一类含脉冲项的Gronwall型积分不等式的推广
一类Gronwall-Bellman型不等式的统一证明及其推广
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一类 / A $ C ^ B % % I T = % % \ B C 型不等式的 统一证明及其推广
周英告
# 中南大学 数学科学与计算技术学院 % 长沙 F $ * ( ( 8 9 摘 ! 要 " 借助一个极普通的比较定理 % 通过解普通的常微分方程 % 对一类 / A $ C ^ B % % I T = % % \ B C 型不等式及 !! ! 并将其进一步推广 & 研究表明 % 这种方法极具实用性% 利用这种方法我们可以构建几 其推广进行了统一证明 % 从而为解决一类实际问题提供便捷的途径 & 乎所有这种类型的不等式 % ! 关键词 " 比较定理 & 常微分方程 / A $ C ^ B % % I T = % % \ B C 不等式 & ! 中图分类号 ", 文献标识码 "1!! ! 文章编号 "* # $ * G *!! ! ) G ! I * F " F ! ( ( ) ( " I ( ( 9 * I ( "
一类Gronwall- Bellman型不等式的统一证明及其推广
1．Gronwall- Bellman 型不等式简介 众所周知，Gronwall 型不等式在常微分方程、偏微分方程解的存在性、唯一性、稳定性
的研究及方程解的估计中起着极其重要的作用，对它的研究和推广，一直是数学工作者关注 的热点之一。
1919 年，Gronwall在研究微分方程的解关于参数可微性质时首次提出并证明了被后人称 之为Gronwall的不等式[1]：
（2.5）
或
u′(t) ≤ Ku(t)v(t) + A ， u(t0 ) ≤ M ， t ≥ t0 ，
(2.5)’
则有
{ } { } ∫ ∫ ∫ u(t) ≤ ⎢⎣⎡M +
t
A exp
t0
s t0
−
Kv(τ )dτ
ds⎥⎦⎤ exp
t
Kv(s)ds
t0
，t ≥ t0 。
（2.6）
证：设 f (t, x) = Kv(t)x + A ，则显然有 f ∈ C(R × R, R) ，且关于 x 不减，考虑微分
若
t
∫ u(t) ≤ ϕ(t) + t0 [u(s)v(s) + w(t)]ds ， t ≥ t0 ，
（2.11）
则有
{ } { } ∫ ∫ ∫ u(t) ≤ ϕ(t) + exp
t
v(s)ds
t0
t
[ϕ(s)vபைடு நூலகம்s) + w(s)]exp
t0
s − v(τ )dτ
t0
ds ， t ≥ t0 。
（2.12）
证：设 f (t, x) = Kx + A ，则显然有 f ∈ C(R × R, R) ，且关于 x 不减，考虑微分方程
一类二阶线性Gronwall不等式及其应用
一类二阶线性Gronwall不等式及其应用
李维国
【期刊名称】《工程数学学报》
【年(卷),期】2000(017)004
【摘要】给出了一类二阶线性Gronwall不等式的初等证明,并应用到非线性Newton运动方程的初、边值问题中,通过具体的例子说明了它在误差估计方面的作用.
【总页数】4页(P131-134)
【作者】李维国
【作者单位】石油大学应用数学系,山东东营,257062
【正文语种】中文
【中图分类】O18
【相关文献】
1.一类二阶变系数线性微分方程的通解及应用 [J], 杨素芳
2.一类二阶非线性微分方程的可积定理及其应用 [J], 敏志奇
3.一类二阶变系数线性微分方程的可积定理及其应用 [J], 敏志奇
4.一类二阶变系数非线性微分方程的通解及应用 [J], 冯录祥
5.一类二阶变系数线性微分方程的通解及应用 [J], 杨素芳;
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一类微分型Gronwall不等式的应用及推广
重庆工商大学学报渊 自然科学版冤 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 圆园圆园 年 源 月
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第 猿苑 卷
泛袁如可以证明一阶 悦葬怎糟澡赠 微分方程解的唯一性遥
命题 员摇
一阶微分方程
凿曾 凿贼
越
枣渊贼袁曾冤 的
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初
{值问题
凿曾 凿贼
越
枣渊
贼袁曾冤
袁
若函数 枣渊贼袁曾冤在矩形区域
曾渊贼园 冤越 曾园
咱葬袁葬垣栽暂 上的连续非负函数袁且
乙贼
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葬
其中 琢 与 茁 为非负常数袁则
园臆怎渊 贼冤 臆琢栽藻 茁栽袁贼沂允
渊员冤
乙怎渊 贼冤 早渊 贼冤 贼
臆 早渊贼冤
运 垣 怎渊泽冤早渊泽冤凿泽
葬
在咱 葬袁贼暂 上积分袁有
乙 乙 贼
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渍员渊 曾冤
原 渍圆渊曾冤
ห้องสมุดไป่ตู้
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渍员 原渍圆 袁则
(乙 ) 贼
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Gronwall不等式及其应用
j '(t) - N L(t) j (t) £ N L(t) g Z
{ } { } t
t
[j '(t) - N L(t) j (t)] g exp - N òa L(s) ds £ N L(t) g Z g exp - N òa L(s) ds
{ } { } t
t
[j (t) exp - N òa L(s) ds ]' £ N L(t) g Z g exp - N òa L(s) ds
【Abstract】
In this thesis, we generalize the usual Gronwall Inequality to Banach space which is n dimensions. By using generalized Gronwall Inequality we study the uniqueness, limitation, existence and stability of the solutions of differential equations. Thus we get many new conclusions. At the same time we give some examples which almost can not be found in reference materials.
