2019年高考数学一轮复习 小题精练系列 专题15 圆锥曲线(含解析)理.doc
2019届高三数学一轮复习课件：圆锥曲线微专题训练 (共21张PPT)
圆锥曲线微专题训练01
已知椭圆C
:
x a
2 2
y2 b2
1(a b 0)的离心率为
2 2
,上顶点为B,右焦点为F,点T ( 4 ,t) 3
(t 0)是椭圆C上一点, x轴上到B,T两点距离之和最小的点为F, (1)求椭圆C的标准
方程;(2)过原点O作直线l交椭圆C于两个不同的点M , N,若点P是椭圆C上一点,
y2 b2 1(a Nhomakorabeab
0) ，
F 为椭圆的右焦点， C 为椭圆的上顶点，过 F 的直线 l 交椭圆于 A 、 B 两点。
（1）若直线 l 的斜率为 3 ，且 FB 3 AF ，求椭圆的离心率；
43
S1 S2 AF BF y1 y2
C S2 S1
A(x1, y1)
10当kAB 0时, 可求 3,
设直线AB的方程为
:
x
x2
ty20当c kAB
y2
0时,
O F(c,0. ) x
B(x2, y2 )
(3t
目标
2
:
4)
y
2
6ty
4
9
3
y
P
k
P(
2 8k 2 4k 2 1
,
4k 4k 2
), 1
x2 4
y2
1
A (2,0) O
B (r,0) x
AP BP 0 2 r 4k 2 (r 直线AP与圆O相切 4k 2
1) r2
(k
2
高考数学一轮复习专题训练—圆锥曲线的定值问题
圆锥曲线的定值问题题型一 长度或距离为定值【例1】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点A 与左、右焦点F 1，F 2构成一个面积为1的直角三角形． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l 与椭圆C 相切，求证：点F 1，F 2到直线l 的距离之积为定值．(1)解 ∵椭圆C 的上顶点A 与左、右焦点F 1，F 2构成一个面积为1的直角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，bc ＝1， ∴b ＝c ＝1， ∴a 2＝b 2＋c 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 ①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝±2， 点F 1，F 2到直线l 的距离之积为(2－1)(2＋1)＝1. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，Δ＝(4km )2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝－8(m 2－2k 2－1)＝0， ∴m 2＝1＋2k 2，点F 1到直线l ：y ＝kx ＋m 的距离d 1＝|－k ＋m |k 2＋1，点F 2到直线l ：y ＝kx ＋m 的距离d 2＝|k ＋m |k 2＋1.∴d 1d 2＝|－k ＋m |k 2＋1·|k ＋m |k 2＋1＝|m 2－k 2|k 2＋1＝|2k 2＋1－k 2|k 2＋1＝1.综上，可知当直线l 与椭圆C 相切时，点F 1，F 2到直线l 的距离之积为定值1.感悟升华 圆锥曲线中的定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的．定值问题同证明问题类似，在求定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现．【训练1】 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.若M ，N 分别是C 1，C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值． 证明 当直线ON 垂直于x 轴时，|ON |＝1，|OM |＝22，则O 到直线MN 的距离为33， 当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y ＝kx ⎝⎛⎭⎫显然|k |>22，则直线OM 的方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，4x 2＋y 2＝1，得⎩⎨⎧x 2＝14＋k 2，y 2＝k24＋k 2，所以|ON |2＝1＋k 24＋k 2，同理|OM |2＝1＋k 22k 2－1， 设O 到直线MN 的距离为d ，因为(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2， 所以1d 2＝1|OM |2＋1|ON |2＝3k 2＋3k 2＋1＝3，即d ＝33.综上，O 到直线MN 的距离是定值． 题型二 斜率或其表达式为定值【例2】 (2020·兰州诊断)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值．(1)解 由题设知c a ＝22，b ＝1，结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0， 由已知Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， x 1x 2≠0，则x 1＋x 2＝4k (k －1)1＋2k 2，x 1x 2＝2k (k －2)1＋2k 2， 从而直线AP ，AQ 的斜率之和为k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k (k －1)2k (k －2)＝2k －2(k －1)＝2(即为定值)．【训练2】 (2021·大同模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，已知|AB |＝4，且点⎝⎛⎭⎫e ，345在椭圆上，其中e 是椭圆的离心率．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上异于A ，B 的点，与x 轴垂直的直线l 分别交直线AP ，BP 于点M ，N ，求证：直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值． (1)解 ∵|AB |＝4，∴2a ＝4，∴a ＝2， 又点⎝⎛⎭⎫e ，354在椭圆上，∴e 24＋4516b2＝1， 又b 2＋c 2＝a 2＝4，联立方程组解得b 2＝3， ∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 设点P 的坐标为(s ，t )，点M ，N 的横坐标为m (m ≠±2)， 则直线AP 的方程为y ＝t s ＋2(x ＋2)，故M ⎝⎛⎭⎫m ，ts ＋2(m ＋2)，故直线BM 的斜率k 1＝t (m ＋2)(s ＋2)(m －2)，同理可得直线AN 的斜率k 2＝t (m －2)(s －2)(m ＋2)，故k 1k 2＝t (m ＋2)(s ＋2)(m －2)×t (m －2)(s －2)(m ＋2)＝t 2s 2－4，又点P 在椭圆上，∴s 24＋t 23＝1，∴t 2＝－34(s 2－4)，∴k 1k 2＝－34(s 2－4)s 2－4＝－34.即直线AN 与直线BM 的斜率之积为定值．题型三 几何图形面积为定值【例3】 (2021·昆明诊断)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ，点(1，e )在椭圆E上，点A (a,0)，B (0，b )，△AOB 的面积为32，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线l 交椭圆E 于M ，N 两点，直线OM 的斜率为k 1，直线ON 的斜率为k 2，且k 1k 2＝－19，证明：△OMN 的面积是定值，并求此定值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋e 2b 2＝1，e ＝ca ，c 2＝a 2－b 2，得b ＝1.又S △AOB ＝12ab ＝32，得a ＝3.所以椭圆E 的标准方程为x 29＋y 2＝1.(2)当直线l 的斜率不存在时，设直线l ：x ＝t (－3<t <3且t ≠0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 2＝1，x ＝t ，得y 2＝1－t 29，则k 1k 2＝1－t 29t×－1－t 29t＝－1－t 29t 2＝－19，解得t 2＝92.所以S △OMN ＝12×2×1－t 29×|t |＝32.当直线l 的斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 29＋y 2＝1消去y 并整理，得(9k 2＋1)x 2＋18kmx ＋9m 2－9＝0. Δ＝(18km )2－4(9k 2＋1)(9m 2－9)＝36(9k 2－m 2＋1)>0， x 1＋x 2＝－18km9k 2＋1，x 1x 2＝9m 2－99k 2＋1，k 1k 2＝y 1x 1×y 2x 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )x 1x 2＝－9k 2＋m 29m 2－9＝－19， 化简得9k 2＋1＝2m 2，满足Δ>0.|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·⎝⎛⎭⎫－18km 9k 2＋12－4·9m 2－99k 2＋1＝61＋k 2·9k 2－m 2＋19k 2＋1.又原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k 2， 所以S △OMN ＝12×|MN |×d＝31＋k 2·9k 2－m 2＋19k 2＋1×|m |1＋k 2＝3|m |2m 2－m 22m 2＝32.综上可知，△OMN 的面积为定值32.感悟升华 探求圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题，一般用直接求解法，即可先利用三角形面积公式(如果是其他凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解)把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可．【训练3】 已知点F (0,2)，过点P (0，－2)且与y 轴垂直的直线为l 1，l 2⊥x 轴，交l 1于点N ，直线l 垂直平分FN ，交l 2于点M . (1)求点M 的轨迹方程；(2)记点M 的轨迹为曲线E ，直线AB 与曲线E 交于不同两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 2－1＝x 1＋m 2(m 为常数)，直线l ′与AB 平行，且与曲线E 相切，切点为C ，试问△ABC 的面积是否为定值．若为定值，求出△ABC 的面积；若不是定值，说明理由．