绝对不等式的证明
绝对值不等式的证明及应用
绝对值不等式的证明及应用一、绝对值有关性质回顾：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②ab a b =,aa b b= (0)b ≠ ③22a a =④0a ≥ ⑤a a a -≤≤⑥x a a x a ≤⇔-≤≤ x a x a a ≥⇔≥≤-或 二、绝对值不等式：定理：绝对值三角不等式：a b a b a b-≤±≤+.(代数形式)a b a b a b -≤±≤+(向量形式)几何解释:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.(0b a b ab +≤+≥取等号） 证明:方法一：()22+a b a b +≤, 2222+22a ab b a ab b +≤++, 22ab ab ≤,而22ab ab ≤显然成立,∴(0a b a b ab +≤+≥取等号）||||||a b a b +=====+||||||a b a b +===<==+方法二：（选修4-5证法） 当ab ≥0时, ||,ab ab =||,ab ab =-当ab ＜0时综上，a b a b +≤+ 0ab ≥当时，取等号， 方法三：（原人教版教材证法） ∵a a a -≤≤ ① b b b -≤≤ ②①+②：()a b a b a b -+≤+≤+， 逆用性质x a ≤得：a b a b +≤+推论1：123123.......n a a a a a a a +++≤++ ，当123,,,......n a a a a 都非正或都非负时。
a b a b -≤+.证明:方法一:当0a b -<时显然成立,当0a b -≥时，两边平方,()22a b a b-≤+, 222222a ab b a ab b -+≤++, 22ab ab -≤,而22ab ab -≤显然成立,∴a b a b -≤+,(当0ab <时取等号). 方法二:直接利用定理1a ab b a b b a b b =+-≤++-=++.当()()0a b b +-≥时,取等号.即()00a b b ab +≤⇒≤,取等号. 合在一起得:a b a b a b -≤+≤+.(当0ab ≤时左边取等号,当0ab ≥时右边取等号)(当0ab ≥时左边取等号, 当0ab ≤时左边取等号)证明:只需利用已有结论把a b a b a b -≤+≤+中的b 用b -代替即得到定理3.b ac b c -≤-+-证明：a b a c c b a c c b a c b c-=-+-≤-+-=-+-，（当()()0a c c b --≥时，取等号）几何解释：设A ，B ，C 为数轴上的3个点，分别表示数a ，b ，c ，则线段.CB AC AB +≤当且仅当C 在A ，B 之间时，等号成立。
绝对值不等式的证明
例2
设
m,
0,
x
a
, 2
y
b
, 2
a
m,
y
m
求证： xy ab m
例2 已知函数y=|x|-|x-3| ,求函数的值域
解法1 : 利用函数法
3,
x0
y 2x 3, 0 x 3
3,
y x3
3
0
3
x
-3
通过图像观察函数的值域为[-3，3]
解法2 利用不等式法
由 | |x|-|x-3| |≤| x-(x-3) | =3得： -3≤|x|-|x-3|≤3
随着蘑菇王子的抖动，花瓣状的手掌像蘑菇一样，朝着Ｓ．腾爱契思游民瘦弱的胸部直跳过去！紧跟着蘑菇王子也晃耍着兵器像门柱般的怪影一样向Ｓ．腾爱契思游民直跳过 去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道纯黑色的闪光，地面变成了浅灰色、景物变成了深灰色、天空变成了米黄色、四周发出了迷人的巨响！蘑菇王子如同天马 一样的强壮胸膛受到震颤，但精神感觉很爽！再看Ｓ．腾爱契思游民长长的灰蓝色臂章样的眼睛，此时正惨碎成闹钟样的水白色飞沫，狂速射向远方，Ｓ．腾爱契思游民闷呼 着变态般地跳出界外，快速将长长的灰蓝色臂章样的眼睛复原，但已无力再战，只好落荒而逃人最后一个校霸终于逃的不见踪影，战场上留下了满地的奇物法器和钱财珠宝… …蘑菇王子正要收拾遍地的宝贝，忽然听四声怪响！四个怪物忽然从四个不同的方向钻了出来……只见Ｒ．布基希大夫和另外四个校霸怪突然齐声怪叫着组成了一个巨大的钢 针青毛神！这个巨大的钢针青毛神，身长八十多米，体重二十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分陀螺般的青毛！