空间向量及其线性运算-人教A版高中数学选修第一册优秀课件
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人教A版高中数学选择性必修第一册精品课件 第1章 空间向量与立体几何 空间向量及其线性运算
能否用向量a,b表示?怎样表示?
提示:能.存在唯一确定的有序实数对(x,y),使向量p=xa+yb.
2.(1)两个向量共线(平行)的充要条件:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b
的充要条件是存在实数λ,使a=λb .
(2)直线的方向向量:如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对
于直线l上任意一点P,存在实数λ,使得 = λa .我们把与向量a平行的非零
(1);(2)1 ;(3) + 1 .
解:(1)因为P是C1D1的中点,
所以 = 1 + 1 1 + 1 =a+ +
1
1
1
1 1 =a+c+ =a+c+ b.
2
2
2
(2)因为 N 是 BC 的中点,
所以1 = 1 + +
1
1
1
=-a+b+ =-a+b+ =-a+b+ c.
2
2
2
(3)因为 M 是 AA1 的中点,
所以 = + =
又1 = + 1 =
所以 + 1 =
1
2
1
+
2 1
1
2
+
1
=-2a+
+ 1 =
1
2
1
2
+ + +
++
1
2
+ 1 =
1
2
=
=
1
提示:能.存在唯一确定的有序实数对(x,y),使向量p=xa+yb.
2.(1)两个向量共线(平行)的充要条件:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b
的充要条件是存在实数λ,使a=λb .
(2)直线的方向向量:如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对
于直线l上任意一点P,存在实数λ,使得 = λa .我们把与向量a平行的非零
(1);(2)1 ;(3) + 1 .
解:(1)因为P是C1D1的中点,
所以 = 1 + 1 1 + 1 =a+ +
1
1
1
1 1 =a+c+ =a+c+ b.
2
2
2
(2)因为 N 是 BC 的中点,
所以1 = 1 + +
1
1
1
=-a+b+ =-a+b+ =-a+b+ c.
2
2
2
(3)因为 M 是 AA1 的中点,
所以 = + =
又1 = + 1 =
所以 + 1 =
1
2
1
+
2 1
1
2
+
1
=-2a+
+ 1 =
1
2
1
2
+ + +
++
1
2
+ 1 =
1
2
=
=
1
1.1.1空间向量及其线性运算-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册课件
使得2ke1-e2=λ[e1+2(k+1)e2]成立.
2 = ,
-1 = 2( + 1),
1
∴k=− 2.
∴
题型三、向量的共线问题
【例 3】 如图所示,在空间四边形 ABCD 中,点 E,F 分别是 AB,CD
的中点,请判断向量 与
是否共线?
解:如图,取AC的中点记为G,连接EG,FG,
1
位置关系？反过来呢？
结论：可以发现，如果两个向量a, b不共线，那么向量p与向量a, b共面的
充要条件是存在唯一的有序实数对（x, y），使p xa yb
做一做：设 e1 , e2是空间两个不共线的向 量，若 AB e1 e2 , AC 2e1 8e2 ,
AD 3e1 3e2，求证 A, B, C , D四点共面。
向量的加减法以及数乘运算：
OB
（1）a b OA AB ___
(2)a b OA OC _____
CA
PQ
(3)当 0时，a OA ____
MN
当 0时，a OA ______
当 0时，a _____
0
【做一做 1】 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下列各式中
2
+
).
又
=
而
2
=
, = −
3
所以
=
=
1
(
3
+
=
,
+
2 1
+ × (
3 2
+
+
2
3
=
+
2 = ,
-1 = 2( + 1),
1
∴k=− 2.
∴
题型三、向量的共线问题
【例 3】 如图所示,在空间四边形 ABCD 中,点 E,F 分别是 AB,CD
的中点,请判断向量 与
是否共线?
解:如图,取AC的中点记为G,连接EG,FG,
1
位置关系？反过来呢？
结论：可以发现，如果两个向量a, b不共线，那么向量p与向量a, b共面的
充要条件是存在唯一的有序实数对（x, y），使p xa yb
做一做：设 e1 , e2是空间两个不共线的向 量，若 AB e1 e2 , AC 2e1 8e2 ,
AD 3e1 3e2，求证 A, B, C , D四点共面。
向量的加减法以及数乘运算：
OB
（1）a b OA AB ___
(2)a b OA OC _____
CA
PQ
(3)当 0时，a OA ____
MN
当 0时，a OA ______
当 0时，a _____
0
【做一做 1】 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下列各式中
2
+
).