(正规常数为 1), Rn 由 P 导出的半序成为有序的 Banach 空间,其中 Rn 的范数由下列之一
给出:
" x = (x1, x2 , x3,..., xn )T Î Rn
n
å x =
xi2
i= 1
n
x = å xi
i= 1
一类带脉冲项的Gronwall-Bellman型积分不等式的推广及应用
加了二元函数项 ， 放弃对 函数 的单调性 和函数的可分 离性要求 ， 通过将不 等式 中的函数单调化 和积分 号外 的 函数作常量化 ， 给 出了不等式 中未知 函数 的估 计． 进而 ， 将所得 的不等式估计用 于研究一类脉 冲积 分方程
的解的有界性．
关键词 ： 脉 冲积分不等式 ； 单调性 ； 未知 函数 的估计 ； 有界性
Ｂ ｅ ｌ ｌ ｍ ａ ｎ 型积分不等式 ， 在Ｉ ｏ ｖ ａ ｎ ｅ 的结果的基础上 ， 增加了二元 函数项 ， 放弃对函数 的单调性和函数 的 可分离性要求 ， 通过将不等式 中的函数单调化和积 分号外的函数作常量化 ， 给出了不等式 中未知函数 的估计． 进而 ， 将所得 的不等式估计用 于研究一类
脉 冲积分 方程 的解 的有界 性 ． 在微 分方 程理论 研究 中 ， 多 数微 分 方 程无 法 求 出精 确解 ， 但人们 常 常可 通过 微 分方 程 导 出一 个 积
值连续 函数 ， 得到了估计
ｔ
Ｍ （ ｔ ）≤ｃ ｅ ｘ ｐ （ Ｉ ｓ ） ｄ ｓ ） ，￡ ∈［ ， ］ ．
Ｊ ｄ
Ｍ （ ￡ ）≤ Ｊ ［ ｕ （ ｓ ） ＋ ｃ ］ ｄ ｓ ，
ｔ ∈Ｊ＝［ ， Ｏ Ｌ ＋ｈ ］ ， 其 中， 和 Ｃ 是非负 常数 ， 给出 了估计 ０ ≤Ｕ （ ｔ ） ≤ ｅ ｈ ｅ ｘ ｐ （ ） ， ｔ ∈ Ｒ ．Ｂ ｅ ｌ ｌ ｍａ ｎ 在 １ ９ ４ ３年 研究 了如
ｄ
之后 ， 人们将这种类型 的积分不等式称为 Ｇ ｒ ｏ ｎ ｗ ａ ｌ ｌ
—
Ｂ ｅ ｌ ｌ ｍ ａ ｎ积 分 不 等 式． 由于 Ｇ ｒ ｏ ｎ ｗ ａ ｌ ｌ —Ｂ ｅ ｌ ｌ ｍａ ｎ不
等式在 微分 方 程 的稳 定 性 、 周期性、 不 变 流 形 等 方 面有重 要 的应用 ， 对 于这类 不等 式 的研究 引 起 了大 量的关 注 ． 此 后关 于这 类不 等式 的新 改进 和 推广 不 断 出现 。 ． 在这 些 工 作 中 ， Ｉ ．Ｂ ｉ ｈ ａ ｒ ｉ ［ 。 在 １ ９ ５ ６年 研 究 了下 面的不 等式
gronwall积分不等式
gronwall积分不等式Gronwall积分不等式是微分方程的一个基本定理，可以给出微分方程解的上界。
该定理被广泛应用于众多领域，例如控制理论、化学反应动力学、经济学等。
以下是该定理的详细介绍。
一、Gronwall积分不等式的表述设$u(t)$是闭区间[t0,T]上非负可积函数，$k(x),f(x)$是非负连续实函数，且满足不等式$u(t)≤k(t)+\int_{t_0}^t f(s)u(s)ds$，则有$u(t)≤k(t)exp(\int_{t_0}^tf(s)ds)$。
二、Gronwall积分不等式的证明我们考虑引入一个参数$\alpha(t)$来构造辅助函数，$v(t)=\alpha(t)u(t)$，则$v(t)$可以表示为$v(t)=v(t_0)+\int_{t_0}^t\alpha(s)f(s)u(s)\alpha(s)ds$。
由于$\alpha(t)$是我们自己定义的，因此可以选择合适的$\alpha(t)$，使得右侧的积分项可以消除或者给出有意义的上界。
首先，我们可以选择$\alpha(t)=exp(\int_{t_0}^t f(s)ds)$。
这就意味着$v(t)=u(t)exp(\int_{t_0}^t f(s)ds)$。
