初二数学(秋季)讲义第11讲一次函数的性质
一次函数-一次函数的概念、图像、与基本性质(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
关于学生小组讨论部分，我发现学生们在讨论一次函数在实际生活中的应用时，能够提出一些有创意的想法。但在分享成果时，部分学生的表达能力仍有待提高。为了提高学生的表达能力，我计划在今后的课堂中增加一些口语表达训练，如小组代表发言、角色扮演等。
最后，在总结回顾环节，学生对一次函数的知识点有了更深刻的理解。但在课后反馈中，仍有部分学生表示对某些知识点存在疑问。针对这个问题，我将在课后加强个别辅导，关注学生的掌握情况，并及时解答他们的疑问。
（4）空间想象能力的培养：对于一次函数图像的想象和绘制，学生可能缺乏空间想象力。
突破方法：借助教学软件、实物模型等辅助工具，帮助学生建立一次函数图像的空间概念。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一次函数的概念、图像与基本性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两个人一起跑步，一个人跑得快，一个人跑得慢，他们的距离是如何变化的？”这个问题与我们将要学习的一次函数密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一次函数的奥秘。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一次函数的基本概念、图像和基本性质。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一次函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
八年级上数学讲义十一 一次函数
讲义十一 一次函数（一）1．正比例函数的定义:一般地，形如y=kx （k 是常数，k ≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数．2．正比例函数的图像:正比例函数y=kx （k 是常数且k ≠0）的图像是一条经过原点（0，0）的直线，当k>0时，直线y=kx 经过第一，三象限，y 随着x 的增大而增大，当k<0时，直线y=kx 经过第二，四象限，y 随着x 的增大而减少．3．一次函数的定义:如果y=kx+b （k ，b 为常数，且k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数．一次函数的标准形式为y=kx+b ，是关于x 的一次二项式，其中一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可以为任何常数．当b=0而k ≠0时，它是正比例函数，由此可知正比例函数是一次函数的特殊情况．当k=0而b ≠0时，它不是一次函数．4．一次函数的图像:一次函数y=kx+b （k ≠0）的图像是一条直线，通常也称直线y=kx+b ，由于两点确定一条直线，故画一次函数的图像时，只要先描出两点，再连成直线就可以了，为了方便，通常取图像与坐标轴的两个交点（0，b ），（－b k，0）就行了． 5．一次函数的图像与性质 k>0b>0 第一，二，三象限 y 随x 的增大而增大 b<0 第一，三，四象限 k<0 b>0第一，二，四象限 y 随x 的增大而减小b<0 第二，三，四象限 6．一次函数图像的平移与图像和坐标轴围成的三角形的面积一次函数y=kx+b 沿着y 轴向上（“＋”）、下（“－”）平移m （m>0）•个单位得到一次函数y=kx+b ±m ；一次函数y=kx+b 沿着x 轴向左（“＋”）、•右（“－”）平移n （n>0）个单位得到一次函数y=k （x ±n ）+b ；直线y=kx+b 与x 轴交点为（－b k，0），与y 轴交点为（0，b ），且这两个交点与坐标原点构成的三角形面积为k b S 22= 例1.在直线2121+=x y 且到x 轴或y 轴距离为1的点有（ ）个。
人教版八年级数学下册课件：一次函数的性质(共18张PPT)
一次函数的性质与图形
例 1、将直线y=-3x+1向下平移 2个单位得到直线 l，则直线l的解 析式为（ ）
A. y=-3x+2 B. y=-3x-2 C. y=-3x-1 D. y=-3x+3
一次函数的性质与图形
练习1、若把一次函数 y=2x－3,向上平移 3个单位长度， 得到图象解析式是( ）
一次函数的性质与图形
例 4、图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻 炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中 x表示时 间，y表示张强离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法 错误的是（ ）
A.体育场离ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ强家 2.5千米 B.张强在体育场锻炼了 15分钟 C.体育场离早餐店 4千米 D.张强从早餐店回家的平均速度是 3千米/小时
一次函数的性质与图形
1 Part one
例题精讲
一次函数的性质与图形
考点 1 函数的平移与对称（知识扩展） 平移规律：上加下减、左加右减 ⑴上下平移：在这种平移中，横坐标不变，改变的是纵坐标也就是函数值y . 平移规律是上加下减 ⑵左右平移：在这种平移中，纵坐标不变，改变的是横坐标也就是自变量 x.平移规律是左加右减. ⑶沿某条直线平移：这类题目稍有难度.“沿”的含义是一次函数图象在 平移的过程中与沿着的那条直线的夹角不变.解题时抓住平移前后关键点 坐标的变化.