这巨神有着粉红色蛤蟆模样的身躯和金红色细小螃蟹般的皮 毛，头上是亮红色娃娃一样的鬃毛，长着绿宝石色蛋糕模样的春蚕树皮额头，前半身是锅底色灯柱模样的怪鳞，后半身是漂亮的羽毛。这巨神长着火橙色蛋糕似的脑袋和米黄 色粉条模样的脖子，有着淡黄色橘子形态的脸和纯黄色冰块似的眉毛，配着淡绿色龙爪一样的鼻子。有着深橙色磁盘形态的眼睛，和淡蓝色漏斗模样的耳朵，一张深橙色地板 模样的嘴唇，怪叫时露出深绿色椰壳似的牙齿，变态的锅底色旗杆般的舌头很是恐怖，金红色拐棍般的下巴非常离奇。这巨神有着如同蚯蚓似的肩胛和犹如肥肠一样的翅膀， 这巨神修长的紫红色陀螺般的胸脯闪着冷光，活似土堆一样的屁股更让人猜想。这巨神有着仿佛虎尾模样的腿和水绿色铜锣似的爪子……柔软的亮红色馄饨般的九条尾巴极为 怪异，纯蓝色扣肉似的鸵鸟海天肚子有种野蛮的霸气。紫红色原木一样的脚趾甲更为绝奇。这个巨神喘息时有种淡绿色鼠标般的气味，乱叫时会发出土黄色玉米形态的声音。 这个巨神头上亮橙色怪藤一样的犄角真的十分罕见，脖子上酷似火腿一样的铃铛感觉空前猜疑但又露出一种隐约的奇特……蘑菇王子和知知爵士见这伙校霸来者不善，急忙把 附近的学生别墅群甩到千里之外，然后快速组成了一个巨大的小鬼兽牙魔！这个巨大的小鬼兽牙魔，身长八十多米，体重二十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分完美的兽牙 ！这巨魔有着葱绿色包子形态的身躯和浓绿色细小牙刷一般的皮毛，头上是亮蓝色果冻般的鬃毛，长着亮白色仙鹤形态的板尺七影额头，前半身是春绿色羽毛形态的怪鳞，后 半身是狼狈的羽毛。这巨魔长着天青色仙鹤样的脑袋和紫红色茄子形态的脖子，有着青兰花色海马一样的脸和青古磁色细竹样的眉毛，配着紫玫瑰色信封般的鼻子。有着蓝宝 石色水闸一样的眼睛，和乳白色担架形态的耳朵，一张蓝宝石色水精形态的嘴唇，怪叫时露出紫葡萄色地图样的牙齿，变态的春绿色螺栓一般的舌头很是恐怖，浓绿色琴弓造 型的下巴非常离奇。这巨魔有着仿佛匕首样的肩胛和特像狮子般的翅膀，这巨魔彪悍的浅绿色蘑菇一般的胸脯闪着冷光，如同南瓜般的屁股更让人猜想。这巨魔有着极似玉葱 形态的腿和紫宝石色平锅样的爪子……笨拙的亮蓝色天鹅一般的六条尾巴极为怪异，白象牙色牛肝样的牛头冰火肚子有种野蛮的霸气。浅绿色铅笔般的脚趾甲更为绝奇。这个 巨魔喘息时有种紫玫瑰色喷壶一般的气味，乱叫时会发出湖青色漩涡一样的声音。这个巨魔头 蓝色扣肉般的犄角真的十分罕见，脖子上活似圆规般的铃铛仿佛真是浪漫恐怖！ 这时那伙校霸组成的巨大钢针青毛神忽然怪吼一声！只见钢针青毛神旋动强壮的肩胛，一挥，一道暗橙色的余辉突然从长长的活似土堆一样的屁股里面射出！瞬间在巨钢针青 毛神周身形成一片金红色的光柱！紧接着巨大的钢针青毛神最后钢针青毛神摆动淡黄色橘子形态的脸一声怪吼！只见从天边涌来一片一望无际的戈壁恶浪……只见一望无际的 戈壁轰鸣翻滚着快速来到近前，突然间飘飘洒洒的太监在一个个小钢针青毛神的指挥下，从轰鸣翻滚的戈壁中冒了出来！“这个玩法不错？！咱俩也玩一个让他们看看！”蘑 菇王子一边说着一边抛出法宝。“就是！就是！”知知爵士一边说着一边念动咒语。这时蘑菇王子和知知爵士变成的巨大小鬼兽牙魔也怪吼一声！只见小鬼兽牙魔甩动威风的 仿佛匕首样的肩胛，晃，一道淡青色的奇辉猛然从扁扁的额头里面弹出！瞬间在巨小鬼兽牙魔周身形成一片紫红色的光环！紧接着巨大的小鬼兽牙魔把瘦长的灵活手臂扭了扭 只见三道漫舞的特像毛虫般的金宝石，突然从好像雪鹿一样的大腿中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，褐黄色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的方砖浅飞味在荒凉的空气 中闪耀！最后小鬼兽牙魔晃动紧缩的嘴唇一声怪吼！只见从天边涌来一片一望无际的荒滩巨浪……只见一望无际的海潮轰鸣翻滚着快速来到近前，突然间密密麻麻的镖师在一 个个小小鬼兽牙魔的指挥下，从轰鸣翻滚的海潮中冒了出来！无比壮观的景象出现了，随着戈壁和荒滩的高速碰撞！翻滚狂舞其中的所有物体和碎片都被撞向十几万米的高空 ，半空中立刻形成一道杀声震天、高速上升的巨幕，双方的斗士一边快速上升一边猛烈厮杀……战斗结束了，校霸们的队伍全军覆灭，垂死挣扎的钢针青毛神如同蜡像一样迅 速熔化……双方斗士残碎的肢体很快变成金币和各种各样的兵器、珠宝、奇书……纷纷从天落下！这时由Ｒ．