将$v(t)$的表达式代回到原始不等式中，有$u(t)≤v(t)=u(t)exp(\int_{t_0}^t f(s)ds)$，于是便得到了Gronwall积分不等式。
三、Gronwall积分不等式的应用Gronwall积分不等式在控制理论中可以被用来设计稳定性分析算法。
在化学反应动力学中，它可以被应用于反应级联问题的研究。
在应用经济学中，Gronwall积分不等式可以被用来分析信贷违约问题。
在数学领域，该定理还可以被推广到非线性情况下，并应用于微分方程的解析和数值方法的研究。
综上所述，Gronwall积分不等式是微分方程的一个基本定理。
通过引入参数和构造辅助函数的方式，可以得到微分方程解的上界。
Gronwall Bellman不等式及其 在双时滞微分系统中的运用
Gronwall Bellman不等式及其在双时滞微分系统中的运用作者：陈范彬妍宋芷璇来源：《科技风》2024年第12期摘要：本文运用推广的GronwallBellman不等式研究分数阶双时滞微分系统的有限时间稳定性.首先，通过适当的积分变换将GronwallBellman不等式在整数阶双时滞积分系统中进行推广.其次，利用所得结论，并结合Hlder不等式、Minkowski不等式、Jensen不等式以及换元法等方法将GronwallBellman不等式推广到分数阶双时滞的积分系统中.最后，运用上述所得结论，研究分数阶双时滞微分系统的有限时间稳定性.关键词：GronwallBellman不等式；分数阶RiemannLiouville积分方程；时滞；有限时间稳定性中图分类号：O175.13自1919年Gronwall积分不等式诞生以来，Gronwall积分不等式在常微分方程、偏微分方程解的研究及估计上起着极其重要的作用［1］.时滞系统在实际生活中的应用范围非常广泛.一方面，它在建筑结构、神经网络、工业水处理、冶金工业等系统中都十分常见.另一方面，在网络系统下，处理数据以及传送数据也能引发系统中时滞的产生［24］.此外，稳定性问题也是分数阶微分方程的研究中一个重要的问题［57］.为了使Gronwall不等式更好地运用于实际问题，本文将GronwallBellman不等式与时间延迟联系起来，以便解决多时滞的积分不等式相关问题.1预备知识为了方便，记区间J=［t0，T］，0t0<T.定义1［8］：（有限时间稳定性）对于带有时滞的Caputo分数阶微分系统cDαtx（t）=f （t，x（t），x（t-τ）），t∈J，x（t）=φ（t），t0-τtt0.若满足ε>0，δ∈（0，ε），当‖φ‖=supt0-τtt0‖φ（t）‖δ时，有‖x（t）‖ε，t∈［t0-τ，T］，则称上述系统对于{δ，ε，T}是有限时间稳定的.引理1［8］：（推广的GronwallBellman不等式）假设f，g∈C（J，R），且u∈C1（J，R），满足u′（t）f（t）u（t）+g（t），t∈J，u（t0）u0.则u（t）u0e∫tt0f（s）ds+∫tt0g（s）e∫tsf（r）drds，t∈J.引理2［8］：（Minkowski不等式）令1<p<∞，f，g∈Lp（J，R），则f+g∈Lp（J，R），且∫Tt0f（t）+g（t）pdt1p∫Tt0f（t）pdt1p+∫Tt0g（t）pdt1p，t∈J.引理3［8］：（Jensen不等式）令k∈，且x1，x2……xk是非负的实数，那么∑kj=1xjqkq-1∑kj=1xjq，q>1.2GronwallBellman不等式在整数阶双时滞积分不等式中的推广假设f（t）、g（t）、k1（t）、k2（t）、h（t）、u（t）是定义在J上的连续非负函数，φ（t）是定义在［t0-τ2，t0］上的连续非负函数，τ2>τ1>0.