(北师大版)数学必修五：1.1《数列(第2课时)》ppt课件
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【数学】1.1《数列》课件(北师大版必修5)
−n
7 −n an = ×(1−10 ), n∈N* 9
小结： 小结： 1．数列的有关概念; 数列的有关概念; 2．观察法求数列的通项公式. 观察法求数列的通项公式. 目的: 目的: 1.理解数列的概念; 1.理解数列的概念; 理解数列的概念 2.理解数列的通项公式， 2.理解数列的通项公式，给出一些数 理解数列的通项公式 列能够写出其通项公式， 列能够写出其通项公式，已知通项公 式能够求数列的项.
n ; （1） an = ） n+1
(2)an = (−1) ⋅ n
n
1 2 3 4 5 a 解：（1） 1 = ;a2 = ;a3 = ;a4 = ;a5 = ; 2 3 4 5 6
1 ; 3 ; 5 (2) a1 = ;a2 = 2 a3 = − ;a4 = 4 a5 = − ; 数：
4，5，6，7，8，9，10 . ， ， ， ， ， ，
① ② ③ ④ ⑤
1 1 1 1 1 , , , ,...... , 2 3 4 5
3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, …… -1，1，-1，1，-1，1, …… ， ， ， ， ， 2，2，2，2，2, …… ， ， ， ，
1，2，3，4，5，6， …. ， ， ， ， ， ，
4，5，6，7，8，9， ， ， ， ， ， ，
an = n(n≥1) ≥ an=n+3(1≤n≤6)
1 an = (n ≥ 1 ) n
1 1，0.1，0.01，0.001，…. an = 10n−1 (n ≥1) ， ， ， ，
1 1 1 1 1 , , , ,L , . 2 3 4 5
a1 , a2 , a3 , ⋅⋅⋅, an , ⋅⋅⋅
高中高中数学北师大版必修5课件第一章数列 1.2.2.1精选ppt课件
2,������ = 1, 6������-5,������ ≥ 2.
∴数列{an}不是等差数列.
12345
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Z知识梳 H理ISHISHULI
D典例透析 IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
1设Sn是等差数列{an}的前n项和,S5=10,则a3的值为( ).
A.
6 5
S随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一
题型二
题型三
题型三 易错辨析
易错点:忽略an=Sn-Sn-1成立的条件致误 【例3】 若数列{an}的前n项和为Sn=3n2-2n+1,求数列{an}的通 项公式,并判断它是否为等差数列.
错解:∵an=Sn-Sn-1=(3n2-2n+1)-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5,
D典例透析 IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
1.数列的前n项和
对于数列{an},一般地,我们称a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n 项和,用Sn表示,即Sn=a1+a2+a3+…+an.
【做一做1-1】 设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为( ).
A.15 B.16 C.49 D.64
Sn,
������9 ������5
=
9 5
,
则
������5 ������3
=
.
解析:(1)∵a1+a20=a6+a15=a9+a12,a6+a12+a9+a15=20,
∴a1+a20=10.
北师大版高中数学必修5：数列_课件1(2)
所以 a1＜a2＜a3＜…＜a9＝a10＞a11＞a12＞…，
所以数列中有最大项，最大项为第 9、10 项，
即 a9＝a10＝1101190.
方法二：假设数列{an}中有最大项，并设第 k 项为最大项，
则
ak≥ak－1 ak≥ak＋1
对任意的 k∈N＋且 k≥2 都成立．
即k＋11110k≥k1110k－1
(2)若求一数列中最大项 an，只需满足aann≥≥aann＋ －11 求出 n 值，求最小项 an，只需满足aann≤≤aann＋ －11 求出 n 值.
3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，则(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就构 成一个数列．
1．数列的表示方法
(1)数列可用图像来表示，在直角坐标系中，
以
序
号
为
横标 ，相应的项为纵标 描 点 画 图 ， 其 图 像 是
相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一群孤立的点．
(2) 从 函 数 的 观 点 看 ， 数 列 的 表 示 方 法 有
∴
n＋1＋n n＋12＋1＋
n2＋1＜1
∴an＋1－an＜0，即 an＋1＜an. ∴数列{an}是递减数列．
方法二：(作商法)
∵an＞0，
∴aan＋n 1＝
n＋12＋1－n＋1 n2＋1－n
＝
[ n＋12＋1－n＋1] n2＋1＋n[ n＋12＋1＋n＋1] n2＋1－n n2＋1＋n[ n＋12＋1＋n＋1]
(2)递推公式存在一定的弊端，不能直接写出 指定的某一项的值，有时需转化成通项公式， 往往需运用归纳猜想或逻辑推理的方法得到．
所以数列中有最大项，最大项为第 9、10 项，
即 a9＝a10＝1101190.
