数列的极限教学设计
数列极限教案
数列极限教案教案标题：数列极限的引入与探究教学目标：1. 理解数列以及数列极限的概念；2. 了解数列极限的性质和特征；3. 能够利用数学思维和分析方法确定数列的极限；4. 运用数列极限的性质解决实际问题。
教学准备：1. 数学课本和课后习题；2. 计算器；3. 幻灯片或黑板；4. 学生练习册。
教学过程：1. 导入（5分钟）- 引入数列的概念，简单解释数列是一组按照特定规律排列的数的集合。
- 讨论学生可能听说过的数列，比如等差数列、等比数列等。
2. 引入与讲解（15分钟）- 引入数列极限的概念，解释数列极限表示数列随着项数增加逐渐趋近于某一确定值。
- 通过示例，说明数列极限的计算方法，如通过求前几项的和、平均数等思路确定数列极限。
3. 探究与实践（20分钟）- 提供一个数列，让学生通过计算数列的前几项，并分析得出数列极限的思路和方法。
教师引导学生进行讨论，并指导他们运用找规律、分析数列的增减性等方法确定极限值。
- 给学生一些练习题，让他们自己计算数列极限。
教师鼓励学生之间积极合作，共同解决问题。
4. 总结与归纳（10分钟）- 总结数列极限的定义和性质，强调数列极限与数列前几项的关系。
- 归纳数列极限的计算方法和常见性质。
- 梳理学生在实践中遇到的问题和解决方法。
5. 提升与拓展（15分钟）- 引导学生运用数列极限的概念和性质解决实际问题，如数列极限在物理学、经济学等领域的应用。
- 指导学生在练习册上完成更复杂的数列极限计算题目，提高他们的应用能力。
6. 课堂练习与反馈（15分钟）- 布置一些课后习题，巩固学生对数列极限的理解和计算能力。
- 鼓励学生积极讨论和交流，互相评价和纠正。
- 对学生的练习成果给予及时的反馈和指导。
教学延伸：在数列极限的教学中，可以结合微积分的相关内容，如导数、积分等，对数列极限的计算和应用进行进一步拓展。
同时，可以邀请学生进行小组合作探究，通过引导学生提出自己的问题和解决思路，增加学生对数学的探索性和创造性。
数列极限的教学设计方案
1. 知识与技能：掌握数列极限的定义、性质及运算；能够运用数列极限解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生自主探索数列极限的概念；通过实例讲解，帮助学生理解数列极限的运算方法。
3. 情感态度与价值观：培养学生严谨求实的科学态度，提高学生的逻辑思维能力；激发学生对数学学习的兴趣，培养学生对数学美的感悟。
二、教学重点与难点1. 教学重点：数列极限的定义、性质及运算。
2. 教学难点：数列极限的定义的理解和应用，以及数列极限运算的技巧。
三、教学过程1. 导入新课（1）回顾数列的概念，引导学生思考数列的极限是什么。
（2）通过实例展示数列极限在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣。
2. 新课讲授（1）数列极限的定义：讲解数列极限的定义，结合实例进行说明。
（2）数列极限的性质：介绍数列极限的性质，通过实例讲解，让学生理解这些性质。
（3）数列极限的运算：讲解数列极限的运算方法，包括和、差、积、商的运算。
3. 课堂练习（1）布置一些关于数列极限的定义、性质及运算的练习题，让学生巩固所学知识。
（2）引导学生运用数列极限解决实际问题，提高学生的应用能力。
4. 课堂小结（1）回顾本节课所学内容，强调数列极限的定义、性质及运算。
（2）引导学生思考数列极限在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣。
5. 作业布置（1）布置一些关于数列极限的定义、性质及运算的作业题，让学生巩固所学知识。
（2）布置一些与实际生活相关的数列极限应用题，提高学生的实际应用能力。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度，了解学生对数列极限的理解程度。
2. 作业完成情况：检查学生作业的完成情况，了解学生对数列极限的掌握程度。
3. 课后反馈：通过课后与学生的交流，了解学生对数列极限的困惑和需求，及时调整教学策略。
五、教学反思1. 教学过程中，注重引导学生自主探索数列极限的概念，培养学生的逻辑思维能力。
2. 结合实例讲解数列极限的运算方法，提高学生的实际应用能力。
人教版高中数学数列的极限教案2023
人教版高中数学数列的极限教案2023（注：本文为某位高中数学老师为2023年准备的一份数列极限教案，供参考学习之用。
）人教版高中数学数列的极限教案2023第一节：教学目标通过本节课的学习，学生应该能够：1.了解数列的概念和基本性质；2.掌握求数列极限的方法，并能运用所学方法解题。
第二节：教学重点1.数列极限的定义和性质；2.极限与数列的关系；3.常用的数列极限定理。
第三节：教学方法1.教师讲授法：结合丰富的例题，引导学生熟悉并理解数列的概念和性质，掌握求数列极限的方法。
2.微课堂法：以教师录制的微课为主要教学方式，让学生在课前学习相关内容，课堂上加强练习和提问。
