，∴∠ADE＝30°+∠CBD，∵∠HBE+∠ABD＝60°，∠CBD+∠ABD＝30°，∴∠HBE＝30°+∠CBD，∴∠ADE＝∠HBE，在△ADE与△HBE中，，∴△ADE≌△HBE（SAS），∴AE＝HE，∠AED＝∠HEB，∴∠AED+∠DEH＝∠DEH+∠HEB，即∠AEH＝∠BED＝60°，∴△AEH为等边三角形．27．解：（1）∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝30，∠C＝90°，∴BC＝AB＝．故填：；（2）如图2，∵DE是线段BC的垂直平分线，∠ACB＝90°，∴CD＝BD，AD＝BD．又∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AC＝AB，∴△ACD的周长＝AC+AB＝3BD＝15cm．故填：15cm；（3）如图3，连接AD．∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D是BC的中点，∴∠BAD＝60°．又∵DE⊥AB，∴∠B＝∠ADE＝30°，∴BE＝BD，AE＝AD，∴BE：EA＝BD：AD，又∵BD＝AD，∴BE：AE＝3：1．故填：3：1．（4）BP＝2PQ．理由如下∵△ABC为等边三角形．∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵∠ABE＝∠CAD，∠BPQ为△ABP外角，∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAD．∴∠BPQ＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝60°∵BQ⊥AD，∴∠PBQ＝30°，∴BP＝2PQ．28．（1）证明：∵∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，∴∠CAD＝∠CAB＝60°．又∠ABC＝∠ADC＝90°，∴AD＝AC，AB＝AC，∴AB+AD＝AC．（2）解：结论仍成立．理由如下：作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F．则∠CED＝∠CFB＝90°，∵AC平分∠MAN，∴CE＝CF．∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠CDE＝180°∴∠CDE＝∠ABC，在△CDE和△CBF中，，∴△CDE≌△CBF（AAS），∴DE＝BF．∵∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，∴∠MAC＝∠NAC＝60°，∴∠ECA＝∠FCA＝30°，在Rt△ACE与Rt△ACF中，则有AE＝AC，AF＝AC，则AD+AB＝AD+AF+BF＝AD+AF+DE＝AE+AF＝AC+AC＝AC．∴AD+AB＝AC．29．解：（1）①∵∠BCA＝90°，∠α＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠ACF＝90°，∴∠CBE＝∠ACF，∵CA＝CB，∠BEC＝∠CF A；∴△BCE≌△CAF，∴BE＝CF；EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|．②所填的条件是：∠α+∠BCA＝180°．证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE＝180°﹣∠BEC＝180°﹣∠α．∵∠BCA＝180°﹣∠α，∴∠CBE+∠BCE＝∠BCA．又∵∠ACF+∠BCE＝∠BCA，∴∠CBE＝∠ACF，又∵BC＝CA，∠BEC＝∠CF A，∴△BCE≌△CAF（AAS）∴BE＝CF，CE＝AF，又∵EF＝CF﹣CE，∴EF＝|BE﹣AF|．（2）猜想：EF＝BE+AF．证明过程：∵∠BEC＝∠CF A＝∠α，∠α＝∠BCA，∠BCA+∠BCE+∠ACF＝180°，∠CF A+∠CAF+∠ACF＝180°，∴∠BCE＝∠CAF，又∵BC＝CA，∴△BCE≌△CAF（AAS）．∴BE＝CF，EC＝F A，∴EF＝EC+CF＝BE+AF．30．证明：（1）∵∠B与∠D互补，∠B＝∠D，∴∠B＝∠D＝90°，∠CAD＝∠CAB＝∠DAB＝30°，∵在△ADC中，cos30°＝，在△ABC中，cos30°＝，∴AB＝AC，AD＝．∴AB+AD＝．（2）由（1）知，AE+AF＝AC，∵AC为角平分线，CF⊥AD，CE⊥AB，∴CE＝CF．而∠ABC与∠D互补，∠ABC与∠CBE也互补，∴∠D＝∠CBE．∵在Rt△CDF与Rt△CBE中，∴Rt△CDF≌Rt△CBE．∴DF＝BE．∴AB+AD＝AB+（AF+FD）＝（AB+BE）+AF＝AE+AF＝AC．31．解：全等三角形为：△ACD≌△CBE．证明如下：由题意知∠CAD+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE．在△ACD与△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS）．32．证明：∵∠ACB＝90°，∴∠DCA+∠BCE＝90°，又∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，又∠ADC＝∠CEB＝90°，且AC＝CB，∴△ACD≌△CBE。

