(华东师大版九年级上)数学：25.3解直角三角形(3)课件
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离. 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
顶C的仰角为30゜ ，观测到乙楼底D的俯角为 俯角是视线方向在水平线下方，这时视线与水平线的夹角。
把四边形问题转化为特殊四边形（矩形或平行四边形）与三角形来解决。
45゜，求这两楼的高度。 C 认真阅读题目，把实际问题去掉情境转化为数学中的几何问题。
如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
升国旗时，某同学站在离旗杆底部24米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30° ，若双眼离地面米，求旗杆
的高度
仰角是视线方向在水平线上方，这时视线与水平线的夹角。
如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
30°
60°
B
C
地面
例1 如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆
米的C处，用高米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝30°，求电线杆
AB的高。
把四边形问题转化为特殊四边形（矩形或平行四边形）与三角形来解决。
A E 升的国高旗 度时，某同学站在离旗杆底部24米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶3端0时゜，该同学视线的仰角恰为30° ，若双眼离地面米，求旗杆
如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC＝1200米，从飞机上看地面控制点B的俯角a＝30゜，求飞机A到控制点B的距
离.
例1 如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆
米的C处，用高米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝30°，求电线杆
AB的高。
例1 如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆 AB的高。
B
水平线
D
数学：第25章解直角三角形复习课件(华东师大版九年级上)
7．解：过点A作AH⊥CD，垂足为H． 由题意可知四边形ABDH为矩形， ∠CAH=30°， ∴AB=DH=1.5，BD=AH=6． CH 在Rt△ACH中，tan∠CAH=AH ， 3 ∴CH=AH· tan∠CAH=6tan30°=6× =2 3 3 ∵DH=1.5，∴CD=2 3 +1.5． 在Rt△CDE中 ， CD ∵∠CED=60°，sin∠CED= ∴CE=
CD 2 3 1.5 sin 60 3 2
CE
=（4+
3 ）（米）．
答：拉线CE的长为（4+ 3 ）米．
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8．已知：如图，在山脚的C处测得山顶A的仰 角为45°，沿着坡度为30°的斜坡前进400米到 D处（即∠DCB=30°，CD=400米），测得A的 仰角为60°，求山的高度AB．
3 CF=CD· cos30°= ×400=200 （米）． 在Rt△ADE中，∠ADE=60°，设DE=x米， ∴AE=tan60°· x= 3 x（米）． 在矩形DEBF中，BE=DF=200米， 在Rt△ACB中，∠ACB=45°， ∴AB=BC， 即 3 x+200=200 3 +x．
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6.如图，我市某广场一灯柱AB被一钢缆CD固 定，CD与 • 地面成40°夹角，且DB=5m，现要在 C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么EB的 高为多少米？（• 结果保留三个有效数字） 6．解：在Rt△BCD中， ∠BDC=40°，DB=5m，BC ∵tan∠BDC=DB ， ∴BC=DB· tan∠BDC =5×tan40°≈4.195． ∴EB=BC+CE=4.195+2≈6.20． 答：略．
华师大版九年级上册25.3《解直角三角形》课件
tanA＝
a b
cosA＝
b c
cotA＝
b a
c a
Ａ
bＣ
练习1：在电线杆离地面8米高的地方向地 面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固 定在距离电线杆底部多远的地方？
B
8米
10米
?
C
A
例2:如图,东西两炮台A,B相距2000米,同时
发现入侵敌舰C,炮台A测得敌舰在它的南偏
东40°的方向,炮台B测得敌舰C在它的正南
25.3解直角三角形
直角三角形的边角关系
(1)三边之间的关系:
a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(2)锐角之间的关系:
∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
Ｂ
(3)边角之间的关系:
sinA＝
a c
tanA＝
a b
cosA＝
b c
cotA＝
b a
c a
Ａ
bＣ
Ｂ
在Rt△ABC中, ∠C= 90°
ห้องสมุดไป่ตู้
(你1)能已求知在出∠直这A=角个3三三0°角角,形形的的六其个他元所素有元素吗?×
B
Q
30°
A
把你今天学到的告诉同学，好吗？
小结
①定义：在直角三角形中，由已知元素求出 未知元素的过程，叫做解直角三角形; 注意：已知元素至少有一个是边
②解直角三角形，只有下面两种情况可解： （1）已知两条边； （2）已知一条边和一个锐角。
③ 在解决实际问题时,应“先画图,再求解”;
近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正 西方向240公里的B处，正以每小时12公里的 速度向北偏东60º的方向转移。距离沙尘暴中 心150公里的范围为受影响区域。 北 问：A城是否受这次沙尘暴的影响？
解直角三角形 课件 2021-2022学年华东师大版数学九年级上册
航行到B处，发现此时灯塔Q与海
船的距离最短，求
(1)从A处到B处的距离;
北30°
(2)灯塔Q到B处的距离
西A
东
南
1、解直角三 角形的定义：
2、解直角三 角形的类型：
解直角三角形
例题讲解
的教 书师 写展 过示 程规
范
学生展示区
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的 过程叫做解直角三形。
我来考考你哦！
学生分小组自主编题，探索发现解直角三角形至 少应该告诉几个条件，必须告诉哪些条件，有几 种情况，根据告诉的条件有怎样的解题思路。选 择表现优秀的小组汇报展示。
解直角三角形，只有下面两种情况：
（1）已知两条边 （2）已知一条边和一个锐角
在学法指导上，教给学生科学的学习方法，培养良好的学习习惯，在本节课的教 学中帮助学生学会运用观察、猜想、探索、概括、验证、归纳等方法来解决问题， 将知识传授和能力培养融为一体,使学生不仅学到科学探究的方法，同时体验到 探究的甘苦,领会到成功的喜悦。
为突出重点、突破难点，达到教学目标， 我设定如下教学过程：
C
B
24m
例2.如图，虎门东西两炮 台A、B相 距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮 台A测得敌舰C在它的南偏东400的方 向，炮台B测得敌舰C在它的正南方， 试求敌舰与两炮台的距离.