第四节：教学内容1.数列的概念和性质（1）概念：数列是按照一定顺序排列的一系列数。
（2）性质：①有限项数列和无限项数列；②数列有通项公式；③数列有公比或公差。
2.极限与数列的关系（1）定义：若存在一个常数a，对于任意给定的正数ε（无论多么小），总能找到某一项之后的所有项，使其与常数a的距离小于ε，则称常数a是该数列的极限，记作lim an=a(n→∞)。
（2）性质：①数列极限唯一；②收敛数列有界；③有界数列必有收敛子数列。
3.常用的数列极限定理（1）夹逼定理：设数列{an}，{bn}，{cn}，如果an≤bn≤cn，且lim an=lim cn=a，那么{bn}的极限存在且等于a。
（2）单调有界定理：单调递增有上界（下界）的数列必收敛，单调递减有下界（上界）的数列也必收敛。
第五节：教学后记通过本节课的学习，学生对数列及其极限有了更深入的了解，能够掌握求解数列极限的方法，并能够运用所学方法解决实际问题。
同时，通过微课堂的教学方式，学生的主动学习能力得到了锻炼，教学效果得到了提升。
信息技术与课程整合下的《数列的极限》的教学设计共7页
信息技术与课程整合下的《数列的极限》的教学设计教学设计也称教学系统设计,是以传播论、学习理论和教学理论为基础,运用系统论的观点和方法,分析教学中的问题和需求,从而找出最佳解决方案的一种理论和方法。
是将学和教的原理转化成教学材料和教学活动的方案的系统化过程,是一种教学问题求解,侧重与问题求解中方案的寻找和决策的过程。
教学设计是为了实现一定的教学目标,依据课程内容主题、学生特征和环境条件,运用教与学的原理,为学生策划学习资源和学习活动的过程,即教学设计是在现代教育理论指导下,为了促进学生学习和发展而设计的解决教与学问题的一套系统化程序。
信息技术与数理类课程整合的优势在于:1. 模拟情境数理类学科的知识、术语较为抽象,例如数学中的“对称”“异面”等关系,物理中的“力”“场”等概念,化学中的“反应”“平衡”等过程都是抽象难懂的。
信息技术的运用可帮助教师和学生解决这些重点、难点问题。
2. 转换观察空间尤其是对宏观世界和微观世界的研究更为突出。
3. 转换变化速度尤其对物理的运动过程和化学变化过程的研究,能让学生观察得细致全面。
4. 展现思维空间数学教学是思维过程的教学,但在传统教学中教师并不能把握每个学生的思维过程,从而不能给予及时反馈。
信息技术的交互功能则能很好地解决这个问题。
以往运用传统的教学手段,学生在练习纸上整理数据,教师很难了解到学生整理数据的全过程,教学的实效性很难把握。
而网络环境的互动性,大信息量传载功能正可以解决这个问题,使师生及时掌握各小组整合的全过程,有利于学生在自己的探索过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,同时获得广泛的数学活动经验。
数学课程教学设计的主要基本策略有:1. 激发学习动机进行教学设计时,教师要着力于研究学生的生活背景,致力于捕捉生活背景与学习材料之间的内在联系,帮助学生主动寻求新知识的生活原型。
要提供新知识的生活背景,使学生借助生活中的实际情景来学习数学、理解数学、感受数学,为新知识的应用找到生长点,从而激发学习的兴趣,增强学好数学的信心。
数列极限的计算教学备课
数列极限的计算教学备课数学中，数列极限是一个重要的概念。
它不仅仅在代数、微积分等高中数学课程中出现，而且在其它数学学科和科学领域都有重要的应用。
对于学生来说，学习数列极限的计算方法是必要的。
本文将讨论在高中数学中教授数列极限的备课方法。
1. 引言在高中数学教学中，数列极限是代数和微积分的基础。
它也是计算机科学和物理学等领域研究中的基本概念。
因此，学习数列极限的计算方法是打好数学基础的关键。
在备课阶段，教师应考虑到学生的基础知识和应用背景，并采用适当的教学方法。
2. 知识框架在备课阶段，教师需要准备知识框架，为学生提供逻辑思维的支持。
在本教案中，我们将根据以下框架教授数列极限的计算。
(1) 数列极限的概念(2) 数列极限的计算方法(3) 数列的收敛性(4) 比较常用的数列极限的计算方法3. 教学方法在备课阶段，教师需要选择适当的教学方法来教授数列极限的计算方法。
以这一主题为例，我们可以采用以下教学方法。
(1) 讲授课程。
教师可以在课堂上讲解数列极限的基本概念，以及常用的计算方法。
这种方法适用于提高学生的基础知识。
(2) 互动式学习。
教师可以让学生分组或结对，利用小组讨论和互动学习方法来加深学生的理解。
在这种情况下，教师需要提供指导并解答所有有关数列极限的问题。
(3) 独立式学习。
教师通过提供一些资料，例如书面材料、音频、视频等来让学生自主学习数列极限的计算方法。
这种方法可能需要更多的时间和资源来实施，但是对于给予学生更多自主学习的机会却很有效。
4. 教学过程在备课阶段，教师还需要确定教学过程。
以下是一些教学步骤，可以帮助学生学习数列极限的计算方法。
(1) 熟悉数列极限的概念。
理解数列极限的概念是分析计算方法的基础。
教师可以通过举例、讲解等方式帮助学生理解这个概念。
(2) 熟悉常用的计算方法。
教师可以通过例题和讲解来教授学生常见计算方法的步骤。
