高数教案数列极限

数学MATH课 题: 数列的极限 目的要求：教学重点： 教学难点： 教学课时： 教学方法： 教学内容与步骤：数列的极限设x n =f (n )是一个以自然数集为定义域的函数,将其函数值按自变量大小顺序排成一列，x 1, x 2,…x n , …, 称为一个数列. x n 称为数列的第n 项，也称为通项,数列也可表示为{x n }或x n =f (x n )）例：看数列1. nx n 11+=从直观上看,这个数列当n 越来越大时, 对应的项xn 会越来越接近于1,或者说“当n 趋向于无穷大时, 数列xn 趋近于1''.如何用精确的, 量化的数学语言来刻划这一事实?注意到,实数a , b 的接近程度由| a -b |确定. | a -b |越小, 则a , b 越接近.因此, 要说明“ 当n 越来越大时, x n 越来越接近于1”就只须说明“ 当n 越来越大时, |x n -1 |会越来越接近于0”.而要说明“|x n -1 |越来越接近于0”则只须说明“ 当n 充分大时,| x n -1 |能够小于任意给定的, 无论多么小的正数ε” 就行了,也就是说无论你给一个多么小的正数ε, 当n 充分大时, | x n -1 | 比ε还小,由于ε是任意的,从而就说明了|x n -1| 会越来越接近于0. 事实上，nx n1|1|=-，给10001=ε很小, 要100011|1|<=-n x n 只须n >1000 即可, 也即在这个数列中,从第1001项开始,以后各项都有10001|1|<-n x 又给：100001=ε则从第10001项开始,以后各项都有100001|1|<-nx ，一般, 任给ε >0,不论多么小, 要使ε<=-nx n 1|1|， 只须ε1>n ，因此, 从第11+⎥⎦⎤⎢⎣⎡ε项开始, 以后各项都有ε<-|1|n x ，因ε是任意的, 这就说明了当n 越来越大时,x n 会越来越接近于1.定义: 设{x n }是一个数列, a 是一个常数, 若∀ε >0, ∃正整数N , 使得当n >N 时, 都有|x n -a |<ε,则称a 是数列{x n }当n 无限增大时的极限, 或称{x n }收敛于a ,记作：这时, 也称{x n }的极限存在, 否则, 称{x n }的极限不存在, 或称{x n }是发散的. 比如,对于刚才的数列1.有1)11(lim =+∞→nn ，,0)1(lim =-∞→n nn.lim 21)1(lim 2不存在和而n n n n ∞→∞→+- 注1. 定义中的ε是预先给定的, 任意小的正数, 其任意性保证了x n 可无限接近于a ,另外, ε又是确定的, 它不是变量.注2. 一般说来, N 随给定的ε变化而变化, 给不同的ε 确定的N 也不同,另外, 对同一个ε来说, N 不是唯一的(若存在一个N , 则N +1, N +2, …, 均可作为定义中的N .)注3.定义中“ 当n >N 时, 有| x n -a |<ε”的意思是说, 从第N +1项开始,以后各项都有|x n -a |<ε,至于以前的项是否满足此式不必考虑. 可见一个数列是否有极限只与其后面的无穷多项有关. 而与前面的有限多项无关. 改变, 去掉数列的前有限项, 不改变数列收敛或发散的性质. 几何意义:由于| x n -a |<ε ⇔ a-ε <x n < a +ε ⇔ x n ∈(a -ε, a +ε)=U(a , ε).因此, 所谓x n 以a 为极限, 就是对任何以a 为心, 以任意小的正数 ε 为半径的ε 邻域,总能找到一个N , 从第N +1项开始, 以后各项都落在邻域 U(a , ε ) 内,而只有有限项落在U(a , ε)外部.看图.例1. 若x n =c (常数), 则c c n =∞→lim证明：∀ε >0. 由于|x n –1|=|c – c |= 0，取N =1, 当n >N 时, 有|xn –c |=0<ε，故c c n =∞→lim 即常数的极限就是常数本身.例2. 设q 是满足 |q |<1的常数, 证明.0lim =+∞→nn q证： 若 q = 0 , 结论显然成立.设 0 < |q |<1.现在, x n = q n , a = 0.∀ε > 0. (要证∃N , 当n >N 时, 有 |q n -0| <ε )因 | x n - a | = |q n -0| = |q n | = |q | n , 要使| x n - a | < ε , 只须 |q | n <ε 即可.即 n ln|q | < ln ε , .||ln ln 即可或q n ε>取正整数 ,||ln ln ⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥q N ε则当 n > N 时, 有,||ln ln ||ln ln q q n εε≥>从而有| q n - 0 | <ε.0lim =+∞→n n q 故练习. 证明：0cos 1lim=∞→πn nn 证: ∀ε >0(要证∃N , 当n >N 时, 有) |0cos 1|επ<-n n.1|0cos 1||0|n n n x n ≤-=-π因要使ε<-|0|n x ，,1ε<n 只须],1[.1εε=>N n 取即则，当n >N 时, 有.|0cos 1||0|επ<-=-n n x n.0cos 1lim =∞→πn nn 故 练习：..1lim22为常数其中证明a na n n =++∞→ 证：.1,22=+=a na n x n∀ε >0,由于nna n n a n a x n -+=-+=-22221||)(222n a n n a ++=.2n a ≤要使 | x n - a | <ε , ,2ε<n a 只须 .2即可即εa n > ,2⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥εa N 取正整数则当 n > N 时, 有：ε<-+122na n .1lim22=++∞→na n n 故数列极限性质：定理1. 若数列收敛, 则其极限唯一. 证:反设x n 收敛, 但极限不唯一, 即, x n →a , 且x n →b , (n →∞), a ≠b .设b <a , 取,2ba -=ε数列的有界性.