A 2000 B D 400
C
练习：海船以32海里/时的速度向
正北方向航行，在A处看灯塔Q在 B
Q
海船的北偏东30゜处，半小时后
【知识目标】
掌握解直角三角形的定义，理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定 理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。认识方向角， 能从实际生活问题中提炼出数量关系，体会数学建模思想。 【能力目标】
华师大版第25章解直角三角形电子课本(新)
华师大版第25章解直角三角形电子课本（新）§25.1 测量 (3)§25.2 锐角三角函数 (4)1.锐角三角函数 (4)2．用运算器求锐角三角函数值 (7)§25.3 解直角三角形 (9)阅读材料 (13)小结 (14)复习题 (15)课题学习 (18)第25章 解直角三角形测量物体的高度是我们在工作和生活中经常遇到的问题．222c b a =+ab B =tan§25.1 测量当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许专门想明白，操场旗杆有多高？你可能会想到利用相似三角形的知识来解决那个问题．图25.1.1如图25．1．1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度，再依照你的身高，便能够利用相似三角形的知识运算出旗杆的高度．假如就你一个人，又遇上阴天，那如何办呢？人们想到了一种可行的方法，依旧利用相似三角形的知识．试一试如图25．1．2所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并目高AD为1.5米．现在假设按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便能够算出旗杆的实际高度．你明白运算的方法吗？图25.1.2实际上，我们利用图25．1．2〔1〕中的数据就能够直截了当运算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们差不多明白直角三角形的三条边所满足的关系〔即勾股定理〕，那么它的边与角又有什么关系？这确实是本章要探究的内容．练习1．小明想明白学校旗杆的高度，他发觉旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发觉下端刚好接触地面，求旗杆的高度．2．请你与你的同学一起设计切实可行的方案，测量你们学校楼房的高度．习题25．11． 如图，为测量某建筑的高度，在离该建筑底部30．0米处，目测其顶，视线与水平线的夹角为40°，目高1．5米．试利用相似三角形的知识，求出该建筑的高度．〔精确到0．1米〕（第1题）2． 在安静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，红莲移动的水平距离为2米，问那个地点水深多少？3． 如图，在一棵树的10米高B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A 处．另一只爬到树顶D 后直截了当跃到A 处，距离以直线运算，假如两只猴子所通过的距离相等，求这棵树的高度．（第3题）§25.2 锐角三角函数1.锐角三角函数在§25．1中，我们曾经使用两种方法求出操场旗杆的高度，其中都显现了两个相似的直角三角形，即△ABC ∽△A ′B ′C ′．按5001的比例，就一定有 5001=''=''AC C A BC C B ， 5001确实是它们的相似比． 因此也有ACBCC A C B =''''．我们差不多明白，直角三角形ABC 能够简记为Rt △ABC ，直角∠C 所对的边AB 称为斜边，用c 表示，另两条直角边分别为∠A 的对边与邻边，用a 、b 表示〔如图25．2．1〕．图25.2.1前面的结论告诉我们，在Rt △ABC 中，只要一个锐角的大小不变〔如∠A ＝34°〕，那么不管那个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一个固定的值．摸索一样情形下，在Rt △ABC 中，当锐角A 取其他固定值时，∠A 的对边与邻边的比值还会是一个固定值吗？图25.2.2观看图25．2．2中的Rt △11C AB 、Rt △22C AB 和Rt △33C AB ，易知 Rt △11C AB ∽Rt △_________∽Rt △________， 因此111AC C B ＝_________＝____________． 可见，在Rt △ABC 中，关于锐角A 的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯独确定的． 我们同样能够发觉，关于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是唯独确定的．因此这几个比值差不多上锐角A 的函数，记作sinA 、cosA 、tanA 、cotA ，即 sinA ＝斜边的对边A ∠，cosA ＝斜边的邻边A ∠，tanA ＝的邻边的对边A A ∠∠，cotA ＝的对边的邻边A A ∠∠．分别叫做锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A 的三角函数．明显，锐角三角函数值差不多上正实数，同时 0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1．依照三角函数的定义，我们还可得出A A 22cos sin +＝1，tanA ·cotA ＝1．图25.2.3例1 求出图25．2．3所示的Rt △ABC 中∠A 的四个三角函数值．