一次函数的性质与图形
4、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数y=ax-a（a 为常数）的图象与 y轴相交于点 A，与函数������ = ���2���的图象相交 于点 B(m,1) （1）求点 B的坐标及一次函数的解析式； （2）若点 P在 y轴上，且△PAB为直角三角 形，请直接写出点 P的坐标．
八年级数学《一次函数的性质》课件
y 2x 2
当x < 1 时, y>0
y x=1
2 1
-1 O 1 2 x
-1
当x＝1时， y=0
结合函数y=-2x+2的图象回答下列问题. （1）当x =０时，y取何值? y=2
当x ≥０时，y取何值? y≤2 当ｘ≤０时，y取何值? y≥2
（2）当０＜x＜１时，y取何值? 0<y<2
解: 过(－2,0)，(0,-2) 作直线，如图
(1)当x＝－2时，y＝0；
(2)当x＜－2时，y＞0；
（3）当x>-2时,y<0
3、画出函数y=-2x+2的图象,结合图象 回答下列问题：
（1）这个函数中, y随着x的增大而减小,它的 图象从左到右 下降 .
（2）当x取何值时，y=0? （3）当x取何值时，y＞0?
1.通过对一次函数图象的观察、分析， 指出函数图象的变化趋势； 体会函数值y随自变量x的变化而变化的规律。
根据一次函数y＝kx＋b(k≠0)中 k与b的值 总结出一次函数的有关性质。
2.运用数形结合的数学思想，由已知y(x)的取 值范围，得出x(y)的取值范围。
在同一直角坐标系内画下列函数的图像 (1)y=2x-4和y=x+2;
(2)x取什么值时，函数值 y始终大于零？
(3)x取什么值时，函数值 y始终小于零？
解经过：(0函,3数)和y (-232,x0)两3，点当作x直=0线时，，就y=是3;函当数y=0y时 2，x x=3-2;
的图象，如图所示。
3
从函数y 2 x 3的图象可以看出：
3
y
(1)当函数值y=0时，直线 y 2 x 3
(3)y 4 x √
11.第11课时 一次函数的图像及性质(PPT课件)
函数
第11课时
一次函数的图象及性质
考点精讲
一 次 函 数 一次函数的图象及性质 的 图 象 及 性 一次函数解析式的确定 质 正比例函数的图象及性质
一次函数与一次方程（组）、一元一次不 等式的关系
定义：形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数
k的符号
图象
k>0
k<0
图 象 及 性 质
经过象 限 增减性
练习2 直线y＝2x＋2沿y轴向下平移6个单位后与x 轴的交点坐标是( D ) A. (－4，0) C. (0，2) B. (－1，0) D. (2，0)
【解析】直线y＝2x＋2沿y轴向下平移6个单位 后，解析式为y＝2x＋2－6＝2x－4，当y＝0时 ，x＝2，因此与x轴的交点坐标是(2，0)．
b>0
b<0
经过象限 一、二、 一、三、 一、二 二、三、四 三 四 、四 增减性 y随x的增大而③ 增大. y随x的增大而④ 减小.