北师大版八年级数学下册《1.2直角三角形》同步练习题-带含答案

北师大版八年级数学下册《1.2直角三角形》同步练习题-带含答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知锐角三角形的两边长分别3、4，则第三边长x的取值范围是（）A．1＜x＜7 B．1＜x＜5 C．√7＜x＜5 D．1＜x＜√72．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ的关系是（）A．β＋γ－α＝90°B．α＋β＋γ＝180°C．α＋β－γ＝90°D．β＝α＋γ3．如图，△ABC中AB=AC，AD⊥BC，以下结论中不一定正确的是（）A．△ABD≌△ACD B．AD是△ABC的角平分线C．D为BC的中点D．∠B=∠BAD4．如图，直线DE∥FG，三角尺ABC的顶点B，C分别在DE，FG上.若∠BCF=25°，则∠ABE的度数为（）A．25°B．55°C．65°D．75°5．如图△ABC中，∠A＝60°，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于点H，若CE＝4，BD＝5，则DH的HB值（）A．12B．25C．14D．276．如图，△ABC是一张三角形纸片，∠C＝90°，∠A＝36°，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，连接BD，则∠CBD的度数为（）A．16°B．18°C．15°D．17°7．如图，已知点D，E，F分别在△ABC的三边上，将△ABC沿DE，DF翻折，顶点B，C均落在△ABC内的点O处，且BD与CD重合于线段OD，若∠AEO+∠AFO=58°，则∠A的度数为（）A．58°B．59°C．60°D．61°8．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ABC交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（）A．B．C．4√3D．二、填空题9．如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么它的顶角等于．10．三角形的三边长a，b，c满足2ab=(a+b)2-c2，则此三角形的形状是三角形.x＋b交x轴于点A，交y轴于点B，OA＝2，点C是x轴上一点，且△ABC是直角三11．如图，直线y＝12角形，满足这样条件的点C的坐标是．12．在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．13．在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，PR＝PS，AQ＝PQ，则下面三个结论：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP.其中正确的是.三、解答题14．如图，在四边形ABCD中AB=AD，AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F，BE= DF．求证：点A在∠BCD的平分线上．15．如图，有一张四边形纸片ABCD，∠ABC=90°．经测得AB=9cm，BC=12cm，CD=8cm，AD= 17cm．（1）求A、C两点之间的距离．（2）求这张纸片的面积．16．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.（1）证明：BE=CF；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长.17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高．（1）尺规作图：作∠ABC的平分线l（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）；（2）在已作图形中，若l与AD交于点E，且BE=AC，BD=AD，求证：∠ABE=∠DAC．18．如图①，在ΔABC中，AE平分∠BAC（∠C>∠B），F为AE上一点，且FD⊥BC于点D .（1）当∠B=45°，∠C=75°时，求∠EFD的度数；（2）若∠B=α，∠C=β请结合（1）的计算猜想∠EFD、∠B、∠C之间的数量关系，直接写出答案，不说明理由；（用含有α、β的式子表示∠EFD）（3）如图②，当点F在AE的延长线上时，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请说明为什么；若不成立，请写出成立的结论，并说明为什么.答案1．C2．C3．D4．C5．C6．B7．D8．B9．120°10．直角11．（0，0）或（1，0）212．2.413．①②14．证明：在Rt△AEB和Rt△AFD中{AB=ADBE=DF∴Rt△AEB≌Rt△AFD（HL）∴AE=AF．∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F∴点A在∠BCD的平分线上．15．（1）解：连结AC．在RtΔABC中∠ABC=90，AB=9cm，BC=12cm∴AC=√AB2+BC2=√92+122=15．即A、C两点之间的距离为15cm（2）解：∵CD2+AC2=82+152=289AD2=172=289∴CD2+AC2=AD2∴△ACD是直角三角形且∠ACD=90°，∴四边形纸片ABCD的面积=SΔABC+SΔACD=12AB⋅BC+12AC⋅CD=12×9×12+12×15×8=54+60（7分）=114(cm2)．16．（1）证明：如图，连接BD、CD∵DG⊥BC且平分BC∴BD=CD∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F∴DE=CF，∠DEB=∠DFC=90°在Rt△BED与Rt△CFD中{BD=CDDE=DF ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）∴BE=CF；（2）解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F ∴DE=CF，∠DEB=∠DFC=90°在Rt△AED与Rt△AFD中{AD=ADDE=DF ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）∴AE=AF∴CF=AF-AC=AE-AC由（1）知：BE=CF∴AB-AE=AE-AC即5-AE=AE-3∴AE=4∴BE=AB-AE=5-4=117．（1）解：如图所示l即为所求：（2）证明：∵AD为△ABC的高∴∠ADB=∠ADC=90°∴在Rt△BDE和Rt△ADC中{BE=ACBD=AD∴Rt△BDE≌Rt△ADC(HL)∴∠DAC=∠EBD又∵BE平分∠ABD∴∠ABE=∠EBD∴∠ABE=∠DAC18．（1）解：∵∠B=45°，∠C=75°（已知）∠BAC+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于180°）∴∠BAC=180°−∠B−∠C（等量代换）=180°−45°−75°=60°∵AE平分∠BAC（已知）∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=12×60°=30°（角平分线的定义）∴∠AED=∠BAE+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）=30°+45°=75°，即∠FED=75° .∵FD⊥BC于点D（已知）∴∠EDF=90°（垂直的定义）∴∠FED+∠EFD=90°（直角三角形的两个锐角互余）∴∠EFD=90°−∠FED（等量代换）=90°−75°=15°（2）∠EFD=12(β−α)（3）成立. ∠EFD=12(β−α)理由：∵∠B=α，∠C=β（已知）∠BAC+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于180°）∴∠BAC=180°−α−β（等量代换）∵AE平分∠BAC（已知）∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=12×(180°−α−β)（角平分线的定义）∴∠AEC=∠BAE+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）=12×(180°−α−β)+α=90°+12α−12β∴∠FED=∠AEC=90°+12α−12β（对顶角相等）∵FD⊥BC于点D（已知）∴∠EDF=90°（垂直的定义）∴∠FED+∠EFD=90°（直角三角形的两个锐角互余）∴∠EFD=90°−∠FED（等量代换）=90°−(90°+12α−12β)=12(β−α)。

北师大版数学八年级下册1.2《直角三角形》练习(含答案)

北师大版数学八年级下册1.2《直角三角形》精选练习一、选择题1.如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（）A.∠BAC=∠BADB.AC=AD或BC=BDC.AC=AD且BC=BDD.以上都不正确2.下列可使两个直角三角形全等的条件是（）A.一条边对应相等B.两条直角边对应相等C.一个锐角对应相等D.两个锐角对应相等3.如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（）A.HLB.AASC.SSSD.ASA4.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等的依据是（）A.SSSB.AASC.SASD.HL5.将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（）A.140°B.160°C.170°D.150°6.Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=46°，则∠A=（）A.44°B.34°C.54°D.64°7.如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是（）A.30°B.60°C.90°D.120°8.如图所示，AB⊥BD，AC⊥CD，∠D=35°，则∠A的度数为（）A.65°B.35°C.55°D.45°9.在直角三角形中，其中一个锐角是另一个锐角的2倍，则此三角形中最小的角是（）A.15°B.30°C.60°D.90°10.如图，在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则∠EDF的度数为（）A.90°B.100°C.110°D.120°11.已知，如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，则图中相等的锐角的对数有（）A.4对B.3对C.2对D.1对12.直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为（）A.100度B.120度C.135度D.140度二、填空题13.如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD与CE交于点F，请你添加一个适当的条件：（答案不唯一），使△ADB≌△CEB.14.如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是.15.在一个直角三角形中，有一个锐角等于30°，则另一个锐角的大小为度.16.在△ABC中，高AD和BE交于H点，且BH=AC，则∠ABC= .17.如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，∠1=∠2.有下列结论：①AC∥DE；②∠A=∠3；③∠B=∠1；④∠B与∠2互余；⑤∠A=∠2.其中正确的有（填写所有正确的序号）.三、解答题18.如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF.求证：Rt△ABF≌Rt△DCE.19.已知：AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2，问：△ABC≌△ADC吗？说明理由.20.如图，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上的一点，且AD=BE，∠1=∠2.求证：△ADE≌△BEC.21.如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B.求证：CD⊥AB.22.如图：AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD。