在这个过程，教师应该着重讲解一些博客规则和技巧。
(3) 熟悉数列的收敛性。
大学微课数列的极限教案
课时：1课时教学目标：1. 知识与技能：使学生掌握数列极限的定义、性质和运算法则，能够运用数列极限求解相关问题。
2. 过程与方法：通过微课教学，培养学生自主学习、分析问题和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨、求实的科学态度。
教学内容：1. 数列极限的定义2. 数列极限的性质3. 数列极限的运算法则4. 数列极限的应用教学过程：一、导入1. 利用生活中的实例，引导学生思考数列极限的概念。
2. 提出问题：如何判断一个数列的极限存在？如何求解数列的极限？二、新课讲授1. 数列极限的定义- 通过动画演示，展示数列极限的定义过程。
- 强调数列极限存在的条件：数列中所有项无限趋近于同一个数。
- 举例说明数列极限的概念。
2. 数列极限的性质- 介绍数列极限的性质，如：有界性、单调性、收敛性等。
- 通过实例讲解数列极限的性质，让学生理解并掌握。
3. 数列极限的运算法则- 介绍数列极限的运算法则，如：四则运算法则、夹逼准则等。
- 通过实例讲解数列极限的运算法则，让学生掌握并运用。
4. 数列极限的应用- 举例说明数列极限在数学问题中的应用，如：求解极限、证明数列收敛等。
- 引导学生思考数列极限在实际问题中的应用价值。
三、课堂练习1. 给学生布置数列极限的相关练习题，要求学生在规定时间内完成。
2. 教师巡视指导，解答学生在练习过程中遇到的问题。
四、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调数列极限的定义、性质和运算法则。
2. 引导学生总结数列极限在实际问题中的应用。
五、课后作业1. 布置数列极限的相关练习题，巩固所学知识。
2. 要求学生在课后复习数列极限的定义、性质和运算法则，为下一节课做好准备。
教学反思：1. 本节课通过微课教学，使学生更好地理解数列极限的概念和性质。
2. 在教学过程中，注重启发式教学，引导学生主动思考、解决问题。
3. 课后作业的设计有助于巩固所学知识，提高学生的数学能力。
数列的极限教案
数列的极限教案教案标题：数列的极限教案教案目标：1. 理解数列的概念和基本性质。
2. 掌握数列极限的定义和计算方法。
3. 能够应用数列极限解决实际问题。
教学资源：1. 教科书或课件：包含数列的定义、基本性质和极限的计算方法。
2. 习题集：包含不同难度层次的数列极限计算题目。
3. 实际问题：包含数列极限应用的实际问题，如金融、物理等领域。
教学步骤：引入：1. 通过提问或展示实例，引发学生对数列的兴趣，例如：什么是数列？数列的应用有哪些？2. 引导学生思考数列的特点和规律，以激发他们对数列极限的好奇心。
探究：3. 解释数列极限的定义：当数列的项逐渐趋近于某个常数L时，我们说数列的极限是L。
4. 讲解数列极限的计算方法：a. 若数列是等差数列或等比数列，可直接根据公式计算极限。
b. 若数列不是等差数列或等比数列，可通过递推关系或数学归纳法推导极限。
实践：5. 给予学生一些简单的数列极限计算练习题，以巩固他们对极限计算方法的理解和应用能力。
6. 引导学生分析实际问题，并将其转化为数列极限问题，例如：一个投资人每年投资1000元，年利率为5%，求他的总投资额极限是多少？7. 提供一些实际问题的解决方法，帮助学生将数列极限与实际问题相结合。
拓展：8. 提供一些挑战性的数列极限计算题目，以培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
9. 鼓励学生自主探究其他数列极限的计算方法，并进行讨论和分享。
总结：10. 总结数列极限的概念和计算方法，强调数列极限在实际问题中的应用意义。
11. 鼓励学生通过课后练习巩固所学知识，并提供必要的辅导和指导。
评估：12. 设计一些评估题目，测试学生对数列极限概念的理解和计算方法的掌握程度。
13. 通过学生的表现和答案，评估教学效果，并根据需要进行针对性的复习和强化训练。
备注：教案的具体内容和教学步骤可根据不同教育阶段的要求进行调整和适应。
在教学过程中，教师应根据学生的实际情况和学习能力，灵活运用不同的教学方法和教学资源，以提高教学效果。
《数列极限》说课稿(附教案)
《数列极限》说课稿一、教材分析1．教材的地位和作用（1）在数学中的地位和作用众所周知，对数列极限这个概念的理解是学习导数所必备的知识.另外,极限也是从初等数学的思维方式到高等数学的思维方式的质的转变,在重点考察思维方法的高考命题中是最好的命题素材之一.（2）在全章中的地位和作用《数列的极限》安排在高中数学第三册（选修2）第二章、第二节，是数列极限的起始课。
这部分内容在课本第73页至76页。
是全章内容的起点，重点。
2．本节内容的课标要求从数列的变化趋势来理解极限的概念；能初步利用极限定义确定某些简单的数列极限；体会极限思想。