布基希大夫和另外四个校霸怪又从地下钻出变成一个巨大的狐妖 峰筋神！这个巨大的狐妖峰筋神，身长八十多米，体重二十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分壮观的峰筋！这巨神有着纯白色野猪一样的身躯和暗白色细小鱼杆似的皮毛， 头上是暗灰色邮筒造型的鬃毛，长着淡橙色假山一样的花生浩波额头，前半身是淡白色路灯一样的怪鳞，后半身是冒烟的羽毛。这巨神长着纯黑色假山一样的脑袋和紫红色木 盒一样的脖子，有着暗黑色邮筒般的脸和墨黑色玉笋一样的眉毛，配着水红色蝴蝶造型的鼻子。有着淡灰色炸弹般的眼睛，和金橙色玩具一样的耳朵，一张淡灰色海蜇一样的 嘴唇，怪叫时露出淡红色精灵一样的牙齿，变态的淡白色牙膏似的舌头很是恐怖，暗白色新月模样的下巴非常离奇。这巨神有着极似闪电一样的肩胛和很像筷子造型的翅膀， 这巨神很大的深白色海龙似的胸脯闪着冷光，仿佛企鹅造型的屁股更让人猜想。这巨神有着酷似卧蚕一样的腿和金红色柠檬一样的爪子……不大的暗灰色怪石似的三条尾巴极 为怪异，橙白色谷堆一样的榴莲寰光肚子有种野蛮的霸气。深白色弯刀造型的脚趾甲更为绝奇。这个巨神喘息时有种水红色听筒似的气味，乱叫时会发出深黑色石板般的声音 。这个巨神头上深绿色牛肝造型的犄角真的十分罕见，脖子上如同黄瓜造型的铃铛感觉空前灿烂又经典。蘑菇王子和知知爵士见情况突变，急忙变成了一个巨大的瓜子缸肚魔 ！这个巨大的瓜子缸肚魔，身长八十多米，体重二十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分恶毒的缸肚！这巨魔有着暗红色古树般的身躯和亮橙色细小
高中数学课件第一节 绝对值不等式
首页
上一页
下一页
末页
第一节
绝对值不等式
结束
3．如果关于 x 的不等式|x－3|－|x－4|<a 的解集不是空集，求 实数 a 的取值范围．
解：注意到||x－3|－|x－4||≤|(x－3)－(x－4)|＝1，－1≤|x－ 3|－|x－4|≤1.若不等式|x－3|－|x－4|<a 的解集是空集， 则有 |x－3|－|x－4|≥a 对任意的 x∈R 都成立， 即有(|x－3|－|x－ 4|)min≥a， a≤－1.因此， 由不等式|x－3|－|x－4|<a 的解集不 是空集可得，实数 a 的取值范围是 a>－1.
1 1 2t－1<2x<1，t－ <x< ，∴t＝0. 2 2 2．设不等式|x＋1|－|x－2|>k 的解集为 R，求实数 k 的取值范围．
[试一试]
解：法一：根据绝对值的几何意义，设数 x，－1,2 在 数轴上对应的点分别为 P，A，B，则原不等式等价于 |PA|－|PB|>k 恒成立． ∵|AB|＝3， 即|x＋1|－|x－2|≥－ 3.故当 k<－3 时，原不等式恒成立．
为数轴上两点的距离求解． 5．数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个
函数的图象，利用函数图象求解．
数学
首页
上一页
下一页
末页
第一节
绝对值不等式
结束
[练一练]
1．在实数范围内，解不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6.
解：法一：分类讨论去绝对值号解不等式． 1 3 1 1 当 x> 时，原不等式转化为 4x≤6⇒x≤ ；当－ ≤x≤ 时，原 2 2 2 2 1 不等式转化为 2≤6，恒成立；当 x<－ 时，原不等式转化为－ 2
绝对值不等式的证明
推论2
a b a b a b
试一试
（5）|a+b|-|a-b| ≤
|a+b|-|a-b|
≤
2|a| |a+b|+|a-b| 2|b| ≤ |a+b|+|a-b|
≤
1.若|a-c|<h , |b-c| <h ,则下列不等式一定成立的是（ A）
(A) |a-b|<2h
(B) |a-b|>h
由 | |x|-|x-3| |≤| x-(x-3) | =3得： -3≤|x|-|x-3|≤3
∴-3≤y≤3, 即y∈[-3,3]
1. A a
2
, B b
2
, 试比较大小
＜ ＜
(1) ( A B) (a b)
(2) ( A B) (a b)
[-3，3]
a b a b 2ab
a b 2 a b
2
2
a b
2
ab
所以，a b a b ，当且仅当 ab 0
时，等号成立.
能否根据定理1的研究思想，探究
（1） a b 与 a b 之间的关系.
（2） a , b , a b 之间的关系.