北师大版八年级数学下册《1.2直角三角形》同步训练题-带答案

北师大版八年级数学下册《1.2直角三角形》同步训练题-带答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．以下各组数据为三边的三角形中，是直角三角形的是（）A ．2，3，4B ．3，5，7C ．5，7，9D ．6，8，102．直角三角形的一个锐角等于50︒，则它的另一个锐角等于（）A ．50︒B ．50︒或40︒C ．60︒D ．40︒ 3．如图90BAD BCD ∠=∠=︒，AB=BC ，据此可以证明BAD BCD ≌△△，证明的依据是（）A ．AASB ．ASAC ．SASD ．HL4．点 A （2，m ），B （2，m -5）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点．若△ABO 是直角三角形，则m 的值不可能是（）A ．4B ．2C ．1D ．05．已知ABC 的三边长分别为32和52，2，则ABC 的面积为（） A ．158 B ．154 C ．3 D ．326．若三角形的三边满足a ：b ：c =8：15：17 ，则这个三角形中最大的角为（） A ．60° B ．90° C ．120° D ．150°7．已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（） A ． B ．C ．D ．8．如图，△ABC 与△DEF 都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），则△ABC 与△DEF 的面积比是（）9．如图90BAC DAE ∠=∠=︒，AB=AC ，AD=AE ，且C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ，则下列结论中错误的是( )A ．BD CE =B ．45ACE DBC ∠+∠=︒ C ．ACE DBC ∠=∠D ．BD CE ⊥10．有一内角是30︒的直角三角尺CDE 与直尺如图放置，三角尺的斜边与直尺交于点F ．若CDE ∠的平分线DG 平行于直尺的短边AB ，则AFC ∠的度数是（）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．30︒二、填空题．在ABC 中∠Rt OEP ≌．已知ABC 的三边长分别为若一个三角形的三边长分别是15．甲船以24km/h 的速度离开港口O 向北偏东40°方向航行，乙船同时离开港口O 以10km/h 的速度沿一定方向航行，半小时后分别到达A 、B 两点，且相距 13km ，则乙船沿方向航行．三、解答题 16．如图，有一块土地形状如图所示，△B=900，AB=4米，BC=3米，CD=12米，AD=13米，请计算这块土地的面积．17．为了增强学生体质，丰富校园文化生活，推行中小学生每天锻炼一小时的“阳光体育运动”，某学校决定在校园内某一区域内新建一块塑胶场地，供同学们课间活动使用，如图，已知9m AB =，12m BC =和17m CD =，8m AD =施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了90ABC ∠=︒．(1)请写出施工人员测量的是哪两点之间的距离，以及确定90ABC ∠=︒的依据；(2)若平均每平方米的材料成本加施工费为110元，请计算该学校建成这块塑胶场地需花费多少元？18．如图，在ABC 中CA CB =，D 为BC 边上一点，过点D 作FD BC ⊥于点D ，作DE AB ⊥于点E ，若65EDF ∠=︒，求AFD ∠的度数．参考答案：Rt OFP．南偏东50°平方米。

北师大版2020-2021学年度八年级数学下册1.2直角三角形自主学习同步练习题4(含答案)