解1728922==+=AC BC AB ，sinA ＝178=AB BC ， cosA ＝1715=AB AC ，tanA ＝158=AC BC ，cotA ＝815=BC AC ．探究依照三角函数的定义，sin30°是一个常数．用刻度尺量出你所用的含30°角的三角尺中，30°角所对的直角边与斜边的长，与同伴交流，看看常数sin30°是多少． 通过运算，我们能够得出图25.2.4sin30°＝21=斜边对边， 即斜边等于对边的2倍．因此我们能够得到：在直角三角形中，假如一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．摸索上述结论还可通过逻辑推理得到．如图25．2．4，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，作∠BCD＝60°，点D位于斜边AB上，容易证明△BCD是正三角形，△DAC是等腰三角形，从而得出上述结论．做一做在Rt△ABC中，∠C＝90°，借助于你常用的两块三角尺，或直截了当通过运算，依照锐角三角函数定义，分别求出以下∠A的四个三角函数值：〔1〕∠A＝30°；〔2〕∠A＝60°；〔3〕∠A＝45°．为了便于经历，我们把30°、45°、60°角的三角函数值列表如下：练习1．如图，在Rt△MNP中，∠N＝90°．∠P的对边是____________，∠P的邻边是__________；∠M的对边是____________，∠M的邻边是_________．(第1题) （第2题）2．求出如下图的Rt△DEC〔∠E＝90°〕中∠D的四个三角函数值．3．设Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，依照以下所给条件求∠B的四个三角函数值：〔1〕a＝3，b＝4；〔2〕a＝5，c＝13．4．求值：2cos60°＋2sin30°＋4tan45°．2．用运算器求锐角三角函数值下面我们介绍如何利用运算器求锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角．〔1〕求锐角的三角函数值例2 求sin63°52′41″的值．〔精确到0．0001〕 解 先用如下方法将角度单位状态设定为〝度〞：(SETUP) 显示再按以下顺序依次按键：显示结果为0．897859012．因此sin63°52′41″≈0．8979．例3 求cot70°45′的值．〔精确到0．0001〕解 在角度单位状态为〝度〞的情形下〔屏幕显示，按以下顺序依次按键：显示结果为0．3492156334． 因此cot70°45′≈0．3492．〔2〕 由锐角三角函数值求锐角例4tanx ＝0．7410，求锐角x ．〔精确到1′〕解 在角度单位状态为〝度〞的情形下〔屏幕显示，按以下顺序依次按键：(1tan -) 显示结果为36．53844577． 再按键：显示结果为4.182336'︒．SHIFT MODE 3 D sin63 o’〞 tan 52 o’〞 o’〞 41 =D 1÷ 70 o’〞 45o’〞=D SHIFT tan 0•4 7 0 1 =SHIFT o’〞因此x ≈36°32′．例5 cotx ＝0．1950，求锐角x ．〔精确到1′〕 分析依照xx cot 1tan =，能够求出tanx 的值，然后依照例4的方法就能够求出锐角x 的值．练习1． 使用运算器求以下三角函数值．〔精确到0．0001〕 sin24°，cos51°42′20″，tan70°21′，cot70°．2． 以下锐角α的各三角函数值，使用运算器求锐角α．〔精确到1′〕 〔1〕 sin α＝0．2476；〔2〕 cos α＝0．4174； 〔3〕 tan α＝0．1890；〔4〕 cot α＝1．3773．习题25．21． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝21，AB ＝29，分别求∠A 、∠B 的四个三角函数值．2． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ∶AC ＝3∶4，求∠A 的四个三角函数值． 3． 求以下各式的值． 〔1〕 sin30°＋︒45sin 2－2tan 3160°； 〔2〕)60cos 430)(cot 60tan 30sin 4(︒+︒︒-︒． 4． 用运算器求下式的值．〔精确到0．0001〕 sin81°32′17″＋cos38°43′47″．5． cotA ＝3．1748，利用运算器求锐角A ．〔精确到1′〕§25.3 解直角三角形我们差不多把握了直角三角形边角之间的各种关系，这些差不多上解决与直角三角形有关的实际问题的有效工具．例1如图25．3．1所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处．大树在折断之前高多少？图25.3.1解利用勾股定理能够求出折断倒下部分的长度为26241022=+，26＋10＝36〔米〕．因此，大树在折断之前高为36米．在例1中，我们还能够利用直角三角形的边角之间的关系求出另外两个锐角．像如此，在直角三角形中，由元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．图25.3.2例2如图25．3．2，东西两炮台A 、B 相距2000米，同时发觉入侵敌舰C ，炮台A 测得敌舰C 在它的南偏东40°的方向，炮台B 测得敌舰C 在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离．〔精确到1米〕解在Rt △ABC 中，∵ ∠CAB ＝90°－∠DAC ＝50°，ABBC＝tan ∠CAB ， ∴ BC ＝AB ·tan ∠CAB＝2000×tan50°≈2384〔米〕．∵ACAB＝cos50°， ∴ AC ＝︒=︒50cos 200050cos AB ≈3111〔米〕． 答： 敌舰与A 、B 两炮台的距离分别约为3111米和2384米．