又
=
而
2
=
, = −
3
所以
=
=
1
(
3
+
=
,
+
2 1
+ × (
3 2
+
+
2
3
=
+
1.1.1空间向量及其线性运算 课件 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修一
则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作 a / /b 零向量和任意向量共线
空间向量的加减运算
b
B
C
b
a
Oa
A
a b OA OB OC
a b OA OB BA
空间向量的数乘运算
实数 λ 与空间向量 a 的积是一个向量，记作 a 若 λ > 0，a 与 a 的方向相同 若 λ < 0，a 与 a 的方向相反 若 λ＝0，a 0
l
a
P
O
方向向量
在直线 l 上取非零向量 a ， 把与向量 a 平行的非零向量称为直线 l 的方向向量
l
a
共面向量
平行于同一个平面的向量，叫做共面向量
c b
a
α
任意两个空间向量都可以通过平移，移到同一平面内，三个向量呢？ 任意两个空间向量总是共面的 但三个空间向量既可能共面，也可能不共面
b
a
c
人教2019A版选择性必修 第一册
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
在滑翔过程中，飞行 员会受到来自不同方
向、大小各异的力
例如 绳索的拉力 重力、风力等
这些力不在 同一平面内
能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢？
空间向量
空间中，既有大小又有方向的量，称为空间向量 空间向量用有向线段表示，或用字母 a , b , c , … 表示
p
bp .
αO a
一、空间向量的有关概念
①②③④
A D
C
二、空间向量的线性运算
AB1 AD1 AC1 0
AD AF EF
CA1 AM
空间向量的加减运算
b
B
C
b
a
Oa
A
a b OA OB OC
a b OA OB BA
空间向量的数乘运算
实数 λ 与空间向量 a 的积是一个向量，记作 a 若 λ > 0，a 与 a 的方向相同 若 λ < 0，a 与 a 的方向相反 若 λ＝0，a 0
l
a
P
O
方向向量
在直线 l 上取非零向量 a ， 把与向量 a 平行的非零向量称为直线 l 的方向向量
l
a
共面向量
平行于同一个平面的向量，叫做共面向量
c b
a
α
任意两个空间向量都可以通过平移，移到同一平面内，三个向量呢？ 任意两个空间向量总是共面的 但三个空间向量既可能共面，也可能不共面
b
a
c
人教2019A版选择性必修 第一册
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
在滑翔过程中，飞行 员会受到来自不同方
向、大小各异的力
例如 绳索的拉力 重力、风力等
这些力不在 同一平面内
能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢？
空间向量
空间中，既有大小又有方向的量，称为空间向量 空间向量用有向线段表示，或用字母 a , b , c , … 表示
p
bp .
αO a
一、空间向量的有关概念
①②③④
A D
C
二、空间向量的线性运算
AB1 AD1 AC1 0
AD AF EF
CA1 AM
数学人教A版选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算共24张ppt
0
单位向量
模为__的向量
1
―→
|a|＝1 或| AB |＝1
相反
相等
与向量 a 长度______而方向______的
相反向量
－a
向量称为 a 的相反向量
相等向量
相同
相等
方向______且模______的向量
共线向量或平 表示若干空间向量的有向线段所在的
行向量
直线互相平行或重合
―→ ―→
a＝b 或 AB ＝ CD
的两个向量．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)零向量与任意向量平行．
(
)
―→
―→
(2)向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等．
(
)
(3)空间向量 a 用几何表示法表示时，表示该向量的有向线段的起点可任意选取．
(
答案：(1)√
(2)√
(3)√
)
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
个;单位向量有
个;模为√5的向量有
.
解析:(1)①错误.两个空间向量相等,其模相等且方向相同,但与起点和终
点的位置无关.
②错误.向量的模可以比较大小,但向量不能比较大小.
③正确.由正方体的定义知, 与1 1 模相等,方向相同,故 与1 1 是相
等向量.
④错误.由 = ,知| |=| |,且向量 与同向,但点 A 与 C,点 B 与
所以 + 1 =
1
2
1
+
2 1
1
2
+
1
=-2a+
高中数学人教A版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算课件
• 2.直观想象：向量运算的几何意义；
学习重难点
• 重点：理解空间向量的概念
• 难点：掌握空间向量的运算及其应用
空间向量及其运算
向量
平面向量VS空间向量
左图是一个做滑翔运动员的场景，
可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到
来自不同方向大小各异的力，例如绳索
的拉力，风力，重力等，显然这些力不
在同一个平内。
向量．
另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可
以得到:有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其
和不变.
A'
B'
D
A
C
B
知识点二 空间向量的加减运算及运算律
探 对任意两个空间向量与，如果=λ (λ∈R)，与有什么位置关系?反过来，
究 与有什么位置关系时，=λ?