解 (1)由题意得|FM |＝|MN |，即动点M 到点F (0,2)的距离和到直线y ＝－2的距离相等，所以点M 的轨迹是以F (0,2)为焦点，直线y ＝－2为准线的抛物线，根据抛物线定义可知点M 的轨迹方程为x 2＝8y .(2)由题意知，直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＝8y 消去x 整理得x 2－8kx －8b ＝0.则x 1＋x 2＝8k ，x 1·x 2＝－8b .设AB 的中点为Q ，则点Q 的坐标为(4k,4k 2＋b )．由条件设切线方程为y ＝kx ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 2＝8y 消去y 整理得x 2－8kx －8t ＝0.∵直线与抛物线相切，∴Δ＝64k 2＋32t ＝0，∴t ＝－2k 2， ∴切点C 的横坐标为4k ，∴点C 的坐标为(4k,2k 2)． ∴CQ ⊥x 轴，∵x 2－x 1＝m 2＋1， ∴(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4(－8b ) ＝64k 2＋32b ＝(m 2＋1)2，∴b ＝(m 2＋1)2－64k 232.∴S △ABC ＝12|CQ |·|x 2－x 1|＝12·(2k 2＋b )·(x 2－x 1)＝(m 2＋1)364，∵m 为常数，∴△ABC 的面积为定值．1．(2021·洛阳高三统考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，其焦点为F ，O 为坐标原点，直线l 与抛物线C 相交于不同的两点A ，B ，M 为AB 的中点． (1)若p ＝2，M 的坐标为(1,1)，求直线l 的方程．(2)若直线l 过焦点F ，AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求证：2|MN |2|FN |为定值．(1)解 由题意知直线l 的斜率存在且不为0， 故设直线l 的方程为x －1＝t (y －1) 即x ＝ty ＋1－t ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1－t ，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4＋4t ＝0， ∴Δ＝16t 2＋16－16t ＝16(t 2－t ＋1)＞0，y 1＋y 2＝4t ， ∴4t ＝2，即t ＝12.∴直线l 的方程为2x －y －1＝0.(2)证明 ∵抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，∴焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0. 由题意知直线l 的斜率存在且不为0，∵直线l 过焦点F ，故设直线l 的方程为x ＝ty ＋p2(t ≠0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋p 2y 2＝2px，得y 2－2pty －p 2＝0， ∴y 1＋y 2＝2pt ，Δ＝4p 2t 2＋4p 2＞0. ∴x 1＋x 2＝t (y 1＋y 2)＋p ＝2pt 2＋p ， ∴M ⎝⎛⎭⎫pt 2＋p2，pt .∴MN 的方程为y －pt ＝－t ⎝⎛⎭⎫x －pt 2－p2. 令y ＝0，解得x ＝pt 2＋3p2，N ⎝⎛⎭⎫pt 2＋3p 2，0， ∴|MN |2＝p 2＋p 2t 2，|FN |＝pt 2＋3p 2－p2＝pt 2＋p ， ∴2|MN |2|FN |＝2(p 2＋p 2t 2)pt 2＋p＝2p ，为定值．2．(2020·新高考山东卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且过点A (2,1)．(1)求C 的方程；(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．(1)解 由题设得4a 2＋1b 2＝1, a 2－b 2a 2＝12，解得a 2＝6，b 2＝3. 所以C 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)证明 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，代入x 26＋y 23＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. 于是x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2.①由AM ⊥AN ，得AM →·AN →＝0， 故(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＋4＝0. 将①代入上式，可得(k 2＋1)2m 2－61＋2k 2－(km －k －2)4km1＋2k 2＋(m －1)2＋4＝0， 整理得(2k ＋3m ＋1)(2k ＋m －1)＝0. 因为A (2,1)不在直线MN 上，所以2k ＋m －1≠0，所以2k ＋3m ＋1＝0，k ≠1. 所以直线MN 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －23－13(k ≠1)． 所以直线MN 过点P ⎝⎛⎭⎫23，－13. 若直线MN 与x 轴垂直，可得N (x 1，－y 1)．由AM →·AN →＝0，得(x 1－2)(x 1－2)＋(y 1－1)(－y 1－1)＝0.又x 216＋y 213＝1，所以3x 21－8x 1＋4＝0. 解得x 1＝2(舍去)，或x 1＝23.此时直线MN 过点P ⎝⎛⎭⎫23，－13. 令Q 为AP 的中点，即Q ⎝⎛⎭⎫43，13.若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt △ADP 的斜边， 故|DQ |＝12|AP |＝223.若D 与P 重合，则|DQ |＝12|AP |.综上，存在点Q ⎝⎛⎭⎫43，13，使得|DQ |为定值．。
2019年北京市高三数学一轮专题突破训练《圆锥曲线》(文)及答案
高考数学精品复习资料2019.5北京市高三数学文一轮复习专题突破训练圆锥曲线一、填空、选择题1、（北京高考）已知()2,0是双曲线2221y x b-=（0b >）的一个焦点，则b = ．2、（北京高考）设双曲线C 的两个焦点为()，)，一个顶点式()1,0，则C 的方程为 .3、（北京高考）若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1，0)，则p ＝________；准线方程为________.4、（昌平区高三上期末）双曲线13:22=-y x C 的离心率是_________；若抛物线mx y 22=与双曲线C 有相同的焦点，则=m _____________.5、（朝阳区高三一模）若抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线222x y -=的右焦点重合，则p 的值为A ．2 C ．4 D ．6、（东城区高三二模）已知抛物线22y x =上一点P (,2)m ，则m = ，点P 到抛物线的焦点F 的距离为 .7、（房山区高三一模）双曲线22194x y -=的渐近线方程是( )A ．23y x =±B ．49y x =±C ．32y x =±D ．94y x =± 8、（丰台区高三一模）双曲线22126x y -=的渐近线方程为 9、（丰台区高三二模）设O 是坐标原点，F 是抛物线2y x =的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为6π，则||AF =(A)12(B) 34(C) 1(D) 2+10、（海淀区高三一模）抛物线2=4x y 的焦点到准线的距离为（ ） （A ）12（B ） 1（C ）2 （D ）411、（海淀区高三二模）以坐标原点为顶点，(1,0)-为焦点的抛物线的方程为12、（西城区高三二模）抛物线24C y x =：的准线l 的方程是____；以C 的焦点为圆心，且与直线l 相切的圆的方程是____.13、已知抛物线22y px =的焦点F 到其准线的距离是8，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|||AK AF =，则AFK ∆的面积为（ ）A ．32B ．16C ．8D ．414、点P 是抛物线24y x =上一点，P 到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．515、已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是 （ ）A B ．2C ．115D ．3二、解答题1、（北京高考）已知椭圆C:2233x y +=，过点()D 1,0且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（Ⅲ）试判断直线BM 与直线D E 的位置关系，并说明理由．2、（北京高考）已知椭圆C ：2224x y +=. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）设O 为原点，若点A 在直线2y =，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值.3、（北京高考）直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：x 24＋y 2＝1相交于A ，C 两点，O 是坐标原点．(1)当点B 的坐标为(0，1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长； (2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形．4、（昌平区高三上期末）已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>的离心率为2，其四个顶点组成的菱形的面积是，O 为坐标原点，若点A 在直线2=x 上，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥.（I ） 求椭圆C 的方程； （II ）求线段AB 长度的最小值； （III ）试判断直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.5、（朝阳区高三一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为12(2,0),(2,0)F F -，离心率为3过焦点2F 的直线l （斜率不为0）与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 交椭圆于,M N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当四边形12MF NF 为矩形时，求直线l 的方程．