2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《3.2.1空间向量与平行关系》课堂达标·效果检测(含答案解析)
人教A版选修2-1第三章3.2.1空间向量与平行关系复习课件
6．如右图所示，O 是正方体 ABCD－A1B1C1D1 的底面中心，P 是 DD1 的中点，Q 点在 CC1 上，问： 当点 Q 在 CC1 的什么位置时，平面 BD1Q∥平面 APO?
解：如图，以 D 为原点，分别以 DA，DC，DD1 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为 2，则 O(1,1,0)，P(0，0,1)，A(2,0,0)，B(2,2,0)， D1(0,0,2)．
x2＋x，－x)，若 l∥α，则 x 的值是( )
A． 2
B．－ 2
C．2
D．± 2
解析：∵l∥α，∴v⊥n，∴(－1,1,1)·(2，x2＋x，－x)＝0，即 －2＋x2＋x－x＝0，∴x＝± 2.
答案：D
4．如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N 分别是 C1C，B1C1 的中点．求证：MN∥平面 A1BD.
解：如图，以 D 为原点，分别以 DA，DC，DD1 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为 2，则 O(1,1,0)，P(0，0,1)，A(2,0,0)，B(2,2,0)， D1(0,0,2)．
设 Q(0,2，z)(0≤z≤2)， 那么O→P＝(－1，－1,1)， B→D1＝(－2，－2,2)， ∴O→P∥B→D1.又 B∉OP，∴OP∥BD1.
解析：A→B＝12，2，72－－12，0，12＝(1,2,3)＝313，23，1.
答案：A
2．已知A→B＝(2,2,1)，A→C＝(4,5,3)，则平面 ABC 的一个法向
量可以表示为( )
A．a＝(－1,2,2)
B．a＝(1，－2,2)
C．a＝(1,2,2)
D．a＝(－1，－2,2)
人教版数学高二选修2-1课件空间向量与平行关系
B.l⊂α
C.l⊥α
D.l⊂α或l∥α
解析 ∵a·b＝0，∴l⊂α或l∥α.
解析答案
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5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是 _②__③__.(填序号) ①A→B；②A—A→1；③B—1→B；④A—1—C→1. 解析 ∵AA1⊥平面ABC，B1B⊥平面ABC， ∴A—A→1与B—1→B可以作为平面 ABC 的法向量.
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2.已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标
平面( C )
A.xOy平行
B.xOz平行为A→B＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB∥平面yOz.
解析答案
12345
3.若A(1,0，－1)，B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( A )
解析答案
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当堂检测
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1.已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量.若l1∥l2， 则( D )
A.x＝6，y＝15 C.x＝3，y＝15
B.x＝3，y＝125 D.x＝6，y＝125
解析 由 l1∥l2 得，23＝4x＝5y，解得 x＝6，y＝125.
解析答案
第三章 § 3.2 立体几何中的向量方法
第1课时 空间向量与平行关系
学习 目标
1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行 问题. 2.会用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系.
栏目 索引
知识梳理 题型探究 当堂检测
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
知识点一 直线的方向向量和平面的法向量
2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《3.2.4空间向量与空间距离》课时提升作业(含答案解析)
课时提升作业(二十八)空间向量与空间距离(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·济宁高二检测)如图所示,在空间直角坐标系中,有一棱长为a的正方体ABCO-A′B′C′D′,A′C的中点E与AB的中点F的距离为( )A. aB. aC.aD.a【解析】选B.由图易知A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A′(a,0,a),所以F,E.所以|EF|=== a.2.已知直线l过点A(1,-1,2),和l垂直的一个向量为n=(-3,0,4),则P(3,5,0)到l的距离为( )A.5B.14C.D.【解析】选C.因为=(-2,-6,2).所以·n=(-2,-6,2)·(-3,0,4)=14,|n|==5.所以点P到直线l的距离为=.3.已知向量n=(2,0,1)为平面α的法向量,点A(-1,2,1)在α内,则P(1,2,-2)到α的距离为( )A. B. C.2 D.【解析】选 A.因为=(-2,0,3),所以点P到平面α的距离为d===.4.(2014·安顺高二检测)正四面体ABCD的棱长为1,G是△ABC的中心,M在线段DG上,且∠AMB=90°,则GM的长为( )A. B. C. D.【解析】选D.设=a,=b,=c,=+λ=-a+(a+b+c)=a+b+c,=+=(a-b)+a+b+c=a+b+c.