方法二：假设数列{an}中有最大项，并设第 k 项为最大项，
则
ak≥ak－1 ak≥ak＋1
对任意的 k∈N＋且 k≥2 都成立．
即k＋11110k≥k1110k－1
(2)若求一数列中最大项 an，只需满足aann≥≥aann＋ －11 求出 n 值，求最小项 an，只需满足aann≤≤aann＋ －11 求出 n 值.
3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，则(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就构 成一个数列．
1．数列的表示方法
(1)数列可用图像来表示，在直角坐标系中，
以
序
号
为
横标 ，相应的项为纵标 描 点 画 图 ， 其 图 像 是
相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一群孤立的点．
(2) 从 函 数 的 观 点 看 ， 数 列 的 表 示 方 法 有
∴
n＋1＋n n＋12＋1＋
n2＋1＜1
∴an＋1－an＜0，即 an＋1＜an. ∴数列{an}是递减数列．
方法二：(作商法)
∵an＞0，
∴aan＋n 1＝
n＋12＋1－n＋1 n2＋1－n
＝
[ n＋12＋1－n＋1] n2＋1＋n[ n＋12＋1＋n＋1] n2＋1－n n2＋1＋n[ n＋12＋1＋n＋1]
(2)递推公式存在一定的弊端，不能直接写出 指定的某一项的值，有时需转化成通项公式， 往往需运用归纳猜想或逻辑推理的方法得到．
新版高中数学北师大版必修5课件：第一章数列 1.2.2.2
①当n为奇数时,
S
奇-S
偶=a1+
������-1 2
������
=
������������+1(中间项),
2
Sn=n·������������+1(项数与中间项的积),
������奇 ������偶
=
2
������ + 1 ������-1
(项数加
1
比项数减
1);
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
∴
������������ ������������
=
+1
25-2(������-1) ≥ 0, = 25-2������ ≤ 0,
得
������ ≤ 13.5, ������ ≥ 12.5,
即 12.5≤n≤13.5.
∵n∈N+,∴当 n=13 时,Sn 取得最大值,
S13=13×25+
13×(13-1) 2
D 典例透析 IANLITOUXI
1.等差数列前n项和的性质
(1)在等差数列{an}中,每m项的和 a1+a2+…+am,am+1+am+2+…+a2m,a2m+1+a2m+2+…+a3m,…仍为等差 数列,即Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍为等差数列.
(2)在等差数列{an}中,公差为d,S奇表示奇数项的和,S偶表示偶数 项的和,
是等差数列.