6、（东城区高三二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上的左、右顶点分别为A ，B ，1F 为左焦点，且12AF =，又椭圆C 过点(0,． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点P 和Q 分别在椭圆C 和圆22+16x y =上（点,A B 除外），设直线PB ,QB 的斜率分别为1k ,2k ，若1234k k =，证明：A ,P ,Q 三点共线．7、（房山区高三一模）已知椭圆W ：12222=+by a x )0(>>b a 的离心率为21，Q 是椭圆上的任意一点，且点Q 到椭圆左右焦点1F ，2F 的距离和为4． （Ⅰ）求椭圆W 的标准方程；（Ⅱ）经过点()1,0且互相垂直的直线1l 、2l 分别与椭圆交于A 、B 和C 、D 两点（A 、B 、C 、D 都不与椭圆的顶点重合），E 、F 分别是线段AB 、CD 的中点，O 为坐标原点，若OE k 、OFk 分别是直线OE 、OF 的斜率，求证：OE OF k k ⋅为定值．8、（丰台区高三一模）已知椭圆C ：2236x y +=的右焦点为F ．（Ⅰ）求点F 的坐标和椭圆C 的离心率；（Ⅱ）直线l ：y kx m =+(0)k ≠过点F ，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，如果点P 关于x 轴的对称点为P '，判断直线P Q '是否经过x 轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．9、（丰台区高三二模）已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的右焦点为F ，上下两个顶点与点F 恰好是正三角形的三个顶点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过原点O 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，如果△FAB 为直角三角形，求直线l 的方程．10、（海淀区高三一模）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>过点(0,1)A -，且离心率2e =.（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若椭圆M 上存在点,B C 关于直线1y kx =-对称,求k 的所有取值构成的集合S ，并证明对于k S ∀∈，BC 的中点恒在一条定直线上.11、（海淀区高三二模）已知椭圆22:14x C y +=，点D 为椭圆C 的左顶点. 对于正常数λ，如果存在过点00(,0)(22)M x x -<<的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，使得AOB AOD S S λ∆∆=，则称点M 为椭圆C 的“λ分点”.（Ⅰ）判断点1,0M （）是否为椭圆C 的“1分点”，并说明理由；（Ⅱ）证明：点10M （,）不是椭圆C 的“2分点”；（Ⅲ）如果点M 为椭圆C 的“2分点”，写出0x 的取值范围. （直接写出结果）12、（石景山区高三一模）如图，已知椭圆C右端点为B ， M （1，0）为线段OB 的中点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点M 任意作一条直线与椭圆C 相交于两点P ，Q 试问在x 轴上是否存在定点N ，使得∠PNM =∠QNM ？ 若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由．13、（西城区高三二模）设1F ，2F 分别为椭圆2222 + 1(0)x y E a b a b=>>：的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且||2AB =. （Ⅰ）若椭圆E3E 的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线2F P 与y 轴相交于点Q . 若以PQ 为直径的圆经过点1F ，证明：点P 在直线20x y +-=上.14、已知椭圆M ：2221(0)3x y a a +=>的一个焦点为(1,0)F -，左右顶点分别为A ，B .经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点. （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线l 的倾斜角为45时，求线段CD 的长；（Ⅲ）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值.15、已知椭圆的中心在原点O ，短半轴的端点到其右焦点()2,0F过焦点F 作直线l ，交椭圆于,A B 两点．（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；（Ⅱ）若椭圆上有一点C ，使四边形AOBC 恰好为平行四边形，求直线l 的斜率．参考答案一、填空、选择题1、【解析】试题分析：由题意知2,1c a ==，2223b c a =-=，所以b =2、【答案】122=-y x 【解析】由题意知：1,2==a c ，所以1222=-=a c b ，又因为双曲线的焦点在x 轴上，所以C的方程为122=-y x .3、2 x ＝－1 [解析] ∵抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1，0)，∴p2＝1，解得p ＝2，∴准线方程为x ＝－1.4、332; 4± 5、C 6、2，527、A8、y = 9、C 10、C 11、24y x =-12、1x =-， 22(1)4x y -+= 13、 【答案】A解：由题意知8p =，所以抛物线方程为216y x =，焦点(4,0)F ,准线方程4x =-，即(4,0)K -,设2(,)16y A y ,过A 做AM 垂直于准线于M,由抛物线的定义可知AM AF =,所以AK ==,即AM MK =,所以2(4)16y y --=，整理得216640y y -+=，即2(8)0y -=，所以8y =，所以11883222AFK S KF y ∆==⨯⨯=,选A. 14、 【答案】B解：抛物线的准线为1x =-，根据抛物线的对应可知，P 到该抛物线焦点的距离等于P 到该准线的距离，即(1)4x --=，所以3x =，即点P 的横坐标为3，选B. 15、【答案】B解：因为抛物线的方程为24y x =，所以焦点坐标(1,0)F ,准线方程为1x =-。
圆锥曲线全国卷高考真题解答题(含解析))
圆锥曲线全国卷高考真题解答题一、解答题1，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.2．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．3．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．5．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由.6．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3） 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.7．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ． （Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.设圆的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.9．2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .10．2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1P 4（1中恰有三点在椭圆C 上. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.12．2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．13．2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.14．2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN ∠=∠．15．2018年全国卷Ⅲ文数高考试题已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：2FP FA FB =+．16．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷）设A 、B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程．17．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .18．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.19．（2016新课标全国卷Ⅰ文科）在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H . （Ⅰ）求OH ON；（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.20．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，点在C 上（1）求C 的方程（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.21．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）已知曲线2:,2x C y D =，为直线12y上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为,A B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以50,2E ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程.22．