类似于平面问量共线的充要条件，对任意两个空间向量, (≠0)， ∥
联想，用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广
到空间向量，从而利用向量研究滑翔运动员呢？
下面我们类比平面向量，研究空间向量，先从空间上的概念和
表示开始。
知识点一 空间向量的概念
思考1
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.
在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量。
空间向量的大小叫做向量的长度或模.
―→ ―→ ―→
(2)AA′＋ AB ＋B′C′.
解
→
→
→
→
→
→
AA′ ＋AB ＋B′C′ ＝(AA′ ＋AB )＋B′C′ ＝
→
→
→
→
→
AB′＋B′C′＝AC′.向量AD′、AC′如图所示.
课堂检测
如图，E，F分别是长方体ABCD -A'B'C'D'的棱AB，CD的中点．
学习重难点
• 重点：理解空间向量的概念
• 难点：掌握空间向量的运算及其应用
空间向量及其运算
向量
平面向量VS空间向量
左图是一个做滑翔运动员的场景，
可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到
来自不同方向大小各异的力，例如绳索
的拉力，风力，重力等，显然这些力不
在同一个平内。
向量．
另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可
以得到:有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其
和不变.
A'
B'
D
A
C
B
知识点二 空间向量的加减运算及运算律
探 对任意两个空间向量与，如果=λ (λ∈R)，与有什么位置关系?反过来，
究 与有什么位置关系时，=λ?
类似于平面问量共线的充要条件，对任意两个空间向量, (≠0)， ∥
联想，用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广
到空间向量，从而利用向量研究滑翔运动员呢？
下面我们类比平面向量，研究空间向量，先从空间上的概念和
表示开始。
知识点一 空间向量的概念
思考1
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.
在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量。
空间向量的大小叫做向量的长度或模.
―→ ―→ ―→
(2)AA′＋ AB ＋B′C′.
解
→
→
→
→
→
→
AA′ ＋AB ＋B′C′ ＝(AA′ ＋AB )＋B′C′ ＝
→
→
→
→
→
AB′＋B′C′＝AC′.向量AD′、AC′如图所示.
课堂检测
如图，E，F分别是长方体ABCD -A'B'C'D'的棱AB，CD的中点．
人教A版高中数学选择性必修一1.1.1空间向量及其线性运算课件
三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？
发现： AB AD AA' AB AA' AD AC '
即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平
行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的
向量．
发现：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变.
（三）共线向量
1.定义(类比平面向量)
及推论的应用．(重点、难点)
逻辑推理的核心素养.
二.情景引入
这是一个做滑翔伞运动
的场景.可以想象,在滑翔过
程中,飞行员会受到来自不同
方向、大小各异的力.显然这
些力不在同一个平面内.这就
是我们今天要学习的空间向
量.
三.新知初探
(一)空间向量的有关概念
1.定义：在空间，具有 大小 和 方向 的量叫做空间向量.
2.长度或模：空间向量的 大小.
3.表示方法：
①字母表示法：用小写黑体字母, , ,
表示；模为||, ||, ||，
②几何表示法：用 有向线段 表示；若向量的起点是 A ,
→
→
|AB
| .
终点是 B ,也可记作： AB ，其模记为
终点
A
B
起点 A
C
, ,
O
B
4.几个特殊的向量概念：
A
当 0 ， a OA MN
当 0或 a 0 ， a 0
M
λa
a
O
λa
λ >0
P
λ <0
N
运算律：对于空间中任意向量a和向量b,以及实数λ和μ，
①结合律：（ a）=(）a，
②分配律：( + )a a + a, (a b) a + b,
发现： AB AD AA' AB AA' AD AC '
即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平
行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的
向量．
发现：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变.
（三）共线向量
1.定义(类比平面向量)
及推论的应用．(重点、难点)
逻辑推理的核心素养.
二.情景引入
这是一个做滑翔伞运动
的场景.可以想象,在滑翔过
程中,飞行员会受到来自不同
方向、大小各异的力.显然这
些力不在同一个平面内.这就
是我们今天要学习的空间向
量.
三.新知初探
(一)空间向量的有关概念
1.定义：在空间，具有 大小 和 方向 的量叫做空间向量.
2.长度或模：空间向量的 大小.
3.表示方法：
①字母表示法：用小写黑体字母, , ,
表示；模为||, ||, ||，
②几何表示法：用 有向线段 表示；若向量的起点是 A ,
→
→
|AB
| .