3．教学重点、难点、关键的确定教学重点：数列极限的概念教学难点：如何从变化趋势的角度, 来正确理解数列极限的概念教学关键：教学中启发学生在分析问题时抓住问题的本质（即定义）确立依据：这样确定重难点及教学关键，主要是基于课标要求和对本节课全面分析。
二、教学目标分析根据我对教材的分析以及对新课程的教学理念的认识，确定教学目标如下：（1）知识目标：使学生理解极限的概念，能初步利用极限定义确定某些简单的数列极限；（2）能力目标：1、通过设置问题情境、数列变化趋势的分析，使学生理解数列极限的定义，学会数学语言的表述，培养学生观察、分析、概括的能力。
2、通过分层练习，使学生的基础知识得到进一步的巩固，进而学会数列极限的分析方法，体会在探索问题中由静态到动态、由有限到无限的辨证观点和“从具体到抽象，从特殊到一般再到特殊”的认识过程。
（3）情感态度与价值观目标：1、通过介绍我国古代思想家庄周和数学家刘徽，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感。
2、通过介绍生活中的极限运动和极限精神，激发提高学生的学习积极性，优化学生的思维品质。
确立依据：基于对教材、教学大纲和教学内容的分析，制定相应的教学目标。
数学教学的最终目的是通过思想方法的渗透以及思维品质的锻炼，从而让学生在能力上得到发展．三、教学分析1、对学习者特征分析本节课的学习者特征分析主要是根据教师平时对学生的了解和高三学生学习表现而做出的。
33教学设计：《数列极限》
“三角函数的引诱公式( 第一课时 ) ”教课方案一、教课内容与内容分析“三角函数的引诱公式”是一般高中课程标准实验教科书人教 A 版必修 4 第一章第三节，其主要内容是三角函数的引诱公式中的公式二至公式六，是三角函数的主要性质 . 学生在前方已经学习了引诱公式一和随意角的三角函数的定义，这节课在此基础上，持续学习公式二至公式四 . 三角函数的引诱公式是圆的对称性的“代数表示” ，利用对称性，让学生自主发现终边分别对于原点或坐标轴对称的角的三角函数值之间的关系，使得“数”与“形”获取密切联合，成为一个整体 . 经过简单问题的提出、引诱公式的发现、问题的解决，领会由未知到已知的转变，为此后的三角函数求值、化简、简单证明以及后续学习的三角函数图像和性质等知识打好基础．引诱公式的主要用途是把随意角的三角函数值问题转变为求 0°～ 90°角的三角函数值 . 引诱公式的推导过程，表现了“数形联合”和复杂到简单的“转变”的数学思想方法，反应了从特别到一般的归纳思想形式．对培育学生的创新意识、发展学生的思想能力，掌握数学的思想方法拥有踊跃的作用 . 引诱公式的学习和推证过程还表现了三角函数之间的内部联系，是定义的延长与应用，在本章中起着承前启后的作用 .本节课的要点是引诱公式的研究，运用引诱公式进行简单函数式的求值与化简，提升对数学知识之间（圆的对称性与三角函数性质）联系的认识，把过去渗透在详细数学内容中的重要的方法以集中的、显性的形式表现出来，使学生更为明确这些方法，并能在此后的学习中存心识地使用它们.二、教课识题诊疗剖析在教师的组织和指引放学生以自主研究、着手实践、合作沟通的方式进行学习 . 在学习中认识和体验公式的发生、发展过程，让学生领悟到引诱公式是前方三角函数定义、单位圆对称性等知识的持续和拓展，应用迁徙规律，指引学生联想、类比、归纳推导公式 .在教课中可能会碰到以下几个问题：1．在利用多媒体指引学生从特别到一般的学习过程中，部分学生以为只需记着公式，会做题就能够，对公式的推导重视不够. 为了尽量防止这类状况的出现，我采纳小组议论制，考虑到学生的个体差别，把“强”、“中”、“弱”合理搭配，安排组长看管采集议论的结果，记录采集每一阶段的过程资料.2．角的随意性，如何向学生交代清楚是这节课我向来思虑的问题. 为认识决这个问题我自己利用几何画板制作教课课件，经过用角终边的随意一点的拖动，显示三角函数值在各个象限的变化，让学生理解角不限制为第一象限的角，它拥有随意性，进而打破了难点.3．公式的记忆也是个难点. 特别是十字口诀更是理解不深. 对于幻灯片中的公式，教师比较几何画板课件逐字逐句的剖析，让其理解公式中的角是随意的，而记忆时将其当作锐角. 此外，反省学习过程时，领会角的终边的对称性与三角函数值之间的关系也有益于公式的记忆.三、目标和目标分析（一）教课目的1.能借助三角函数的定义及单位圆的对称性推导出引诱公式 , 会利用引诱公式进行简单的三角函数式的求值与化简 .2.经过引诱公式的推导过程，领会数形联合及转变思想的运用.3.培育学生由特别到一般的归纳意识，学会用联系的看法对待问题.（二）目标分析在初中学生已经学习过对于原点、x 轴以及y 轴对称的点的坐标的内在联系，而且前方学生能运用三角函数的定义和公式一进行三角函数求值，但对于随意角的三角函数之间存在的联系还不清楚，或许只有一点模糊的感性认识．数学课程标准重申：“学生要获取必需的数学基础知识和基本技术，理解数学结论的本质，认识看法、结论等产生的背景、应用，领会此中所包含的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用．经过不一样形式的自主学习、研究活动，体验数学发现和创建的历程．”