直角三角形相似的判定
《怎样判定三角形相似》 知识清单
《怎样判定三角形相似》知识清单在数学的几何世界中，三角形相似是一个重要的概念。
判断三角形相似有着特定的方法和规律，下面我们就来详细探讨一下。
一、定义法如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形相似。
这是三角形相似最基本的定义，也是我们判断相似的根本依据。
二、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似这是一个常见且实用的判定方法。
例如，在三角形 ABC 中，DE 平行于 BC 且与 AB、AC 分别相交于 D、E 两点，那么三角形 ADE 就与三角形 ABC 相似。
三、三边成比例的两个三角形相似假设三角形 ABC 和三角形 DEF 中，AB/DE ＝ BC/EF ＝ AC/DF，那么三角形 ABC 相似于三角形 DEF。
四、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似比如在三角形 MNP 和三角形 QRS 中，MN/QR ＝ NP/RS，且∠M＝∠Q，那么这两个三角形相似。
这里需要特别注意的是，必须是夹角相等，如果不是夹角相等，就不能判定相似。
五、两角分别相等的两个三角形相似若在三角形 XYZ 和三角形 UVW 中，∠X ＝∠U，∠Y ＝∠V，那么三角形 XYZ 相似于三角形 UVW。
这个判定方法应用较为广泛，因为角的大小相对边的长度更容易测量和判断。
六、直角三角形相似的判定1、斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似对于直角三角形 ABC 和直角三角形 DEF，如果斜边 AC/斜边 DF＝直角边 BC/直角边 EF，那么这两个直角三角形相似。
2、如果两个直角三角形的两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似例如，在直角三角形 GHI 和直角三角形 JKL 中，直角边 GH/JK ＝直角边 HI/KL，那么这两个直角三角形相似。
在实际应用中，我们需要根据具体的条件选择合适的判定方法。
有时候可能需要综合运用多种方法来确定三角形是否相似。
为了更好地理解和掌握三角形相似的判定，我们可以通过一些具体的例子来加深印象。
相似三角形判定定理
相似三角形判定定理相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的对应角相等；(2)相似三角形的对应边成比例；(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；(4)相似三角形的面积比等于相似比的平方；(5)平行三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似，如果两个三角形对应边的比相等,这2个三角形也可以说明相似；（6）要证明△ABC∽△A B C全等要把他们的关系联系起来.相似三角形的传递性：如果△ABC∽△A¹B¹C¹，△A¹B¹C¹∽△A²B²C²，那么△ABC∽ΔA²B²C²相似三角形的判定定理：(1)平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似；(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似)；(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似)；(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似(简叙为两角对应相等，两个三角形相似)。
直角三角形相似的判定定理：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似；(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
