2011年高三数学复习及试题：第三章 数列1 B卷(附答案)

第三章 数列(一)●知识网络●范题精讲一、等差数列的概念、通项公式【例1】 等差数列{a n }的前n 项和记为S n ．.已知a 10=30,a 20=50. (1)求通项a n ;(2)若S n =242,求n .分析：在等差数列中，有a 1、a n 、n 、d 、S n 五个基本量，若已知其中的任何三个，总可以求出另外两个的值.解：(1)由a n =a 1+(n －1)d ,a 10=30,a 20=50,得方程组⎩⎨⎧=+=+.5019,30911d a d a解得a 1=12,d =2.所以a n =2n +10. (2)由S n =na 1+2)1(-n n d ,S n =242,得方程12n +2)1(-n n ×2=242. 解得n =11或n =－22(舍去).评注：本题是一个最基础的数列题，内容上只涉及等差数列的通项和前n 项和.它主要考查等差数列的通项公式、求和公式以及构造方程的数学方法，考查运算能力.知识点较为单一，但高考中仍不乏这类考查目的明确、适应所有考生的中低档题.二、等差数列性质的应用【例2】 已知等差数列{a n }为等差数列，p ≠q ,a p =q ,a q =p ,求a p+q .分析：可先转化为a 1和d 去探索，也可利用等差数列性质求解，还可利用一次函数图象来解.解法一：⎪⎩⎪⎨⎧=-+==-+=.)1(,)1(11p d q a a q d p a a q p相减得(p －q )d =q －p ,∵p ≠q ,∴d =－1.代入①,得a 1=p +q －1.故a p +q =a 1+(p +q －1)d =0.解法二：a p =a q +(p －q )d ,∴q =p +(p －q )d ,以下同解法一. 解法三：不妨设p <q ,由于a n 为关于n 的一次函数图象上均匀排列的一群孤立点.故(p ,a p )、(q ,a q )、(p +q ,a p +q )三点在同一直线上，如图.①②)由△ABE ∽△BCF 得(设a p +q =m ).)(qq p mp p q p q -+-=-- ∴1=pmp -.设m =0,得a p +q =0. 三、等差数列前n 项和公式的应用【例3】 设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,已知a 3=12,S 12＞0,S 13＜0. (1)求公差d 的取值范围; (2)指出S 1,S 2,…,S 12．中哪一个值最大，并说明理由. (1)解：依题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<⨯+=>⨯+=021*******111212113112d a S d a S⎩⎨⎧<+>+.06,011211d a d a 由a 3=12,得a 1=12－2d .又⎩⎨⎧<+>+030724d d －724＜d ＜－3. (2)解法一：由d ＜0,可知a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 12＞a 13.因此，若在1≤n ≤12中，存在自然数n ，使得a n ＞0,a n +1＜0,则S n 就是S 1,S 2,…,S 12中的最大值.由于S 12．=6(a 6+a 7)＞0,S 13=13a 7＜0,即a 6+a 7＞0,a 7＜0,由此得a 6＞－a 7＞0. 故在S 1，S 2，…，S 12中S 6的值最大.解法二：S n =na 1+2)1(-n n d =n (12－2d )+21n (n －1)d =2d n 2－(25d－12)n=2d ［n －21(5－d 24)］2－2d ［21(5－d 24)］2.∵d ＜0,∴［n －21(5－d24)］2最小时，S n 最大.当－724＜d ＜－3时，6＜21(5－d24)＜6.5. ∴n =6时，［n －21(5－d24)］2最小.∴S 6最大.解法三：由d ＜0,可知a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 12＞a 13.因此，若在1≤n ≤12中，存在自然数n ，使得a n ＞0,a n +1＜0,则S n 就是S 1,S 2,…,S 12中的最大值.由已知⎩⎨⎧<>001312S S ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<⨯+>⨯+021*******11121211d a d a ⎪⎩⎪⎨⎧<+>->+0602511d a d d a ⎩⎨⎧<>.0,076a a 故在S 1,S 2,…,S 12中S 6的值最大.