定义: 没有数列x n =f (n ), 若∃M >0, 使得|x n |≤M , n =1, 2, …. 则称数列x n 有界,几何意义:由于 |x n |≤M -⇔M ≤x n ≤M ⇔ x n ∈[-M , M ].故, 所谓x n 有界, 就是x n 要全部落在某个对称区间[-M , M ]内. 如图例1. x n =(-1)n有界, 而x n =n 2无界.定理2. 若{x n }收敛, 则{x n }有界. 证:如图定理2的逆命题不成立, 如x n =(-1)n有界, 但由定义和几何意义知(-1)n 是发散的.如图定理3. .,,,,lim ,lim n n n n n n y x N n N b a b y a x >>∃>==+∞→+∞→有时当正整数则且设证：如图推论1. (保号性定理) 若a x n n =∞→lim , 而a >0 (a <0). 则∃正整数N , 当n >N 时, 有x n >0 (xn <0)证：推论2. .,,,,lim ,lim b a y x N n N b y a x n n n n n n ≥≥>∃==+∞→+∞→则必有有时当正整数且若设证明：反设 a <b , 由定理3, ∃正整数N 1 , 当n > N 1时, 有x n < y n .取 N 2 = max{N , N 1},则当 n > N 2 ( ≥ N )时,有 x n < y n .此与条件矛盾. 推论3: 设有数列{x n }, 若∃正整数N , 当n >N 时, 有 x n ≥0 (x n ≤0). 且a x n n =∞→lim ，则：a ≥0 (a ≤0).)0lim (0lim ≤≥∞→∞→n n n n x x 即注: 在推论3中, 即使x n >0, 也只能推出a ≥0,0lim ,≥∞→n n x 即比如, 01lim ,01=>=∞→n nx n n 但定理4.(夹逼定理). 设数列{x n }, {y n }, {z n }满足∃正整数N , 当 n > N 时, 有x n ≤ y n ≤ z n （1）.lim ,lim lim a y a z x n n n n n n ===+∞→+∞→+∞→则且证：,lim lim a z x n n n n ==+∞→+∞→由∀ε > 0 , ∃N 1, 当n > N 1时, 有 |x n -a | <ε .即 a - ε < x n < a + ε（2）∃N 2, 当n > N 2时, 有 a - ε < z n < a + ε (3)取 N * = max{N , N 1, N 2}, 则当n > N * 时, (1), (2), (3)同时成立.有：a - ε < xn ≤ yn ≤ zn ≤ a + ε 即 | y n - a | < ε ..lim a y n n =+∞→故特别, 若在夹逼定理中, xn 和 zn 中有一个为常数列, 并满足定理条件. 定理当然成立夹逼定理的意义有: (1) 给出判断数列 y n 存在极限的方法; (2) 给出了求 y n 的极限的方法.这一方法能解决很多较为困难的求极限问题.练习：求.!lim nn n n +∞→解：子列：所谓数列{xn } 子列，就是从数列 x 1, x 2, …, x n , … 中任取无穷多项，按原来的次序，从左到右排成一个新的数列，这个数列称为{xn }的子列.比如，x 2, x 5, x 14, …, x 78, …就是{x n }的一个子列，}{,,,,21k k n n n n x x k x x 子列记作项记作第第二项记作子列中第一项记作上列中n 1=2, n 2=5, n 3=14等.注： .}{,}{)1(项中的第是原来的数列表示下标中子列k n n k n n x x n x k k(3) 对任何两个正整数 h , k , 若 h ≥ k , 则有 n h ≥ n k .反之，若 n h ≥ n k , 则 h ≥ k . 这是因子列次序与原数列次序相同.在子列中位置靠后的项，在原数列中位置也靠后，反之也对.定理5. .,}{lim 为极限且都以的任何子列都收敛的充要条件是a x a x n n n =+∞→证：充分性.由于{x n }可看作它自已的一个子列.由条件 {x n } 的任何子列都以 a 为极限，故a x n n =+∞→lim注：由定理5，若{ x n } 的两个子列一个收敛于 a , 而另一个收敛于 b ，且 a ≠b , 则{x n }发散；或者，{x n }中有一个子列发散，则{x n }发散.,2)1(1,nn x -+=例0, 1, 0, 1, ……发散.,2sin,πn x n =例1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, ……发散. 推论. ,}{lim a x a x n n n 子列都收敛于的奇数项子列和偶数项的充要条件是=+∞→).(,,122+∞→→→+k a x a x k k 即收敛准则：若数列{x n }满足 x 1≤x 2≤…≤x n ≤…, 则称{x n }为单调递增数列. 若x 1≥x 2≥…≥x n ≥…, 则称{x n }为单调递减数列.单调递增和单调递减数列统称为单调数列. 例4. x n =n 2是单调递增数列, 但x n 是发散的.x n =(-1)n 是有界数列, 但x n =(-1)n 也是发散的.定理6. 单调递增且有上界的数列必有极限; 单调递减且有下界的数列必有极限.即： 单调有界数列必有极限.例5.数列 nn nx )11(+=是单调递增且有上界的数列. 证: 首先注意到, 当a >b >0时,定理： (柯西收敛准则) 数列{x n }收敛的充要条件是∀ε >0, ∃N > 0, 当n , m >N 时，有| x n -x m | < ε .证：略例6. 利用柯西收敛原理证明 x n =1+q +q 2+……+q n ( | q |<1) 收敛.证：∀ε >0，设 m > n ，| x m -x n |m n n q q q +++=++ 21m n n q q q ||||||21+++≤++||1||1||1q q q n m n --⋅=-+||1||1q q n -≤+作业：教学总结：。