相似三角形的判定定理:(1)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,(简叙为两角对应相等两三角形相似).(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.)(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似.)直角三角形相似的判定定理:(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似.(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.相似三角形的性质定理:(1)相似三角形的对应角相等.(2)相似三角形的对应边成比例.(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.(4)相似三角形的周长比等于相似比.(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.相似三角形的传递性。
相似三角形的判定(直角三角形相似HL)
原创不容易，【关注】店铺，不迷路！每年中考的“相似度”都是必修的，一篇文章就可以轻松搞定！相似三角形在初中数学中占有很大比重，难度较大，一直被很多同学所讨厌！偏偏这个大老虎还是中考必修内容~~那么，“相似三角形”有哪些知识点呢？常见的解题技巧有哪些类型？对应角相等、对应边成比例的三角形称为相似三角形。
相似性用符号“”表示，读作“类似于”。
相似三角形对应边的比值称为相似比(或相似系数)。
一条平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，形成的三角形与原三角形相似。
1、三角形相似的判定方法定义方法：两个对应角相等、对应边成比例的三角形相似平行法：一条平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边延长线)相交，形成的三角形与原三角形相似判断定理1:如果一个三角形的两个角等于另一个三角形的两个角，那么这两个三角形相似，可以简单描述为两个角相等，两个三角形相似。
判断定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边相等且夹角相同，那么这两个三角形相似，可以简单描述为两条边成比例且夹角相等，两个三角形相似。
判断定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边成正比，那么这两个三角形相似，可以简单描述为三条边成正比，两个三角形相似2、直角三角形相似的判定方法以上判断方法均适用定理：如果一个直角三角形的斜边和一个直角边与另一个直角三角形的斜边和一个直角边成正比，那么这两个直角三角形是相似的垂直法：两个直角三角形除以斜边上的高度，与原三角形相似。
1、A型或仿A型相似2、8型或仿8型相似3、K型相似4、子母型相似用DE//AB，DG/AF=GE/BF。
如果AD等于BAC，AB/AC=BD/CD。
Ae=effg如果四边形ABCD是平行四边形。
如果DAC=DBC，ADE~BCE，AEB~DEC可以推导出来，即上下相似可以导致左右相似。
同理，左右相似可以导致上下相似。
1、三角形叉叉图这类题目往往考察线段比例或线段长度的计算。
22.2 相似三角形的判定(5)-斜边直角边
巩固练习
(教材P84)练习第3题
3. 在Rt△ABC与Rt △A′B′C′ 中, ∠C＝∠C′＝ 90 °, 当具有下 列条件时，这两个直角三角形是否相似，为什么？
(1) AB=10cm， AC=8cm， A′B′=15cm, B′C′ =9cm; (2) AB=5cm， AC=4cm， A′C′ =12cm, B′ C′=9cm.
课外作业 P84 练习第2题
A
b
C
a
BD
在利用斜边与一条直角边对应成比例判定两个直角三角形相 似时，一定要注意“对应边”，要分清楚直角边的对应关系 ．
巩固练习
1．下列命题中，是真命题的 ( D )
A．锐角三角形都相似 B．直角三角形都相似 C．等腰三角形都相似 D．等边三角形都相似
2．以下两个图形必定相似的是 ( C )
A．有两条边对应成比例的两个等腰三角形 B．有一角是25°的两个等腰三角形 C．有一个角是100°的两个等腰三角形 D．有一个角相等，两边对应成比例的两个三角形
巩固练习
3．下列命题中，是真命题的个数是 ( C )
① 有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似；
② 两条直角边对应成比例的直角三角形一定相似；
③ 直角三角形都相似；
④ 两个等腰直角三角形一定是相似三角形．
A．1个
B．2个 C．3个 D．4个
巩固练习
D A
C
BF
E
4 ． 已 知 在 Rt△ABC 与 Rt△DEF 中 ， ∠ C ＝ ∠ F ＝ 90°,AB ＝ 5 ， AC ＝ 3 ， DE ＝ 6 ， 当 DF ＝3_._6_或__4_.8_ 时，Rt△ABC与Rt△DEF相似.