北师大版2020-2021学年度八年级数学下册1.2直角三角形自主学习同步练习题4（含答案）1．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CD＝CA，D在BC上，∠ADE＝45°，E 在AB上，则∠BED的度数是（）A．60°B．75°C．80°D．85°2．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A＝30°，BD＝2cm，则AB的长度是（）A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D是线段AB的垂直平分线与BC的交点，连接AD，则△ACD与△ADB的面积比为（）A．1B．C．D．4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于D点，连接BD，若AD＝4，则DC的值为（）A．1B．1.5C．2D．35．如图，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，点E为AD的中点，连接BE并延长交AC于点F．若∠AFB＝90°，EF＝2，则BF长为（）A．4B．6C．8D．106．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．60°7．如图，△ABC中，BC＝18，若BD⊥AC于D点，CE⊥AB于E点，F，G分别为BC、DE的中点，若ED＝10，则FG的长为（）A．2B．C．8D．98．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，将含30°角的Rt△ABC放在第一象限，其中30°角的对边BC长为1，斜边AB的端点A，B分别在y轴的正半轴，x轴的正半轴上滑动，连接OC，则线段OC的长的最大值是（）A．B．C．2D．9．如图，在△ABC中，BD、CE是高，点G、F分别是BC、DE的中点，则下列结论中错误的是（）A．GE＝GD B．GF⊥DE C．∠DGE＝60°D．GF平分∠DGE10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，点P在△ABC内，连结P A，PB，PC，若∠1＝∠2＝∠3，且P A＝1，则PB的长是．11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，以△ABC的边AC为一边的等腰三角形，它的第三个顶点在△ABC的斜边AB上，则这个等腰三角形的腰长为．12．如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝，△ABC与△APQ全等．13．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝35°，则∠BAE的度数为°．14．如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线b上，∠2＝70°，∠1＝．15．如图：∠B＝∠C，DE⊥BC于E，EF⊥AB于F，∠ADE等于140°，∠FED＝．16．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连结ME、MD、ED．设AB＝4，∠DBE＝30°，则△EDM的面积为．17．如图在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB＝8，则BF的长为．18．如图，∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于点D，PE ⊥OA于E，OD＝4cm，则PE＝．19．如图，点C为线段AB的中点，∠AMB＝∠ANB＝90°，则△CMN是三角形．20．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△DEF的周长是11，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，则AF＝．21．小明在学习了“等边三角形”后，激发了他的学习和探究的兴趣，就想考考他的朋友小崔，小明作了一个等边△ABC，如图，并在边AC上任意取了一点F（点F不与点A、点C重合），过点F作FH⊥AB交AB于点H，延长CB到G，使得BG＝AF，连接FG交AB于点I．（1）若AC＝10，求HI的长度；（2）延长BC到D，再延长BA到E，使得AE＝BD，连接ED，EC，求证：∠ECD＝∠EDC．22．如图，△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，DA⊥BA于A，BC＝6cm，求AD的长．23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于D，∠A＝30°，BD＝1，求AB的值．24．如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M，（1）求证：M是BE的中点．（2）若CD＝1，DE＝，求△ABD的周长．25．如图，△ABC是等边三角形，P是△ABC的角平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．（1）若BQ＝2，求PE的长（2）连接PF，EF，试判断△EFP的形状，并说明理由．26．直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，点E为CB延长线上一点，且BE＝CD，连接DE．（1）如图1，求证∠C＝2∠E；（2）如图2，若AB＝6，BE＝5，△ABC的角平分线CG交BD于点F，求△BCF的面积．27．已知：如下图，△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，连接DE、AE．若DC∥AE，在DC上取一点F，使得DF＝DE，连接EF交AD于O．（1）求证：EF⊥DA．（2）若BC＝4，AD＝2，求EF的长．28．如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE．（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．29．如图，△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．（1）若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；（2）求证：EF垂直平分AD．30．（1）如图，D是△ABC的边BC上一点，且CD＝AB，E，F分别是BD，AC的中点，G，H分别是AD，EF的中点，求证：GH⊥EF．（2）若（1）中的∠ABC＝90°，其它条件不变，求的值．参考答案1．解：∵Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，∴∠C＝60°，又∵CD＝CA，∴△ACD中，∠DAC＝（180°﹣60°）＝60°，∴∠DAE＝90°﹣60°＝30°，又∵∠ADE＝45°，∴∠BED＝∠ADE+∠DAE＝45°+30°＝75°，故选：B．2．解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A＝30°，∴∠A＝∠BCD＝30°，∴BC＝2BD＝4cm，AB＝2BC＝8cm，故选：C．3．解：∵D是AB的垂直平分线与BC的交点，∴BD＝AD，∴∠B＝∠BAD＝30°，∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAD＝60°﹣30°＝30°，∴Rt△ACD中，CD＝AD＝BD，∴△ACD与△ADB的面积比为，故选：B．4．解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD＝4，∴∠ABD＝∠A＝30°，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BD＝2，故选：C．5．解：∵在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，∴∠DAC＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∵∠AFB＝90°，EF＝2，∴AE＝2EF＝4，∵点E为AD的中点，∴DE＝AE＝4，∵∠C＝60°，∠BFC＝180°﹣90°＝90°，∴∠EBD＝30°，∴BE＝2DE＝8，∴BF＝BE+EF＝8+2＝10，故选：D．6．解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∵BE⊥AC，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠ABE＝45°，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝67.5°﹣45°＝22.5°，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF，∴BF＝EF，∴∠BEF＝∠CBE＝22.5°，∴∠EFC＝∠BEF+∠CBE＝22.5°+22.5°＝45°．故选：C．7．解：连接EF、DF，∵BD⊥AC，F为BC的中点，∴DF＝BC＝9，同理，EF＝BC＝9，∴FE＝FD，又G为DE的中点，∴FG⊥DE，GE＝GD＝DE＝5，由勾股定理得，FG＝＝2，故选：A．8．解：取AB的中点F，连接CF、OF．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2，∵∠AOB＝90°，AF＝FB，∴OF＝FC＝AB＝1，∵OC≤OF+CF，∴当O、F、C共线时，OC的值最大，最大值为2．故选：C．9．解：∵BD、CE是高，点G是BC的中点，∴GE＝BC，GD＝BC，∴GE＝GD，A正确，不符合题意；∵GE＝GD，F是DE的中点，∴GF⊥DE，B正确，不符合题意；∠DGE的度数不确定，C错误，符合题意；∵GE＝GD，F是DE的中点，∴GF平分∠DGE，D正确，不符合题意；故选：C．10．解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∵∠1＝∠2＝∠3，∴∠PBC＝∠ACP，∴△APC∽△CPB，∴＝＝，在等腰△ABC中，＝，∵AP＝1，∴PC＝，∴PB＝3，故答案为3．11．解：如图，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝2BC＝4，AC＝BC＝2，当MA＝MC时，作MT⊥AC，∵MT∥BC，AT＝TC，∴AM＝MB＝2，∴等腰三角形AMC的腰长为2，当AC＝AM′＝2时，等腰三角形ACM的腰长为2，故答案为2或2．