由·=0,a·b=b·c=a·c=,可解得λ=.||=||=.【一题多解】取AB的中点N,由正四面体的对称性可知△AMB为等腰三角形,所以MN=AB=.又G为△ABC的中心,所以NG=,故MG==.5.(2014·南宁高二检测)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1,则直线DA1与AC 间的距离为( )A. B. C. D.【解析】选C.建立以A为原点,以AB,AD,AA1为x,y,z轴的空间直角坐标系,则得A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),=(1,1,0),=(0,-1,1),设线段MN为两直线DA1与AC的公垂线段,且设=(x,y,z),则⊥,⊥,得x+y=0,-y+z=0,令y=t,则=(-t,t,t),另可设M(m,m,0),N(0,a,b),=(-m,a-m,b)N(0,2t,t),2t+t=1,t=,=,==.6.(2014·邯郸高二检测)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=, N为BB1的中点,则|MN|的长为( )A. aB. aC. aD. a【解析】选A.设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=a,a·b=b·c=c·a=0,由条件知,=-=(+)-=(++)-(++)=(2a-c)-(-c+a+b)=a-b-c,||2==(2a-b-c)2=(4|a|2+|b|2+|c|2-4a·b-2a·c+b·c)=,所以||= a.【变式训练】正四面体ABCD棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为.【解析】||2==(++)2=+++2(·+·+·)=12+22+12+2[1×2×cos 120°+0+2×1×cos 120°]=2,所以||=,所以EF的长为.答案:二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·延安高二检测)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,如果AB=BC=1,AA1=2,那么A 到直线A1C的距离为.【解析】建立如图所示空间坐标系A1xyz,则A1(0,0,0),A(0,0,2),C(1,1,2),=(1,1,2),=(0,0,2),又cos∠AA1C===.设A到直线A1C的距离为d,则d=||sin∠AA1C=2×=.答案:8.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,CD的中点,则BD到平面EFD1B1的距离为 .【解析】以D为原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,易求平面EFD1B1的法向量n=,又=,所以d==.答案:9.(2014·石家庄高二检测)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱A1B1,BB1的中点,则异面直线AM与CN的距离为.【解析】以A为原点,直线AB,AD,AA1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,易知=,=,设n=(x,y,z),且n⊥,n⊥,所以n·=x+z=0,n·=-y+z=0,所以x=-2z,y=z.取z=2,则n=(-4,1,2),所以AM与CN的距离d==.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·黄山高二检测)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=4,点M 在A1C1上,|MC1|=2|A1M|,N为D1C的中点,求M,N两点间的距离.【解题指南】建立空间直角坐标系表示出点M,N的坐标,利用空间两点的距离公式求出距离.【解析】建立如图所示空间直角坐标系,据题意有|A1C1|=2,因为|MC1|=2|A1M|,所以|A1M|=.所以M.又C(2,2,0),D1(0,2,4),N为CD1的中点,所以N(1,2,2),所以|MN|==.11.三棱柱ABC-A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱,D是侧棱CC1的中点.(1)求证:平面AB1D⊥平面ABB1A1.(2)求点C到平面AB1D的距离.【解析】(1)如图所示,取AB1中点M,则=++,又=++.所以2=+=+.2·=(+)·=0,2·=(+)·(-)=||2-||2=0, 所以DM⊥AA1,DM⊥AB.所以DM⊥平面ABB1A1.因为DM⊂平面AB1D,所以平面AB1D⊥平面ABB1A1.(2)因为A1B⊥DM,A1B⊥AB1.所以A1B⊥平面AB1D.所以是平面AB1D的一个法向量.所以点C到平面AB1D的距离为d===== a.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2013·济南高二检测)已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若=2,则空间P,D两点间的距离为( )A. B. C. D.【解题指南】先利用=2的关系求出P点坐标,再求两点间的距离.【解析】选D.设P(x,y,z),因为=2,所以(x-1,y-2,z-1)=2(-1-x,3-y,4-z),所以所以所以P(-,,3),=(,-,-2),所以||=.2.(2014·衡水高二检测)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=,||=1,点E是棱PB的中点.直线AB与平面ECD的距离为( )A.1B.C.D.【解析】选B.如图,以A为坐标原点,射线AB,AD,AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴,建立空间直角坐标系Axyz.则B(,0,0),P(0,0,),E.