一次函数图象的平移：一次函数y=kx+b的图象可以看作是直线 y=kx向上（下）平移⑤ b 个单位长度而得到的。当b>0时，将直 线向上平移|b|个单位长度；当⑥b<0 时，将直线向下平移|b|个 单位长度
一次函数与一 与二元一次方程组的关系：两个一次函数图象 次方程（组）、 的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解， 一元一次不等 反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点， 式的关系 一定是相应的两个一次函数图象的交点
y=kx+b的函数值y大于0时，自变量x的取值范 围就是不等式⑦ y=kx+b>0 的解集，即 函数图象在x轴⑧ 上方 所对应的x的取值 范围 y=kx +b的函数值y小于0时，自变量x的取值 范围就是不等式⑨ y=kx+b<0 的解集， 即函数图象在x轴⑩ 下方 所对应的x的取 值范围
初二数学《一次函数的性质》
些几何问题。
03
一次函数与概率统计的结合
在概率统计中，一次函数可以用来描述概率分布和期望值等。
一次函数在数学竞赛中的应用
一次函数在代数竞赛中的应用
在代数竞赛中，一次函数可以用来解决一些复杂的代数问题，如求函数的极值、证明不等 式等。
一次函数在几何竞赛中的应用
在几何竞赛中，一次函数可以用来解决一些几何问题，如求图形的面积、证明图形的性质 等。
右平移
将一次函数图像在y轴方 向上平移，不改变斜率，
只改变截距。
将一次函数图像在y轴方 向上平移，不改变斜率，
只改变截距。
将一次函数图像在x轴方 向上平移，不改变斜率，
只改变截距。
将一次函数图像在x轴方 向上平移，不改变斜率，
只改变截距。
03 一次函数的性质
一次函数的单调性
单调增函数
当$k>0$时，函数 $y=kx+b$在定义域内单 调递增。
3
值域和定义域的特性
由于一次函数的形式为线性方程，其值域和定义 域都是连续的。
一次函数的奇偶性
奇函数
如果对于函数$y=kx+b$的定义 域内的任意$x$，都有$f(-x)=-
f(x)$，则称函数为奇函数。
偶函数
如果对于函数$y=kx+b$的定义域 内的任意$x$，都有$f(-x)=f(x)$， 则称函数为偶函数。
竞赛练习题
一次函数的综合题
涉及多个知识点，需要综合运用 一次函数的知识来解答。
一次函数的变式题
题目形式多样，可能涉及图像、 表格、数据等，需要灵活运用知
识进行解答。
一次函数的开放题
答案不唯一，需要从多个角度思 考问题，培养创新思维和解决问
一次函数的性质教学课件
数在该区间内单调递增；若图像在某一区间内下降，则函数在该区间内
单调递减。
利用待定系数法求解问题
已知函数类型，求解析式
根据题目给出的函数类型，设出相应的解析式，再根据已知条件求出待定系数，从而得出 解析式。
已知函数图像上两点坐标，求解析式
根据题目给出的两点坐标，利用两点式求出直线斜率，再设出直线方程，将已知点坐标代 入方程求出待定系数，从而得出解析式。
复合一次函数单调性判断方法
导数法
通过对复合一次函数求导，判断 导数的正负来确定函数的单调性。
定义法
根据单调性的定义，通过比较函数 值的大小来判断函数的单调性。
图像法
通过观察复合一次函数的图像，判 断函数在不同区间上的单调性。
复合一次函数在实际问题中应用举例
经济学
在经济学中，复合一次函数可用于描述成本、收益等经济变量之间的 关系，帮助决策者进行经济分析和预测。
05 互动环节：课堂练习与小 组讨论
课堂练习题目设计
题目一
已知一次函数 y = 2x + 1，求当 x = -1, 0, 1 时，y 的值。
题目四
已知一次函数 y = kx + b（k ≠ 0） 的图像经过点 (1,2) 和 (-1,0)，求 该一次函数的解析式。
题目二
已知一次函数 y = -3x + 5，判断 点 (2,1) 是否在该函数的图像上。
斜率等于0时，函数 为常数函数，即y值 不随x的变化而变化。
斜率小于0时，函数 为减函数，即随着x 的增大，y减小。
截距对函数图像影响
y轴上的截距表示函数图像与y轴 的交点，即当x=0时的y值。
x轴上的截距表示函数图像与x轴 的交点，即当y=0时的x值。
第11讲 一次函数的图象与性质
【拓展】 一次函数图象与坐标轴围成的图形面积的计算(如图) (1)S△AOB＝12AO·BO＝12|yA|·|xB|； (2)S△AOC＝12AO·CP＝12|yA|·|xC|； (3)S△BOC＝12BO·CQ＝12|xB|·|yC|.
