八年级数学证明课件1
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北师大版八年级数学下册课件 1.1等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质

1.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
学习目标
1. 理解并掌握两个三角形全等的判别方法(AAS)以及 等腰三角形的概念及性质;(重点) 2. 能运用等腰三角形的性质解决相关问题.(难点)
复习导入 观察图中的等腰三角形ABC,分别指出它的腰、底边、顶角和 底角.
A
腰 顶角 腰
B 底角 底角 C
随堂检测 1.在△ABC中,AB=AC, AD垂直于BC ,垂足为D , ∠BAC=108°, 则 ∠BAD= __5_4_°_.
2.在等腰三角形中,有一个角是 50°,它的一条腰上的高与
底边的夹角是( B )
A.25°
B40°
随堂检测 3.如图,在△ABC 中, D为 AC 边上一点,以点 A 为圆心,AD为 半径画弧,交 BA 的延长线于点E ,连接 ED .若∠C=50°, ∠ B= 60°,则∠CDE 的度数为( A) .
A.145° C.135°
B.140° D.130°
随堂检测
4.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,点E在AB上,且BC=BD, AD=DE=BE,则∠A= 45°.
【解析】如图,设某个较小的角为 x,其他的角 度分别用含有 x 的式子表示. 利用外角与三角形内角和, 列方程:2x+3x+3x=180,即8x=180,求得 ∠A=2x=45°.
底边
思考 我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的
两个三角形全等”这个结论,你能用有关的基本事实和学习过的定 理证明它吗?
A
D
B
C
E
F
合作探究 已知:如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,
BC=EF.
湘教版八年级数学下册第一章《直角三角形的性质和判定(Ⅰ)》课件

我们发现:直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半
四、想一想,探究性质定理
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,如果 C
中线为CD,是否有CD= 1 AB,为什么? 2 1
2
试说明理由。
B
D (D′) A
过C作射线CD′交AB于D′,使∠ 1=∠ A, 则AD′=CD′(等角对等边)
又∠A+∠B=90°(直角三角形两锐角互余) ∠C=∠1+∠2=90°
古,
至行
今万
,里
学路
习。
和”
旅今
行人
都说
是:
相“
辅要
相么
You made my day!
成读 的书
两,
件要
事么
。旅
。行
,
身
体
和
灵
魂
总
要
我们,还在路上……
1.1直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
一、回顾知识引入课题
1.直角三角形的定义 有一个是直角的三角形叫直角三角形
2.三角形内角和的性质 三角形内角和等于180°
3.三角形中线的定义 三角形顶点与对边中点的连线段
这节课我们一起探索直角三角形的判定与性质
A 二、想一想,探求判定定理
1.如图在Rt△ABC中, 两锐角的和∠A+∠ B=?
是直角三角形)
六、巩固与练习
C
1.下列说法错误的是( C )
A.一定有∠A=∠C
A
B.只要有一边相等就有△ABO≌ △CDO
C.只要再给一个条件就能得到△ABO≌ △CDO
D.有OA=OC或OB=OD,就有AB=CD
2.若一个三角形的三内角之比为 2:1:1,则该三角形是 等腰直角三角形
四、想一想,探究性质定理
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,如果 C
中线为CD,是否有CD= 1 AB,为什么? 2 1
2
试说明理由。
B
D (D′) A
过C作射线CD′交AB于D′,使∠ 1=∠ A, 则AD′=CD′(等角对等边)
又∠A+∠B=90°(直角三角形两锐角互余) ∠C=∠1+∠2=90°
古,
至行
今万
,里
学路
习。
和”
旅今
行人
都说
是:
相“
辅要
相么
You made my day!
成读 的书
两,
件要
事么
。旅
。行
,
身
体
和
灵
魂
总
要
我们,还在路上……
1.1直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
一、回顾知识引入课题
1.直角三角形的定义 有一个是直角的三角形叫直角三角形
2.三角形内角和的性质 三角形内角和等于180°
3.三角形中线的定义 三角形顶点与对边中点的连线段
这节课我们一起探索直角三角形的判定与性质
A 二、想一想,探求判定定理
1.如图在Rt△ABC中, 两锐角的和∠A+∠ B=?