巩固练习
5. [教材例题变式题] 如图，已知 AB⊥BD，ED⊥BD，
相似三角形的判定公式
相似三角形的判定公式
相似三角形的判定公式为：AA(角角)、SAS(边角边)、SSS(边边边)、HL等等。
相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。
相似三角形判定定理
1.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。
)(AA)
2.如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
)(SAS)
3.如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。
(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。
)(SSS)
4.两三角形三边对应平行，则两三角形相似。
(简叙为：三边对应平行，两个三角形相似。
)
5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
(简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
)(HL)
6.如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似(相似比为1：1)(简叙为：全等三角形相似)。
《怎样判定三角形相似》 知识清单
《怎样判定三角形相似》知识清单在数学的几何世界中，三角形相似是一个重要的概念。
判定三角形相似可以帮助我们解决许多与三角形相关的问题，下面就来详细介绍一下判定三角形相似的方法。
一、定义法如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形相似。
这是三角形相似最基本的定义，但在实际应用中，直接通过定义来判定相似往往比较复杂。
二、平行线分线段成比例定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
这个定理可以为后续的相似判定提供基础。
三、相似三角形的判定定理1、两角分别相等的两个三角形相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
比如，在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，如果∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，那么三角形 ABC 相似于三角形 DEF。
这是因为三角形的内角和为 180 度，已知两个角相等，那么第三个角也必然相等。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似若两个三角形两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
例如，在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，如果\（＼frac{AB}｛DE} ＝＼frac{AC}｛DF}＼），且∠A ＝∠D，那么三角形 ABC 相似于三角形 DEF。
这里需要注意的是，必须是夹角相等，而不是任意两个角。
3、三边成比例的两个三角形相似如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
例如，在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，如果\（＼frac{AB}｛DE} ＝＼frac{BC}｛EF} ＝＼frac{AC}｛DF}＼），那么三角形 ABC 相似于三角形 DEF。
四、直角三角形相似的判定1、斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似在直角三角形中，如果斜边和一条直角边的比等于另一个直角三角形的斜边和一条直角边的比，那么这两个直角三角形相似。
2、两个直角三角形的两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似例如，在直角三角形 ABC 和直角三角形 DEF 中，如果\（＼frac{AB}｛DE} ＝＼frac{AC}｛DF}＼），那么这两个直角三角形相似。
直角三角形相似判定
例、已知：在Rt △ABC 和Rt △A ´B ´C ´中，∠C=∠C ´=90°，''''C A AC B A AB = 求证：Rt △ABC ∽Rt △A ´B ´C ´相似直角三角形的判定定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.例2、如图，∠ABC=∠CDB =90°，BC=a ，AC=b .（1）当BD 与a ，b 之间满足怎样的关系式时，△ABC ∽△CDB.（2）当BD 与a ，b 之间满足怎样的关系式时，这两个三角形相似.例3、已知：在Rt △ABC 和Rt △A ´B ´C ´中，∠C=∠C ´=90°，CD 、C ´D ´分别是两个三角形斜边上的高，且''''CA AC D C CD =.求证：Rt △ABC ∽Rt △A ´B ´C ´例4、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，CD 是AB 边上的高，求证：（1）BD AD CD •=2（2）BD AB BC •=2，AD AB AC •=2（3）能否根据（2）证明勾股定理？练习：1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D，若AD=1，BD=4，则CD=2、如图，在△ABC中，BD、CE是高，连接DE．求证：△ADE∽△ABC．3、正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式．。
相似三角形判定定理 简单回顾
相似三角形判定定理1.平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似；（这是相似三角形判定的引理，是以下判定方法证明的基础。