︱|a|-|b|︱≤|a+b|≤|a|+|b|
a a2 a3 推论 1 a1 1 a2 2 a3 3 a1 a2 a3 1
推抡1还可推广到 n N , n 2的情形
a1 a2 a3 an a1 a2 a3 an
把定理中的b换为-b可变形为 |a|-|-b|≤|a-b| ≤|a|+|-b|
绝对值不等式6个基本公式证明
绝对值不等式6个基本公式证明我们来证明绝对值的非负性质：1. 对于任意实数x，有|x| ≥ 0.证明：根据绝对值的定义，如果x ≥ 0，则有|x| = x ≥ 0；若x < 0，则有|x| = -x ≥ 0。
无论x的值如何，都有|x| ≥ 0，即绝对值非负。
接下来，我们证明绝对值的不等性质：2. 对于任意实数x和y，若x ≤ y，则有|x| ≤ |y|.证明：根据绝对值的定义，如果x ≤ y，则y - x ≥ 0。
而|x| = x 或 -x，|y| = y 或 -y。
分以下两种情况进行讨论：a. 若x ≥ 0，则|x| = x，|y| = y。
此时有x ≤ y，即y - x ≥ 0。
由于绝对值的非负性质，可以得到|x| = x ≤ y = |y|。
b. 若x < 0，则|x| = -x，|y| = y 或 -y。
此时有y - x ≥ 0，即y ≥ x。
对于|x| = -x和|y| = y有以下子情况：i. 若y ≥ 0，则|y| = y。
由于 x < 0，所以-x > 0，即 -x > x。
所以，|x| = -x ≤ -x ≤ y = |y|。
ii. 若y < 0，则|y| = -y。
又因为y ≥ x > 0，所以-y ≥ -x > 0。
由绝对值的非负性质，可以得到|x| = -x ≤ -y = |y|。
3. 对于任意实数x和y，有|x + y| ≤ |x| + |y|.证明：根据绝对值的定义，有以下两种情况进行讨论：a. 若x + y ≥ 0，则|x + y| = x + y，并且|x| = x，|y| = y。
由于x + y ≥ 0，所以x + y ≤ |x| + |y|。
即|x + y| ≤ |x| + |y|。
b. 若x + y < 0，则|x + y| = -(x + y)，而|x| = -x，|y| = -y。
此时有：i. 若x ≥ 0且y ≥ 0，则|x + y| = -(x + y) ≤ -x -y = |x| + |y|。
高考数学一轮复习第12章选修4系列第3讲绝对值不等式讲义理含解析
第3讲绝对值不等式1．绝对值不等式(1)定理如果a，b是实数，那么|a＋b|≤□01|a|＋|b|，当且仅当□02ab≥0时，等号成立．(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当□03(a－b)(b－c)≥0时，等号成立，即b落在a，c之间．(3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式①|a1＋a2＋…＋a n|≤|a1|＋|a2|＋…＋|a n|.②||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.2．绝对值不等式的解法(1)形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解．(2)①绝对值不等式|x|>a与|x|<a的解集．②|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法．|ax＋b|≤c⇔□03－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c⇔□04ax＋b≤－c或ax＋b≥c(c>0)．1．概念辨析(1)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.( )(2)若|x|>c的解集为R，则c≤0.( )(3)|ax＋b|≤c(c≥0)的解集，等价于－c≤ax＋b≤c.( )(4)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ 2．小题热身(1)设a ，b 为满足ab <0的实数，那么( ) A ．|a ＋b |>|a －b | B ．|a ＋b |<|a －b | C ．|a －b |<||a |－|b || D ．|a －b |<|a |＋|b | 答案 B解析 ∵ab <0，∴|a －b |＝|a |＋|b |>|a ＋b |.(2)若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________. 答案 2解析 由|kx －4|≤2⇔2≤kx ≤6.∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2. (3)函数y ＝|x －3|＋|x ＋3|的最小值为________． 答案 6解析 因为|x －3|＋|x ＋3|≥|(x －3)－(x ＋3)|＝6，当－3≤x ≤3时，|x －3|＋|x ＋3|＝6，所以函数y ＝|x －3|＋|x ＋3|的最小值为6.(4)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是________． 答案 (－∞，4)解析 |x －1|－|x －5|表示数轴上对应的点x 到1和5的距离之差．而数轴上满足|x －1|－|x －5|＝2的点的数是4，结合数轴可知，满足|x －1|－|x －5|<2的解集是(－∞，4)．题型 一 解绝对值不等式设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )>2； (2)求函数y ＝f (x )的最小值．解 (1)解法一：令2x ＋1＝0，x －4＝0分别得x ＝－12，x ＝4.原不等式可化为：⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－x －5>2或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x <4，3x －3>2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4，x ＋5>2.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－7或x >53. 解法二：f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5，x <－12，3x －3，－12≤x <4，x ＋5，x ≥4.画出f (x )的图象，如图所示．求得y ＝2与f (x )图象的交点为(－7,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2. 由图象知f (x )>2的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－7或x >53. (2)由(1)的解法二知，f (x )min ＝－92.条件探究 把举例说明中函数改为“f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|”，解不等式|f (x )|>1.解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，y ＝f (x )的图象如图所示．由f (x )的表达式及图象，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5，故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <13或x >5.所以|f (x )|>1的解集为{|x x <13或1<x <3或x >5.解|x －a |＋|x －b |≥c 或|x －a |＋|x －b |≤c 的一般步骤 (1)零点分段法①令每个含绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排序并以这些根为端点把实数集分为若干个区间； ③由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出解集； ④取各个不等式解集的并集求得原不等式的解集． (2)利用|x －a |＋|x －b |的几何意义数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体，|x －a |＋|x －b |≥|x －a －(x －b )|＝|a －b |.(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a |＋|x －b |和y 2＝c 的图象，结合图象求解．见举例说明．提醒：易出现解集不全的错误．对于含绝对值的不等式，不论是分段去绝对值号还是利用几何意义，都要不重不漏．1．求不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集．解 当x <－2时，不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5，解得x ≤－3；当－2≤x <1时，不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5，即3≥5，无解； 当x ≥1时，不等式等价于x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2. 综上，不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}．