D 典例透析 IANLITOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三
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Z 知识梳理 HISHISHULI
1.1.1数列的概念课件ppt(2013-2014年北师大版必修五)
课前探究学习 课堂讲练互动
题型二
求数列的通项公式
【例 2】 根据数列的前几项，写出下列数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…； 1 1 5 13 29 61 (3) ， ，－ ， ，－ ， ，…； 2 4 8 16 32 64
3 7 9 (4) ，1， ， ，…. 2 10 17
课前探究学习
课堂讲练互动
规律方法 用观察归纳法写出一个数列的通项公式，体 现了由特殊到一般的思维规律，具体可参考以下几个思 路： (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等． (2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化 部分的规律与对应序号间的关系式． (3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以 (－1)k处理符号． (4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的 形式，或者利用周期函数，如三角函数等．
所以 1 不是数列{an}中的项． n2－21n (2)假设存在连续且相等的两项为 an ＝an ＋ 1 ，则有 ＝ 2 n＋12－21n＋1 ， 解得 n＝10， 所以， 存在连续且相等的两项， 2 它们分别是第 10 项和第 11 项．
课前探究学习 课堂讲练互动
误区警示
忽视数列的有序性而致错
( )． 【训练1】 下列叙述正确的是 A．数列1,3,5,7和数列3,1,5,7是同一个数列 B．同一个数在数列中可能重复出现 C．数列的通项公式是定义域为正整数集N＋的函数 D．任何数列的通项公式都存在 解析 根据数列的定义，如果组成两个数列的数相同而排 列次序不同，那么它们就是不同的数列，因此，A是错误 的；数列的通项公式的定义域是正整数集N＋或它的有限 子集{1,2,3，…，n}，因此C是错误的；而一个数列有时不 存在通项公式，故D是错误的；对于一个数列，可以有重 复的数，故B正确． 答案 B
题型二
求数列的通项公式
【例 2】 根据数列的前几项，写出下列数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…； 1 1 5 13 29 61 (3) ， ，－ ， ，－ ， ，…； 2 4 8 16 32 64
3 7 9 (4) ，1， ， ，…. 2 10 17
课前探究学习
课堂讲练互动
规律方法 用观察归纳法写出一个数列的通项公式，体 现了由特殊到一般的思维规律，具体可参考以下几个思 路： (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等． (2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化 部分的规律与对应序号间的关系式． (3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以 (－1)k处理符号． (4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的 形式，或者利用周期函数，如三角函数等．
所以 1 不是数列{an}中的项． n2－21n (2)假设存在连续且相等的两项为 an ＝an ＋ 1 ，则有 ＝ 2 n＋12－21n＋1 ， 解得 n＝10， 所以， 存在连续且相等的两项， 2 它们分别是第 10 项和第 11 项．
课前探究学习 课堂讲练互动
误区警示
忽视数列的有序性而致错
( )． 【训练1】 下列叙述正确的是 A．数列1,3,5,7和数列3,1,5,7是同一个数列 B．同一个数在数列中可能重复出现 C．数列的通项公式是定义域为正整数集N＋的函数 D．任何数列的通项公式都存在 解析 根据数列的定义，如果组成两个数列的数相同而排 列次序不同，那么它们就是不同的数列，因此，A是错误 的；数列的通项公式的定义域是正整数集N＋或它的有限 子集{1,2,3，…，n}，因此C是错误的；而一个数列有时不 存在通项公式，故D是错误的；对于一个数列，可以有重 复的数，故B正确． 答案 B
北师大版高中数学必修五第一章《数列》整合课件
本章整合
-1-
本章整合
列表法 表示方法 解析法 图像法 ������������ 与������������ 的关系 ������������ = 概念 项数 分类 项的大小 ������1 ������������ -������������ -1 (������ = 1) (������ ≥ 2) 通项公式 递推公式
知识建构
综合应用
真题放送
应用3已知数列{an},a1=2,an=2an-1-1(n≥2),求通项公式an. 解:an=2an-1-1=2(2an-2-1)-1 =22an-2-2-1 =22(2an-3-1)-2-1 =23an-3-22-2-1 =… =2n-1a1-2n-2-2n-3-…-22-2-1 =2n-(2n-2+2n-3+…+22+2+1)
������1 (1-������������ ) ������1 -������������ ������ = (������ ≠ 1) 1-������ 1-������
������������ = ������������1 (������ = 1)
-2-
本章整合
专题一 专题二
知识建构
综合应用
-3-
本章整合
专题一 专题二
知识建构
综合应用
真题放送
应用 1
1 在数列{an}中,a1=1,an+1= an+1(n∈N+),求 an. 2
提示:已知递推关系an+1=kan+b求通项,用辅助数列求解的步骤: ①设an+1+λ=k(an+λ),②与已知式比较,求出λ,③由辅助数列{an+λ} 是等比数列即可得解.