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷带解析）设1F ， 2F 分别是椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点， M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N . （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a ， b .23．2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ） 已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.(1)求的轨迹方程；(2)当时，求的方程及的面积24．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM ON ⋅＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.一、解答题1，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.【答案】(1)见详解；(2) 3或【分析】（1）可设11(,)A x y ，22(,)B x y ，1(,)2D t -然后求出A ，B 两点处的切线方程，比如AD ：1111()2y x x t +=-，又因为BD 也有类似的形式，从而求出带参数直线AB 方程，最后求出它所过的定点.（2）由(1)得带参数的直线AB 方程和抛物线方程联立，再通过M 为线段AB 的中点，EM AB ⊥得出t 的值，从而求出M 坐标和EM 的值，12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==，结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.【详解】(1)证明：设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =． 又因为212y x =，所以y'x =.则切线DA 的斜率为1x ， 故1111()2y x x t +=-，整理得112210tx y -+=. 设22(,)B x y ，同理得222210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=，当20,210x y =-+=时等式恒成立．所以直线AB 恒过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=， 于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+212|||2(1)AB x x t =-==+.设12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==.因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭， 由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +-=，解得0t =或1t =±.当0t =时，3S =；当1t =±时S =因此，四边形ADBE 的面积为3或. 【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以．思路较为清晰，但计算量不小． 2．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |． 【答案】（1）12870x y --=；（2【分析】（1）设直线l ：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ；根据抛物线焦半径公式可得1252x x +=；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m 的方程，解方程求得结果；（2）设直线l ：23x y t =+；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用3AP PB =可得123y y =-，结合韦达定理可求得12y y ；根据弦长公式可求得结果. 【详解】（1）设直线l 方程为：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++= 1252x x ∴+= 联立2323y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：()229121240x m x m +-+= 则()2212121440m m ∆=--> 12m ∴<121212592m x x -∴+=-=，解得：78m =-∴直线l 的方程为：3728y x =-，即：12870x y --= （2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：23x y t =+联立2233x y t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --= 则4120t ∆=+> 13t ∴>-122y y ∴+=，123y y t =-3AP PB = 123y y ∴=- 21y ∴=-，13y = 123y y ∴=-则AB ===【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系. 3．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点.(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.【答案】（1）2214x y += （2）2y x =-【解析】试题分析：设出F ，由直线AFc ，结合离心率求得a ，再由隐含条件求得b ，即可求椭圆方程；（2）点l x ⊥轴时，不合题意；当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =-，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得k 的范围，再由弦长公式求得PQ ，由点到直线的距离公式求得O 到l 的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k 值，则直线方程可求. 试题解析：（1）设(),0F c ，因为直线AF，()0,2A -所以23c =，c =又222,2c b a c a ==- 解得2,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）解：设()()1122,,,P x y Q x y 由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-，联立221{42,x y y kx +==-，消去y 得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，所以234k >，即k <或k > 1212221612,1414k x x x x k k+==++. 所以PQ ==214k =+ 点O 到直线l的距离d =所以12OPQS d PQ ∆==0t =>，则2243k t =+，244144OPQ t S t t t∆==≤=++， 当且仅当2t =2=，解得k =时取等号， 满足234k >所以OPQ ∆的面积最大时直线l的方程为：2y x =-或2y x =-. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.4．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ）已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，47-或47+． 【解析】试题分析：（1）设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线OM 的斜率，再表示；（2）第一步由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ，直线OM 与椭圆方程联立求点P 的坐标，第二步再整理点的坐标，如果能构成平行四边形，只需，如果有值，并且满足0k >，3k ≠的条件就说明存在，否则不存在.试题解析：解：(1)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．∴由2229y kx b x y m=+⎧⎨+=⎩得2222(9)20k x kbx b m +++-=， ∴12229M x x kbx k +==-+，299M M b y kx b k =+=+． ∴直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-，即9OM k k ⋅=-． 即直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值9-． （2）四边形OAPB 能为平行四边形． ∵直线l 过点(,)3mm ，∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠ 由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ． ∴由2229,{9,y x k x y m =-+=得，即将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x = 239k =+2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得147k =247k =．∵0,3i i k k >≠，1i =，2，∴当l 的斜率为47-或47+时，四边形OAPB 为平行四边形． 考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点是弦的中点，（1）知道中点坐标，求直线的斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线OM 斜率的关系时，也可以选择点差法，设,，代入椭圆方程，两式相减，化简为，两边同时除以得，而,,即得到结果，（2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即2P M x x =，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.5．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由. 【答案】（Ⅰ0ax y a --=0ax y a ++=（Ⅱ）存在 【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系，从而找出适合条件的P 点坐标. 试题解析：（Ⅰ）由题设可得(2,)M a a ，(2,)N a -，或(22,)M a -，,)N a a .