2．若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为{|x －53<x <13，求a 的值．解 ∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5. 当a >0时，－1a <x <5a ，－1a ＝－53，且5a ＝13无解； 当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符； 当a <0时，5a <x <－1a ，5a ＝－53，且－1a ＝13，解得a ＝－3.题型 二 绝对值不等式性质的应用角度1 用绝对值不等式的性质求最值 1．设函数f (x )＝|2x －3|.(1)求不等式f (x )>5－|x ＋2|的解集；(2)若g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )的最小值为4，求实数m 的值． 解 (1)∵f (x )>5－|x ＋2|可化为|2x －3|＋|x ＋2|>5， ∴当x ≥32时，原不等式化为(2x －3)＋(x ＋2)>5，解得x >2，∴x >2；当－2<x <32时，原不等式化为(3－2x )＋(x ＋2)>5，解得x <0，∴－2<x <0；当x ≤－2时，原不等式化为(3－2x )－(x ＋2)>5，解得x <－43，∴x ≤－2.综上，不等式f (x )>5－|x ＋2|的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)． (2)∵f (x )＝|2x －3|，∴g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )＝|2x ＋2m －3|＋|2x －2m －3|≥|(2x ＋2m －3)－(2x －2m －3)|＝|4m |，∴依题意有4|m |＝4，解得m ＝±1.角度2 用绝对值不等式的性质证明不等式 (多维探究)2．设a >0，|x －1|<a 3，|y －2|<a3，求证：|2x ＋y －4|<a .证明 因为|x －1|<a 3，|y －2|<a3， 所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)| ≤2|x －1|＋|y －2|<2×a 3＋a3＝a .即|2x ＋y －4|<a .结论探究 举例说明条件不变，求证：|x －2y ＋1|<a ＋2. 证明 |x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －1)|<|x －1|＋|2(y －1)|＝|x －1|＋|2(y －2)＋2|<|x －1|＋2|y －2|＋2a 3＋2·a3＋2＝a ＋2.1．证明绝对值不等式的三种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明． (3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明． 2．用绝对值不等式的性质求最值的方法利用不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R )和|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R )，通过确定适当的a ，b ，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值．(2018·江西南昌模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|. (1)若不等式f (x )≤2－|x －1|有解，求实数a 的取值范围； (2)当a <2时，函数f (x )的最小值为3，求实数a 的值． 解 (1)由题意f (x )≤2－|x －1|，即为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≤1.而由绝对值的几何意义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a2＋|x －1|≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a2－1， 由不等式f (x )≤2－|x －1|有解，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a2－1≤1，即0≤a ≤4.∴实数a 的取值范围是[0,4]．(2)由2x －a ＝0得x ＝a2，由x －1＝0得x ＝1， 由a <2知a2<1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x <a 2，x －a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≤x ≤1，3x －a －x函数的图象如图所示．∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－a2＋1＝3，解得a ＝－4.题型 三 与绝对值不等式有关的参数范围问题(2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|， 即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，2，x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >12. (2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|<1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1，不符合题意；若a >0，|ax －1|<1的解集为0<x <2a ，所以2a≥1，故0<a ≤2.综上，a 的取值范围为(0,2]．条件探究 把举例说明函数改为“f (x )＝|2x －1|－|x －a |”，若x ∈(－1,0)时，f (x )>1有解，求a 的取值范围．解 当x ∈(－1,0)时，f (x )>1有解⇔|x －a |<－2x 有解⇔2x <x －a <－2x 有解⇔3x <a <－x 有解，∵3x >－3，－x <1，∴－3<a <1，即实数a 的取值范围是(－3,1)．两招解不等式问题中的含参问题(1)第一招是转化．①把存在性问题转化为求最值问题；②不等式的解集为R 是指不等式的恒成立问题；③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f (x )<a 恒成立⇔a >f (x )max ，f (x )>a 恒成立⇔a <f (x )min .(2)第二招是求最值．求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：①利用绝对值的几何意义；②利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥||a |－|b ||；③利用零点分区间法．已知f (x )＝|x －a |，a ∈R .(1)当a ＝1时，求不等式f (x )＋|2x －5|≥6的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )－|x －3|的值域为A ，且[－1,2]⊆A ，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，不等式为|x －1|＋|2x －5|≥6. 当x ≤1时，不等式可化为－(x －1)－(2x －5)≥6， 解得x ≤0，所以x ≤0；当1<x <52时，不等式可化为(x －1)－(2x －5)≥6，解得x ≤－2，所以x ∈∅；当x ≥52时，不等式可化为(x －1)＋(2x －5)≥6，解得x ≥4，所以x ≥4.综上所述，原不等式的解集为{x |x ≤0或x ≥4}． (2)因为|g (x )|＝||x －a |－|x －3|| ≤|x －a －(x －3)|＝|a －3|， 所以g (x )∈[－|a －3|，|a －3|]，所以函数g (x )的值域A ＝[－|a －3|，|a －3|]， 因为[－1,2]⊆A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－|a －3|≤－1，|a －3|≥2，解得a ≤1或a ≥5.所以实数a 的取值范围是(－∞，1]∪[5，＋∞)．。
绝对值不等式
其图象如图所示，由图象可知，当且仅当 x∈ (0，2)时，y<0， 所以原不等式的解集是 {x|0<x<2}．
栏目 导引
选修45 不等式选讲
a 1 (2)当 x∈ [－ ， )时， f(x)＝ 1＋a， 2 2 不等式 f(x)≤g(x)化为 1＋ a≤x＋3， a 1 a 所以 x≥a－ 2 对 x∈[－ ， )都成立，故－ ≥a－ 2， 2 2 2 4 即 a≤ . 3 4 从而 a 的取值范围是 (－ 1， ]． 3
栏目 导引
选修45 不等式选讲
1． (2013· 高考重庆卷)若关于实数 x 的不等式|x－ 5|＋ |x＋3|<a
(－∞，8] ． 无解，则实数 a 的取值范围是____________
【解析】∵|x－5|＋|x＋3| ＝|5－x|＋|x＋3|≥|5－x＋x＋3|＝8， ∴(|x－5|＋|x＋3|)min＝8， 要使|x－5|＋|x＋3|<a 无解，只需 a≤8.