在解直角三角形的过程中，常会遇到近似运算，本书除专门说明外，角度精确到1′． 解直角三角形，只有下面两种情形： 〔1〕 两条边；〔2〕 一条边和一个锐角．练习1． 在电线杆离地面8米高的地点向地面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地点？2． 海船以32．6海里/时的速度向正北方向航行，在A 处看灯塔Q 在海船的北偏东30°处，半小时后航行到B 处，发觉现在灯塔Q 与海船的距离最短，求灯塔Q 到B 处的距离．〔画出图形后运算，精确到0．1海里〕读一读图25.3.3如图25．3．3，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．例3 如图25．3．4，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22．7米的D处，用高1．20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角α＝22°，求电线杆AB的高．〔精确到0．1米〕图25.3.4解在Rt△ACE中，∵AE＝CE×tanα＝DB×tanα＝22．7×tan22°≈9．17，∴AB＝BE＋AE＝AE＋CD＝9．17＋1．20≈10．4〔米〕．答：电线杆的高度约为10．4米．练习1．如图，某飞机于空中A处探测到目标C，现在飞行高度AC＝1200米，从飞机上看地面操纵点B的俯角α＝16°31′，求飞机A到操纵点B的距离．〔精确到1米〕（第1题）（第2题）2．两座建筑AB与CD，其地面距离AC为50．4米，从AB的顶点B测得CD的顶部D的仰角β＝25°，测得其底部C 的俯角α＝50°，求两座建筑物AB 与CD 的高．〔精确到0．1米〕读一读在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图25．3．5，坡面的铅垂高度〔h 〕和水平长度〔l 〕的比叫做坡面的坡度〔或坡比〕，记作i ，即lhi =．图25.3.5坡度通常写成1∶m 的形式，如i ＝1∶6． 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有lhi =＝tan α． 明显，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．例4如图25．3．6，一段路基的横断面是梯形，高为4．2米，上底的宽是12．51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．〔精确到0．1米〕图25.3.6解作DE ⊥AB ， CF ⊥AB ，垂足分别为E 、 F ．由题意可知 DE ＝CF ＝4．2〔米〕， CD ＝EF ＝12．51〔米〕． 在Rt △ADE 中，∵ i ＝AEAE DE 2.4=＝tan32°， ∴ AE ＝︒32tan 2.4≈6．72〔米〕．在Rt △BCF 中，同理可得 BF ＝︒28tan 2.4≈7．90〔米〕．∴ AB ＝AE ＋EF ＋BF≈6．72＋12．51＋7．90≈27．1〔米〕． 答： 路基下底的宽约为27．1米．练习一水库大坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽6．2米，坝高23．5米，斜坡 AB 的坡度1i ＝1∶3，斜坡CD 的坡度2i ＝1∶2．5．求： 〔1〕 斜坡AB 与坝底AD 的长度；〔精确到0．1米〕 〔2〕 斜坡CD 的坡角α．〔精确到1°〕习题25．31． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，由以下条件解直角三角形： 〔1〕 a ＝156， b ＝56，求c; 〔2〕 a ＝20， c ＝220，求∠B ；〔3〕 c ＝30， ∠A ＝60°，求a ； 〔4〕 b ＝15， ∠A ＝30°，求a ． 2． 一个公共房屋门前的台阶共高出地面1．2米．台阶被拆除后，换成供轮椅行走的斜坡．依照那个都市的规定，轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过9°．从斜坡的起点至楼门的最短的水平距离该是多少？〔精确到0．1米〕3． 两幢大楼相距110米，从甲楼顶部看乙楼顶部的仰角为26°，假如甲楼高35米，那么乙楼的高为多少米？〔精确到1米〕（第3题）（第4题）4． 一艘船向东航行，上午8时到达B 处，看到有一灯塔在它的北偏东59°，距离为72海里的A 处；上午10时到达C 处，看到灯塔在它的正北方向．求这艘船航行的速度．〔精确到1海里/时〕阅读材料葭生池中今有方池一丈， 葭生其中央，出水一尺， 引葭赴岸， 适与岸齐．问： 水深、葭长各几何？〔采自杨辉«详解九章算法»，1261年〕这是我国数学进展史上闻名的〝葭生池中〞问题．它的解法能够由以下图获得．中世纪，印度闻名数学家婆什迦罗〔Bh a skara ，1114—1185？〕在其著作中提出了与〝葭生池中〞相似的〝荷花问题〞．平平湖水清可鉴，荷花半尺出水面． 忽来一阵狂风急，吹倒荷花水中偃． 湖面之上不复见，入秋渔翁始发觉． 残花离根二尺远，试问水深尺假设干． 这类问题还有专门多专门多． 你看，关于勾股定理应用的丰富有味的数学问题到处可见，你还能找到一些其他的问题吗？小结一、 知识结构应用直角三角形 两个锐角互余30°角所对的直角边等于斜边的一半 斜边上的中线等于斜边的一半勾股定理边角关系： 锐角三角函数解直角三角形二、 概括1． 明白得并把握直角三角形中边角之间的关系；2． 能应用直角三角形的边角关系解决有关的实际问题．复习题A 组1． 某菜农修建一个横截面为直角三角形的塑料大棚〔如图〕，假设棚宽a ＝4m ，高b ＝3m ，长d ＝35m ，求覆盖在顶上的塑料薄膜的面积．