评注：第(2)题用了三种方法来解，解法一与解法三类似，只是确定a 6＞0,a 7＜0的方法不同，解法一技巧性强,解法二是把问题转化成了有限制条件的一元二次函数最值问题.四、数列的应用【例4】 某鱼塘养鱼，由于改进了饲养技术，预计第一年产量的增长率为200%，以后每年的增长率是前一年增长率的一半，设此鱼塘里原来的鱼储存量为a .(1)写出改进饲养技术后的第一年、第二年、第三年、第四年的产量，并写出第n 年与第(n －1)年(n ∈N 且n ≥2)的产量之间的关系式(不要求证明).(2)由于环境污染及池塘老化等因素，致使每年将损失年产量的10%，这样以后每年的产量是否始终逐年提高?若是，请予以证明；若不是，请说明从第几年起产量将不如上一年.(lg2=0.3010,lg3=0.4771)解：(1)不妨设改进技术后第n 年的产量为a n ，则a 1=a (1+200%)=3a ,a 2=a 1(1+21×200%)=6a , a 3=a 2(1+221×200%)=9a ,a 4=a 3(1+321×200%)=445a .依此，得a n =a n －1(1+121-n ×200%)=a n －1［1+(21)n －2］(n ∈N *,n ≥2).(2)设遭损失后第n 年的产量为b n ,则 b 1=a 1(1－10%),b 2=b 1(1+21×200%)(1－10%),…, b n =b n －1［1+(21)n －2］(1－10%). 令b n ＜b n －1,则0.9［1+(21)n －2］＜12n －2＞9,∴n －2＞2lg 9lg ,即n ＞5.17.由n ∈N *知n ≥6.故从第6年起，产量将不如上一年.评注：这是一道数列型应用题，审题时应抓住从第二年开始，"以后每年的增长率是前一年增长率的一半"这个关键，把它抽象为数列的通项，容易求出递推关系式a n =a n －1［1+ (21)n －2］(n ∈N *且n ≥2),即建成了递推模型.第(2)问归结为一个指数不等式问题，利用取对数法很容易求得这个数学问题的解.●试题详解高中同步测控优化训练(十一) 第三章 数列(一)(A 卷)说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题 共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.在100至500之间的正整数能被11整除的个数为 A.34 B.35 C.36 D.37解析：观察出100至500之间能被11整除的数为110，121，132，…，它们构成一个等差数列，公差为11，a n =110+(n －1)·11=11n +99,由a n ≤500,解得n ≤36.4,n ∈N *,∴n ≤36.答案：C2.在数列{a n }中，a 1=1,a n +1=a n 2－1(n ≥1),则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5等于 A.－1 B.1 C.0 D.2 解析：由已知：a n+1=a n 2－1=(a n +1)(a n －1), ∴a 2=0,a 3=－1,a 4=0,a 5=－1. 答案：A3.若数列{a n }的前n 项和S n =n 2－2n +3，则此数列的前3项依次为 A.－1,1,3 B.2,1,3 C.6,1,3 D.2,3,6 解析：当n =1时，a 1=S 1=12－2×1+3=2; 当n =2时，由S 2=a 1+a 2=22－2×2+3,得a 2=1; 当n =3时，由S 3=a 1+a 2+a 3=32－2×3+3,得a 3=3. 答案：B4.设函数f (x )满足f (n +1)=2)(2nn f +(n ∈N *)且f (1)=2,则f (20)为 A.95B.97C.105D.192解析：f (n +1)－f (n )=2n⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⨯=-⨯=-⨯=-.1921)19()20(,221)2()3(,121)1()2(f f f f f f 各式相加得f (20)－f (1)=21(1+2+…+19) f (20)=95+f (1)=97.5.已知等差数列｛a n ｝中公差d ≠0.若n ≥2,n ∈N *,则 A.a 1a n +1＜a 2a n B.a 1+a n +1＞a 2+a n C.a 1+a n +1＜a 2+a nD.a 1a n +1＞a 2a n 解析：a 1a n +1－a 2a n =a 1(a 1+nd )－(a 1+d )［a 1+(n －1)d ］=－(n －1)d 2＜0,∴a 1a n +1＜a 2a n . 