栏目 导引
选修45 不等式选讲
(1)对绝对值三角不等式定理 |a|－ |b|≤|a± b|≤|a|＋ |b|中等号成 立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时，如 求 y＝ |x－ a|＋ |x－b|或 y＝ |x＋a|－ |x－ b|型的最值问题， 利用 绝对值三角不等式更简捷、方便． (2)该定理可以强化为： ||a|－ |b||≤|a± b|≤|a |＋ |b|，它经常用于 证明含绝对值的不等式．
栏目 导引
选修45 不等式选讲
(2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－ |x－ 2|≥|x＋a|. 当 x∈ [1， 2]时，|x－ 4|－|x－2|≥|x＋a| ⇔4－ x－ (2－x)≥|x＋ a| ⇔－2－a≤x≤2－a. 由条件得－2－a≤1 且 2－a≥2，即－ 3≤a≤0. 故满足条件的 a 的取值范围为[－3， 0]．
绝对值函数和绝对值不等式
绝对值函数和绝对值不等式典型例题：【过关习题4】1.【2018年学考选考十校联盟，☆☆】已知a，b是实数，则“|a|≤1且|b|≤1”是“|a+b|+|a－b|≤2”的.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.【2018年绍兴高三适应性考试，，☆☆】已知a>0，函数f(x)=|x2+|x－a|－3|在区间[－1，1]上的最大值是2，则a=.3.【2018年温州二模，17，，☆☆☆】已知f(x)=x2－ax，|f(f(x))|≤1在[1，2]上恒成立，则实数a的最大值为.4.【2017年绍兴诸暨二模，，☆☆☆☆】已知函数f(x)=|x2+ax+b|在区间[0，c]内的最大值为M(a，b∈R，c>0为常数)且存在实数a，b，使得M取最小值2，则a+b+c=.5.【☆☆】设正实数x，y，则|x－y|+的最小值为.6.【2017年杭州二模，10，☆☆】设函数f(x)=x2+ax+b(a、b∈R)的两个零点为x1、x2，若|x1|+|x2|≤2，则.A.|a|≥1B.|b|≤1C.|a+2b|≥2D.|a+2b|≤27.【2017年浙江4月份学考，☆☆】已知a，b∈R，a≠1，则|a+b|+的最小值为.8.【2017年浙江绍兴市柯桥中学5月质检，8，☆☆】已知x，y∈R，则.A.若|x2+y|+|x－y2|≤1，则B.若|x2－y|+|x－y2|≤1，则C.若|x+y2|+|x2－y|≤1，则D.若|x+y2|+|x2+y|≤1，则9.【2016年浙江高考，8，☆☆☆】已知实数a、b、c，下面四个选项中正确的是.A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2<100B.若|a2+b+c|+|a2+b－c|≤1，则a2+b2+c2<100C.若|a+b+c2|+|a+b－c2|≤1，则a2+b2+c2<100D.若|a2+b+c|+|a+b2－c|≤1，则a2+b2+c2<10010.【2017年杭州高级中学最后一模，17，☆☆】设实数x，y，z满足则|x|+|y|+|z|的最大值为.11.【2017年浙江名校协作体，7，☆】设f(x)=|2x－1|，若f(x)≥对任意的a≠0恒成立，则x的取值范围为.12.【2016年浙江样卷，☆】已知f(x)=ax2+bx+c，a、b、c∈R，且a≠0，记M(a，b，c)为|f(x)|在[0，1]上的最大值，则的最大值是.13.【☆☆】设函数f(x)=|x2+ax+b|，若对任意的实数a、b，总存在x0∈[0，4]使得f(x0)≥m成立，则实数m的取值范围是.14.【2017年浙江缙云、富阳、长兴联考，☆☆☆】已知函数f(x)=－x3－3x2+x，记M(a，b)为函数g(x)=|ax+b－f(x)|(a>0，b∈R)在[－2，0]上的最大值，则M(a，b)的最小值为.15.【2017年杭州一模，9，☆☆☆】设函数f(x)=x2+ax+b，记M为函数y=|f(x)|在[－1，1]上的最大值，N为|a|+|b|的最大值，则.A.若M=，则N=3B.若M=，则N=3C.若M=2，则N=3D.若M=3，则N=316.【2017年诸暨，☆☆☆】设函数f(x)=|ax+2+b|，若对任意的x∈[0，4]，函数f(x)≤恒成立，则a+2b=.17.【浙江省绍兴市2017届高三二模，17，☆☆☆】已知对任意实数x都有|a cos2x+b sin x+c|≤1恒成立，则|a sin x+b|的最大值为.18.【浙江省嘉兴市2016届高三教学质量测试(二)，14，☆☆】设max{a，b}=，已知x，y∈R，m+n=6，则F=max的最小值为．19.【☆☆】已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，若对任意的|x|≤1，都有|f(x)|≤1，则|a|+|b|+|c|的最大值为.20.【2014年湖南高考，☆☆】在直角平面坐标系xOy中，O为原点，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足||=1，则|++|的最大值为.21.