（第1题）（第2题）2． 如图，正方形ACDE 的面积为252cm ，测量出AB ＝12cm ， BC ＝13cm ，问E 、A 、B 三点在一条直线上吗？什么缘故？3． 直角三角形两条直角边分别为6、8，求斜边上中线的长． 4． 求以下各式的值．〔1〕 2cos30°＋cot60°－2tan45°； 〔2〕 ︒+︒60cos 45sin 22；〔3〕 ︒︒+︒+︒60cot 60tan 30cos 30sin 2222．5． 求以下各直角三角形中字母的值．（第5题）6． 小明放一个线长为125米的风筝，他的风筝线与水平地面构成39°角．他的风筝有多高？〔精确到1米〕7． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∠A ＝60°，∠A 的平分线AM 的长为15cm ，求直角边AC 和斜边AB 的长．〔精确到0.1cm 〕8． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，直角边AC 是直角边BC 的2倍，求∠B 的四个三角函数值．9． 如图，在所示的直角坐标系中，P 是第一象限的点，其坐标是〔3，y 〕，且OP 与x 轴的正半轴的夹角α的正切值是34，求： 〔1〕 y 的值；〔2〕 角α的正弦值．（第9题）（第10题）10． 如图，飞机A 在目标B 的正上方1000米处，飞行员测得地面目标C 的俯角为30°，求地面目标B 、Ｃ之间的距离．〔结果保留根号〕11． 如图，一个古代棺木被探明位于点A 地下24米处．由于点A 地面下有煤气管道，考古人员不能垂直向下挖掘，他们被承诺从距点A 8米的点B 挖掘．考古人员应以与地平面形成多大的角度进行挖掘才能沿最短路线挖到棺木？他们需要挖多长的距离？〔角度精确到1′，距离精确到0．1米〕（第11题）（第12题）B 组12． 如图，一段河坝的断面为梯形ABCD ，试依照图中数据，求出坡角α和坝底宽AD ．〔i ＝CE ∶ED ，单位米，结果保留根号〕13． 如图，两建筑物的水平距离BC 为24米，从点A 测得点D 的俯角α＝30°，测得点C 的俯角β＝60°，求AB 和CD 两座建筑物的高．〔结果保留根号〕（第13题）C组14．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高1．2米的测角仪CD，测得电视塔的顶端A的仰角为42°，再向电视塔方向前进120米，又测得电视塔的顶端A的仰角为61°，求那个电视塔的高度AB．〔精确到1米〕（第14题）15．如图，为了求河的宽度，在河对岸岸边任意取一点A，再在河这边沿河边取两点B、C，使得∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，量得BC长为30米．〔1〕求河的宽度〔即求△ABC中BC边上的高〕；〔精确到1米〕〔2〕请再设计两种测量河的宽度的方案．（第15题）（第16题）16．折竹抵地〔源自«九章算术»〕：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意即：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原长竹子处3尺远．问原处还有多高的竹子？课题学习高度的测量我们差不多学会了一些测量方法，现在请你观看一下学校中较高的物体，如教学楼、旗杆、大树等等.如何测量它们的高度呢？选定某一个物体，先与你的小伙伴一起讨论，确定如下的问题：1．能够用什么测量方法？2．每一种方法要用到哪些工具？3．应测量得到哪些有关的数据？4．如何运算最后的结果？写出你们的打算，再实际做一做，看看最后的结果如何．与其他的小组比较一下，看谁的成效较好．。
华东师大版九年级上册数学第1课时解直角三角形
三、解答题(共 30 分) 16．(8 分)(2014·宁夏)如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，∠ C＝45°，sinB＝13，AD＝1.求 BC 的长．
解：在 Rt△ABD 中，∵sinB＝AADB＝13，又∵AD＝1， ∴AB＝3，∵BD2＝AB2－AD2，∴BD＝ 32－12＝2 2.在 Rt △ADC 中，∵∠C＝45°，∴CD＝AD＝1.∴BC＝BD＋DC ＝2 2＋1
灿若寒星
17．(10 分)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边 分别为 a，b，c，根据下列条件解直角三角形．
(1)∠B＝60°，a＋b＝6； (2)∠A＝60°，S△ABC＝12 3. 解：(1)∠A＝30°，a＝3 3－3，b＝9－3 3，c＝6 3－6
(2)a＝6 2，b＝2 6，c＝4 6，∠B＝30°
初中数学课件
金戈铁骑整理制作
24.4 解直角三角形
第2课时 仰角、俯角、方位角
灿若寒星
1．在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角
叫做 仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做 俯角 ．
2．方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90°的水 平角，如图中的目标方向线 OA，OB，OC，OD 的方向角分别
解：(1)∵∠ACB＝90°，CD 是斜边 AB 上的中线，∴CD＝BD，∴
∠B＝∠BCD，∵AE⊥CD，∴∠CAH＋∠ACH＝90°，又∠ACB＝90
°，∴∠BCD＋∠ACH＝90°，∴∠B＝∠BCD＝∠CAH，即∠B＝∠
CAH，∵AH＝2CH，∴由勾股定理得 AC＝ 5CH，∴CH∶AC＝1∶ 5，
表示 北偏东 60°， 南偏东 45°(或东南方向)， 南偏西80°及 北偏西 30°.