答案：A6.等差数列｛a n ｝中，a 4+a 7+a 10=57,a 4+a 5+…+a 14=275,a k =61,则k 等于 A.18 B.19 C.20 D.21解析：∵3a 7=a 4+a 7+a 10=57,∴a 7=19.由a 4+a 5+…+a 14=275,可得a 9=25.∴公差d =3. ∵a k =a 9+(k －9)·d ,∴61=25+(k －9)×3,解得k=21.答案：D7.已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7=－12,a 4+a 6=－4,则S 20为 A.180 B.－180 C.90 D.－90解析：由等差数列性质，a 4+a 6=a 3+a 7=－4与a 3·a 7=－12联立，即a 3、a 7是方程x 2+4x －12=0的两根.又公差d >0,∴a 7>a 3a 7=2,a 3=－6,从而得a 1=－10,d =2,S 20=180.答案：A8.设S n 是等差数列前n 项的和，若9535=a a ,则59S S等于 A.1 B.－1 C.2D.21解法一：∵,9535=a a ,∴d a d a 2411++=95. ∴195592459105369111159=⨯=++⨯=++=d a d a d a d a S S . 解法二：∵9535=a a , ∴.1955922595922)(9355191519159=⨯=⨯=++⨯=+=a a a a a a a a S S 答案：A9.已知｛a n ｝是递增数列，且对任意n ∈N *都有a n =n 2+λn 恒成立，则实数λ的取值范围是A.(－27,+∞) B.(0,+∞)C.(－2,+∞)D.(－3,+∞)解析：由｛a n ｝为递增数列得a n +1－a n =2n +1+λ＞0恒成立,即λ＞－2n －1在n ≥1时恒成立，只需λ＞(－2n －1)max =－3,故选D.10.在等差数列{a n }中，若S 9=18,S n =240,a n －4=30,则n 的值为 A.14 B.15 C.16 D.17 解析：S 9=2)(991a a +=18a 1+a 9=42(a 1+4d )=4.∴a 1+4d =2.又a n =a n －4+4d ,∴S n =2)(1n a a n +=16n =240. ∴n =15. 答案：B第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.设数列{a n }的前n 项和为S n ,S n =2)13(1-n a (n ∈N *),且a 4=54,则a 1的值是________.解析：∵a 4=S 4－S 3,∴2)13(2)13(3141---a a =54.∴a 1=2. 答案：212.若数列｛a n ｝的前n 项和S n =lg ［101(1+n )］,则a 10+a 11+a 12+…+a 99=_________. 解析：a 10+a 11+…+a 99=S 99－S 9=lg(101·100)－lg(101·10)=1－0=1.答案：113.在－9和3之间插入n 个数，使这n +2个数组成和为－21的等差数列，则n =_______. 解析：－21=2)39)(2(+-+n ,∴n =5.答案：514.等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=－24,a 18+a 19+a 20=78,则此数列前20项的和等于________. 解析：由a 1+a 2+a 3=－24,可得3a 2=－24;由a 18+a 19+a 20=78,可得3a 19=78,即a 2=－8,a 19=26. ∴S 20=2)(20201a a +=10(a 2+a 19)=10(－8+26)=180.答案：180三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分8分)已知数列｛a n ｝满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式.(1)a 1=0,a n +1=a n +(2n －1);(2)a 1=1,a n +1=22+n na a .解：(1)∵a 1=0,a n +1=a n +(2n －1),∴a 2=a 1+(2×1－1)=0+1=1,a 3=a 2+(2×2－1)=4,a 4=a 3+(2×3－1)=9,a 5=a 4+(2×4－1)=16. ∴它的前5项依次是0，1，4，9，16.