因此，依据课程标准、教材的特色、对本节课的教课要求以及学生的认知水平，从三个不一样的方面确立了教课目的．依据教课内容的构造特色及教课目的，本节课采纳了“问题——发现——归纳——类比” 的教课方法和“自主研究——小组合作” 的学习方式 . 由问题驱动，经过引诱公式二至四的研究，归纳获取引诱公式的特色，提升对数学内部关系的认识，理解求随意角三角函数值所表现出来的化归思想，培育学生的研究能力.教课目的实现过程：1．利用已有知识导出新的问题，创建问题情境，惹起学生学习兴趣，激发学生的求知欲，达到以旧拓新的目的.2．由特例(18030 ) 与30° (360 30 ) 与30°， (18030 ) 与30°的关系提出问题，启迪学生的思想，指引他们剖析角的终边对称关系，利用定义进行推导获取公式二，再利用多媒体动向演示，使学生对“ 为随意角”的认识自然合理 .以后依样画葫芦公式三、四，经过联想，类比、方法迁徙，学生很轻松的发现公式，每小组踊跃讲话而且经过实物展台展现沟通，发现随意角与(180) ，， (180) 三角函数值的关系，领会了从特别到一般的归纳推理过程，使学生的思想获取科学训练，有助于培育学生的归纳能力和创新能力.3．采纳问题设疑，察看演示，步步深入，逐层指引，研究合作的教课方法，旨在让学生充足感觉和理解知识的产生和发展过程 . 在教师合时的启迪点拨下，学生在类比、归纳的过程中踊跃主动地去研究、发现数学规律（公式），培育学生的创新意识和创新精神 . 经过指引学生研究并发现公式，将发现与证明合为一体，表现了“数形联合”的思想方法 .4．经过例 1 和变式，把引诱公式（一）、（二）、（三）、（四）的应用进一步拓广，发展学生的思想能力和计算能力 . 例 2 的扩展让学生认识到公式的适用性和学习的必需性 .本节课的教课方案力争表现“问题性”、“科学性”与“思想性”，以多媒体为协助手段，采纳教师为主导学生为主体的启迪式与研究式相联合的方法，使学生快乐地学习 .三、教课支持条件剖析在进行本节课的教课时，学生已经学习了三角函数的定义、各象限角的三角函数值的符号和公式一，这些内容是学生理解、归纳公式二至公式四的基础，因此教课时应充足注意利用这一有益条件，指引学生多进行归纳与归纳. 此外，信息技术的使用也为打破教课难点、启迪学生思想、增添讲堂容量供给了有力的支持 .五、教课过程设计（一）创建问题情境师生活动：教师发问，学生思虑、回答，学生口述的同时，教师加以指引并用幻灯片展现．问题 1：（1）各象限内三角函数值的符号是什么？（只议论正弦、余弦、正切）（2）随意角的三角函数的定义是什么？（3）公式一的内容与作用是什么？问题2: 已知 sin301 ,如何求sin 210 ,sin330,sin150的值 . 2教师指引：可否再把 0°～ 360°间的角的三角函数，化为我们熟习的0°～ 90°间的角的三角函数问题呢？这节课我们就来学习和研究这样的问题.【设计企图】经过复习旧知，为新知识的学习打下基础 . 特别是各象限三角函数的符号，对于引诱公式记忆起要点作用 . 提出的新问题，指引学生进一步思虑，激起学生们的兴趣 .( 二) 研究开发新结论教师指引：为认识决以上问题，我们采纳各个击破的方法. 第一看 210 30 180，假如我们知道一个随意角与( π＋ ) 三角函数值的关系，问题就解决了 .研究一：随意角与(π＋) 三角函数值的关系 .问题 3：①与 ( π＋) 角的终边关系如何？（互为反向延长线或对于原点对称）②设与( π＋) 角的终边分别交单位圆于点P1，P2，则点 P1与 P2地点关系如何？（对于原点对称）③设点 P1( x， y) ，那么点 P2的坐标如何表示？（ P2( －x，－ y) ）④sin与sin(π＋) ， cos与cos(π＋) ，tan与tan(π＋) 的关系如何？经过研究，归纳成公式sin πsincos πcos------公式二tan πtansin 210 sin(30 180 )sin30 1 .2【设计企图】公式二的三个式子中， sin( π)sin 是第一个解决的问题，因为方法及思路都是未知的，因此采纳教师指引，师生合作共同达成方法．经过脚手架式的层层发问，指引学生自主推导引诱公式二，让学生体考证明猜想的乐趣，突显学生学习的主体地位. 同时，试图经过环环相扣的问题给学生传达“由宏观到微观考虑问题”的思想习惯，进而达到“授人以渔”的目的 . 后两个均由学生类比议论达成．学生活动：小组议论，代表讲话沟通．问题 4：公式中的角仅是锐角吗？【设计企图】课前发问的问题是以 30 引入的，以后的议论不过用代数方法换成了一般形式的角，有些同学一定会有这样的疑问，因此这个问题的解决好，就是打破难点的要点 . 指引学生相互议论，沟通能够使学生记忆更深刻 .师生活动：演示几何画板课件，第一作出第一象限的随意角，以后获取相应的三角函数值，拖动其终边上随意点，再让学生察看每一象限内三角函数值的符号和它们之间存在的对称关系，进而考证了猜想，使学生更好的理解了这个公式．【设计企图】经过多媒体演示，发现变化规律，进而总结出三角函数的引诱公式．