12．解：∵AX⊥AC，∴∠P AQ＝90°，∴∠C＝∠P AQ＝90°，分两种情况：①当AP＝BC＝5时，在Rt△ABC和Rt△QP A中，，∴Rt△ABC≌Rt△QP A（HL）；②当AP＝CA＝10时，在△ABC和△PQA中，，∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；综上所述：当点P运动到AP＝5或10时，△ABC与△APQ全等；故答案为：5或10．13．解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝CE，∴∠EAC＝∠C＝35°，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠C＝55°，∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝20°．故答案为：20．14．解：∵a∥b，∴∠3＝∠2＝70°，∴∠1＝180°﹣90°﹣70°＝20°，故答案为：20°．15．解：∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，由三角形的外角的性质可知，∠C＝∠ADE﹣∠DEC＝50°，∴∠B＝∠C＝50°，∵EF⊥AB，∴∠EFC＝90°，∴∠FEB＝90°﹣50°＝40°，则∠FED＝180°﹣40°﹣90°＝50°，故答案为：50°．16．解：∵在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，∴△ABE，△ADB是直角三角形，∴EM，DM分别是它们斜边上的中线，∴EM＝DM＝AB，∵ME＝AB＝MA，∴∠MAE＝∠MEA，∴∠BME＝2∠MAE，同理，MD＝AB＝MA，∴∠MAD＝∠MDA，∴∠BMD＝2∠MAD，∴∠EMD＝∠BME﹣∠BMD＝2∠MAE﹣2∠MAD＝2∠DAC＝60°，所以△DEM是边长为2的正三角形，所以S△DEM＝．故答案为：．17．解：等边△ABC中，D是AB的中点，AB＝8，∴AD＝4，BC＝AC＝8，∠A＝∠C＝60°，∵DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，∴∠AFD＝∠CFE＝90°，∴AE＝AD＝2，∴CE＝8﹣2＝6，∴CF＝CE＝3，∴BF＝5，故答案为：5．18．解：过P作PF⊥OB于F，∵∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝15°，∵PD∥OA，∴∠DPO＝∠AOP＝15°，∴PD＝OD＝4cm，∵∠AOB＝30°，PD∥OA，∴∠BDP＝30°，∴在Rt△PDF中，PF＝PD＝2cm，∵OC为角平分线，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF，∴PE＝PF＝2cm．故答案为：2cm．19．解：∵点C为线段AB的中点，∠AMB＝∠ANB＝90°，∴CM＝AB，CN＝AB，∴CM＝CN，∴△CMN是等腰三角形；故答案为：等腰．20．解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，∴DE＝DF＝AB，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴点F是BC的中点，∴BF＝FC＝BC＝3，∵BE⊥AC，∴EF＝BC＝3，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝AB+3＝11，∴AB＝8，由勾股定理知AF＝＝＝＝．故答案为：．21．（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，如图1，过F作FD∥AB，交BC于D，过F作FN∥BC，交AC于N，∴∠FDC＝∠ABC＝60°，∴∠FDC＝∠ACB＝∠CFD＝60°，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝CF，∵AC＝BC，∴AF＝BD，∵BG＝AF，∴BD＝BG，∵BI∥DF，∴GI＝FI，∵FN∥BG，∴∠FNI＝∠GBI，在△FNI和△GBI中，∵，∴△FNI≌△GBI（AAS），∴NI＝BI，FN＝BG，∴FN＝AF，∵FH⊥AB，∴AH＝HN，∴HI＝HN+NI＝AB＝×10＝5；（2）证明：解法一：如图2，延长CD至P，使BC＝DP，连接AP、EP，∴BD＝CP，∵AE＝BD，∴AE＝CP，在△ACP和△CAE中，∵，∴△ACP≌△CAE（SAS），∴AP＝CE，∵BE＝AB+AE，BP＝BC+CP，∴BE＝BP，∵∠ABC＝60°，∴△EBP是等边三角形，∴BP＝EP，∠EPD＝60°，∴∠EPD＝∠ABC，在△ABP和△DPE中，∵，∴△ABP≌△DPE（SAS），∴AP＝ED＝EC，∴∠ECD＝∠EDC．解法二：如图3，延长CD至P，使BC＝DP，连接EP，∴BD＝PC＝AE，∵BE＝AB+AE，BP＝BC+CP，∴BE＝BP，∵∠ABC＝60°，∴△EBP是等边三角形，∴EB＝EP，∠EPD＝60°，∴∠EPD＝∠ABC，在△EBC和△EPD中，∵，∴△EBC≌△EPD（SAS）∴EC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC．22．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣2×30°＝120°，∵DA⊥BA，∴∠BAD＝90°，∴∠CAD＝120°﹣90°＝30°，∴∠CAD＝∠C，∴AD＝CD，在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∠BAD＝90°，∴BD＝2AD，∴BC＝BD+CD＝2AD+AD＝3AD，∵BC＝6cm，∴AD＝2cm．23．解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，又CD⊥AB，∴∠BCD＝30°，在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，BD＝1，可得BC＝2BD＝2，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，则AB＝2BC＝4．24．解：（1）连接BD，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC，∵D为AC的中点，∴∠DBC＝ABC＝30°，∵CD＝CE，∴∠E＝∠CDE，∵∠E+∠CDE＝∠ACB＝60°，∴∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E，∴BD＝ED，∴DM⊥BE，∴M是BE的中点；（2）由题意可知，BD＝DE＝，∵D为AC的中点，∴AD＝CD＝1，AB＝AC＝2CD＝2，则△ABD的周长AB+AD+BD＝3+．25．解：（1）∵△ABC是等边三角形，BP是∠ABC的平分线，∴∠EBP＝∠PBC＝30°，∵PE⊥AB于点E，∴∠BEP＝90°，∴PE＝BP，∵QF为线段BP的垂直平分线，∴BP＝2BQ＝2×2＝4，∴PE＝×4＝2；（2）△EFP是直角三角形．理由如下：连接PF、EF，如图所示：∵△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，∴∠ABC＝60°，∠ABP＝∠CBD＝30°，∵PE⊥AB，∴∠PEB＝90°，∴∠BPE＝60°，∵FQ垂直平分线段BP，∴FB＝FP，∴∠FBQ＝∠FPQ＝30°，∴∠EPF＝∠EPB+∠BPF＝90°，∴△EFP是直角三角形．26．解：（1）证明：∵∠ABC＝90°，点D为AC的中点，∴BD＝AC＝CD＝AD，∵CD＝BE，∴BE＝BD，∴∠BDE＝∠E，∵BD＝CD，∴∠C＝∠DBC，∴∠C＝∠DBC＝∠BDE+∠E＝2∠E；（2）过点F作FM⊥BC，FN⊥AC∵CG平分∠ABC∴FM＝FN∵BE＝5∴CD＝AD＝BE＝5，AC＝10又∵AB＝6∴在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2∴BC＝8∵BD为△ABC的中线∴S△BCD＝S△ABC＝×AB×BC＝××6×8＝12又∵S△BCD＝S△BCF+S△CDF∴12＝CD•FN+BC•FM∴×5×FM+×8×FM＝12∴FM＝∴S△BCF＝BC•FM＝×8×＝．27．解：（1）∵△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，∴DE＝AE＝BC，∴∠EDA＝∠EAD，∵DC∥AE，∴∠ADC＝∠EAD，∴∠ADC＝∠EDA，∵DF＝DE，∴EF⊥DA；（2）∵BC＝4，∴DE＝BC＝2，∵DE＝AE，，∴DO＝AD＝，在Rt△DEO中，EO＝＝1，∵DF＝DE，∴EF＝2EO＝2．28．（1）证明：如图（1），连接DM，ME，∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，∴DM＝BC，ME＝BC，∴DM＝ME，又∵N为DE中点，∴MN⊥DE；（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），＝360°﹣2（180°﹣∠A），＝2∠A，∴∠DME＝180°﹣2∠A；（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，理由如下：连结DM，ME，在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC，＝2（180°﹣∠BAC），＝360°﹣2∠BAC，∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC），＝2∠BAC﹣180°．29．（1）解：∵AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，∴DE＝AE＝AB＝×10＝5，DF＝AF＝AC＝×8＝4，∴四边形AEDF的周长＝AE+DE+DF+AF＝5+5+4+4＝18；（2）证明：∵DE＝AE，DF＝AF，∴EF垂直平分AD．30．解：（1）如图所示，连接EG，FG，∵E是BD的中点，G是AD的中点，∴EG是△ABD的中位线，∴EG＝AB，同理可得，GF是△ACD的中位线，∴GF＝CD，又∵CD＝AB，∴GE＝GF，又∵H是EF的中点，∴GH⊥EF；（2）如图所示，当∠ABC＝90°时，∵EG是△ABD的中位线，∴EG∥AB，∴∠GEB+∠ABE＝180°，∴∠GEB＝90°，∵GF是△ACD的中位线，∴GF∥BC，∴∠EGF＝∠GEB＝90°，又∵GE＝GF，∴△GEF是等腰直角三角形，又∵H是EF的中点，∴GH＝EF，即的值为。