华东师大版数学九年级上册2解直角三角形课件
解：当C到AB的距离CD≤ 7（千米）时，渔 船有触礁的危险。
做一做： 在天空位置C处
有一个已悬空静止的热气 球,热气球上的人测得地面 上A点的俯角为45°,测得地 面上B点的俯角为60°,已知 AB=20m,点C和直线AB在 同一铅垂平面上,求热气球 离地面高度(结果保留根号)
（1）求直角三角形中未知角、边时， 先画出示意图，尽可能直接找出与已 知角、边的关系来求解。
例4: 如图，在△ABC中，∠B=45°，
∠C=30°，AB= 4 2 ，求AC和BC。
尝试一下: 你还有其它方法吗？请同学们试 着用这两种方法做做看。 (小组 合作)
例4: 如图，在△ABC中，∠B=45°， ∠C=30°，AB= 4 2 ，求AC和BC。
例5、 如图所示,一艘渔船以20千米／小时的 速度向正北方向航行,在A处看见灯塔C在船的 北偏东30°,半小时后,渔船行至B处,看见灯塔C 在船的北偏东60°,已知C的周围7千米以内有暗 礁,问这艘船继续向北航行是否有触礁的危险?
B
c
a
6 个 元
三边
5元
两个锐角 个 素
A
C 素 一个直角（已知） b
定义：
由直角三角形中已知的边和角，计算 出未知的边和角的过程，叫 解直角三角形 。
解直角三角形的根据：
B
(1)三边之间的关系： a2＋b2＝c2(勾股定理)
c
a
(2)锐角之间的关系： A
∠A＋∠B＝90°
Hale Waihona Puke C b(3)边角之间的关系：
优 已知直边求直边， 正切余切理当然； 选 已知两边求一角， 函数关系要选好； 关 已知两边求一边， 勾股定理最方便； 系 已知锐角求锐角， 互余关系要记好； 式 已知直边求斜边， 用除还需正余弦；
华师大版-数学-九年级上册- 原创新课件 25.3解直角三角形
㈡、展示自主学习目标
1.自学课本P93 例1,解决该问题利用的重要知识是什么?
2.我们能否求出例1中图பைடு நூலகம்5.3.1两个锐角的大小呢？试试看。
3.直角三角形有几个元素？
勇攀高峰就是我
某校的教室A位于工地O的正西方向，且OA=200米，一辆拖拉机M
从O点出发，以5米/秒的速度沿北偏西530的方向行驶，如果拖拉 机的噪声污染半径为130米，试问教室A是否在拖拉机的噪声污染 范围内？若不在，试说明理由；若在请求出教室A受污染的时间是 多少？（已知：sin530≈0.80，sin370 ≈0.60，tan370 ≈0.75 .）
3.根据本节课所学知识，自由设计实际应用题，并作答。
25.3 解直角三角形
课前宣誓 我参与，我快乐; 我思考，我进步; 我会学，我成功; 我创新，我伟大。 我信心百倍，我斗志昂扬， 我行，我行，我一定能行!
一、展标设疑
㈠、创设问题情境 苏州的虎丘塔塔身倾斜，
却因经千年而不到，被誉为 “中国第一斜塔”，如图， 据测量，塔顶中心点偏离垂 直中心线的距离约为2.34米， 倾角约为2度48分。
2.在解直角三角形的已知元素中除直角外至少要有一边还是要有一锐角呢？
3.解直角三角的依据有哪些？
解直角三角形的依据
1、三边之间的关系 a2＋b2＝c2（勾股定理）；
2、锐角之间的关系
∠ A＋ ∠ B＝ 90º
3、边角之间的关系
Ｂ
sinA＝ a c
cosA＝
b c
c a
tanA＝
华东师大版数学九年级上册《解直角三角形》复习课件
B 3C
5
4
A
FE
D
13
六.作辅助线分割图形
1.作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形. 2.作高线可以把平行四边形、梯形转化为含直角三角形的图形. 3.连线割补，可以把不规则四边形转化为含直角三角形的图形.
14
本单元知识结构
7
练习:
1.在Rt△ABC中,∠C=90°，解此直角三角形。
①.∠A=60°,c=8，则a=__4__3__ ,b=__4__.
②.a=2，cosA= 2 ,c=__3_. ③.sinA= 1 ,则tanB=___3__ .
3
2
2. 在□ABCD中AB=6 ,BC=8,∠B=60°求平行四边形的
的面积
⑵ 锐角之间的关系：A B 900
⑶ 边角之间的关系：
A
c a
┏
b
C
sin A a , cos A b , tan A a , cot A b ;
c
c
b
a
b
a
b
a
sin B , cosB , tan B , cot B .
c
c
a
b
3
二.锐角三角函数的性质：
(1) 0＜sinA＜1 0＜cosA＜1 tanA＞0 cotA＞0
在Rt△BDC中,∠CBD=45°
∴BD=CD=x 在Rt△ACD中,因∠CAD=29°
30米
D
450
∴CD/AD=tan∠CAD=tan29 °=3/5,
而AD=AB+BD=30+x,
x 3 30 x 5
华师大版初中数学九年级上册《解直角三角形》课件
1.测量楼房AC的楼顶上的电视天线AE的高度， 在地面上一点B测得楼顶A的仰角为300，前进15 米到D，侧得天线顶端E的仰角为600，已知楼高 AC为15米。求天线AE的高度。
2.为迎接2008年奥运会，北京市在旧城改造中，要 拆除一烟囱AB，在地面上事先画定以B为圆心，半 径与AB等长的圆形危险区。现在从离B点21m远的 建筑物CD的顶端C处测得A点的仰角为45°，B点 的俯角为30°，问离B点35m远的保护文物是否在 危险区内？
什么是解直角三角形？
由直角三角形中除直角外的已知 元素，求未知元素的过程，叫做解 直角三角形.