类比第一个问题的解决方法，我们再来解决后边的两个问题. 察看330360 30，由公式一知 330 的终边与 30 的终边同样，因此我们一定知道一个随意角与 (- ) 三角函数值的关系 .研究二：随意角与(-) 三角函数值的关系 .问题 5：①与( －) 角的终边地点关系如何？( 对于 x 轴对称 )②设与( －) 角的终边分别交单位圆于点P1，P2点 P1与 P2地点关系如何 ( 关于 x 轴对称 )③设点 P1( x，y) ，则点 P' 的坐标如何表示？ [P 2( x，－ y) ］④sin与sin(－) ，cos与cos(－) ，tan与tan(－) 关系如何？经过研究，归纳成公式sin sincos cos-------------公式三tan tansin330 sin(360 30 )sin( 30 )sin 30 1 .2【设计企图】经过学生自主研究与合作沟通，达成由角的终边点的对称性得到公式的过程，充足调换学生学习的踊跃性和激发学生的参加、研究和体验的欲念，让他们既动脑又着手，让学生参加教课活动. 让学生体验数与形的关系，试试自主研究的乐趣 .教师指引：那150 180 30 ，我们须知与(π－) 的三角函数值的关系，同学们持续发挥聪慧才华解决它吧！研究三：与(π－) 的三角函数值的关系．问题 6：①π) 角的终边地点关系如何？ ( 对于 y 轴对称 )与 (－②设与(－) 角的终边分别交单位圆于点P，P 点 P 与 P 地点关系如π1212何？ ( 对于 y 轴对称 )③设点 P1( x， y) ，则点 P' 的坐标如何表示？ [P 2(- x， y) ］④sinπ)，cosπ) ，tan与 tan(π与 sin( －与 cos(－－ )关系如何？经过研究，归纳成公式sinπsincos πcos ------公式四tanπtansin150sin(180 30 )1 sin302【设计企图】与研究二的教法同样，学生疏组议论，试试推导公式，教师巡视，实时反应、改正、讲评．采纳合作学习有助于察看的多种方式的表现，通过学生多角度的察看所获取结论的沟通，让学生感觉数学美和发现规律（公式）的愉悦，激发学生更踊跃地去找寻规律、认识规律. 同时让学生感觉到只需做个居心人，发现规律并责难事 .( 三 ) 总结归纳新结论师生活动：为了更好的使学生们把自己的研究成就记忆牢靠，师生共同高声朗诵这四组公式 .三角函数的引诱公式公式一： sin(2k π) sin ,cos( 2k π) cos ，tan( 2k π) tan (k Z),公式二： sin()sin ，cos( ) cos ，tan( ) tan .公式三： sin(π) sin ，cos(π ) cos ，tan(π )tan .公式四： sin(π)sin ，cos(π )cos ，tan(π ) tan .说明：公式中的指派公式两边存心义的随意一个角．问题 7：你能用一句话归纳公式一、二、三、四吗？为了让学生更好的记忆公式， 经过幻灯片展现， 猜想考证，假如把角 当作锐角，2k π,π , π , 分别位于第一、二、三、四象限，由课前发问各象限内三角函数值的符号，学生能够试着表达 .师生活动： 总结归纳公式一、二、三、四：2k π (k Z) , π , 的三角函数值，等于 的同名函数值，前方加上一个把当作锐角时原函数值的符号 . 公式特色：“函数名不变，符号看象限”【设计企图】逐渐理解十字口诀含义，而且训练学生的归纳能力.( 四) 稳固应用结论例 1 求以下三角函数值：师生活动： 学生板书，教师巡视，纠正错误．（1） cos225 ；（ 2） sin 11π；（ 3） 16π ；（ ） cos( 2040 )3 sin() 43剖析：先将不是 0～ 2π范围内角的三角函数，转变为 0～ 2π范围内的角的三角函数（利用引诱公式一）或先将负角转变为正角而后再用引诱公式化到 0 ～π范围内角的三角函数的值 . 2解：（1） cos 225 cos(180 45 )cos452 ．211πππ3．（2）sin sin(4)sin2333（3）sin(16π16πsin(5 ππ( sinπ3．)sin))2 3333（4）cos(2040 )cos2040cos(6360120 )=cos120cos(18060 )cos60 1 ．2问题 8：用引诱公式可将随意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是什么？（学生勇敢说，相互议论）①化负角的三角函数为正角的三角函数；②化大于 2π的正角的三角函数为0～ 2π内的三角函数；③化 0～ 2π内的三角函数为锐角的三角函数．变式：已知是第三象限的角且sin 1 ，求sin(π) ，sin(π)（学生3口答）【设计企图】在获取引诱公式后，在此让学生独立去实践解决问题，，一般状况下， 1、2 小题都能很快解决，不过到了第 3、4 小题时，条件变化稍复杂一些，同学们就会出现思想阻碍，需实时指引他们去进行角的转变，在实践中领会引诱公式在解题过程中的应用，使随意一个角都转变为他们所熟知的锐角，领会从未知到已知的化归思想，进而为总结出解题的一般步骤埋下伏笔 . 