【浙江省2017年预赛，10，☆☆☆】已知f(x)=若方程f(x)+2+|f(x)－2|－2ax－4=0有三个不等的实数根x1，x2，x3，且x1<x2<x3，若x3－x2=2(x2－x1)，则a=.22.【2006年辽宁，☆】已知函数f(x)=(sin x+cos x)－|sin x－cos x|，则f(x)的值域为.23.【2008年江西，☆】函数y=tan x+sin x－|tan x－sin x|在区间内的图像是.24.【浙江省绍兴市2015年高三教学质量调测，15，☆☆☆】当且仅当x∈(a，b)∪(c，d)(b≤c)时，函数f(x)=2x2+x+2的图像在函数g(x)=|2x+1|+|x－t|的下方，则b－a+d－c的取值范围为. 25.【2016高考浙江文数，☆☆】已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a·b=1．若e为平面单位向量，则|a·e|+|b·e|的最大值是______．26.【2014年四川预赛，9，☆☆】已知a、b为实数，对任何满足0≤x≤1的实数x，都有|ax+b|≤1成立，则|20a+14b|+|20a－14b|的最大值是.27.【2014年黑龙江预赛，14，☆☆】已知f(x)=g(x)=|x－k|+|x－1|，若对任意的x1，x2∈R，都有f(x1)≤g(x2)成立，则实数k的取值范围为.28.【2014年全国联赛，3，☆☆】若函数f(x)=x2+a|x－1|在[0，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是.29.【2015年湖北预赛，1，☆☆】若对任意实数x，|x+a|+|x+1|≤2a恒成立，则实数a的最小值为.30.【2016年山东预赛，1，☆☆☆】方程x=|x－|x－6||的解为.31.【2016年陕西预赛，12，☆☆】设x∈R，则函数f(x)=|2x－1|+|3x－2|+|4x－3|+|5x－4|的最小值为.32.【2016年浙江预赛，11，☆☆☆】设a∈R，方程||x－a|－a|=2恰有三个不同的实数根，则a=.33.【1982年全国，4，☆☆】由曲线|x－1|+|y－1|=1确定的曲线所围成的图形的面积是.A.1B.2C.πD.434.【2017年江苏预赛，5，，☆☆】定义区间[x1，x2]的长度为x2－x1.若函数y=|log2x|的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]的长度的最大值和最小值的差为.35.【2018年浙江预赛，8，☆】设f(x)=|x+1|+|x|－|x－2|，则f(f(x))+1=0有个不同的解.36.【2015年全国，6，☆☆】在平面直角坐标系xOy中，点集K={(x，y)|(|x|+3|y|－6)(3|x|+|y|－6)≤0}所对应的平面区域的面积为.37.【2008年湖南预赛，9，☆☆☆】在平行直角坐标系中，定义点P(x1，y1)，Q(x2，y2)之间的“直角距离”为d(P，Q)=|x1－x2|+|y1－y2|.若C(x，y)到点A(1，3)、B(6，9)的“直角距离”相等，其中实数x、y满足0≤x≤10，0≤y≤10，则所有满足条件点C的轨迹的长度之和为.38.【2014年湖北预赛，4，☆☆】在直角坐标系中，曲线|x－1|+|x+1|+|y|=3围成的图形的面积是.39.【2017年金华十校期末调研考试，9，☆☆】设x、y∈R，下列不等式成立的是.A.1+|x+y|+|xy|≥|x|+|y|B.1+2|x+y|≥|x|+|y|C.1+2|xy|≥|x|+|y|D.|x+y|+2|xy|≥|x|+|y|40.【2017年绍兴市高三教学质量调测，9，☆☆☆】记min{x，y}=设f(x)=min{x2，x3}，则.A.存在t>0，|f(t)+f(－t)|>f(t)－f(－t)B.存在t>0，|f(t)－f(－t)|≥f(t)－f(－t)C.存在t>0，|f(1+t)+f(1－t)|>f(1+t)+f(1－t)D.存在t>0，|f(1+t)－f(1－t)|>f(1+t)－f(1－t)41.【浙江省2016届高三下学期第二次五校联考(理)，18，☆☆☆】已知函数f(x)=ax2+bx+c，g(x)=c|x|+bx+a，对任意x∈[－1，1]，|f(x)|≤.(I)求|f(2)|的取值范围；(II)证明：对任意的x∈[－1，1]，都有|g(x)|≤142.【浙江省嘉兴市2016届高三期末考试，20，☆☆☆】已知函数f(x)=－x2+2bx+c，，设函数g(x)=|f(x)|在区间[－1，1]上的最大值为M．(I)若b=2，试求出M；(II)若M≥k对任意的b，c恒成立，试求出k的最大值．43.【2016四川预赛，16，☆☆☆☆】已知a为实数，函数f(x)=|x2－ax|－ln x，请讨论函数f(x)的单调性.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例3、证明