是直角三角形)
六、巩固与练习
C
1.下列说法错误的是( C )
A.一定有∠A=∠C
A
B.只要有一边相等就有△ABO≌ △CDO
C.只要再给一个条件就能得到△ABO≌ △CDO
D.有OA=OC或OB=OD,就有AB=CD
2.若一个三角形的三内角之比为 2:1:1,则该三角形是 等腰直角三角形
新北师大版八年级上册数学1.1探索勾股定理(1)课件

△ABC面积为2__4___,斜边为上的高为4_._8____.
A D
C
B
4.在△ABC中,∠C=90º, (1) 若a=5,b=12,则c=___1_3____; (2) 若a=15,c=25,则b=__2_0_____; (3) 若c=61,b=60,则a=___11_____; (4) 若a:b=3:4,c=10,则a=__6______,b=__8______; (5) 若a:c=3:5 ,b=8,则a=___6_____;
勾股定理在中国有着悠久的历史, “勾三,股四,弦五” 结论可以上溯到大禹治水时代(大约公元前21世纪),一般 勾股定理最晚到公元前6至7世纪己经明确并得到广泛的 应用.
勾股定理是数学中最重要的基本定理之一,20世纪80 代,科学界曾征集有史以来科学上的十大发现,结果数学只 有唯一的一条入选,它就是勾股定理.
5. 一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙 上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少?
A
解:在Rt△ABC中,根据勾
股定理,得 BC2+AC2=AB2
即 BC2+2.42 = 2.52
∴ BC=0.7.
C
B
6.在等腰三角形ABC中, AC=BC=5cm,AB=6cm,
求三角形ABC的面积
重要的 思想方 法及数 学思想
格?它们的面积各是多少?
4,4,8
C
A
(3)你能发现两图中三个
B
C 图1-1 A
正方形A,B,C的面积之 间有什么关系吗?
9,9,18; 4,4,8
B
图1-2
SA+SB=SC
(图中每个小方格代表一个单位面积)
2.阅读课本P3做一做
八年级数学下册第一章三角形的证明1.2教材习题课件新版北师大版

又∵AB=AD,∴AE=AF.
A
在△AEC和△AFC中,
E
F
∵AE=AF,∠EAC=∠FAC,AC=AC, B
D
∴△AEC≌△AFC(SAS),
∴EC =FC.
∴这两根彩线的长度相等.
C
(2) 如果AE=1 AB,AF= 1 AD,那么彩线的长度相等吗?
如果AE=
1
3
AB,AF=
1
3
AD呢?由此你能得到什么结论?
(1) 分别在AB,AD的中点E,F处拉两根彩线EC,FC,
证明:这两根彩线的长度相等; (1)证明:如图,连接AC. 在△ABC和△ADC中,
A E B
F D
∵AB=AD,BC=DC,AC=AC,
∴△ABC≌△ADC(SSS),
∴∠BAC=∠DAC.
C
∵E,F分别为AB,AD的中点,
∴AB=2AE,AD=2AF.
∵∠BDC=∠ABD+∠A,
A
∴∠A=∠BDC-∠ABD=2x°-x°=x°.
∵∠A+∠ABC+∠C=180°,
D
∴x+2x+2x=180.解得x=36 ∴∠A=36°.
B
C
2. 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,
点E,F分别在AB和AC上,并且AE=AF.
求证:DE=DF.
A
八(下)数学教材习题
习题 1.2
1. 如图,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,交AC
于点D. 若BD=BC,则∠A等于多少度?
解:设∠ABD=x°,
A
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠ABD=2x°. ∵AB=AC, ∴∠C=∠ABC=2x°.
直角三角形(第1课时)-2022-2023学年八年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)

勾股定理的证明—总统证明法
美国第二十任总统伽菲尔德,在 1876年利用了梯形面积公式证明勾股定
理.
c
b a
s1
1 2
(a
b)(a
b)
1 2
(a2
2ab
b2 )
a
1 2
a2
1 2
b2
ab,
b
s2
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2
ab
1 2
c2
伽菲尔德的证法在数学史上 被传为佳话,后来,人们为了 纪念他对勾股定理直观.简捷 .易懂.明了的证明,就把这 一证法称为“总统”证法 .