∵12y x '=，故24x y =在x =2a a C 在(22,)a a 处的切线方程为(2)y a a x a -=-，即0ax y a --=.故24x y =在x =-22a 处的导数值为-a ，C 在(22,)a a -处的切线方程为(2)y a a x a -=-+，即0ax y a ++=.故所求切线方程为0ax y a --=或0ax y a ++=. （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k . 将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=. ∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()k a b a+.当=-b a 时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意.考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力 6．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3） 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：设的方程为．（1）由在线段上，又；（2）设与轴的交点为（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时．当与轴垂直时与重合所求轨迹方程为．试题解析：由题设，设，则，且．记过两点的直线为，则的方程为．．．．．．．．．．．．．3分（1）由于在线段上，故，记的斜率为的斜率为，则，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）设与轴的交点为，则，由题设可得，所以（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时，由可得．而，所以．当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为．．．．．．．．．12分考点：1.抛物线定义与几何性质；2.直线与抛物线位置关系；3.轨迹求法．7．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ． （Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）)2.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN 的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，写出A 点坐标，并求直线AM 的方程，将其与椭圆方程组成方程组，消去y ，用,t k 表示1x ，从而表示AM ，同理用,t k 表示AN ，再由2AM AN =及t 的取值范围求k 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22143x y +=，()2,0A -.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π.因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以1127y =.因此AMN 的面积AMNS11212144227749=⨯⨯⨯=.（Ⅱ）由题意3t >，0k >，()A .将直线AM的方程(y k x =代入2213x y t +=得()22222330tk xx t k t +++-=.由(221233t k tx tk -⋅=+得)21233tk x tk-=+，故1AM x =+=.由题设，直线AN 的方程为(1y x k =-+，故同理可得AN ==，由2AM AN =得22233k tk k t=++，即()()32321k t k k -=-. 当32k =时上式不成立，因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332122022k k k k k k k -+-+-=<--， 即3202k k -<-.由此得320{20k k ->-<，或320{20k k -<->，解得322k <<. 因此k 的取值范围是()32,2.【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系【名师点睛】由直线（系）和圆锥曲线（系）的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数（系数）的范围问题，常把所求参数作为函数值，另一个元作为自变量求解．8．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷） 设圆的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围. 【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆定义求方程；（Ⅱ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。
2019届高考理数小题专练：(10)圆锥曲线
小题专练（10）圆锥曲线1.方程(x 2-y 2-1)=0表示的曲线的大致形状是(图中实线部分)( )【解析】选 B.原方程等价于或x-y-1=0,前者表示等轴双曲线x 2-y 2=1位于直线x-y-1=0下方的部分(含交点),后者为直线x-y-1=0,这两部分合起来即为所求.2.已知圆(x+2)2+y 2=36的圆心为M,设A 为圆上任一点,且点N(2,0),线段AN 的垂直平分线交MA 于点P,则动点P 的轨迹是 ( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线D.抛物线【解析】选B.点P 在线段AN 的垂直平分线上, 故|PA|=|PN|,又AM 是圆的半径, 所以|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|, 由椭圆定义知,P 的轨迹是椭圆.3．(2017·河北唐山统考)平行四边形ABCD 内接于椭圆x 24＋y 22＝1，直线AB 的斜率k 1＝1，则直线AD 的斜率k 2＝( )A.12 B ．－12 C ．－14D ．－2 [解析] 解法一：设AB 的中点为G ，由椭圆与平行四边形的对称性知O 为平行四边形ABCD 的对角线的交点，则GO ∥AD .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 214＋y 212＝1，x 224＋y222＝1，两式相减是(x 1－x 2)(x 1＋x 2)4＝－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)2，整理得x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－y 1－y 2x 1－x 2＝－k 1＝－1，即y 1＋y 2x 1＋x 2＝－12. 又G ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，所以k OG ＝y 1＋y 22－0x 1＋x 22－0＝－12， 即k 2＝－12，故选B.解法二：设直线AB 的方程为y ＝x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，利用椭圆与平行四边形的对称性可得D (－x 2，－y 2)．则直线AD 的斜率k 2＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝x 1＋x 2＋2t x 1＋x 2＝1＋2tx 1＋x 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋t ，x 2＋2y 2－4＝0，消去y 得3x 2＋4tx ＋2t 2－4＝0，则x 1＋x 2＝－4t3， ∴k 2＝1＋2t －43t ＝－12.故选B.[答案] B4.(2014·全国卷Ⅰ)已知F 为双曲线C:x 2-my 2=3m(m>0)的一个焦点,则点F 到C 的一条渐近线的距离为 ( ) A.B.3C.mD.3m【解析】选A.双曲线C:-=1,则c 2=3m+3,c=, 设焦点F(,0),一条渐近线方程为y=x,即x-y=0,所以点F 到渐近线的距离为d==.5.P 是椭圆+y 2=1上的一点,F 为一个焦点,且△POF 为等腰三角形(O 为原点),则点P 的个数为 ( ) A.2B.4C.6D.8【解题提示】可按腰分三种情况讨论,然后按每种情况分别求解,最后再得出结论. 【解析】选D.使△POF 为等腰三角形,包括|PF|=|PO|,|FP|=|FO|,|OF|=|OP|三种情形.分别为:作线段OF 的中垂线与椭圆交于两点;以F 为圆心,为半径画弧,与椭圆交于两点;以O为圆心,为半径画弧,与椭圆交于四点,共有8个点.6．(2017·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1[解析] 由△OAF 是边长为2的等边三角形可知，c ＝2，ba ＝tan60°＝3，又c 2＝a 2＋b 2，联立可得a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.[答案] D7．(2018·广东六校联盟联考)设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48[解析] 依题意，得F 1(－5,0)，F 2(5,0)，|F 1F 2|＝10. ∵3|PF 1|＝4|PF 2|，设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝43x .由双曲线的性质知43x －x ＝2，解得x ＝6.∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，∴∠F 1PF 2＝90°， ∴△PF 1F 2的面积＝12×8×6＝24.故选C.[答案] C 8.经过椭圆+y 2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ,交椭圆于A,B 两点.设O 为坐标原点,则·等于 ( ) A.-3B.-C.-或-3D.±【解析】选B.依题意,当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时, 其方程为y-0=tan45°(x-1),即y=x-1, 代入椭圆方程+y 2=1并整理得3x 2-4x=0,解得x=0或x=,所以两个交点坐标分别为(0,-1),,所以·=-,同理,直线l 经过椭圆的左焦点时,也可得·=-.9．