又可写成(1－1)2,(2－1)2,(3－1)2,(4－1)2,(5－1)2. 故该数列的一个通项公式是a n =(n －1)2. (2)∵a 1=1,a n +1=nna a +22,∴a 2=2122,322222311=+==+a a a a a ,a 4=.3122,522244533=+==+a a a a a∴它的前5项依次是1,31,52,21,32. 又可写成.152,142,132,122,112+++++ 故它的一个通项公式为a n =12+n .16.(本小题满分10分)已知等差数列｛a n ｝中，a 1+a 4+a 7=15,a 2a 4a 6=45,求其通项a n . 解：∵a 1+a 7=2a 4,且a 1+a 4+a 7=15,∴a 4=5. 又∵a 2a 4a 6=45,∴a 2a 6=9.设其公差为d ,又a 4=5,∴a 2=a 4－2d ,a 6=a 4+2d .代入a 2a 6=9可得 (5－2d )(5+2d )=925－4d 2=9d =±2.当d =2时，a n =a 4+(n －4)d =5+(n －4)×2=2n －3(n ∈N *);当d =－2时，a n =a 4+(n －4)d =5+(n －4)×(－2)=13－2n (n ∈N *). 17.(本小题满分12分)数列的通项公式为a n =n 2－5n +4，问: (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值. 解：(1)由a n 为负数，得n 2－5n +4<0,解得1<n <4.∵n ∈N *,故n =2或3，即数列有2项为负数，分别是第2项和第3项. (2)∵a n =n 2－5n +4=(n －25)2－49, ∴对称轴为n =25=2.5. 又∵n ∈N *,故当n =2或n =3时，a n 有最小值，最小值为22－5×2+4=－2.18.(本小题满分12分)有30根水泥电线杆，要运往1000米远的地方开始安装，在1000米处放一根，以后每隔50米放一根，一直向前放.一辆汽车一次最多运三根，如果用一辆车完成这项任务，从开始运第一车算起，运完货后回到起点，这辆汽车的行程是多少千米？解：设在运完第3(n －1)至3n (其中1≤n ≤10且n ∈N *)根且返回起点时，这辆汽车的行程为a n 米，则根据题意得a 1=(1000+50+50)×2=2×1100,a 2=(1100+50+50+50)×2=2(1100+150),a 3=(1100+150+50+50+50)×2=2(1100+300),….∴{a n }是以2×1100为首项，150为公差的等差数列.从而行程为s 10=(1100×10+21×10×9×150)×2=35500.答：这辆汽车的行程是35500千米.19.(本小题满分12分)设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n .(1)若首项a 1=23,公差d =1,求满足S k 2=(S k )2的正整数k ; (2)求所有的无穷等差数列{a n }，使得对一切正整数k 都有S k 2=(S k )2成立.解：(1)当a 1=23,d =1时， S n =na 1+.212)1(232)1(2n n n n n d n n +=-+=- 由S k 2=(S k )2,得21k 4+k 2=(21k 2+k )2,即k 3(41k －1)=0.又∵k ≠0,∴k =4.(2)设等差数列{a n }的公差为d ,则在S k 2=(S k )2中，分别取k =1,2,得⎪⎩⎪⎨⎧==,)(,)(224211S S S S 即⎪⎩⎪⎨⎧⨯+=⨯+=.)2122(2344,211211d a d a a a由①得a 1=0或a 1=1.当a 1=0时，代入②得d =0或d =6.若a 1=0,d =0,则a n =0,S n =0,从而S k 2=(S k )2成立；若a 1=0,d =6,则a n =6(n －1),S n =3n 2－3n .此时S k 2=3k 4－3k 2,(Sk )2=(3k 2－3k )2,显然S k 2≠(S k )2. 当a 1=1时，代入②式得d =0或d =2.若a 1=1,d =0时，a n =1,S n =n ,从而S k 2=(S k )2成立；若a 1=1,d =2时，a n =2n －1,S n =1+3+…+(2n －1)=n 2,从而S k 2=(S k )2成立. 综上，共有3个满足条件的无穷等差数列，它们是a n =0,a n =1,a n =2n －1.①②。