-1-
本章整合
列表法 表示方法 解析法 图像法 ������������ 与������������ 的关系 ������������ = 概念 项数 分类 项的大小 ������1 ������������ -������������ -1 (������ = 1) (������ ≥ 2) 通项公式 递推公式
知识建构
综合应用
真题放送
应用3已知数列{an},a1=2,an=2an-1-1(n≥2),求通项公式an. 解:an=2an-1-1=2(2an-2-1)-1 =22an-2-2-1 =22(2an-3-1)-2-1 =23an-3-22-2-1 =… =2n-1a1-2n-2-2n-3-…-22-2-1 =2n-(2n-2+2n-3+…+22+2+1)
������1 (1-������������ ) ������1 -������������ ������ = (������ ≠ 1) 1-������ 1-������
������������ = ������������1 (������ = 1)
-2-
本章整合
专题一 专题二
知识建构
综合应用
-3-
本章整合
专题一 专题二
知识建构
综合应用
真题放送
应用 1
1 在数列{an}中,a1=1,an+1= an+1(n∈N+),求 an. 2
提示:已知递推关系an+1=kan+b求通项,用辅助数列求解的步骤: ①设an+1+λ=k(an+λ),②与已知式比较,求出λ,③由辅助数列{an+λ} 是等比数列即可得解.
2021-2022学年高中数学北师必修五课件：第一章 1.1 数列的概念
【思考】 数列和函数值域有什么区别? 提示:数列是一种特殊的函数,并且数列有序,函数值域是集合,具有无序性.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)数列a1,a2,a3,…,an可以表示为{a1,a2,a3,…,an}. ( )
(2)数列看作函数时,其定义域可以是正整数集的任意子集.
故A不正确;数列与集合不同,数列不能表示成集合的形式,故B不正确;当n确定
后,数列0,2,4,6,8,…,2n的项数就确定了,所以该数列是有穷数列,故C错误;根
据数列定义知D正确.
2.选C.由前6项可知:从第3个数起,每一个数都是它前面两个数的和.所以x=13.
3.选C.A 中的1,4,2,
,1
3
是数5 列;B中,数列的第k项为1+
3.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用_一__个__式__子__表示成an=f(n),那 么这个式子叫作数列{an}的通项公式. 4.数列与函数的关系 数列可以看作是定义域为_正__整__数__集__N_+ (或它的有限子集{1,2,…,n})的函数,当 自变量_从__小__到__大__依次取值时,该函数对应的一列函数值就是这个数列.
22－1,＝ 3
22 4
a3=(-1)3·322－3 1=-1,a4=(-1)4·
422－=4(-1)5·522－5 1=-
【补偿训练】
下列说法正确的是
()
A.数列3,5,7与数列7,5,3是相同数列
B.数列2,3,4,4可以记为{2,3,4}
C.数列1, 1 , 1 ,…, 1 ,…可以记为
23
n
D.数列{2n+1}的第5项是10
高中数学北师大版必修五课件：第1章 §1-1.1 数列的概念
(1)数列定义的理解 数列的定义中要把握两个关键词：“一定顺序”与“一列 数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照 “一定顺序”排列着的，即确定的数在确定的位置． (2)数列分类的理解 判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有 限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无 穷数列．
(2)①符号问题可通过(－1)n 或(－1)n＋1 表示，其各项的绝对值的 排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6，故 数列的一个通项公式为 an＝(－1)n(6n－5)． ②将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)， 89(1－0.001)，…， 所以 an＝891－110n.
用观察法求数列的通项公式的方法 (1)统一项的结构，如都化成分数、根式等． (2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的 变化规律与对应序号间的函数关系式． (3) 对 于 符 号 交 替 出 现 的 情 况 ， 可 观 察 其 绝 对 值 ， 再 以 (－1)n(n∈N＋)处理符号．
(3 分)
(6 分) (10 分) (12 分)
法二：(迭代法)
同法一，得aan＋n 1＝n＋n 1，
(6 分)
所以 an＋1＝n＋n 1an，
(7 分)
所以 an＝n－n 1an－1＝n－n 1·nn－ －21an－2＝n－n 1·nn－ －21·nn－ －32·an－3＝…
＝n－n 1·nn－－12·nn－ －32·…·12a1＝n1a1.
第一章 数 列
§1 数 列
1．1 数列的概念
1．数列的概念 (1)数列：一般地，按
一定次序 排列的一列数叫作数列．
(2)项和项数：数列中的 每一个数 叫作这个数列的项，各项
2013年数学北师大版必修5课件第1章1.1《数列的概念》
根据数列的前几项写出它的一个通项公式， 关键在于观察、分析数列的前几项的特征， 找到数列的构成规律．为了发现数列的构成 规 律 ， 可 把 序 号 1,2,3 ， … 标 在 相 应 的 项 上 ， 这样便于突出第n项an与项数n的关系，即突 出an如何用n表示．
例2 根据数列的前几项，写出下列数列的一 个通项公式． (1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…； (3)12，14，－58，1136，－2392，6614，…； (4)32，1，170，197，….