北师大版2020-2021学年度八年级数学下册1.2直角三角形自主学习同步练习题2(含答案)

北师大版2020-2021学年度八年级数学下册1.2直角三角形自主学习同步练习题2（含答案）1．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E 处．若∠A＝22°，则∠ADE＝°．2．如图，已知∠AON＝40°，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A＝°．3．在△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC边上的一点，过C作CF⊥AE，垂足为F，过点B 作BD⊥BC，交CF的延长线于点D，若∠D＝65°，求∠EAC的度数．4．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AP平分∠BAC交BD于点P．（1）∠APD的度数为；（2）若∠BDC＝58°，求∠BAP的度数．5．如图，点E是Rt△ABC、Rt△ABD的斜边AB的中点，AC＝BC，∠DBA＝20°，那么∠DCE的度数是．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，∠ACD＝1.5∠DCE，则∠A＝．7．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点．（1）若EF＝5，BC＝12，求△EFM的周长；（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，求∠FME的度数．8．如图，△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，M为BC的中点．（1）求证：ME＝MF．（2）若∠A＝50°，求∠FME的度数．9．如图，△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．若AB＝10，AC＝6，则四边形AEDF的周长为．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，且点D是AB的中点，△DEF的周长是11，则AB＝．11．已知：如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD＝AB，E、F分别是AC、BD的中点，AC＝6．求EF的长．12．已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，点E为AC中点，点F 为BD中点．求证：EF⊥BD．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABD＝2∠EBC，AD∥BC，求证：DE＝2AB．14．已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在AC上，AB＝DE，AD∥BC．求证：∠CBA＝3∠CBE．15．如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC＝2PB，已知∠ABC＝45°，∠APC＝60°，那么∠ACB的度数是（）A．45°B．75°C．90°D．60°16．如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，在CD上取一点E，使AE＝AB，则∠EBC的度数为（）A．30°B．15°C．45°D．不能确定17．如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得∠ACB＝15°，他沿CB方向走了20米，到达D处，测得∠ADB＝30°，你能帮助小明计算出树的高度吗？18．如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，DE是AC的垂直平分线，线段DE＝1cm，则BD的长为．19．如图△ABC中，∠C＝90°，D、E分别是BC、AB上两点，DE∥AC，BD＝2，CD＝1，∠BED＝30°，则AE的长为．20．如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，过P作PC∥OA交OB于点C．若∠AOB＝60°，OC＝4，求点P到OA的距离PD．21．如图，∠BAC＝30°，点P是∠BAC的平分线上的一点，PD⊥AC于D，PE∥AC交AB于E，已知AE＝10cm，求PD的长度．22．如图所示，AB＝AC，∠A＝120°，点E在AB边上，EF垂直平分AB，交BC于F，EG⊥BC，垂足为G，若GF＝4，求CF的长．23．如图，已知等边三角形ABC的边长为3，过AB边上一点P作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，取P A＝CQ，连接PQ，交AC于M，则EM的长为．24．如图，AB⊥BC、DC⊥BC，垂足分别为B、C，AB＝6，BC＝8，CD＝2，点P为BC边上一动点，当BP＝时，形成的Rt△ABP与Rt△PCD全等．25．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，PQ＝AB，P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且点P不与点A，C重合，那么当点P运动到什么位置时，才能使△ABC与△APQ全等？26．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE ≌Rt△BEC．27．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD＝CE．求证：AB⊥AC；（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．28．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB＝DC，求证：EB＝FC．29．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，BD为∠ABC的平分线，若A点到直线BD 的距离为a，则BE的长为．30．CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC ＝∠CF A＝∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE CF；EF|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．参考答案1．解：△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22°，∴∠B＝90°﹣∠A＝68°，由折叠的性质可得：∠CED＝∠B＝68°，∠BDC＝∠EDC，∴∠ADE＝∠CED﹣∠A＝46°，故答案为：46．2．解：当AP⊥ON时，∠APO＝90°，则∠A＝50°，当P A⊥OA时，∠A＝90°，即当△AOP为直角三角形时，∠A＝50或90°．故答案为：50或90．3．解：在RT△DBC中，∠D＝65°，可得：∠DCB＝25°，在RT△ACE中，∠DCB＝25°，可得：∠ACF＝65°，在RT△ACF中，∠ACF＝65°，可得：∠EAC＝25°．4．解：（1）∵∠C＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∴（∠BAC+∠ABC）＝45°．∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，∴∠BAP+∠ABP＝∠BAC+∠ABC＝（∠BAC+∠ABC）＝45°．∴∠APD＝∠BAP+∠ABP＝45°；故答案为45°．（2）∵∠BDC＝58°，∴∠DBC＝90°﹣∠BDC＝32°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝32°，∴∠BAP＝∠APD﹣∠ABD＝45°﹣32°＝13°．5．解：∵点E是Rt△ABD的斜边AB的中点，∴ED＝EB＝AB，∴∠EDB＝∠DBA＝20°，∴∠DEA＝∠EDB+∠DBA＝40°，∵点E是Rt△ABC的斜边AB的中点，AC＝BC，∴EC＝AB，CE⊥AB，∴∠DEC＝130°，ED＝EC，∴∠DCE＝25°，故答案为：25°．6．解：∵∠ACB＝90°，E是AB的中点，∴AE＝CE，∴∠A＝∠ACE，∵∠ACD＝1.5∠DCE，∴∠A＝ACD，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠A＝90°×＝22.5°，故答案为：22.5°．7．解：（1）∵CF⊥AB于F，M为BC的中点，∴ME＝MC＝BC＝×12＝6，同理MF＝MB＝BC＝×12＝6，∴△EFM的周长＝6+6+5＝17；（2）∵MF＝MB，∴∠ABC＝∠MFB＝50°，同理∠ACB＝∠MEC＝70°，∴∠BMF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∠EMC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠FME＝180°﹣80°﹣40°＝60°．8．（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴△BEC为直角三角形，∠BEC＝90°，△CFB为直角三角形，∠CFB＝90°，∵M为BC中点，∴FM＝BC，EM＝BC，∴ME＝MF；（2）解：∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝130°，∵MF＝MB，ME＝MC，∴∠MFB＝∠ABC，∠MEC＝∠ACB，∴∠BMF+∠CME＝360°﹣2×130°＝100°，∴∠FME＝180°﹣100°＝80°．