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，P A ⊥l ，垂足为A ，|PF |＝4，则直线AF 的倾斜角等于( )A.7π12B.2π3C.3π4D.5π6[解析] 由抛物线定义知|PF |＝|P A |，∴P 点坐标为(3，23)，所以A 点坐标为(－1,23)，AF 与x 轴夹角为π3，所以直线AF 的倾斜角为23π，选B.[答案] B10．(2017·河南三门峡灵宝期末)已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过该抛物线焦点F 且不与x 轴垂直的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A ，点B 分别作AM ，BN 垂直于抛物线的准线，分别交准线于M ，N 两点，那么∠MFN 必是( )A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．以上皆有可能[解析] 由题意画出图象，如图．由抛物线的定义，可知|NB |＝|BF |.所以△BNF 是等腰三角形．因为BN ∥OF ，所以NF 平分∠OFB .同理MF 平分∠OF A ，所以∠NFM ＝90°.故选B.[答案] B11．(2017·黑龙江七台河期末)已知抛物线C ：y 2＝－8x 的焦点为F ，直线l ：x ＝1，点A是l 上的一动点，直线AF 与抛物线C 的一个交点为B .若F A →＝－3FB →，则|AB |＝( )A ．20B ．16C ．10D ．5[解析] 由抛物线C ：y 2＝－8x ，得F (－2,0)．设A (1，a )，B (m ，n )，且n 2＝－8m .∵F A →＝－3FB →，∴1＋2＝－3(m ＋2)，解得m ＝－3，∴n ＝±2 6.∵a ＝－3n ，∴a ＝±66，∴|AB |＝(1＋3)2＋(26＋66)2＝20.故选A. [答案] A12．(2017·湖北襄阳月考)已知抛物线y ＝12x 2的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF与抛物线交于N 点，若|MN |＝2|NF |，则|MF |＝( )A ．2B ．3 C. 2 D. 3 [解析]如图，过N 作准线的垂线NH ，垂足为H .根据抛物线的定义可知|NH |＝|NF |， 在△NHM 中，|NM |＝2|NH |，则 ∠NMH ＝45°.在△MFK 中，∠FMK ＝45°， 所以|MF |＝2|FK |.而|FK |＝1. 所以|MF |＝ 2.故选C. [答案] C13．(2018·武汉模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，倾斜角等于45°的直线过F 交该抛物线于A ，B 两点，则|AB |＝__________.[解析] 由抛物线焦点弦的性质，得|AB |＝2psin 2α＝2×2sin 245°＝8.[答案] 814．已知过定点(1,0)的直线与抛物线x 2＝y 相交于不同的A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则(x 1－1)(x 2－1)＝________.解析：设过定点(1,0)的直线的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程x 2＝y 得x 2－kx ＋k ＝0，故x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝k ，因此(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝1. 答案：115．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F .若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|F A |＝c ，则双曲线的渐近线方程为______________．解析：抛物线x 2＝2py 的准线方程为y ＝－p 2，与双曲线的方程联立得x 2＝a 2(1＋p 24b2)，根据已知得a 2(1＋p 24b 2)＝c 2①.由|AF |＝c ，得p 24＋a 2＝c 2 ②.由①②可得a 2＝b 2，即a ＝b ，所以所求双曲线的渐近线方程是y ＝±x . 答案：y ＝±x16.(2016·衡水模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)上一点C,过双曲线中心的直线交双曲线于A,B 两点,记直线AC,BC 的斜率分别为k 1,k 2,当+ln|k 1|+ln|k 2|最小时,双曲线的离心率为 .【解析】设A(x 1,y 1),C(x 2,y 2),由题意知点A,B 为过原点的直线与双曲线-=1的交点,所以由双曲线的对称性得A,B 关于原点对称,所以B(-x1,-y1),所以k1k2=·=. 因为点A,C都在双曲线上,所以-=1,-=1,两式相减,可得k1k2=>0,对于+ln|k1|+ln|k2|=+ln|k1k2|,函数y=+lnx(x>0),由y′=-+=0,得x=0(舍)或x=2,x>2时,y′>0,0<x<2时,y′<0,所以当x=2时,函数y=+lnx(x>0)取得最小值,所以当+ln(k1k2)最小时,k1k2==2,所以e==.答案:。
2019届高考理科数学一轮复习精品学案：第54讲圆锥曲线的综合问题第2课时(含解析)
第 2 课时 最值﹑范围﹑证明问题【讲堂考点研究】例 1 [ 思路点拨 ] (1) 由极点坐标及椭圆的离心率 , 即可求得 a 和 c 的值 , 从而可求得椭圆方程 ;(2) 分类议论 , 当斜率为 0 时 , 即可求得 m 的值 , 设直线 l 的方程 , 代入椭圆方程 , 利用根与系数的关系及弦长公式即可求得 m 的表达式 , 利用导数求得函数的单一性及最值 , 即可求得 m 的最大值 .解 :(1) 由于椭圆 :1( 0) 的极点坐标为 (± ,0), 且离心率为,C + = a>b>因此a=, 且 = , 解得 1b= .故椭圆 C 的方程为 +y 2=1.(2) 由于 = >2, 因此直线 MN 的斜率存在 .又由于直线 MN 在 y 轴上的截距为 m , 因此可设直线 MN 的方程为 y=kx+m ,代入椭圆方程 2 得(1+6 2 2 kmx+6( 2=0,+y =1, k ) x +12 m- 1) 由于(12 ) 2 - 24(1 6 2)(21) 24(1 6 22) 0,= km+ km-=+ k -m >因此2162.m< + k设 M ( x 1, y 1), N ( x 2, y 2),由根与系数的关系得 x 1+x 2= , x 1x 2=,则 = |x 1-x 2|= =.由于 =,因此 =,2.整理得 m=令 k2+1=t ≥1,则 k2=t- 1,2= 75- 18t+≤= , 因此 m=等号成立的条件是2 2 2 2, 切合题意. t= ,此时 k = , m= ,知足 m<1+6k故 m的最大值为.变式题解:(1)曲线C上的点知足|PF1|+|PF2|=2>|F 1F2|= 2,∴曲线 C是以 F1, F2为焦点的椭圆,且 a=, c=1, b=1,∴曲线 C的方程是+y2=1.(2) ∵=λ=μa,∴M, N, F2三点共线,且直线 MN的斜率为, ∴直线 MN的方程为 y=( x- 1),与椭圆方程联立得7x2- 12x+4=0,设 M( x1, y1), N( x2, y2),∴==.设 P( cosθ,sinθ),到直线的距离d= = ,∴P MN ∴d max=,△ MNP的最大值为|MN| · max.∴S d =例 2 [ 思路点拨 ] (1) 第一依据抛物线的准线方程可求得 a 的值,而后依据椭圆的离心率联合a2=b2+c2可求得 b 的值,由此求得椭圆 C 和抛物线 C 的方程;(2)由题意知直线的斜率必定存在, 由此设直线l : y=kx+2, 代1 2入椭圆的方程 , 消去y获得对于x的一元二次方程 , 而后利用鉴别式大于零及根与系数的关系, 利用“O在以线段 PQ为直径的圆的外面”等价于“· >0”成立不等式,求得 k 的取值范围 .解 :(1) 由题意得= , 2, 故抛物线 2 的方程为 2 2y.又e= =,∴c=, 1, 从而椭圆 1 的方程为∴a= C x =- ∴b= C+y2=1.(2)明显直线 x=0不知足题设条件,故可设直线 l : y=kx+2, P( x1, y1), Q( x2, y2) .由得 (1 +4k2) x2+16kx+12=0.∵2 2∴k∈-∞,-∪,+∞ , =(16 k) - 4×12(1 +4k ) >0,x1 +x2=, x1x2=,依据题意 , 得 0°<∠POQ<90°, 即·>0,∴·=x1x2+y1y2=x1x2+( kx1+2)( kx2+2) =(1 +k2) x1x2+2k( x1+x2) +4=+2k×+4=>0,解得- 2<k<2.综上得 k∈- 2, -∪,2.变式题解:(1) 由题知F ,0 , 3 2+,|FD|= |FA|=34 , 则D3 4 ,0, 的中= + + + p + + p+ FD点坐标为+2+,0 , 则+2+=3+2, 解得p=2, 故C的方程为y2=4x.(2) 证明 : 依题可设直线AB 的方程为0(≠ 0), ( 1,y 1), ( 2, y2),则 (2,-y 2).x=my+x m A x B x E x由消去 x , 得244 0 0,由于x 0≥ ,因此1621600,y - my- x = = m+ x >y 1 +y 2=4m , y 1y 2=- 4x 0 .设 P 的坐标为 ( x P ,0), 则=( x 2-x P , -y 2), =( x 1-x P , y 1) .由题知∥ , 因此 ( x 2-x P ) y 1+y 2( x 1-x P ) =0,即 x 2y 1+y 2x 1== =( y 1+y 2) x P ,明显 y 1+y 2=4m ≠0, 因此 x P ==-x 0, 即证得点 P 的坐标为 ( -x 0,0) .由题知△ EPB 为等腰直角三角形 , 因此 k AP =1, 即=1, 即=1,222, x 0<1.因此 y 1-y 2=4, 因此 ( y 1+y 2) - 4y 1y 2=16, 即 16m+16x 0 =16, 则 m=1-x 0 又由于 x 0≥ , 因此 ≤ x 0<1.d= = =,令=t ∈ 1,, 则 x 0=2-t 2, d= = - 2t , 易知 f ( t ) = - 2t 在 1, 上是减函数 , 因此 d ∈,2 .例 3 [ 思路点拨 ] (1) 设经过焦点的直线 AB 的方程为 y=k x- ( k ≠ 0), 联立直线的方程和抛物线的方程,利用韦达定理以及斜率之积等于-p 求出 p 的值 , 由此求得抛物线方程 ;(2) 利用 (1) 求得 M 点的坐标 , 利用直线 OM 的方程求出 D 点的坐标 , 二者横坐标的比值大于2,得证 .解 :(1) 设 A ( x , y ), B ( x , y ), 直线 AB ( 不垂直于 x 轴 ) 的方程可设为 y=k x- ( k ≠0) .1122∵ 直线 过点 F 且与抛物线 C 交于 , 两点 ,ABA B∴ =2px 1 , =2px 2.