令m（t）=h（t）g（t）+k1（t）g （t-τ1），n（t）=h（t）g（t）+k1（t）g（t-τ1）+k2（t）g（t-τ2），p（t）=h（t）f（t）+k1（t）f（t-τ1）+k2（t）φ（t-τ2），q（t）=h（t）f（t）+k1（t）f（t-τ1）+k2（t）f（t-τ2），M （t）=h（t）g（t），N（t）=h（t）f（t）+k1（t）φ（t-τ1）+k2（t）φ（t-τ2）.定理1：若对上述函数满足u（t）f（t）+g（t）∫tt0h（s）u（s）+k1（s）u（s-τ1）+k2（s）u（s-τ2）ds，t∈J，u（t）φ（t），t∈［t0-τ2，t0］.则当t∈［t0，t0+τ1］时，u（t）f（t）+g（t）∫tt0N（s）e∫tsM（r）drds；（1）当t∈［t0+τ1，t0+τ2］时，u（t）f（t）+g（t）e∫tt0+τ1m（s）ds∫t0+τ1t0N（s）e∫t0+τ1sM （r）drds+∫tt0+τ1p（s）e∫tsm（r）drds；（2）當t∈［t0+τ2，T］时，u（t）f（t）+g（t）e∫tt0+τ2n（s）dse∫t0+τ2t0+τ1m（s）ds∫t0+τ1t0N（s）e∫t0+τ1sM（r）drds+∫t0+τ2t0+τ1p（s）e∫t0+τ2sm（r）drds+∫tt0+τ2q（s）e∫tsn（r）drds.（3）注：具体证明可通过对t进行分类讨论，并结合引理1直接得出，在此不多赘述。
Gronwall不等式的推广及其在分数阶微分方程中的应用_许佳
西 华 大 学 学 报 （ 自 然 科 学 版 ） Journal of Xihua University · Natural Science
2012 年 9 月 Sep． 2012
159X（ 2012 ） 05006203 文章编号： 1673-
积分不等式在对积分和微分方程的解的定性 ［1 ］ 分析 中 发 挥 着 重 要 作 用 。 被 大 家 广 泛 所 知 的 Gronwall 不 等 式 是 Gronwall － Bellman － Raid 不 等 ［2 —4 ］ 。 式， 关于它的推广工作的相关研究已经有很多 在分数阶微分方程中会遇到 Volterra 型积分方程， 这时就需要用 1 个不同形式的 Gronwall 不等式来讨 论它的解。 本文利用迭代方法得到 1 个广义的 Gronwall 不 等式， 并用于讨论 R － L 形式的分数阶微分方程的 解对阶数和初始条件的依赖性。
β
( MΓ（ β） ) n （ t － s） Γ （ nβ）
nβ － 1
x （ s ） ds
t∈［ 0， T） ， 即得证不等式（ 2 ） 。 →0 ， 当 h （ t ） ≡b 时， 可由定理 3 得到下面的推论。 0， T） （ T ≤ + ∞ ） 推论 设 x（ t） ≥0 且在区间［ b 和 β，其中 b ＞ 0 ， 上可积， 若存在正常数 C1 ， β ＞ 0， 使得
( k + 1 )β － 1
( k + 1 )β － 1
将此式代入上式即得 ≤ ∫0
t
·） 与 Γ （ ·） 分别为通常的 Beta 与 其中 B （ ·， Gamma 函数，即
p －1 B（ p， q） = ∫ 1 （ 1 － x） 0x q －1 ∞ p －1 －x dx ， Γ（ p） = ∫ 0 x e dx
Gronwall积分不等式的推广
Gronwall积分不等式的推广
周玛莉;吴行平
【期刊名称】《西南师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2005(030)004
【摘要】将一维函数的Gronwall不等式推广到了n维欧几里得空间.