9．解：∵AD是高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴ED＝EB＝AE＝AB，DF＝CF＝AF＝AC，∵AB＝10，AC＝6，∴AE+ED＝10，AF+DF＝6，∴四边形AEDF的周长为10+6＝16，故答案为：16．10．解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，∴DE＝DF＝AB，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴点F是BC的中点，∴BF＝FC＝3，∵BE⊥AC，∴EF＝BC＝3，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝AB+3＝11，∴AB＝8，故答案为：8．11．解：连接AF．∵AB＝AD，F是BD的中点，∴AF⊥BD，又∵E是AC的中点，∴EF＝AC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）∵AC＝6，∴EF＝3．故答案为：3．12．证明：如图，连接BE、DE，∵∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，点E是AC的中点，∴BE＝DE＝AC，∵点F是BD的中点，∴EF⊥BD．13．证明：取ED的中点O，连接AO，∵∠CAD＝90°，∴OD＝AO＝OE，∴∠AOE＝2∠D，∵AD∥BC，∴∠EBC＝∠D，∴∠AOE＝2∠EBC，∵∠ABD＝2∠EBC，∴∠ABD＝∠AOB，∴AB＝OA，∴DE＝2AB＝2OA．14．证明：取DE的中点F，连接AF，∵AD∥BC，∠ACB＝90°，∴∠DAE＝∠ACB＝90°，∴AF＝DF＝EF＝DE，∵AB＝DE，∴DF＝AF＝AB，∴∠D＝∠DAF，∠AFB＝∠ABF，∴∠AFB＝∠D+∠DAF＝2∠D，∴∠ABF＝2∠D，∵AD∥BC，∴∠CBE＝∠D，∴∠CBA＝∠CBE+∠ABF＝3∠CBE．15．解：过C作AP的垂线CD，垂足为点D．连接BD．∵△PCD中，∠APC＝60°，∴∠DCP＝30°，PC＝2PD，∵PC＝2PB，∴BP＝PD，∴△BPD是等腰三角形，∠BDP＝∠DBP＝30°，∵∠ABP＝45°，∴∠ABD＝15°，∵∠BAP＝∠APC﹣∠ABC＝60°﹣45°＝15°，∴∠ABD＝∠BAD＝15°，∴BD＝AD，∵∠DBP＝45°﹣15°＝30°，∠DCP＝30°，∴BD＝DC，∴△BDC是等腰三角形，∵BD＝AD，∴AD＝DC，∵∠CDA＝90°，∴∠ACD＝45°，∴∠ACB＝∠DCP+∠ACD＝75°，故选：B．16．解：作EF⊥AB于F，则EF＝BC，又∵AB＝2BC，AE＝AB，∴AE＝2EF，∴∠EAF＝30°，∵AE＝AB∴∠ABE＝∠AEB＝75°，∴∠EBC＝90°﹣75°＝15°．故选：B．17．解：∵∠ADB＝30°，∠ACB＝15°，∴∠CAD＝∠ADB﹣∠ACB＝15°，∴∠ACB＝∠CAD，∴AD＝CD＝20，又∵∠ABD＝90°，∴AB＝AD＝10，∴树的高度为10米．18．解：连接AD，∵等腰△ABC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝CD，∴∠CAD＝∠C＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝120°﹣30°＝90°，在Rt△CDE中，CD＝2DE，在Rt△ABD中，BD＝2AD，∴BD＝4DE，∵DE＝1cm，∴BD的长为4cm．故答案为：4cm．19．解：∵DE∥AC，∠BED＝30°，∴∠BED＝∠A＝30°．又BD＝2，CD＝1，∴BE＝2BD＝4，AB＝2BC＝2（BD+CD）＝6．∴AE＝AB﹣BE＝6﹣4＝2．故答案是：2．20．解：如图，过C点作CE⊥OA，垂足为E，∵PC∥OA，PD⊥OA，垂足为D，∴PD＝CE，∵∠AOB＝60°，OC＝4，在Rt△OCE中，CE＝OC•sin60°＝4×＝2，∴点P到OA的距离PD＝CE＝2．21．解：作PF⊥AB于F，∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠CAP，∵PE∥AC，∴∠EP A＝∠P AD，∴∠BAP＝∠EP A，∴AE＝PE＝10，∵∠FEP＝∠BAC＝30°，∴PF＝PE＝5，∵AP平分∠BAC，PF⊥AB，PD⊥AC，∴PD＝PF，∴PD＝5．22．解：连接AF．∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵EF⊥AB，EG⊥BF，∴∠BEG+∠GEF＝90°，又∠B+∠BEG＝90°，∴∠GEF＝∠B＝30°，∵GF＝4，∴在Rt△GEF中，EF＝2GF＝8，∴在Rt△BEF中，BF＝2EF＝16，∵EF垂直平分AB，∴AF＝BF＝16，∴∠BAF＝∠B＝30°，∴∠F AC＝120°﹣30°＝90°，又∵∠C＝30°，∴FC＝2AF＝32．23．解：过P作PF∥BC交AC于F，如图所示：∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFM＝∠QCM，∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，∠A＝60°，∴△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ，在△PFM和△QCM中，，∴△PFM≌△QCM（AAS），∴FM＝CM，∵AE＝EF，∴EF+FM＝AE+CM，∴AE+CM＝ME＝AC，∵AC＝3，∴ME＝，故答案为：．24．解：当BP＝2时，Rt△ABP≌Rt△PCD，∵BC＝8，BP＝2，∴PC＝6，∵AB⊥BC、DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，在△ABP和△PCD中，∴△ABP≌△PCD（SAS），故答案为：2．25．解：根据三角形全等的判定方法HL可知：①当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°，在Rt△ABC与Rt△QP A中，，∴Rt△ABC≌Rt△QP A（HL），即AP＝BC＝10；②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，不合题意．综上所述，当点P运动到距离点A为10时，△ABC与△APQ全等．26．证明：∵∠1＝∠2，∴DE＝CE．∵∠A＝∠B＝90°，∴△ADE和△EBC是直角三角形，而AD＝BE．∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）27．（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，在Rt△ABD和Rt△ACE中，∵，∴Rt△ABD≌Rt△CAE．∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC．∵∠DAB+∠DBA＝90°，∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°．∠BAC＝180°﹣（∠BAD+∠CAE）＝90°．∴AB⊥AC．（2）AB⊥AC．理由如下：同（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC，∵∠CAE+∠ECA＝90°，∴∠CAE+∠BAD＝90°，即∠BAC＝90°，∴AB⊥AC．28．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF；∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．∴在Rt△DBE和Rt△DCF中∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL）；∴EB＝FC．29．解：延长AD与BC，相交于F，∵BD为∠ABC的平分线∴∠ABD＝∠FBD∵∠ADB＝∠BDF＝90°，BD＝BD∴△BAD≌△BFD∴AD＝DF∴AF＝2AD＝2a∵∠DAC+∠AED＝90°，∠EBC+∠BEC＝90°，∠AED＝∠BEC ∴∠DAC＝∠EBC∵∠ACF＝∠BCE＝90°，AC＝BC∴Rt△ACF≌Rt△BCE∴BE＝AF＝2a．30．解：（1）①∵∠BCA＝90°，∠α＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠ACF＝90°，∴∠CBE＝∠ACF，∵CA＝CB，∠BEC＝∠CF A；∴△BCE≌△CAF，∴BE＝CF；EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|．②所填的条件是：∠α+∠BCA＝180°．证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE＝180°﹣∠BEC＝180°﹣∠α．∵∠BCA＝180°﹣∠α，∴∠CBE+∠BCE＝∠BCA．又∵∠ACF+∠BCE＝∠BCA，∴∠CBE＝∠ACF，又∵BC＝CA，∠BEC＝∠CF A，∴△BCE≌△CAF（AAS）∴BE＝CF，CE＝AF，又∵EF＝CF﹣CE，∴EF＝|BE﹣AF|．（2）猜想：EF＝BE+AF．证明过程：∵∠BEC＝∠CF A＝∠α，∠α＝∠BCA，∠BCA+∠BCE+∠ACF＝180°，∠CF A+∠CAF+∠ACF＝180°，∴∠BCE＝∠CAF，又∵BC＝CA，∴△BCE≌△CAF（AAS）．∴BE＝CF，EC＝F A，∴EF＝EC+CF＝BE+AF。