4．如图，已知直线 y＝kx＋b 经过点 A(5，0)，B(1，4)． (1)方程 kx＋b＝0 的解是 x＝5 ， 不等式 kx＋b<0 的解集是 x>5 ； (2)kx＋b>4 的解集是 x<1 ；
3．一次函数与一元一次不等式的关系： (1)从“数”上看：kx＋b>0 的解集⇔y＝kx＋b 中，y>0 时 x 的取 值范围； kx＋b<0 的解集⇔y＝kx＋b 中，y<0 时 x 的取值范围． (2)从“形”上看：kx＋b>0 的解集⇔函数 y＝kx＋b 的图象位于 x 轴上方部分对应的点的横坐标的取值范围； kx＋b<0 的解集⇔函数 y＝kx＋b 的图象位于 x 轴下方部分对应的 点的横坐标的取值范围．
直 线 y ＝ kx ＋ b ―向―上―平―移――m（――m― ＞―0）―个―单――位―长―度→ 直 线 y ＝ kx＋b＋m ； 直 线 y ＝ kx ＋ b ―向―下―平―移――m（――m― ＞―0）―个―单――位―长―度→ 直 线 y ＝ kx＋b－m ．
简记为“左加右减，上加下减”，左右平移只给 x 加减，上下平 移给整体加减．
1．已知函数 y＝(m－1)xm2＋3 是关于 x 的一次函数，则 m 的值 为 －1 ．
一次函数的图象与性质 1． 一次函数的图象特征：一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象是经过
点(0，④ b )和(⑤ －bk ，0)的一条⑥ 直线 ．特别地，正比例函数 y ＝kx(k≠0)的图象是经过点(0，⑦ 0 )和(1，⑧ k )的一条⑨ 直线 ．
八年级数学一次函数的性质PPT课件
函数y=x-2的图象是否也具有这种现象 ？
y
4
y 1 x 1 2
3
2
1·
· · -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
-1
· -2
-3
yx2
-4
再观察函数 y 1 x 1 和 yx2的图象，
2
研究它们是否也具有相应的性质，有什么不同？
感谢您的观看与聆听
本课件下载后可根据实际情况进行调整
24
这时它的图象经过哪些象限?
例题
例2、对于一次函数y=(a+4)x+2a-1,如果 y随x的增大而增大，且它的图象与y轴的 交点在x轴的下方，试求a的取值范围
例题
例3、已知点(2,m) 、(-3,n)都在直线
y 1 x 1上， 6
试比较 m和n的大小
你能想出几种判断的方法?
1.已知点(x1, y1)和(x2, y2)都在直线
k<0， b>0
k>0， b<0
2. 已知点(-1，a)和（
1 2
，b）都在直线
y 2x3 3
上，试比较a和b的大小。你能想出几种判断的方法？
试一试
1、下列一次函数中，y的值随x的增大而减小 的有__(_2_)_、__(4_)
(1) y 10x 9 (2)y 0.3x 2
(3)y 5x 4 (4)y ( 2 3)x
< 若x1 < x2, 则 y1__________y2
y 3 x 1 上， 4
2.若 a 是非零实数 , 则直线 y=ax-a 一 定经过（
A.第一、二象限 B. 第二、三象限
八年级数学《一次函数的性质》PPT课件
分析：只要k相同，直线就平行，一次函数y＝kx＋b(k≠0)是
练习3一次函数y=ax+b与y=ax+c(a>0)在
同一坐标系中的图象可能是（ A
y y y y
）
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
4、一次函数y=kx+b的图象如图所示，则 k < 0,b< 0
y
o
x
正比例函数的性质
1.正比例函数y=kx的图象是 原点(0,0)的一条直线; 经过_________ 一、三 象限 2. 1)当 k >0,y=kx经过______ 二、四 象限. 2)当 k <0,y=kx经过______
一、三、四 k>0,b<0→___ ___ ___
二、四、三 k<0,b<0→___ ___ ___
一次函数y=kx+b有下列性质：
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大， 这时函数的图象从左到右上升； （2）当k＜0时，y随x的增大而减小， 这时函数的图象从左到右下降。
1. 一次函数 y 2 x 4 的图象经过 一、二、四 象限。 y随x的增大而 减小 ,它的图象与x轴、y轴的坐标分别为 （ 2，0） （0，4） 。 ___________________ 增大 2．函数y=(k-1)x+2，当 k＞1时，y随 x的增大而 ______, 减小 。 当k＜1时，y随x的增大而_____
-2
-3 -4 -5 -6
y=2x-3
归纳总结：
k>0 b>0
k>0 b<0 k<0 b>0 k<0 b<0
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初二数学（秋季）讲义
第十一讲一次函数的性质（讲义）
课前预习
1.表示变量之间的关系通常有三种方法，它们是___________，
_____________，__________．
2.图象类应用题看图的方法：____________，_____________，
___________．
3.甲、乙、丙三人在一次赛跑中，路程s（m）与时间t（s）之间的关系如图
所示，则=_____
v
甲，=______
v
乙
，=______
v
丙
，通过比较发现，速度越
大，对应的图象越______（填“陡峭”或“平缓”）．
4.如图，在平面直角坐标系xOy中，描出下列点的坐标：
A(1，2)，B(2，4)，C(-1，-2)，D(1，1)，E(-1，3)，F(1，-3)．
（1）作出直线AB；
（2）C，D，E，F四点中，在直线AB上的是___________．
知识点睛
1.函数