终点是 B ,也可记作： AB ，其模记为
终点
A
B
起点 A
C
, ,
O
B
4.几个特殊的向量概念：
A
当 0 ， a OA MN
当 0或 a 0 ， a 0
M
λa
a
O
λa
λ >0
P
λ <0
N
运算律：对于空间中任意向量a和向量b,以及实数λ和μ，
①结合律：（ a）=(）a，
②分配律：( + )a a + a, (a b) a + b,
高二上学期数学人教A版选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算课件
高中数学
选择性必修第一册
RJ·A
问题1
空间向量是平面向量的推广。
我们已经学过平面向量的概念和线性运算，你能类比平面向量，给
出空间向量的概念和线性表示吗？
高中数学
选择性必修第一册
RJ·A
新知讲解:
一 空间向量的概念、表示
1.空间向量的概念：在空间，具有 大小 和 方向 的量叫做空间向量.
2.空间向量的长度或模：向量的 大小 .
→ →
4.向量AB与AC是共线向量，则 A，B，C 三点必在一条直线上.( √ )
高中数学
选择性必修第一册
RJ·A
四 空间向量的运算律
1.运算律
交换律：＋＝＋；
结合律：＋(＋)＝(＋)＋，λ(μ)＝(λμ)；
分配律：(λ＋μ)＝λ＋μ，λ(＋)＝λ＋λ.
高中数学
而不是一个数.
（2）混淆向量共线与线段共线、点共线.
高中数学
选择性必修第一册
RJ·A
典例剖析
例1
(多选题)下列说法中正确的是（
）
A.若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反
B.若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|
C.空间向量的加法满足结合律
D.任一向量与它的相反向量不相等
解析
||＝||，说明与模相等，但方向不确定；对于的相反向量＝－，故||＝||，从而B正确；
→ →
→
→
→
→
→
→
→ →
共面. 由OP＝OA＋xAB＋yAC，可得AP＝xAB＋yAC，所以向量AP与向量AB，AC共面，
故点 P 与点 A，B，C 共面.
高中数学
选择性必修第一册
高二上学期数学人教A版选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算课件
O
B
C
O
B
C
向量加法结合律在空间中仍成立
A
A
推广
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
向量加法运算的推广
*
例2
练习：
*
课堂小结（1分钟）
1.空间向量的相关定义：2.空间向量的线性运算法则及运算律：
三角形法则和平行四边形法则
当堂检测（12分钟）
C
问题3 平面向量的加法、减法运算法则是什么？
向量加法的三角形法则
减向量终点指向被减向量终点
导学问题1（2分钟）
阅读课本p2：类比平面向量的定义，你能得到空间向量的相关定义吗？
大小
方向
大小
模
有向线段
点拨运用1（4分钟）
相等
相反
相同
相等
互相平行或重合
共线向量
平行向量
*
练习：（多选）下列关于空间向量概念的命题中，正确的是
BC
导学问题2（5分钟）
阅读课本p3并思考：1.空间向量的线性运算及其法则与平面向量有区分吗？为什么？2.如何借助平行六面体理解空间向量的加法运算的运算律？
加法:三角形法则或平行四边形法则
减法:三角形法则
加法结合律
成立吗？
点拨运用2（18分钟）
1.1.1空间向量及其线性运算 第一课时（加减数乘）
学习目标（1分钟）
1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念。2.掌握空间向量的加减数乘运算。
*
问题1 平面向量是什么？我们是如何表示平面向量的？
平面中既有大小又有方向的量
复习回顾（2分钟）
B
C
O
B
C
向量加法结合律在空间中仍成立
A
A
推广
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
向量加法运算的推广
*
例2
练习：
*
课堂小结（1分钟）
1.空间向量的相关定义：2.空间向量的线性运算法则及运算律：
三角形法则和平行四边形法则
当堂检测（12分钟）
C
问题3 平面向量的加法、减法运算法则是什么？
向量加法的三角形法则
减向量终点指向被减向量终点
导学问题1（2分钟）
阅读课本p2：类比平面向量的定义，你能得到空间向量的相关定义吗？
大小
方向
大小
模
有向线段
点拨运用1（4分钟）
相等
相反
相同
相等
互相平行或重合
共线向量
平行向量
*
练习：（多选）下列关于空间向量概念的命题中，正确的是
BC
导学问题2（5分钟）
阅读课本p3并思考：1.空间向量的线性运算及其法则与平面向量有区分吗？为什么？2.如何借助平行六面体理解空间向量的加法运算的运算律？
加法:三角形法则或平行四边形法则
减法:三角形法则
加法结合律
成立吗？
点拨运用2（18分钟）
1.1.1空间向量及其线性运算 第一课时（加减数乘）
学习目标（1分钟）
1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念。2.掌握空间向量的加减数乘运算。
*
问题1 平面向量是什么？我们是如何表示平面向量的？
平面中既有大小又有方向的量
复习回顾（2分钟）