【南方凤凰台】(江苏专用)高考数学大一轮复习 第九章 第42课 数列的综合应用要点导学

【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习 第九章 第42
课 数列的综合应用要点导学
要点导学 各个击破

数列与新背景、新定义的综合问题
(2014·东莞一模)如图,有一个形如六边形的点阵,它的中心是1个点(算第1层),第2层
每边有2个点,第3层每边有3个点,依次类推.
(1) 第n(n≥2)层的点数为 ;
(2) 如果一个六边形点阵共有169个点,那么它一共有 层.

(例1)
[思维引导](1) 可将第1,2,3,4,5层的点数一一列出,组成数列,然后判断数列的特点,猜出
结论;(2) 根据(1)的结果求解.
[答案](1) 6(n-1) (2) 8
[解析](1) 第1层的点数为1,第2层的点数为6,第3层的点数为12,第4层的点数为18,第5层
的点数为24,它们组成数列:1,6,12,18,24,分别记为a1,a2,a3,a4,a5.
因为a3-a2=6,a4-a3=6,a5-a4=6,猜想an-an-1=6(n≥2),
所以当n≥2时,由等差数列的通项公式可知an=a2+(n-2)d=6+(n-2)×6=6(n-1),即
an=6(n-1)(n≥2).

(2) 由(1)得(-1)(66-6)2nn+1=169,解得n=8.
[精要点评](1) 对于数列与新背景、新定义的综合问题,此类问题出题背景广、新颖,解题
的关键是读懂题意,有效地将信息转化,能较好地考查学生分析、解决问题的能力和知识的迁移
能力.一般以客观题或解答题的形式出现,属于低、中档题.
(2) 解决数列与新背景、新定义的综合问题,可通过对新数表、图象、新定义的分析、探
究,将问题转化为等差(比)数列的问题.
根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图中有 个点.
(变式)
[答案]n2-n+1
[解析]序号n决定了每个图的分支数,而第n个分支有(n-1)个点,中心再加1点,故有
n(n-1)+1=n2-n+1个点.

数列与函数、不等式等综合问题
若数列{an}的前n项和记为Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线y=2x+1上,n∈N*.
(1) 当实数t为何值时,数列{an}是等比数列?

(2) 在(1) 的结论下,设bn=log3an+1,Tn是数列11nnbb的前n项和,求T2 015的值.
[思维引导]解答本题需要掌握以下几个关键的知识点:(1) 利用前n项和与通项的关系;(2)
用裂项相消法求数列的前n项和.
[解答](1) 由题意得an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n≥2),
两式相减,得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2),
所以当n≥2时,{an}是等比数列.

要使{an}是等比数列,则需21aa=21tt=3,
从而得出t=1.
(2) 由(1)知an=3n-1,bn=log3an+1=n,

11nnbb
=1(1)nn=1n-11n,
T2 015=121bb+…+201520161bb=11-2+11-23+…+11-20152016=20152016.
[精要点评]本题以函数为背景,考查数列前n项和与通项的关系、等比数列、对数知识、裂
项求前n项和等问题,内容较综合,但难度一般.
(2014·扬州模拟)设函数f(x)=233xx(x>0),数列{an}满足a1=1,an=f-11na(n∈N*,n≥
2),求数列{an}的通项公式.

[解答]因为an=f-11na=-1-112313nnaa=an-1+23(n∈N*,且n≥2),
所以an-an-1=23(n≥2).
因为a1=1,所以数列{an}是以1为首项、23为公差的等差数列,
所以an=213n.

数列型的实际应用问题
某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,
将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要
求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年
底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.
(1) 用d表示a1,a2,并写出an+1与an的关系式;
(2) 若公司希望经过n(n≥3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d
的值(用n表示).
[解答](1)由题意得a1=2 000(1+50%)-d=3 000-d,

a2=a1(1+50%)-d=32a1-d,
an+1=an(1+50%)-d=32an-d.
(2) 由(1)得

an=32an-1-d
=232an-2-32d-d
=-233-22nad-d
=…

=-132na1-d2-23331?222n,
整理得an=-132n(3 000-d)-2d-13-12n=-132n(3 000-3d)+2d.
由题意知an=4 000,

所以-132n(3 000-3d)+2d=4 000,

解得d=3-2100023-12nn=11000(3-2)3-2nnnn.
故该企业每年上缴资金d的值为11000(3-2)3-2nnnn时,经过n(n≥3)年企业的剩余资金为4 000
元.
[精要点评]与一般应用题类似,审清题意是解决此类问题的前提.本题中出现了等差数列
与等比数列的常见问题,即求通项公式,分清类别是解题的关键.题中还出现了数列的项的值与
某数值的大小比较等,也属常规问题,仅需常规处理即可.

(2014·北京房山区模拟)2010年,我国南方省市遭遇旱涝灾害,为防洪抗旱,某地区大面
积植树造林.如图,在区域{(x,y)|x≥0,y≥0}内植树,第一棵树在点A1(0,1),第二棵树在点
B1(1,1),第三棵树在点C1(1,0),第四棵树在点C2(2,0),接着按图中箭头方向,每隔一个单位种一
棵树,那么第2014棵树所在的点的坐标是 .
(变式)
[答案](10,44)
[解析]OA1B1C1设为第一个正方形,种植3棵树,依次下去,第二个正方形种植5棵树,第三个正

方形种植7棵树……它们构成一个首项为3、公差为2的等差数列,所以前n项和Sn=3n+(-1)2nn×
2=n2+2n,因为S43=1 935,S44=2 024,所以2 024-2014=10,根据图象知第2 014棵树所在的点的坐标
是(10,44).

1. 已知{an}为等差数列,若a1+a5+a9=2π,则cos(a2+a8)的值为 .
[答案]-12
[解析]a1+a5+a9=3a5=2π,则a5=23,a2+a8=2a5=43.
所以cos(a2+a8)=cos43=-12.
2. 某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则
需要的最少天数n= .
[答案]6

3. (2014·盐城模拟)在数列{an}中,a1=0,111-na-11-na=1,设bn=11-nan,记Sn为数列{bn}的前n
项和,则S99= .

[答案]910
[解析]由题意可得,数列11-na是以1为首项、1为公差的等差数列,
所以11-na=n,从而有an=-1nn,

所以bn=11-nan=1-1nnn=1n-11n,
所以数列{bn}的前99项的和S99=11-2+11-23+…+11-99100=1-1100=910.
4. (2014·湖北模拟)在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若内角A,B,C依次成等差
数列,且不等式-x2+6x-8>0的解集为{x|a

[答案]23
[解析]由于不等式-x2+6x-8>0的解集为{x|2

以B=3,于是S△ABC=12×2×4×sin3=23.
[温馨提醒]
趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习(第83-84页).