由||=1,得D(0,1,0),C(,1,0),从而=(,0,0),=,=,设平面DEC的法向量n=(x,y,z),则n·=0,n·=0.故所以x=0,z=y.可取y=1,则n=(0,1,).故点A到平面ECD的距离d===,又直线AB∥平面ECD,所以直线AB到平面ECD的距离为.【变式训练】在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,则AD到平面PBC的距离为( )A. B.3 C.2 D.【解析】选D.由已知AB,AD,AP两两垂直.所以以A为坐标原点,AB,AD,AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),=(2,0,-2).=(0,2,0),设平面PBC的法向量为n=(a,b,c),则所以n=(1,0,1),又=(2,0,0),所以d==.3.(2014·昆明高二检测)ABCD为正方形,P为平面ABCD外一点,PD⊥AD,PD=AD=2,二面角P-AD-C的大小为60°,则P到AB的距离是( )A.2B.C.2D.【解析】选D.如图建立直角坐标系,易知∠PDC为二面角P-AD-C的平面角,PD=AD=2,得P(0,1,),A(2,0,0),B(2,2,0),=(-2,1,),=(0,2,0),设点P到AB的距离为d,则d=||sin∠PAB,cos∠PAB===,sin∠PAB===,所以d=×=.4.(2014·西安高二检测)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离是( )A. B. C. D.【解析】选B.以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则有D1(0,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),A1(1,0,1), C1(0,1,1).因O为A1C1的中点,所以O,=,设平面ABC1D1的法向量为n=(x,y,z),则有即取n=(1,0,1),所以O到平面ABC1D1的距离为:d===.二、填空题(每小题5分,共10分)5.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,2AC=AA1=BC=2.若二面角B1-DC-C1的大小为60°,则AD的长为.x【解析】以C为坐标原点,CA,CB,CC轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2).设AD=a,则D点坐标为(1,0,a),=(1,0,a),=(0,2,2),设平面B1CD的一个法向量为m=(x,y,z).则⇒令z=-1,得m=(a,1,-1),又平面C1DC的一个法向量为n=(0,1,0),则由cos60°=得=,即a=,故AD=.答案:6.(2014·南京高二检测)等腰Rt△ABC斜边BC上的高AD=1,以AD为折痕将△ABD 与△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出以下结论:①BD⊥AC;②∠BAC=60°;③异面直线AB与CD之间的距离为;④点D到平面ABC的距离为;⑤直线AC与平面ABD所成的角为45°.其中正确结论的序号是.【解析】因为AD⊥BD,AD⊥CD,平面ABD⊥平面ACD,所以∠BDC=90°,所以BD⊥平面ACD,所以BD⊥AC,所以①正确;又知AD=BD=CD=1,所以△ABC为正三角形,∠BAC=60°,所以②正确;以D为原点,DB,DC,DA分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 易知A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),所以=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(0,1,0),设n=(x,y,z),由n·=0,n·=0得x-z=0,y=0,令z=1得n=(1,0,1),所以异面直线AB与DC之间的距离d==,故③正确;因为△ABC边长为,所以S△ABC=,由V A-BDC=V D-ABC得×(×1×1)×1=××h,所以h=,故④正确;因为CD⊥平面ABD,所以∠CAD为直线AC与平面ABD所成的角,易知∠CAD=45°,故⑤正确.答案:①②③④⑤三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014·泰安高二检测)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点M,N分别为A1A和B1B的中点.(1)求异面直线CM与D1N所成角的余弦值.(2)求点D1到平面MDC的距离.【解析】(1)分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则M(2,0,1),C(0,2,0),N(2,2,1),D1(0,0,2).所以=(-2,2,-1),=(2,2,-1),cos<,>==,所以异面直线CM与D1N所成角的余弦值为.(2)=(2,0,1),=(0,2,0),=(0,0,2).设面DMC的法向量为n=(x,y,z),则⇒n=(1,0,-2),所以点D1到平面MDC的距离h===.【变式训练】(2014·安庆高二检测)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1,AEC1F为平行四边形.(1)求BF的长.(2)求点C到平面AEC1F的距离.【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3),设F(0,0,z). 因为四边形AEC1F为平行四边形,所以由=得,(-2,0,z)=(-2,0,2),所以z=2.所以F(0,0,2).所以=(-2,-4,2).于是||=2.即BF的长为2.(2)设n1为平面AEC1F的法向量,显然n1不垂直于平面ADF,故可设n1=(x,y,1),所以所以即所以又=(0,0,3),设与n1的夹角为α,则cosα===.所以C到平面AEC1F的距离为d=||·cosα=3×=.【拓展延伸】用向量法求点面距离的方法与步骤8.