∵直线与的斜率之积为,∴,∴2, 得 1 2 4 OA OB -p =-p =p x x = .由得 k2x2- ( k2p+2p) x+=0,此中( 2 2 ) 2 2 2 2 0, ∴x+x = , x x = ,1 2 1 2∴p=4,∴抛物线 C的方程为 y2=8x.(2) 证明 : 设M( x0, y0), D( x3, y3), ∵M为线段AB的中点 ,∴x=( x +x = =,y =k x - =,0 12) 0 (02)∴直线 OD的斜率 k OD= =,∴直线 OD的方程为 y=x,代入抛物线方程y2=8x, 得 x3=, ∴=k2+2,2∴2∵k>0, = =k +2>2.变式题解:(1) 依题意得= , 1, 222, + = a =b +c解得 a2=4, b2=2,故椭圆 C的方程为+=1.(2) 证明 : 由椭圆的对称性, 不如假定存在k>0,使得= .由题意得a2=2b2,则椭圆 C:+ =1,联立直线l 与椭圆 C的方程可得(1 +2k2) x2+4kbx=0,解得 x P=-, 因此=×,由于 BP⊥BQ,因此=×=×,由于= ,因此2×=×, 即 2k3- 2k2+4k- 1=0.记f ( )232 2 4 1, 由于0, 0, 因此函数f存在零点 , x = x - x + x- f < f >因此存在k∈R,使得= .【备选原因】例 1 考察直线与抛物线的地点关系, 以及面积最值的求解 ; 例 2 以抛物线为载体, 综合考察动点的轨迹问题、对称问题及范围问题;例3第(2) 问要点在于对地点关系的考察, 将证明共线问题转变为斜率问题 .1 [配合例 1 使用 ] [ 2017·云南师范大学隶属中学月考 ] 已知抛物线 :2 2 ( 0), 圆 :( 2)2 2 4,C y = px p> M x- +y = 圆心到抛物线准线的距离为3,点 ( 0,y 0)( x 0≥5)是抛物线在第一象限上的点, 过点P 作圆的两条切线 , M P x M分别与 x 轴交于A, B两点 .(1)求抛物线 C的方程;(2)求△ PAB面积的最小值 .解 :(1)由题知2+ =3,得p=2,∴抛物线方程为y2=4x.(2) 设切线方程为y-y 0=k( x-x 0), k≠0,令 y=0,解得 x=x0-,∴ 切线与 x 轴的交点为,0,x -圆心 (2,0) 到切线的距离 d= =2, ∴(2 k+y 0-kx 0) 2=4( k 2+1),整理得 (- 4x 0) k 2+(4 y 0- 2x 0y 0) k+ - 4=0.设两条切线的斜率分别为 k 1, k 2, 则 k 1+k 2= , k 1·k 2=,∴S =x -- x -·y ==2 =2=2 ( x - 1) + +2 .△ PAB记 t=x 0- 1∈ [4, +∞ ), 则 f ( t ) =t+ +2.∵f' ( t ) =1- =>0, ∴f ( t ) 在 [4, +∞) 上单一递加 , ∴f (t ) ≥ 4+ +2= , ∴S △ PAB ≥ 2× = ,∴△ PAB 面积的最小值为 .2 [ 配合例 2 使用 ] [ 2017·安徽江南十校联考 ] 在平面直角坐标系 xOy 中 , 点 M 到点 F (1,0) 的距离比它到 y 轴的距离大 1.(1) 求点 M 的轨迹 C 的方程 ;(2) 若在y 轴右边 , 曲线 C 上存在两点对于直线x- 2 0对称,求 的取值范围.y-m= m 解 :(1) 设点 M 的坐标为 ( x , y ) .由题意得= +1,即 = +1,化简得 y 2=4x ( x ≥ 0) 或 y=0( x<0),∴点 M 的轨迹 C 的方程为 y 2=4x ( x ≥ 0) 或 y=0( x<0) .(2) 设在 y 轴右边 , 曲线 C 上的两点 A ( x 1, y 1), B ( x 2, y 2)( x 1>0, x 2>0) 对于直线 x- 2y-m=0 对称 , 则可设直线 AB 的方程为 2x+y+n=0.由得 y 2+2y+2n=0, 则 4- 8n>0 且 y 1+y 2=-2,∴n< , 线段的中点为 P, - 1.AB∵P 在直线 x- 2y-m=0 上 , ∴ +2-m=0, 即 m=- .∵n< , ∴m>, 即 m 的取值范围为, +∞ .3 [ 配合例 3 使用 ] [ 2017·皖南一模 ] 如下图 , 已知椭圆 C : +y 2=1 的左极点为A , 右焦点为 F , O 为原 点 , , 是 y 轴上的两个动点 , 且⊥ , 直线 和 分别与椭圆C 交于 ( 异于 ), ( 异于 ) 两点.M NMF NF AM AN E M D N(1) 求△ MFN 面积的最小值 ;(2) 证明 : E , O , D 三点共线 .解 :(1) 易知 F (1,0), 设 M (0, t 1), N (0, t 2),⊥ ,1 120,得1 2=- 1,∵MF NF ∴ ·= +t t =t t∴S = ×1×|t-t 2|= ( |t |+|t|)≥ ×2=1,△ MFN112当且仅当 t 1=-t 2=1 时取等号 ,∴△ MFN 面积的最小值为 1.(2) 证明:易知 (,0).A -设 (0, t ), 由 (1) 可得N 0, - ( t ≠±1),M直线 AM , AN 的方程分别为y= x+t , y=- x- ,联立化简得 (1 +t 2) x 2+2 t 2x+2t 2- 2=0,∴- x E=, 可得x E=, y E=×+t=, 可得k OE=.联立化简得 (1 +t2) x2+2x+2- 2t 2 =0,可得 - x D=, 解得x D=, y D=-×- =, 可得k OD=, ∴k OE=k OD,∴E, O, D三点共线.。
（完整版）圆锥曲线知识点+例题+练习含答案（整理）.docx
（完整版）圆锥曲线知识点+例题+练习含答案（整理）.docx圆锥曲线⼀、椭圆：（ 1）椭圆的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的和等于常数（⼤于| F1 F2 |）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意： 2a | F1F2 | 表⽰椭圆；2a | F1F2|表⽰线段F1F2； 2a| F1F 2 |没有轨迹；（2）椭圆的标准⽅程、图象及⼏何性质：中⼼在原点，焦点在x 轴上中⼼在原点，焦点在y 轴上标准⽅程图形x2y2y2x2a2b 21( a b 0)a 2b21(ab 0)yB 2yB 2P F2 PA 1 A 2x A 1xA 2OF1O F21B 1FB 1顶点对称轴焦点焦距离⼼率通径2b2aA1 (a,0), A2 (a,0)A1( b,0), A2 (b,0)B1 (0, b), B2(0, b)B1( 0,a), B2 (0, a) x 轴，y轴；短轴为2b，长轴为2aF1 (c,0), F2(c,0)F1 ( 0,c), F2 (0,c)| F1 F2 | 2c(c 0)c2 a 2 b 2(0 e 1) （离⼼率越⼤，椭圆越扁）a（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3．常⽤结论：（1）椭圆x2y21(a b 0) 的两个焦点为F1, F2，过F1的直线交椭圆于A, B两a2 b 2点，则ABF 2的周长=（2）设椭圆x2y2221( a b 0)左、右两个焦点为 F1, F2，过 F1且垂直于对称轴的直线a b交椭圆于 P, Q 两点，则 P, Q 的坐标分别是| PQ |⼆、双曲线：（ 1）双曲线的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的差的绝对值等于常数（⼩于| F1F2 | ）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意： | PF1 || PF2 | 2a 与 | PF2 | | PF1 |2a （ 2a| F1F2 | ）表⽰双曲线的⼀⽀。
2019版高考数学一轮复习第十五章圆锥曲线与方程15.1椭圆课件
解析 (1)设椭圆方程为 x 2 + y 2 =1(m>0,n>0,m≠n),
mn
9
由题意知
m
或1,
2 m 3 2 n
9
m
1,
2 n 3 2 m ,
解得
m n
或 9 ,
1
m 9,
n
81.
∴椭圆的标准方程为 x 2 +y2=1或 y 2 +x 2 =1.
5
≥4 b ,即b≥4 1,所以e2= = c =2 a 2≤ b 2 ,又4 0<b 2e<1,3所以0<e
32 (4)2 5
a2
a2
4
4
≤ 3 ,
2
即椭圆E的离心率的取值范围是0<e≤ 3 .
2
答案 0<e≤ 3
2
方法 3 椭圆中的最值问题
解决椭圆中的最值问题主要运用数形结合、函数与方程两大数学思想, 具体方法有以下几种: (1)利用数形结合、几何意义,尤其是椭圆的性质求最值或取值范围. (2)利用函数,尤其是二次函数求最值或取值范围. (3)利用不等式,尤其是基本不等式求最值或取值范围. (4)利用判别式求最值或取值范围.
用公式e= c 直接求解.
a
(2)若椭圆方程未知,则根据条件及几何图形建立a,b,c,e满足的关系式,化
为关于a,c的齐次方程,求出a,c的关系或化为e的方程求解.
例2 (2016江苏常州一中、江阴南菁高中联考,7)已知F是椭圆 x 2 + y 2 =
a2 b2
1(a>b>0)的左焦点,A为右顶点,P是椭圆上一点,PF⊥x轴.若|PF|= 1 |AF|,
新高考数学一轮复圆锥曲线中的几个常用二级结论
变式 已知双曲线 x2－y22＝1，直线 l 的斜率为－2，与双曲线交于 A，B 两点，
若在双曲线上存在异于 A，B 的一点 C，使得直线 AB，BC，AC 的斜率满足k1AB＋k1BC＋
(2) 已知 F1，F2 是双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点 P 在双曲线上，
∠F1PF2＝θ，则其焦点三角形的面积为 S△F1PF2＝
b2 θ.
tan2
例 1 (1) 已知椭圆1x62 ＋y92＝1 上一点 M 与两焦点 F1，F2 所成的角∠F1MF2＝60°，
则△F1MF2 的面积为( C )
k1AC＝3，且 D，E，H 分别为 AB，BC，AC 的中点，则 kOE＋kOH 等于(
)
A. －6
B. 5
C. 6
D. 7
【解析】 由题意得k1AB＋k1BC＋k1AC＝－12＋k1BC＋k1AC＝3，所以k1BC＋k1AC＝72. 因为 kBCkOE＝ba22，所以 kBCkOE＝2，即 kOE＝k2BC. 同理得 kOH＝k2AC，所以 kOE＋kOH＝k2BC＋k2AC＝2k1BC＋k1AC＝2×72＝7.
【解答】 设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1>0，x2>0，x1≠x2，A(－x1，－y1)， C(x1,0)．
因为 P，A，B 都在椭圆x42＋y22＝1 上，所以x412＋y212＝1，x422＋y222＝1，两式相减得 kPB·kAB ＝yx11－ －yx22yx11＋ ＋yx22＝－12.