B
a
C
c
如图：RtABC中，C=90， 则其余的5个元素之间关系？
b
A
练习
如图，在△ABC中，已知AC=6，∠C=75°， D ∠B=45°，求△ABC的面积。 解：过点C 作CD⊥AB于点D, 在Rt△ADC中，sin600= AC 又∵AC=6, ∴CD= 3 3 AD=3,又∵∠ACB=750, ∠ABC=450
2．解：如图设BC=x， 在Rt△ADF中，AD=180，∠DAF=30°， ∴DF=90，AF=90 3 ． ∵∠BAC=∠ABC=45°， ∴AC=BC=x． ∴BE=BC-EC=x-90． 在Rt△BDE中，∠BDE=60°， 3 3 ∴DE= BE= （ 3 3 x-90）． FC=AC-AF=x-90 3 ． ∵DE=FC， 3 ∴ （ x-90）=x-90 ．
在RtΔABC中，若∠C =900， 问题1. 在RtΔABC中,两锐角∠A, ∠B的有什么关系? 答： ∠A+ ∠B= 900. 问题2.在RtΔABC中，三边a、b、c的关系如何？ 答：a2+b2 =c2. 问题3：在RtΔABC中， ∠A与边的关系是什么？
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(3)、等腰梯形的较小底长为3，腰 长为5，高为4，则另一个底长 为 9 ，坡度为 4:3 ，
(4)、梯形的两底长分别为5和8，一 腰长为4，则另一腰长X的取值范 1<x<7 围是 。
(5).锐角△ABC中，
2 2cos A 1 tanB 3 0
则 ∠ C=
。
如图,在△ABC中,已知AC=6， ∠C=75°,∠B=45°,求S△ABC。 A
△ABC中,∠C为直角,∠A,∠B, ∠C所对的边分别为a,b,c,且 b=3,∠A=30°,求∠B, a, c. B c a
30° A b
3
C
B c
A
b
5 6 个 个 两个锐角 a 元 素 (已知) 一个直角 C
三边
定义：由直角三角形中已知的边 和角，计算出未知的边和角的过 程，叫 解直角三角形 .
A的对边 sin A 答： 斜边
A的对边 tan A A的邻边
cos A 斜边
A的邻边 cot A A的对边
在解直角三角形的过程中， 常会遇到近似计算，除特别说 明外，边长保留四个有效数字， 角度精确到1′. 解直角三角形 , 只有下面两种 情况： (1) 已知两条边； (2) 已知一条边和一个锐角
D
B
C
求证: ABCD的面积 S=AB · BC · sinB(∠B为锐角)。 A D
B
E
C
我军某部在一次野外训练中,有一 辆坦克准备通过一座小山,且山脚 和山顶的水平距离为1000m，山高 为565m,如果这辆坦克能够爬300 的斜坡,试问:它能不能通过这座小 B 山？ 565m A
1000m
C
山顶上有一旗杆,在地面上一点A处测 得杆顶B的俯角α=600，杆底C的俯角 β=450，已知旗杆高BC=20m，求山 B 高CD。
C
D ┓
A
河的对岸有水塔AB, 今在C处测得 塔顶A的仰角为30°，前进 20米 到D处，又测得塔顶A的仰角为 60°.求塔高AB. A
30°
60°
B
C
D
(1). 在电线杆离地面 8m 高的地方向地 面拉一条长10m的缆绳,问这条缆绳 应固定在距离电线杆底部多远的地 方？ (2). 海船以 32.6 海里 / 时的速度向正北 方向航行，在A处看灯塔Q在海船的 北偏东 30° 处，半小时后航行到 B 处，发现此时灯塔 Q 与海船的距离 最短，求灯塔 Q到B处的距离 .(画出 图形后计算，精确到0.1海里)
(3)如果坡角的余弦值为 3 10 ，
那么坡度为（ A 1:
10
B
）．
10
10
B 3:
C 1:3
B C
D 3:1
A
一段河坝的横断面为等腰梯形 ABCD，试根据下图中的数据求出 坡角a和坝底宽AD.(单位是m，结 果保留根号) B 4 C 6 A E F
i 1: 3
α D
如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD 已知上底长CB=5m，迎水面坡度为1： 背水面坡度为 1：1，坝高为4m.求(1) 3 坡底宽AD的长.(2)迎水坡CD的长.(3) 坡角
A
30° 20
45°
D
B
坡度是指斜坡上任意一点的高度与水 平距离坡角与坡度之间的 关系是：
h i＝ =tan a l
图 25.3.5
(1).一物体沿坡度为1:8的山坡向上移 动 米，则物体升高了 65 ______ 1 米． (2).河堤的横断面如图所示，堤高BC 是5m，迎水坡AB的长是13m，那 么斜坡AB的坡度是（ ）． A 1：C 3 B 1：2.6 C 1：2.4 D 1： 2
2 2
180÷12 = 15小时 答：A城将受到这次沙尘暴影响， 影响的时间为15小时。
E
B