在△ABC中,因为 ∠A +∠B+∠C=180°, 又∠A +∠B=90°,所以∠C=90°. 于是 △ABC是直角三角形.
定理:有两个角互余的三角形是直角三角形
(二)直角三角形-边的性质 勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.即a2+b2=c2. 勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理.
在Rt△BCD中,由勾股定理得
四、课堂练习
8. 如图,在△ABC中,已知AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线
AD=12c=CD,BC=10cm,∴ BD=5cm. ∴ 在△ABD中,
AD2+BD2=122+52=144+25=169,
AB2=132=169 ∴AD2+BD2=AB2. ∴△ABD是直角三角形 在Rt△ADC中 ∴AC2=DC2+AD2=122+52=144+25=169, ∴AC2=AB2 ∴AB=AC
四、课堂练习
3.△ABC的三边分别为a,b,c,则无法判断△ABC为直角三角形的
八年级数学上册人教版课件:1最短路径问题

将点B“移”到l 的另一侧B′
处,满足直线l 上的任意一点
A
·
C,都保持CB 与CB′的长度
相等?
B
·
l
探究 活动 1
问题2 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直 线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小?
B
追问2 你能利用轴对称的 A
·
有关知识,找到上问中符合条
·
件的点B′吗?
l
探究 活动 1
问题2 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直 线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小?
作法:
(1)作点B 关于直线l 的对称
A
·
点B′;
(2)连接AB′,与直线l 相交
C
于点C.
则点C 即为所求.
B
·
l B′
探究 活动 1
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?
即 AC +BC 最短.
B′
探究 活动 1
证明AC +BC 最短时,为什么要在直线l 上任取一 点C′(与点C 不重合),证明AC +BC <AC′
+BC′?这里的“C′”的作用是什么?
若直线l 上任意一点(与点 C 不重合)与A,B 两点的距离 和都大于AC +BC,就说明AC + BC 最小.
N
A/
P
Q
B/
A
M
B
l
探究 活动 3
(造桥选址问题)如图,A和B两地在一条河的 两岸,现要在河上造一座桥MN,桥造在何处可使 从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平 行的直线,桥要与河垂直。)
北师版八年级数学上册课件 第七章 平行线的证明 三角形内角和定理 第1课时 三角形内角和定理的证明
三、解答题(共36分) 14.(10分)如图,△ABC中,∠ABC=40°,∠C=60°,AD⊥BC于点 D,AE是∠BAC的平分线.求∠AED的度数.
解:∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°. ∵∠ABC=40°,∠C=60°,∴∠BAD=50°,∠CAD= 30°.∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=50°+30°=80°. ∵AE是∠BAC的平分线,∴∠BAE=40°.∴∠DAE=∠BAD-∠BAE =50°-40°=10°.∴∠AED=90°-∠DAE=80°
7.(4分)(天门中考)如图,AD∥BC,∠C=30°,∠ADB∶∠BDC= 1∶2,则∠DBC的度数是__5_0_°_.
8.(8分)如图,D是AB上一点,E是AC上一点,BE,CD相交于点F, ∠A=57°,∠ACD=35°,∠ABE=19°,求∠BFD的度数.
解:∵∠A=57°,∠ACD=35°,∴∠ADC=180°-∠A-∠ACD= 180°-57°-35°=88°.∴∠BDC=180°-∠ADC=180°-88°= 92°.
A.20° B.40° C.60° D.80°
3.(3分)已知△ABC的三个内角∠A,∠B,∠C满足关系式∠B+∠C= 2∠A,则此三角形( B )
A.有一个内角为45° B.有一个内角为60° C.是直角三角形 D.是钝角三角形
4.(3分)如图,在△ABC中,点D在AB上,点E在AC上,DE∥BC,若 ∠A=70°,∠AED=60°,则∠B的大小为( A)
∵∠ABE=19°,∴∠BFD=180°-∠BDC-∠ABE=180°-92°- 19°=69°
9.(9分)(教材P185复习题T6变式)如图,在△ABC中,CD平分∠ACB,过 点D作DE∥BC交AC于点E,若∠A=54°,∠B=48°,求∠CDE的度数.