2019精选教育届高三数学一轮复习精讲精练：96圆锥曲线综合.doc
第6课 圆锥曲线综合【考点导读】1. 在理解和掌握圆锥曲线的定义和简单几何性质的基础上,把握有关圆锥曲线的知识内在联系,灵活地运用解析几何的常用方法解决问题.2. 通过问题的解决,理解函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想.3.能够抓住实际问题的本质建立圆锥曲线的数学模型,实现实际问题向数学问题的转化,并运用圆锥曲线知识解决实际问题. 【基础练习】1. 给出下列四个结论：①当a 为任意实数时，直线012)1(=++--a y x a 恒过定点P ，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是y x 342=； ②已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为02=-y x ，则双曲线的标准方程是120522=-y x ； ③抛物线ay a ax y 41)0(2-=≠=的准线方程为； ④已知双曲线1422=+my x ，其离心率)2,1(∈e ，则m 的取值范围是（－12，0）。
其中所有正确结论的个数是42.设双曲线以椭圆192522=+y x 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为21±3.如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是082=-+y x【范例导析】例1. 已知抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 是热线上的两动点，且(0).AF FB λλ=>过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M 。
（I ）证明.FM AB 为定值；（II ）设ABM ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值。
解：（1）F 点的坐标为(0,1)设A 点的坐标为211,4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B 点的坐标为222,4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭由(0).AF FB λλ=>可得221212,1,144x x x x λ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此1222121(1)44x x x x λλ-=⎧⎪⎨-=-⎪⎩ 过A 点的切线方程为2111()42x x y x x -=- (1)过B 点的切线方程为2222()42x xy x x -=- (2)解(1)( 2)构成的方程组可得点M 的坐标,从而得到FM AB =0 即为定值 （2）FM AB =0可得FM AB ⊥三角形面积()2FM ABS f λ==所以33111()()24222FM ABS f λλλ===+≥⨯= 当且仅当1λ=时取等号点拨：本题主要考察共线向量的关系,曲线的切线方程,直线的交点以及向量的数量积等知识点涉及均值不等式,计算较复杂.难度很大 【反馈练习】1.已知双曲线的中心在原点，离心率为3.若它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则该双曲线与抛物线x y 42=的交点到原点的距离是212.设12F F ，分别是双曲线2219y x +=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF =，则12PF PF +=2103.设P 是椭圆22194x y +=上一点，1F 、 2F 是椭圆的两个焦点，则12cos F PF ∠的最小值是19-4.已知以F 1（2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线340x y ++=有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为725. 双曲线C 与椭圆2214924x y +=的焦点相同，离心率互为倒数，则双曲线C 的渐近线的方程是x y 562±=6.已知椭圆221259x y +=与双曲线22197x y -=在第一象限内的交点为P ，则点P 到椭圆右焦点的距离等于__2 _7.如图，点A 是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的短轴位于x 轴下方的端点，过A 作斜率为1的直线交椭圆于B 点，点P 在y 轴上，且BP ∥x 轴，AP AB ⋅＝9,若点P 的坐标为(0，1)，求椭圆C 的方程.8.在平面直角坐标系xoy 中，已知圆心在第二象限、半径为22的圆C 与直线y x =相切于坐标原点O ．椭圆22219x y a +=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．求圆C 的方程.解：设圆心坐标为(m ，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为(x -m )2+(y -n )2=8已知该圆与直线y=x 相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则2n m -=22即n m -=4 ①又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得 m 2+n 2=8 ②联立方程①和②组成方程组解得 故圆的方程为(x +2)2+(y -2)2=89.已知动圆过定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >,求动圆圆心C 的轨迹的方程.解：如图，设M 为动圆圆心，,02p ⎛⎫⎪⎝⎭为记为F ，过点M 作直线2p x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =即动点M 到定点F 与定直线2px =-的距离相等 由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，2p x =-为准线所以轨迹方程为22(0)y px P =>；y AxoB,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭MN2p x =-第9题。
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2019年高考数学一轮复习 小题精练系列 专题15 圆锥曲线（含解析）
理
1．以的顶点为焦点，长半轴长为4的椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】双曲线的焦点为，顶点为，双曲线的顶点为焦
点，长半轴长为的椭圆中，，椭圆的方程为，故选D．
2．已知双曲线：的渐近线经过圆：的圆心，则双曲线
的离心率为( )
A． B． C． 2 D．
【答案】A
3．经过双曲线右焦点的直线与双曲线交于两点，若，则这样的直线的条数
为（ ）
A． 4条 B． 3条 C． 2条 D． 1条
【答案】B
【解析】由双曲线，可得，若只与双曲线右支相交时，的最小值距离
是通径长度为此时有两条直线符合条件；若只与双曲线两支相交时，
此时的最小距离是实轴两顶点的即距离长度为，距离无最大值；此时有条
直线符合条件；综上可得，共有条直线符合条件，故选B．
【方法点睛】本题主要考查双曲线的方程及几何性质、分类讨论思想．属于难题．分类讨论
思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在
解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是将题
设条件研究透，这样才能快速找准突破点． 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，
进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中．解得本题的关键是讨论直线与
双曲线一支交于两点、或者分别与两支交于两点．
4．已知是椭圆的两个交点，过的直线与椭圆交于两点，则的周长为
（ ）
A． 16 B． 8 C． 25 D． 32
【答案】A
【解析】因为椭圆的方程为，所以，由题意的定义可得的周长
，故选A．
5．已知双曲线：的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
6．设双曲线：的右焦点为，过作渐近线的垂线，垂足分别为，，若是双曲线
上任一点到直线的距离，则的值为（ ）
A． B． C． D． 无法确定
【答案】B
【解析】由题意，易得，直线的方程为：，设P，则
=
∴，故选：B
7．已知抛物线C：22(0)ypxp的焦点F到其准线l的距离为2，过焦点且倾斜角为
60
的直线与抛物线交于M，N两点，若'MMl，'NNl，垂足分别为'M，'N，则
''MNF
的面积为（ ）
A． 433 B． 833 C． 1633 D． 3233
【答案】B
8．已知双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点为1F、2F，在双曲线上存在点P满足
1212
2PFPFFF
,则此双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A． 12e B． 2e C． 12e D． 2e
【答案】B
【解析】因为OP为12PFF的边12FF的中线，可知1212POPFPF，双曲线上存在点
P
满足
1212
2PFPFFF，则42POc，由POa
，可知42ac，则2e，选B．
9．如图，过抛物线22(0)ypxp的焦点F的直线交抛物线于点AB、，交其准线l于点C，
若点F是AC的中点，且4AF，则线段AB的长为（ ）
A． 5 B． 6 C． 163 D． 203
【答案】C
【解析】如图：过点A作ADl交l于点D．
AF
: y31x．与抛物线24yx联立得：231030xx．
12103xx．12
1016
233ABxxp
．
故选C．
10．已知双曲线22221xyab的左、右焦点分别为21,FF，过1F作圆222ayx的切线分别
交双曲线的左、右两支于点CB,，且2CFBC，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．xy3 B．xy22 C．xy)13(
D．xy)13(
【答案】C
考点：1．双曲线的定义；2．双曲线的渐近线．
11．设21,FF是双曲线1422yx的两个焦点，P在双曲线上，且9021PFF，则
21
PFF
的面积为（ ）
A．1 B．2 C．25
D．5
【答案】A
【解析】
试题分析：双曲线焦点三角形面积公式为2tan2bS，其中12FPF，所以本题面积为
1
1tan45
．
考点：双曲线焦点三角形．
12．已知点1F、2F是双曲线C：22221xyab（0a，0b）的左、右焦点，O为坐标原
点，点P在双曲线C的右支上，且满足12||2||FFOP，12||3||PFPF，则双曲线C的离
心率的取值范围为（ ）
A．(1,) B．10[,)2 C．10(1,]2
D．5(1,]2
【答案】C
【解析】
考点：1、椭圆的几何性质；2、椭圆的定义及离心率．