b ( b + m) < a ( a + m)
分析
只需证
ba m a b m
两端约去ab,故只需
再证
因为已知
只需
m 0; ba
bm am
但是这是已知条件，故原不等式成立
注：分析法不是等价证明，不应写成
B B1 B2 Bn A
方法4
用放缩法证明不等式
2 2 2 2 2 2
a b (1 a ) b (1 a ) (1 b ) a (1 b ) 2 2
2 2
我们利用构造图刑法证明不等式的关键是构造 图形，常构造的图形有立体几何图形，平面几何 图形，解析几何图形，函数图像等。
方法7
用反证法证明不等式
反证法是解决数学问题的一种重要方法，在不等式的证明 中也有着广泛的应用。用反证明不等式即先否定结论不成 立，然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理，逐 步导出与定义、定理、公理或已知条件等相矛盾或自相矛 盾的结论，从而肯定原结论是正确的。它的步骤为：
a b 2ab ab ab 2
方法3
用分析法证明不等式
分析法是证明不等式的一种重要方法，用分析 法论证，“若 A 则 B ”这个题的模式是：欲证 B 的 真，只需要证明命题 B1 的真，从而又 …… ，只要 证明 A 为真。现在已知 A 真，故 B 真。可见分析法 事执果索因，步步寻求上一步成立的充分条件， 写出简要的形式为： B<=B1<=B2<=…<=Bn<=A
常识性理解的论证
分析：
若以a表示糖水，b表示糖，那么b/a表示糖水的浓度。 现在加糖m，糖水变甜，浓度增大，因此，不等式成 立。 利用生活中的经验可以让同学们更好的理解不等式 的意义。
例2、证明
(a + b )(c + d ) ≥(ac + bd)
2
2
2
2
2
分析 用向量的观点考察不等式会比较直观，例如以上的 二维柯西不等式中，可令向量
教材：中学代数研究
绝对不等式的定义：
当不定元取一切有 意义的数值时，不等式 恒成立，我们称之为不等式 分析法证明不等式 放缩法证明不等式
构造函数证明不等式
构造几何图形证明不等式 反证法证明不等式
方法1
罗增儒教授用糖水浓度的思考方法，借助生活经验 推的得一系列的不等式。 例1 、 若a, b, m都是正数，b a, 则b / a b m /a m.
(a, b), (c, d )
则
a b , c d , ac bd .
2 2 2 2
上述柯西不等式可以用向量表示为
方法 2
用综合法证明不等式
证明绝对不等式的综合法，是从题目的已知条件 或已知成立的不等式出发，利用不等式 的基本性 质进行推导变形，进而得出所要求证的不等式。 利用综合法的关键是熟知一些常用的不等式，通 过变形，将未知的不等式归结为常用的不等式。 2 2 以下不等式是常用的。如：
分析
5 7 2n 1 2n 1 A , 4 6 2n 2 2n
将这个同向不等式相乘得
2
4 5 6 7 2n 1 2n 1 A 3 4 5 6 2n 2 2n 2n 1 2n 1 2n 1 故A , 证毕. 3 4
PA a b , AP (1 a ) b ,
2 2 2 2
PB (1 a ) (1 b ) , PC a (1 b ),
2 2 2 2
BD 2 , AC 2
有三角形的性质得 DP BP BD , AP CP AC ,
所以 即
DP BP AP CP BD AC
利用放缩法证明不等式的关键是寻找中间变量C， 使 A<C<B 成立， C在量 A 与 B之间架起一座桥梁， 通过桥梁 C 的过渡，使 A 与 B 之间间接地建立起不 等关系。
例 4、已知n为正整数，试证：
1 2n 1 1 1 1 1 1 2 3 5 2n 1
1 4 6 2n 1 1 A 1 1 1 2n 1 3 5 2n 1 3 5 b bm , 得 b a , a , b , m R 由不等式 a a m
令
4 5 6 7 2n 2 2n 1 2n 2n 1 , , , , , 3 4 5 6 2n 3 2n 2 2n 1 2n
易证f(x)在R＋上是函数。
因为
x f x ( x 0) 1 x
f a b f a b
a b a b,
所以
从而有
ab ab 1 a b 1 a b
b
b 1 a
1 a b 1 a b
a 1 b
a
方法6
构造几何图形证明不等式
如果说不等式中的抽象数量关系能用图形表示，利用 图形的几何性质即可证明不等式。 例6.设 a (0,1), b (0,1)，求证
a b (1 a ) b (1 a ) (1 b ) a (1 b ) 2 2.
2 2 2 2 2 2 2 2
分析
从左式四个表达式特征可以看出，他们表示两点间的 距离。故可以构造点A(1，0),B(1，1),C(0，1),D(0，0) 四边形为正方形，令点P的坐标为(a,b)，则
2
方法5
构造函数证明不等式
某些不等式从结构上接近某一函数，把某一字母看 成自变量构造恰当的函数，利用函数的某些性质来 证明不等式。利用构造函数证明不等式关键是构造 恰当的不等式。 例 5、 已知 a , b R ,求证：
ab 1 a b
b 1 a
a 1 b
分析
从不等式的结构来看，易构造函数