（1）一般地，如果在一个变化过程中有___________x和y，并且对于变量x 的每一个值，变量y都有_______的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是______，y是________．
（2）表示函数的方法一般有_______、________和________．
（3）通常从表达式、图象、性质、计算四个方面研究函数．
2.一次函数
（1）表达式（也称“解析式”或“关系式”）
______________________________________．
特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数．
（2）画函数图象步骤：列表、描点、连线．
①一次函数图象：____________，因此只需确定___点即可，通常找________、
________；
②正比例函数图象是一条经过____的______，因此只需再确定______点即
可，通常找________．
（3）性质
①k反映图象的______________．
当k>0时，图象过第_________象限；
当k<0时，图象过第_________象限．
②b是直线与y轴交点的____坐标．
当k>0且b>0时，图象过第__________象限；
当k>0且b<0时，图象过第__________象限；
当k<0且b>0时，图象过第__________象限；
当k<0且b<0时，图象过第__________象限．
③增减性
当k>0时，y的值随着x值的增大而____（即y与x_________）；
当k<0时，y的值随着x值的增大而____（即y与x_________）．
精讲精练
1.下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（）
A．B．C．D．
2.已知下列函数关系式：①y=2x+1；②
1
y
x
=；③y=x2-1；
④y=-8x；⑤y=3．其中表示一次函数的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3.已知函数y=(k-2)x+2k+1，当k_______时，它是正比例函数；当k________
时，它是一次函数．
4.已知函数y=(m-2)x2n+1-m+n，当m=______，n=______时，它是正比例函
数；当m____，n=___时，它是一次函数．
5.（1）点(1，-1)______（填“在”或“不在”）直线y=2x-3上；
试写出直线y=2x-3上任意一点的坐标____________．
（2）满足关系式y=2x-3的x，y所对应的点(x，y)都在一次
函数_____________的图象上；一次函数y=2x-3的图象上的点(x，y)都满足关系式_________________．
6.下列四个点，在正比例函数
2
5
y x
=-的图象上的是（）
A．(2，5) B．(5，2) C．(2，-5) D．(5，-2)
7.若点(m，n)在函数y=2x+1的图象上，则2m-n的值是（）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
8.一次函数y=x+2的图象经过_____________象限；一次函数y=-5x-3的图象
经过_____________象限．
9.已知一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是
（）
A．-2 B．-1 C．0 D．2
10.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，下列结论正确的是（
A．k>0，b>0
B．k>0，b<0
C．k<0，b>0
D．k<0，b<0
11.一次函数y=kx+b中，若k<0，b>0，则它的图象不经过（）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
12.下列一次函数：
①y=5x-6；②y=-0.3x+3；③y-3；④y=x．
其中y的值随x的增大而减小的是________．（填写序号）
13.若y=kx-4的函数值y随x的增大而增大，则k的值可能是（）
A．-4 B．
1
2
-C．0 D．3
14. 若一次函数y =kx +b 的函数值y 随x 的增大而减小，且图象与y 轴的负半轴相
交，则对k 和b 的符号判断正确的是（ ） A ．k >0，b >0 B ．k >0，b <0
C ．k <0，b >0
D ．k <0，b <0 15. 已知一次函数y =kx -k ，若y 随x 的增大而增大，则该函数的图象经过（ ）
A ．第一、二、三象限
B ．第一、二、四象限
C ．第二、三、四象限
D ．第一、三、四象限
16. 一次函数y =kx +b 满足kb >0，且y 随x 的增大而减小，则此函数的图象不经
过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
17. 已知函数y =kx +b 的图象如图所示，则函数y =2kx +b 的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
18. 直线y =-x 与y =-x +5的位置关系是_______，直线y =-x 的图象可以看作是由直线y =-x +5__________________.
19. 若直线y =(2m -1)x +m -2与直线y =-3x -1平行，则m =_______．
20. 将直线y =2x 向上平移两个单位，所得的直线是（ ）A ．y =2x +2
B ．y =2x -2
C ．y =2(x -2)
D ．y =2(x +2)
21. 对于一次函数y =-2x +4，下列结论错误的是（ ）
A ．函数值随自变量的增大而减小
B ．函数的图象不经过第三象限
C ．函数的图象向上平移2个单位得到y =-2x 的图象
D ．函数的图象与y 轴的交点坐标是(0，
4)。