(2014·石家庄高二检测)已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.(1)求点D到平面PEF的距离.(2)求直线AC到平面PEF的距离.【解析】(1)建立以D为坐标原点,DA,DC,DP分别为x轴,y轴,z轴的空间直角坐标系,如图所示.则P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E(1,,0),F(,1,0),=,=,设平面PEF的法向量n=(x,y,z),则n·=0且n·=0,所以令x=2,则y=2,z=3,所以n=(2,2,3),所以点D到平面PEF的距离为d===,因此,点D到平面PEF的距离为.(2)因为=,所以点A到平面PEF的距离为d===,所以AC到平面PEF的距离为.【变式训练】如图所示,已知边长为4的正三角形ABC中,E,F分别为BC和AC 的中点,PA⊥平面ABC,且PA=2,设平面α过PF且与AE平行,求AE与平面α间的距离.【解析】设,,的单位向量分别为e1,e2,e3,选取{e1,e2,e3}作为空间向量的一组基底,易知e1·e2=e2·e3=e3·e1=0,=2e1,=2e2,=2e3,=+=+=+(+)=-2e1+e2+e3,设n=x e1+y e2+e3是平面α的一个法向量, 则n⊥,n⊥,所以⇒⇒所以n=e1+e3.所以直线AE与平面α间的距离为。
【同步教学参考】高中数学人教版课件(新课标)选修2-1 第三章第3章-3.2-空间向量与平行关系 第1课时
∴
令 y＝－1 得 x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1)．
1．若一个几何体中存在线面垂直关系，则平面的 垂线的方向向量即为平面的法向量． 2．一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量， 步骤如下： (1)设出平面的法向量为 n＝(x，y，z)． (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．
正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， E、 F 分别为棱 A1D1、 A1B1 的中点，在如图 3－2－3 所示的空间直角坐标系 中，求：
图 3－2－3 (1)平面 BDD1B1 的一个法向量． (2)平面 BDEF 的一个法向量．
【解】
设正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2，则 D(0,0,0)，
3.2
立体几何中的向量方法 空间向量与平行关系
第 1 课时
教师用书独具演示
●三维目标 1.知识与技能 能用向量语言表述直线与直线、 直线与平面、 平面 与平面的平行关系， 能用向量方法判断有关直线和平面 平行关系的立体几何问题．
2．过程与方法 通过用ห้องสมุดไป่ตู้量方法解决立体几何中的平行问题的过 程，体会向量运算的几何意义． 3．情感、态度与价值观 引导学生用联系与转化的观点看问题， 体验在探索 问题的过程中的受挫感和成功感， 培养合作意识和创新 精神， 同时感受数学的形式美与简洁美， 从而激发学习 兴趣．
(3)根据法向量的定义建立关于 x，y，z 的方程组
a＝0， n· b＝0. n·
(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量．
3．在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组
a＝0， n· b＝0 n·
有无数多个解，只需给 x，y，z 中的一个变
人教A版高中数学选修2-1课件-空间向量与平行关系
1．本例中条件不变，试证明平面 A1BD∥平面 CB1D1．
[证明] 由例题解析知，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)， 则C→D1＝(0，－1,1)，D→1B1＝(1,1,0)， 设平面 CB1D1 的法向量为 m＝(x1，y1，z1)， 则mm⊥⊥CD→→D1B11 ，即mm··CD→→D1B11＝＝－x1y＋1＋y1z＝1＝0，0， 令 y1＝1，可得平面 CB1D1 的一个法向量为 m＝(－1,1,1)， 又平面 A1BD 的一个法向量为 n＝(1，－1，－1)． 所以 m＝－n，所以 m∥n，故平面 A1BD∥平面 CB1D1．
第三章 空间向量与立体几何
3.2 立体几何中的向量方法 第1课时 空间向量与平行关系
学习目标
核心素养
1．通过平面法向量的学习， 1．掌握直线的方向向量，平
培养学生数学运算的核心素 面的法向量的概念及求
养． 法．(重点)
2．借助利用空间向量解决平 2．熟练掌握用方向向量，法
行问题的学习，提升学生的数 向量证明线线、线面、面面
2．若本例换为：在如图所示的多面体中，EF⊥平面 AEB， AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2， G 是 BC 的中点，求证：AB∥平面 DEG．
[证明] ∵EF⊥平面 AEB，AE⊂平面 AEB，BE⊂平面 AEB， ∴EF⊥AE，EF⊥BE． 又∵AE⊥EB，∴EB，EF，EA 两两垂直． 以点 E 为坐标原点，EB，EF，EA 分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立 如图所示的空间直角坐标系．
－1,1)．
1．利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为 n＝(x，y，z)． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量A→B，A→C． (3)列方程组：由nn··AA→→BC＝＝00，， 列出方程组．
高中数学人教A版选修2-1课件：3-2-1 用向量方法解决平行问
-1-
第1课时
用向量方法解决平行问题
-2-
目标导航
第一章
三角函数
1.理解直线的方向向量和平面的法向量. 2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系.