这个引理的证明方法需要平行线分线段成比例的证明）2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似方法四4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似5.对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形 直角三角形相似的判定定理:(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似.(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. 相似三角形的性质定理:(1)相似三角形的对应角相等. (2)相似三角形的对应边成比例.(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.(4)相似三角形的周长比等于相似比. (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方. 相似三角形的传递性如果△ABC ∽△A1B1C1,△A1B1C1∽△A2B2C2,那么△ABC ∽A2B2C21．（2010北京） 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC ，若AD ∶AB =3∶4，AE =6，则AC 等于( )A ．3B ．4C ．6D ． 8 【答案】D2．（2010河南）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则下列结论：①BC=2DE ；②△ADE ∽△ABC ；③AD ABAE AC.其中正确的有(A)3个 (B)2个(C)1个 （D ）0个 【答案】A 3．（2010年上海）如图2，△ABC 中，点D 在边AB 上，满足∠ACD =∠ABC ，若AC = 2，AD = 1，则DB = __________.BACD ABC AC/AB=AD/AC 【答案】DB=34．（2010陕西西安）如图，在ABC ∆中，D 是AB 边上一点，连接CD ，要使ADC ∆与ABC ∆相似，应添加的条件是 。
判定三角形相似的方法
判定三角形相似的方法三角形是几何学中的基本图形之一，而判定三角形相似是在几何学中常见的问题之一。
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形，它们的对应角度相等，对应边的比值相等。
在实际问题中，判定三角形相似的方法可以帮助我们解决很多实际问题，比如测量高楼的高度、计算影子的长度等。
接下来，我们将介绍几种判定三角形相似的方法。
1. AAA（角-角-角）相似判定法。
AAA相似判定法是指两个三角形的对应角度相等，那么这两个三角形是相似的。
具体来说，如果两个三角形的对应角度分别相等，则这两个三角形是相似的。
例如，如果三角形ABC和三角形DEF，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则三角形ABC与三角形DEF相似。
2. AA（角-角）相似判定法。
AA相似判定法是指两个三角形的一个对应角度相等，且另外一个对应角度也相等，那么这两个三角形是相似的。
具体来说，如果两个三角形的一个对应角度相等，且另外一个对应角度也相等，则这两个三角形是相似的。
例如，如果三角形ABC和三角形DEF，∠A=∠D，∠B=∠E，则三角形ABC与三角形DEF相似。
3. SSS（边-边-边）相似判定法。
SSS相似判定法是指两个三角形的对应边的比值相等，那么这两个三角形是相似的。
具体来说，如果两个三角形的对应边的比值相等，则这两个三角形是相似的。
例如，如果三角形ABC和三角形DEF，AB/DE=BC/EF=AC/DF，则三角形ABC与三角形DEF相似。
4. SAS（边-角-边）相似判定法。
SAS相似判定法是指两个三角形的一个对应角度相等，且两个对应边的比值相等，那么这两个三角形是相似的。
具体来说，如果两个三角形的一个对应角度相等，且两个对应边的比值相等，则这两个三角形是相似的。
例如，如果三角形ABC和三角形DEF，∠A=∠D，AB/DE=BC/EF，则三角形ABC与三角形DEF相似。
5. 直角三角形相似判定法。
在直角三角形中，如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的一个锐角，则这两个直角三角形是相似的。
三角形相似的判定方法
三角形相似的判定方法在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
相似三角形在几何学中具有重要的应用，因此我们需要了解如何判定三角形是否相似。
下面将介绍三角形相似的判定方法。
1. AAA（全等角）判定法。
当两个三角形的对应角分别相等时，这两个三角形就是相似的。
这个判定方法也叫做全等角判定法。
例如，如果三角形ABC和三角形DEF，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么三角形ABC与三角形DEF就是相似的。
2. AA（对应角）判定法。
如果两个三角形的两个对应角相等，则这两个三角形是相似的。
例如，如果三角形ABC和三角形DEF，∠A=∠D，∠B=∠E，那么三角形ABC与三角形DEF就是相似的。
3. SSS（全等边）判定法。
当两个三角形的对应边的比值相等时，这两个三角形就是相似的。
这个判定方法也叫做全等边判定法。
例如，如果三角形ABC和三角形DEF，AB/DE=BC/EF=AC/DF，那么三角形ABC与三角形DEF就是相似的。
4. SAS（边角边）判定法。
如果两个三角形的一个对应边和夹在这两个边之间的两个对应角分别相等，则这两个三角形是相似的。
例如，如果三角形ABC和三角形DEF，AB/DE=BC/EF，∠A=∠D，那么三角形ABC与三角形DEF就是相似的。
5. 直角三角形相似判定法。
如果两个直角三角形的一个锐角与另一个直角相等，那么这两个直角三角形是相似的。
例如，如果∠A=∠D，∠B=∠E，那么三角形ABC与三角形DEF就是相似的。
通过以上介绍，我们可以清楚地了解到三角形相似的判定方法。
在实际问题中，我们可以根据不同的情况选择不同的判定方法来判断三角形是否相似，从而应用相似三角形的性质解决问题。
相似三角形的性质在实际生活和工作中有着广泛的应用，例如在建筑设计、地图测绘、影视特效等领域都有着重要的作用。
总之，掌握了三角形相似的判定方法，我们就能更好地理解和应用相似三角形的性质，为解决实际问题提供更多的思路和方法。