如图,一人在河对岸C处测得电视 塔尖A的仰角为45º ,后退100米到 达D处,测得塔尖A的仰角为30º ,设 塔底B与C、D在同一直线上， 求电视塔的高度AB。
A
45º B C
30º D
α、 β ．
C B
D
α
β
A
如图,一段路基的横断面是梯形， 高为4.2m，上底的宽是12.51m， 路基的坡面与地面的倾角分别是 30°和45°．求路基下底的 宽.(精确到0.1m)
A D
45° B E F
30° C
(1)、一斜坡的坡角为30度，则它 的坡度为 1： 3 ； (2)、坡度通常写成1： m 的形 式。如果一个坡度为1 :1,则这 0 45 ， 个坡角为
A
N1
N
30˚ D C
60˚
B
如图学校里有一块三角形形状的花 圃ABC,现测∠A=30°,AC=40m , BC=25m,请你帮助计算一下这块 花圃的面积? C
A
300
D
B
由于过度采伐森林和破坏植被,我国 部分地区频频遭受沙尘暴侵袭.近日， A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正 南方向240km的B处,以每小时12km的 速度向北偏东30°方向移动,距沙尘暴 中心150km的范围为受影响区域。
如图,为了测量小河的宽度,在河的 岸边选择B.C两点,在对岸选择一个 目标点A,测∠BAC=75°, ∠ACB=45° BC=48m,求河宽. A
B
D
C
海岛A四周20海里内为暗礁区,一艘货 轮由东向西航行,在B处见岛A在北偏 西60˚,航行24海里到C,见岛A在北偏 西30˚,货轮继续向西航行,有无触礁的 危险?请说明理由.
(2)a=10, ∠B＝45°, S△= 则b= ,∠A＝
,
2.△ABC中，∠C=90°，a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C的对边， 2 (1)a=4,sinA= , 求b, c, tanB； 5 (2)a+c=12，b=8，求a,c,cosB
B
c
B c
4a
b C
a
8 b
A
A
C
在RtΔABC中,若∠C =900， 问题1. 在RtΔABC中,两锐角∠A, ∠B 0. 答： ∠ A+ ∠ B= 90 的有什么关系? 问题2.在RtΔABC中,三边a、b、c的 关系如何？ 答：a2+b2 =c2. 问题3：在RtΔABC中， ∠A与边 的关系是什么？ A的邻边
1. 在 Rt△ABC 中， ∠ C ＝ 90°， 由下列条件解直角三角形：
(1)已知a＝6 15 ,b=6 5 , 则 ∠ B= ， ∠ A = ， c = ；
(2)已知c＝30,∠A＝60°则
∠B=
，a =
，b =
；
1.仰角与俯角的定义 在视线与水平线所成的角中规定: 视线在水平线上方的叫做仰角， 视线在水平线下方的叫做俯角。
视线
铅 垂 线 仰角 俯角 视线 水平线
1.如图,升国旗时某同学站在离旗杆 24m处行注目礼,当国旗升到旗杆顶 端时,这位同学的视线的仰角为30o , 若双眼离地面1.5m,则旗杆高度为 D 多少米？
A B
30o
E C
2.在操场上一点A测得旗杆顶端的 仰角为30°再向旗杆方向前进 20m,又测得旗杆的顶端的仰角为 45°,求旗杆的高度.(精确到1m) C
C
60º 45º
A
D
B
(1)A城是否受到这次沙尘暴 的影响 ，为什么？ C
A
解（1）：过A作AC⊥BM,垂足为C, 在Rt△ABC中， ∠B = 30°, 1 1 ∴AC= 2 AB = x 240 = 120 2 ∵AC = 120 < 150 ∴A城受到沙尘暴影响
OC
B
(2)若A城受这次沙尘暴的影响， 那么遭受影响的时间有多长？ M 解（2）：设点E、F是以A为圆心，150km 为半径的圆与BM的交点，由题意得： A F ∴CE =√ AE – AC = 90 ∴EF = 2CE = 2 x 90 = 180 C ∴A城受到沙尘暴影响的时间为
B
a
C
c
b
A
如图：RtABC中,C=90, 则其余的5个元素之间有什么 关系？
在△ABC中,∠C＝90°, a 2
, 求 ∠ A 、∠ B 、 c 边 . b2 3 A
c 2 a
B
2 3
b
C
1.填空：在直角三角形ABC中， ∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、 ∠B、∠C的对边.
(1)c＝10,∠B＝45°,则 a= ，b= S△ =
某市计划将地处A、B两地的两所大学合并成 一所综合大学,为了方便A、B两地师生的交 往,学校准备在相距2千米的A、B两地之间修 筑一条笔直公路(即图中的线段AB)经测量,在 A地的北偏东60º 方向，B地的西偏北45º 方向 的C处有一个半径为0.7千米的公园,问计划修 筑的这条公路会不会穿过公园?为什么?