北师大版初中数学8年级下册1.2 第2课时 直角三角形全等的判定[1] -课件
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随堂训练
A
1.已知:如图,D是△ABC的BC边
上的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足
分别为E,F,且DE=DF.
F
E
求证: △ABC是等腰三角形.
B
D
C
分析:要证明△ABC是等腰三角形,
就需要证明AB=AC; 从而需要证明∠B=∠C;
进而需要证明∠B∠C所在的
△BDF≌△CDE; 而△BDF≌△CDE的条件:
第一章 三角形的证明
1.2 直角三角形
第2课时 直角三角形全等的判定
复习 导入
合作 探究
课堂 小结
随堂 作业
复习导入
三角形全等的判定
公理:三边对应相等的两个三角形全等(SSS). 公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS). 公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) . 推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 (AAS).
你作的直角三角形与小明作的全等吗?
直角三角形全等的判定定理及其 三种语言
定理:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形 全等(斜边,直角边或HL).
如图,在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=900 , ∵AC=A′C ′, AB=A′B′(已知), ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).
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做一做
已知一条直角边和斜边,求作一个直角三 角形. 已知:如图,线段a,c (a<c),直角 . 求作:Rt △ABC,使∠C=
∠ ,BC=a,AB=c.
小明的作法如下: (1)作∠MCN= ∠ =90(°2)在射线CM上截取CB=a.
(3)以点B为圆心,线 (4)连接AB,得到Rt △ABC. 段c的长为半径作弧,交 射线CN与点A.
随堂训练
A
1.已知:如图,D是△ABC的BC边
上的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足
分别为E,F,且DE=DF.
F
E
求证: △ABC是等腰三角形.
B
D
C
分析:要证明△ABC是等腰三角形,
就需要证明AB=AC; 从而需要证明∠B=∠C;
进而需要证明∠B∠C所在的
△BDF≌△CDE; 而△BDF≌△CDE的条件:
第一章 三角形的证明
1.2 直角三角形
第2课时 直角三角形全等的判定
复习 导入
合作 探究
课堂 小结
随堂 作业
复习导入
三角形全等的判定
公理:三边对应相等的两个三角形全等(SSS). 公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS). 公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) . 推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 (AAS).
你作的直角三角形与小明作的全等吗?
直角三角形全等的判定定理及其 三种语言
定理:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形 全等(斜边,直角边或HL).
如图,在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=900 , ∵AC=A′C ′, AB=A′B′(已知), ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).
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做一做
已知一条直角边和斜边,求作一个直角三 角形. 已知:如图,线段a,c (a<c),直角 . 求作:Rt △ABC,使∠C=
∠ ,BC=a,AB=c.
小明的作法如下: (1)作∠MCN= ∠ =90(°2)在射线CM上截取CB=a.
(3)以点B为圆心,线 (4)连接AB,得到Rt △ABC. 段c的长为半径作弧,交 射线CN与点A.
八年级数学下册教学课件《1.3线段的垂直平分线(1)》
(2)∵ MA=MB
∴∠1=∠B 同理, ∠2=∠C
∵∠MON=50°,OM ⊥AB, ON ⊥AC
∴∠BAC=360 °-90 °-90 °-50 °=130° 即∠1+ ∠MAN + ∠2=130° ①
又∵ ∠B+ ∠BAC + ∠C=180° ∴∠B+ ∠1+ ∠MAN + ∠2 + ∠C=180° 即2∠1+ ∠MAN + 2∠2=180° ② ∴∠1+ ∠2 =50° ∴∠MAN=130°﹣50°=80°
几何语言: ∵MN⊥AB,AC=BC
M lP
∴PA=PB (线段垂直平分线上的点到
∴∠A=∠B 这条线段两个端点距离相等).
∴∠A=∠B (等边对等角).