栏目 导引
重难聚焦
第一章
三角函数
1.求一个平面的法向量的一般步骤 剖析:若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要先建立空间直 角坐标系,然后用待定系数法求解,一般步骤如下: (1)设出平面的法向量为n=(x,y,z). (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量 a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2). ������· ������ = 0, (3)根据法向量的定义建立关于 x,y,z 的方程组 ������· ������ = 0. (4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量. ������· ������ = 0, 在利用上述步骤求解平面的法向量时,方程组 ������· ������ = 0 有无数多个解,只需给 x,y,z 中的一个变量赋一个值,即可确定平面的 一个法向量;赋的值不同,所求平面的法向量就不同,但它们是共线向 量.注意赋值不能为零.
栏目 导引
重难聚焦
第一章
三角函数
2.用向量方法证明空间中的平行关系 剖析:空间中的平行关系主要是指:线线平行、线面平行、面面 平行. (1)线线平行 设不重合的直线l1,l2的方向向量分别是a,b,则要证明l1∥l2,只需证 明a∥b,即a=kb(k∈R). (2)线面平行 ①设直线l的方向向量是a,平面α的法向量是u,则要证明l∥α,只需 证明a⊥u,即a· u=0. ②根据线面平行的判定定理:“如果直线(平面外)与平面内的一条 直线平行,那么这条直线和这个平面平行”,要证明一条直线和一个 平面平行,也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共 线向量即可.
高中数学3.2第一课时空间向量与平行、垂直关系课件新人教A版选修2-1
空间垂直关系的向量表示 [提出问题] 问题1：直线的方向向量与一平面的法向量平行，则该直线 与平面有什么关系？ 提示：垂直． 问题2：若两平面的法向量垂直，则两平面垂直吗？
提示：垂直．
求平面的法向量 [例1] 已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，
求平面α的一个法向量．
6.明析空间向量加减运算的失误
[典例] (12 分)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是棱 BC 的中点， 试在棱 CC1 上求一点 P，使得平面 A1B1P⊥平面 C1DE.
[解题流程]
[随堂即时演练]
1．若两个不同平面 α，β 的法向量分别为 u＝(1,2，－1)，v＝(－3，
[活学活用] 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2， P，Q，R，S 分别是 AA1，D1C1，AB，CC1 的中点． 求证：PQ∥RS. 证明：法一：以点 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标课时 空间向量与平行、垂直关系
平面的法向量 [提出问题] 1．如图(1)所示，直线l∥m，在直线l上取两点A，B，在 直线m上取两点C，D. 2．如图(2)所示，直线l⊥平面α，直线l∥m，在直线m上 取向量n.
问题1：―A→B 与直线l有何关系？―C→D 与直线l有何关系？ 提示：―A→B 在直线l上，―C→D 与直线l平行． 问题2：图(2)中，n与直线l平行吗？ 提示：平行． 问题3：l⊥α，向量n也垂直于α吗？ 提示：垂直．
[类题通法] 利用待定系数法求法向量的解题步骤
用空间向量证明平行问题
[例2] 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是 BB1，DD1的中点，求证：
【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-1课件：3.1.1空间向量及其加减运算
[答案]
→ → → DC，D1C1，A1B1
要准确把握空间向量加减运算法则 → → 在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，化简DA－DB＋ → → → → B1C－B1B＋A1B1－A1B.