变式是为了让学生进一步理解公式中角的随意性而建立 .例 2化简 cos(180) sin360．sin(180 ) cos( 180)（学生板书）解： sin(180 )sin(180)sin(180)( sin ) sin ，cos( 180) cos (180)cos(180)cos，因此原式 =cos sin1．sin (cos)变式：已知 sin( π)1，求 sin(5π) 的值.636【设计企图】在例题的选用与设计上，主要表现“由易到难，由简单到复杂，层层推动”的想法，例 1 表此刻求值上，例 2 主要表此刻化简上，使学生理解公示的应用所在 . 变式需要利用引诱公式进行一下变形再求值，对于初学者有点难度，需要教师从旁指导. 练习是递进，表现化归思想、整体思想、使学生思想获取锻炼，体验学习的乐趣，进而达到初步掌握知识应用的目的.( 五) 讲堂小结问题 9 ：经过这节课的学习，大家有什么收获吗？主要提示从以下三方面（由学生达成）1．四组引诱公式及公式的记忆方法2．求随意角的三角函数的步骤：随意负角的用公式随意正角的三角函数三或一三角函数用公式一锐角的三角用公式0~的三角2π函数二或四函数上述过程表现了由未知转变为已知的化归思想.3．公式中的的随意性.【设计企图】经过发问的形式，指引学生归纳归纳已有知识，发现知识规律及其构造特色，形成知识系统；深入对引诱公式内涵和本质的理解，发掘知识形成过程中所表现归纳和转变的思想方法，形成知识网络和方法网络，培育学生的抽象归纳能力，．（六）作业部署：1．思虑题给定一个角，终边与角的终边对于直线y x 对称的角与角有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？可否证明？2．27 页练习 2、 3【设计企图】经过训练，稳固本课所学知识，检测运用所学知识解决问题的33教课方案：《数列极限》能力；思虑题的设置为了下节课学习公式五、六做预习准备的. 教会学生利用所学知识进行数学学习，这是本节内容的一个提升与拓展.。
高等数学教案 1.2 数列的极限
§1.2 数列的极限【教学内容】：1、数列的定义2、数列极限的定义3、收敛数列极限的性质【教学目的】：1、理解数列的极限概念2、掌握收敛数列的极限性质：唯一性，有界性【教学重点】：收敛数列的性质 极限运算法则【教学难点】：数列的极限概念【教学设计】：首先介绍古代数学家刘徽的割圆术引入极限思想（10分钟），然后介绍数列的概念及其数列的极限定义——N ε-定义以及利用N ε-定义进行简单数列极限的证明（35分钟）；然后介绍数列极限的性质及性质的证明（35分钟）及其数列极限的四则运算法则（10分钟），最后课堂练习（10分钟）。
【教学过程】：问题的引入：割圆术问题：中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中介绍割圆术计算圆周率π。
“割之弥细，所失弥少。
割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。
”这句话明确的表达了极限思想。
正六边形的面积1A正十二边形的面积2A 正162n -⨯形的面积n A123,,,,,n A A A A S ⇒一、数列的定义定义:按自然数1,2,3,...编号依次排列的一列数 12,,,,n x x x (1)称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的项,n x 称为通项(一般项).数列(1)记为{}n x .例如：()()()()1111123{}234112482{2}11111{}248221111{1}11142 {}23n n n n n n n n n n n n n n n n++--++---+-+-，，，，，； ，，，，； ，，，，，； ，，，，，； ，，，，，注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取12,,,,.n x x x2.数列是整标函数().n x f n =二、数列的极限问题: 当n 无限增大时, nx 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?例如：1(1),1 1.n n n x n--=+当无限增大时无限接近于 问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.我们来观察⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n 1的情况。
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课题： 数列的极限
一、教学内容分析
极限概念是数学中最重要和最基本的概念之一，因为高等数学中其它重要的基本概
念（如导数、微分、积分等）都是用极限概念来表述的，而且它们的运算和性质也要用
极限的运算和性质来推导，所以，极限概念的掌握至关重要.