A
C
B
常用辅助线:给出线段垂直平分线上的点,将它与线段两端N 点连接起来
这条定理常用来证明两条线段或两个角相等
探究新知 1
线段的垂直平分线的性质
判定
1.经过线段的中点,并且垂直于这条线段的直线 是线段的垂直平分线。
2.到一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上。
当堂检测
当堂检测
1.如图,已知在△ABC中,AD垂直平分BC,AC=EC,点B,D,C,E
在同一条直线上,则AB.AB+DB>DE B.AB+DB<DE C.AB+DB=DE D.非上述答案
巩固练习:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,BD=BC,过D作 AB的垂线交AC于点E,CD交BE于点F, 求证:EB垂直平分线段CD.
分析:证明EB垂直平分CD 即判定直线EB为垂直平分线,
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文章布局谋篇层次井பைடு நூலகம்。开头一段,写济南冬天的天气。作者以自己的亲身感受,通过和北平、伦敦、热带的对比,写济南冬天无风声、无重雾、无毒日的“奇迹”“怪事”,突出它的“温晴”, 赞誉它是个“宝地”。这是贯串全文的主线,济南冬天独有的美景,都是与此相联系的。第2段开始,“设若单单是有阳光,那也算不了出奇”是个重要的过渡句,转到对冬天山水的描写。在分写山水 之前,先给人以济南的总体感,用拟人的笔法烘托出一个“暖和安适”的“理想境界”。作者紧扣住这一点,绘山景,描水色,寓情于景,既表现济南冬天山水之美,又寄寓对祖国河山真挚的爱。文章 用了三段文字写冬天的山景,先写阳光朗照下的山,次写薄雪覆盖下的山,再写城外远山,勾画出一幅淡雅的水墨画。第5段写冬天的水色。作者极写水藻之绿,以衬托水之清澈、透明。又拓展想像, 将天光、水色融为一体,描绘泉城鲜亮明丽的色彩。最后,以简明有力、含义丰富的一句结束。全文安排有序,脉络清楚,衔接紧密,推进自然。2元买彩票选几个数字
文章运用比喻和拟人的写法,不但形似,而且神似,生动贴切。比喻突出的例子,如把济南比作“小摇篮”;把山坡上小村庄的雪景比作“小水墨画”;把整个冬天的济南比作一块“蓝水晶”,无 一不小巧秀丽,用来比喻济南不高的山,不冷的冬天,是恰到好处的。拟人的句子更多,个性化更明显,如把济南老城说成是“暖和安适地睡着,只等春风来把它们唤醒”;把济南周围的一圈小山写得 很有温情,“它们安静不动地低声地说:‘你们放心吧,这儿准保暖和。’”把山坡上斑驳的色彩,说成是“给山们穿上一件带水纹的花衣”,秀美动人;把夕阳斜照下粉色的薄雪,比拟为害羞的少女, 情态可掬;把水藻、水和垂柳都人格化了,说“把终年贮蓄的绿色全拿出来了”,“就凭这些绿的精神,水也不忍得冻上”,“垂柳还要在水里照个影儿呢!”这些都表现出济南冬天的无限生机和在冬 天里孕育着的朦胧春意。
文章运用比喻和拟人的写法,不但形似,而且神似,生动贴切。比喻突出的例子,如把济南比作“小摇篮”;把山坡上小村庄的雪景比作“小水墨画”;把整个冬天的济南比作一块“蓝水晶”,无 一不小巧秀丽,用来比喻济南不高的山,不冷的冬天,是恰到好处的。拟人的句子更多,个性化更明显,如把济南老城说成是“暖和安适地睡着,只等春风来把它们唤醒”;把济南周围的一圈小山写得 很有温情,“它们安静不动地低声地说:‘你们放心吧,这儿准保暖和。’”把山坡上斑驳的色彩,说成是“给山们穿上一件带水纹的花衣”,秀美动人;把夕阳斜照下粉色的薄雪,比拟为害羞的少女, 情态可掬;把水藻、水和垂柳都人格化了,说“把终年贮蓄的绿色全拿出来了”,“就凭这些绿的精神,水也不忍得冻上”,“垂柳还要在水里照个影儿呢!”这些都表现出济南冬天的无限生机和在冬 天里孕育着的朦胧春意。