【总页数】3页(P760-762)
【作者】周玛莉;吴行平
【作者单位】九江学院,数学系,江西,九江,332000;西南师范大学,数学与财经学院,重庆,400715
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1
【相关文献】
1.含多个非线性项的Gronwall-Bellman型非连续函数积分不等式的推广 [J], 李自尊
2.一类带脉冲项的Gronwall-Bellman型积分不等式的推广及应用 [J], 严勇
3.一类含脉冲项的Gronwall型积分不等式的推广 [J], 王雨波;梁英;
4.关于Bellman－Gronwall型积分不等式的推广 [J], 韩宇健;李朝星
5.Gronwall型积分不等式的推广 [J], 谢鸿政
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Generalization of Integral Inequalities of the Gronwall Type for Discontinuous Function
Yubo Wang1, Ying Liang2*
1 2
Shool of Mechanical Engineering and Automation, Northeastern University, Shenyang Liaoning Department of Mathematics and Statistics, Lingnan Normal University, Zhanjiang Guangdong
(3)
此后，关于这类积分不等式的新改进和推广不断出现[8] [9] [10] [11]。2009 年，Gallo 和 Piccirillo [8] 研究了含时滞项 p ( t ) 及非线性项 ω ( u ) 的非连续函数 Bellman-Bihari 型积分不等式
u ( t ) ≤ φ ( t ) + g ( t ) ∫t f ( s ) ω u ( p ( s ) ) ds +enko 和 Perestyuk [6]用单调不减函数 φ ( t ) 代替常数 c 讨论了如下 Bellman-Bihari 型积 分不等式
u ( t ) ≤ φ ( t ) + ∫t f ( s ) u m ( s ) ds +
0
t
t0 <ti <t
Pure Mathematics 理论数学, 2019, 9(1), 83-88 Published Online January 2019 in Hans. /journal/pm https:///10.12677/pm.2019.91011
th th th
Received: Dec. 25 , 2018; accepted: Jan. 11 , 2019; published: Jan. 18 , 2019
Abstract
This paper investigates generalization of integral inequalities of Gronwall type for discontinuous function by using the mathematical induction. It generalizes the existing forms and the results are more universal.
∑
βi u m ( ti − 0 ) , m > 0 。
(2)
2007 年，Iovane [7]又研究了含时滞项 p ( t ) 的非连续函数积分不等式
u ( t ) ≤ φ ( t ) + ∫t f ( s ) u m ( p ( s ) ) ds +
t
0
t0 <ti <t
∑
βi u m ( ti − 0 ) , m > 0 。
王雨波，梁英
关键词
脉冲，不连续函数，积分不等式，脉冲微分方程
Copyright © 2019 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
Keywords
Impulse, Discontinuous Functions, Integral Inequalities, Impulsive Differential Equations
一类含脉冲项的Gronwall型积分不等式的推广
王雨波1，梁
1 2
英2*
东北大学，机械工程与自动化学院，辽宁 沈阳 岭南师范学院，数学与统计学院，广东 湛江
收稿日期：2018年12月25日；录用日期：2019年1月11日；发布日期：2019年1月18日
摘
要
本文利用数学归纳法研究了一类含脉冲项的Gronwall型积分不等式。推广了已有的形式，所得结果更具 有普遍性。
*
通讯作者。
文章引用: 王雨波, 梁英. 一类含脉冲项的 Gronwall 型积分不等式的推广[J]. 理论数学, 2019, 9(1): 83-88. DOI: 10.12677/pm.2019.91011
Open Access
1. 引言
Gronwall 型积分不等式和它们的各种推广形式在讨论微分方程解的存在性、唯一性、连续性、有界 性、稳定性和不变流形等方面有着十分重要的作用。关于连续函数的积分不等式及其应用方面已有很多 结果，如文献[1] [2] [3] [4]等。 脉冲是指电子电路中的电平状态突变，既可以是突然升高(脉冲的上升沿)，也可以是突然降低(脉冲 的下降沿)。一般脉冲在电平突变后，又会在很短的时间内恢复原来的电平状态。在机械工程中常见这种 现象，体现在数学上就是脉冲微分方程。实际中，我们经常需要讨论脉冲微分方程解的存在性问题，而 这个问题又会涉及到脉冲积分不等式(即， 非连续函数的积分不等式)。 对含脉冲项的积分不等式的研究主 要是为了解决具有脉冲扰动的微分方程、积分方程和泛函微分方程解的定性性质，如解的有界性、吸引 性、稳定性等。 最近越来越多的学者开始关注含脉冲项 Gronwall 型积分不等式。Samoilenko 和 Perestyuk [5]于 1987 年为讨论脉冲微分方程研究了如下的脉冲积分不等式
u ( t ) ≤ c + ∫t f ( s ) u ( s ) ds +
0
t
t0 <ti <t
∑
βi u ( ti − 0 ) ，
(1)
lim u ( t ) .βi ≥ 0, i = 1, 2, 是常数， ti 是 u 的第一类不连续点。 ∞, u ( ti − 0 ) = 其中 0 ≤ t0 < t1 < , lim ti = −