[错解]
→ → → → → → DA－DB＋B1C－B1B＋A1B1－A1B
→ → → → → → → → → ＝AB＋CB＋B1B＝DC＋DA＋B1B＝DB＋D1D＝D1B. [辨析] → 对于向量减法的三角形法则理解错误致误，如DA
平面向量的加法、减法运算图示意义:
b
向量加法的三角形法则
b
向量加法的平行四边形法则
a
a
b a
向量减法的三角形法则
减向量终点指向 被减向量终点
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
[答案] 相等 相反
3
+ 3．向量可以用有向线段表示，是否可以说向
量就是有向线段？ + [答案] 不能
空间向量的加减运算
+ + + +
温故知新 2．回顾复习平面向量的加减运算法则及运算律． 思维导航 2．类比平面向量加减法的意义，如何定义两个空间 向量的和与差？空间中任意两个向量总能平移到同一 平面内吗？三个呢？原平面向量加减法的运算律在空 间向量中还适用吗？
牛刀小试 1．下列命题中，假命题是( → → A．向量AB与BA的长度相等 B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C．只有零向量的模等于 0 D．在同一条直线上的单位向量都相等 )
+ [答案] + [解析]
数学第三章3.2第1课时空间向量与平行、垂直关系课件(人教A版选修2-1)
第1课时 空间向量与平行、垂直关系
学习导航 学习目标
重点难点 重点：利用空间向量证明线线、 线面、面面垂直与平行． 难点：把线、面问题转化为向量问题．
新知初探思维启动
1.法向量 如图所示,直线l⊥α,取直线l的___________方，向向量a 则向量a叫做平面α的_________，法给向定量一点A 和一个向量a，则过点A，以a为法向量的平面 是完全确定的．
SA＝AB＝BC＝1，AD＝12，建立适当的空间直 角坐标系，求平面 SCD 与平面 SBA 的一个法向 量．
解：以 A 点为原点建立空间直角坐标系，
则 A(0，0，0)，D21，0，0，C(1，1，0)，S(0，
0，1)，
则D→C＝21，1，0， D→S＝－12，0，1. 易知向量A→D＝21，0，0是平面 SAB 的一个法
变式训练 2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、 N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面 A1BD.
证明：法一：如图，以 D 为 原点，DA、DC、DD1 所在直 线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建 立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则
可求得 M0，1，12、N21，1，1、D(0，0，
E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
【证明】 如图所示建立空间直角坐标系 Dxyz， 则有 D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)， C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2， 2，2)， 所以F→C1＝(0，2，1)，
∴M→N·n＝21，0，12·(1，－1，－1)＝0，
2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示》 课件
知识点2
空间向量的正交分解及坐标表示
1.单位正交基底的特点: (1)位置:三个向量两两垂直且有公共起点O. (2)模长:每个向量的模都等于1. (3)记法:一般记作{e1,e2,e3},{i,j,k}等.
2.空间直角坐标系: 以单位正交基底e1,e2,e3的公共起点O为原点,以e1,e2,e3的方向 为x轴、y轴、z轴正方向的空间坐标系要注意的五点: ①记法:空间坐标系O-xyz; ②坐标面:经过任意两个轴的平面为坐标面,它们分别为xOy 面,xOz面和yOz面;
类型二 用基底表示向量
【典例2】
(1)在四面体O-ABC中，OA＝a， D为BC的中点， OB ＝b， OC ＝c，
E为AD的中点，则 OE＝(
1 1 1 A. a－ b＋ c 2 4 4 1 1 B.a－ b＋ c 2 2 1 1 1 C. a＋ b＋ c 2 4 4 1 1 1 D. a＋ b＋ c 4 2 4
A.λ =-2,μ =-4,ν =-5
C.λ =-2,μ =10,ν =8
B.λ =2,μ =-4,ν =-5
D.λ =2,μ =10,ν =7
【解析】选D.因为点A(2,3-μ,-1+ν)关于x轴的对称点是横坐
标不变,纵坐标与竖坐标变为原来的相反数,即为(2,μ-3,1-
ν),所以有λ=2,μ-3=7,1-ν=-6,即λ=2,μ=10,ν=7.
③坐标向量:e1,e2,e3叫坐标向量; ④画法:一般使用∠xOy=45°或135°,∠yOz=90°; ⑤点的坐标:p=xe1+ye2+ze3则p=(x,y,z),x,y,z分别叫横坐标、 纵坐标、竖坐标.
【微思考】
(1)在空间几何图形中建立空间直角坐标系的关键是什么?