2020--2021学年北师大版数学八年级下册1.2《直角三角形》课时练习(含答案)

北师大版数学八年级下册1.2《直角三角形》课时练习一、选择题1.如图,在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA,过点D作DE⊥BC交AB于点E,则有( )A.DE=DBB.DE=AEC.AE=BED.AE=BD2.已知在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是( )A.AB=DE,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD.∠C=∠F,BC=EF3.在下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是( )A.两条直角边对应相等B.两个锐角对应相等C.一个锐角和它所对的直角边对应相等D.一条斜边和一条直角边对应相等4.有以下条件：①一锐角与一边对应相等；②两边对应相等；③两锐角对应相等．其中能判断两直角三角形全等的是（）A.①B.②C.③D.①②5.如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是()A.AB=A′B′=5，BC=B′C′=3B.AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°C.AC=A′C′=5，BC=B′C′=3D.AC=A′C′=5，∠A=∠A′=40°6.下列判定两个直角三角形全等的方法中，不正确的是( )A.两条直角边分别对应相等B.斜边和一锐角分别对应相等C.斜边和一条直角边分别对应相等D.两个三角形的面积相等7.如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（）A．﹣1﹣ B．1﹣ C．﹣ D．﹣1+8.已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,AD平分∠BAC,则点B到AD的距离是（）A.1.5B.2C.D.9.若等腰三角形的腰长为5cm，底长为8cm，那么腰上的高为( )A.12cmB.10cmC.4.8cmD.6cm10.若一个三角形的三边长分别为6、8、10，则这个三角形最长边上的中线长为（）A.3.6B.4C.4.8D.5二、填空题11.已知：如图，AB=CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且DE=BF，∠D=60°，则∠A=__________.12.如图，已知AB⊥BD，垂足为B，ED⊥BD，垂足为D，AB=CD，BC=DE，则∠ACE= 度．13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点M在AB上，且∠ACM=∠BAC，则CM的长为_______．14.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣6，0）、（0，8）．以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为．三、解答题15.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且BE=CF．求证：AD平分∠BAC．16.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，若AC=，CD=5，BC=13，求△ABC的面积.参考答案1.B2.B3.D4.D5.B；6.D;7.A．8.C．9.C10.D11.答案为：30°。

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北师版八年级下册数学第一章三角形的证明
第2节《直角三角形》同步培优训练
一、选择。

1．如图,在Rt△ABC 中,△C=90°,△A=30°,BD 是△ABC 的平分线,AD=20,则BC 的长是
( )
A ．20
B ．
C ．30
D ．102．在Rt△ABC 中，△C=90°，△A=30°，AB=4，那么（）
A ．BC=8
B ．AC=2
C ．AC=
D ．BC=3．如图，在ABC ∆中，AB=AC, △B=30°，AD△AB ，AD=4，则下列各式中正确的是（）
A ．AB=8
B ．BC=16
C ．DC=4
D ．BD=10 4．如图，ABC ∆的三个内角比为1：1：2，且2BD AD =，则△CBD 是（）
A ．5°
B ．10°
C ．15°
D ．45°
5．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高
度为x 尺，则可列方程为（）
A ．()22610x x =--
B ．()2
22610x x =-- C ．()22610x x +=- D ．()222610x x +=- 6．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边6cm AC =，8cm BC =．现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（）
A ．2cm
B ．3cm
C ．4cm
D ．5cm 7．下列命题中，是假命题的是( )
A ．在△ABC 中，若△A ：△
B ：△
C ＝1：2：3，则△ABC 是直角三角形
B ．在△AB
C 中，若a 2＝(b ＋c) (b －c)，则△ABC 是直角三角形
C ．在△ABC 中，若△B ＝△C ＝△A ，则△ABC 是直角三角形
D ．在△ABC 中，若a ：b ：c ＝5：4：3，则△ABC 是直角三角形
8．在Rt△ABC 中，△C=90°，AC=3，BC=4，则点C 到AB 的距离是（）
A ．34
B ．35
C ．45
D ．125
9．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）
A ．600m
B ．500m
C ．400m
D ．300m
10．若直角三角形的三边长分别为-a b 、a 、+a b ，且a 、b 都是正整数，则三角形其中一边的长可能为（）
A ．22
B ．32
C ．62
D ．82
二、填空。

11．如图，在△ABC中，△C=90°，如果△BAC的平分线AD=6，那么△B=______．
12．如图，在△ABC中，△ABC=45°，△CAB=60°，AC=10，则BC=_________ ．
13．一个三角形的三边的比为5△12△13，它的周长为60cm，则它的面积是______．14．如图，在△ABC中，△C=90°，AB=10，BC=8，如果AD是BC边上的中线，那么AD=________．
15．如图，滑竿在机械槽内运动，△ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A 在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑________米．
三、解答。

16．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB ＝AC，由于种种原因，由C到A的路现在已经不通了，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得
CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．
（1）问CH是不是从村庄C到河边的最近路，请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．
17．如图所示，在△ABC中，AC＝8cm，BC＝6cm；在△ABE中，DE为AB边上的高，DE＝12cm，△ABE的面积S＝60cm2．
(1)求出AB边的长；
(2)你能求出△C的度数吗？请试一试．
18．如图，在△ABC中，△C=90°，M是BC的中点，MD△AB于D，求证：222
=+.
AD AC BD
19．如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB=12km，AC=5km，BC=13km，要从A修一条公路AD直达BC，已知公路的造价为26000元/km，求这条公路的最低造价是多少万元？
20．如图，在ABC 中，AD BC ⊥，12AD =，16BD =，5CD =. ()1求ABC 的周长；
()2判断ABC 是否是直角三角形，并说明理由.
答案
1-5：DCCCD 6-10:BCDBB
11．30°
12．13．2120cm
14．15．0.5
16．（1）是，理由见解析；（2）2.5米．
（1）∵2221.8 2.43+=，即222+=BH CH BC ，
∴Rt △CHB 是直角三角形，即CH ⊥BH ，
∴CH 是从村庄C 到河边的最近路（点到直线的距离中，垂线段最短）；
（2）设AC ＝AB ＝x ，则AH ＝x －1.8，
∵在Rt △ACH ，
∴222CH AH AC +=，即 2222.4 1.8)x x -=+(，解得x ＝2.5， ∴原来的路线AC 的长为2.5米．
17．(1)AB ＝10；(2)∠C ＝90°．
(1)∵DE ＝12，S △ABE ＝
12
DE •AB ＝60， ∴AB ＝10；
(2)∵AC ＝8，BC ＝6，62+82＝102，
∴AC 2+BC 2＝AB 2，
由勾股定理逆定理得∠C ＝90°．
18．
证明：连接MA ，
∵MD ⊥AB ，
∴AD 2=AM 2-MD 2，BM 2=BD 2+MD 2，
∵∠C =90°，
∴AM 2=AC 2+CM 2
∵M 为BC 中点，
∴BM =MC ．
∴AD 2=AC 2+BD 2
19．最低造价为120000元．
20．（1）54；（2）ABC 不是直角三角形，理由见解析. 解：()1AD BC ⊥,
90ADB ADC ∴∠=∠=.
在Rt ABD △和Rt ACD △中，
根据勾股定理得222AB AD BD =+，222AC AD CD =+，
又12AD =，16BD =，5CD =， 20,13AB AC ∴==， ABC C AB AC BC AB AC BD DC ∴=++=+++201316554=+++=； ()2ABC 不是直角三角形.理由： 20,13,21AB AC BC ===， 222AB AC BC ∴+≠， ABC ∴不是直角三角形.。