二、教学目标设计
1．理解数列极限的概念，能初步根据数列极限的定义确定一些简单数列的极限.
2．观察运动和变化的过程，初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩
证关系，提高的数学概括能力、抽象思维能力和审美能力.
三、教学重点及难点
重点：数列极限的概念以及简单数列的极限的求解.
难点：数列极限的定义的理解.
四、教学流程设计
五、教学过程设计
（一）、引入
1、创设情境，引出课题
1. 观察
举例：
[A] 战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下篇》引用过一句话：
一尺之棰 日取其半 万世不竭.
[B] 三国时的刘徽提出的“割圆求周” 的方法。他把圆周分成三等分、六等分、十二等分、
二十四等分······ 这样继续分割下去，所得多边形的周长就无限接近于圆的周长。
割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。
（二）、学习新课
2、观察归纳，形成概念
（1）直观认识
请同学们考察下列几个数列的变化趋势
实例引入
概念
符号
数列的极限
几何
理解
运用与深化(例题解析、巩固练习)
课堂小结并布置作业
A.,101,,101,101,10132n
①“项”随n的增大而减小 ②但都大于0
③当n无限增大时，相应的项n101可以“无限趋近于”常数0
B.,1,,43,32,21nn
①“项”随n的增大而增大 ②但都小于1
③当n无限增大时，相应的项1nn可以“无限趋近于”常数1
C.,)1(,,31,21,1nn
①“项”的正负交错地排列，并且随n的增大其绝对值减小
②当n无限增大时，相应的项nn)1(可以“无限趋近于”常数0
概念辨析
归纳数列极限的描述性定义：
一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列}{na的项na无限趋近于．．．．．某个常数a（即
n
aa
无限趋近于0），那么就说数列}{na以a为极限，或者说a是数列}{na的极限．记
作limnnaa，读作“当n趋向于无穷大时，na的极限等于a”
“n∞”表示“n趋向于无穷大”，即n无限增大的意思limnnaa有时也记作：
当n∞时，naa．
（2）量化认识
问题拓展
给出数列极限的N定义：
一般地，设数列na是一个无穷数列，a是一个常数，如果对于预先给定的任意小
的正数ε，总存在正整数N，使得只要正整数Nn，就有aan，那么就说数列
n
a
以a为极限，记作aannlim，或者n时aan.
（三）、巩固练习
讲授例题
【例1】.已知数列 1146512,,,,,.....,1(1),...2356nn
1)写出这个数列的各项与1的差的绝对值;
2)第几项后面的所有项与1的差的绝对值都小于都小于 都小于
3)第几项后面的所有项与1的差的绝对值都小于任何预先指定的正数ε
4)1是不是这个数列的极限
【例2】考察下面的数列，写出它们的极限：
1) 31111,,,,,827n
2) 56.5,6.95,6.995,,7,,10n
3) 1111,,,,,248(2)n
【例3】求常数数列-1，-1，-1，···，-1，···的极限．
【例4】当a满足什么条件时，0limnna试举例验证。
【例5】试判断下列数列是否存在极限，并解答相应问题。
数列
是否存在
极限a
若存在极限
limnna
n
aa
limnnaa
41 nnan
(1)nna
2 na
1
(n100)nan
0.99 nna
1
5()3nna
(1)3nnan
n
an
1
n
an
几个重要极限：
（1）01limnn （2）CCnlim（C是常数）
（3）无穷等比数列}{nq（1q）的极限是0，即 )1(0limqqnn
（四）、课堂小结
①无穷数列是该数列有极限的什么条件.
②常数数列的极限就是这个常数.
③数列极限的描述性定义.
④数列极限的N的定义.
（五）、作业布置
六、教学设计说明
对于数列极限的学习，对学生来说是有限到无限认识上的一次飞跃，由于学生知识
结构的局限性和学习习惯、方法的影响，学习过程中的困难会较大，根据一般的认识规
律和学生的心理特征，设计了直观认识、量化认识和极限定义三个教学步骤，由浅入深，
由表及里，由感性到理性的逐步深化，力求使学生很好的理解极限的概念.