(5)数列的符号规律是(－1)n＋1，使各项的分子都为 4，
则变为42，－45，48，－141，…，再把各分母都加上 1， 又变为43，－46，49，－142，….∴数列的通项公式是 an＝4×3n－－11n＋1.
数列中项的判定
判断某数值是否为该数列的项，需先假定它 是数列中的项去列方程．若方程解为正整数， 则是该数列的一项；若方程无解或解不是正 整数，则不是该数列的一项．
§1 数 列 1．1 数列的概念
学习目标 1．理解数列及有关概念，了解数列的表示和 分类，了解数列通项公式的意义． 2．能够根据数列的通项公式写出数列的任一 项，对于简单的数列，能由前几项归纳出数列 的通项公式．
课前自主学案 1.1
数
列
课堂互动讲练
的
概
念
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基 1．前5个正整数的倒数排成一列：1_，__12_，__13_，__14_，_51_. 2．集合的基本表示法有_列__举__法__、 _描__述__法__和 Venn图法． 3．集合的列举法的一般形式为{a，b，c，d，…}; 集合的元素具有_确__定__性__ 、 _互__异__性__、 _无__序__性__．
例2 根据数列的前几项，写出下列数列的一 个通项公式． (1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…； (3)12，14，－58，1136，－2392，6614，…； (4)32，1，170，197，….
(5)数列的符号规律是(－1)n＋1，使各项的分子都为 4，
则变为42，－45，48，－141，…，再把各分母都加上 1， 又变为43，－46，49，－142，….∴数列的通项公式是 an＝4×3n－－11n＋1.
数列中项的判定
判断某数值是否为该数列的项，需先假定它 是数列中的项去列方程．若方程解为正整数， 则是该数列的一项；若方程无解或解不是正 整数，则不是该数列的一项．
§1 数 列 1．1 数列的概念
学习目标 1．理解数列及有关概念，了解数列的表示和 分类，了解数列通项公式的意义． 2．能够根据数列的通项公式写出数列的任一 项，对于简单的数列，能由前几项归纳出数列 的通项公式．
课前自主学案 1.1
数
列
课堂互动讲练
的
概
念
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基 1．前5个正整数的倒数排成一列：1_，__12_，__13_，__14_，_51_. 2．集合的基本表示法有_列__举__法__、 _描__述__法__和 Venn图法． 3．集合的列举法的一般形式为{a，b，c，d，…}; 集合的元素具有_确__定__性__ 、 _互__异__性__、 _无__序__性__．
2020-2021学年北师大版必修5 1-1-1 数列的概念 课件(52张)
(3)将数列中的项与 1 进行比较，就会发现：a1＝0.9＝1－110， a2＝0.99＝1－1100＝1－1102，a3＝0.999＝1－1 0100＝1－1103，…， 因此它的一个通项公式为 an＝1－110n.
(4)数列中的奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含有因 式(－1)n，各项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4，…，而各项绝对 值的分子组成的数列中，奇数项为 1，偶数项为 3，即奇数项为 2 － 1 ， 偶 数 项 为 2 ＋ 1 ， 所 以 它 的 一 个 通 项 公 式 为 an ＝ (－n， ∴当 n＝5 时，a5＝2×52－5＝45， 当 n＝10 时，a10＝2×102－10＝190. (2)∵an＝2n2－n，令 an＝15， 得 2n2－n－15＝0， 解得 n＝3 或 n＝－52(舍去)， ∴15 是该数列的第 3 项． 令 an＝3，得 2n2－n－3＝0，该方程不存在正整数解， ∴3 不是该数列的项．
类型一 求数列的通项公式
【例 1】 写出下列数列的一个通项公式． (1)1,3,7,15，…. (2)－2，54，－190，1176，…. (3)0.9,0.99,0.999,0.999 9，…. (4)－1，32，－13，34，－15，36，….
【思路探究】 求数列的通项公式的步骤：(1)观察符号及 各项的特点；
规律方法 (1)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式， 蕴含着从特殊到一般的思想，由这种方法得到的结果不一定可 靠，要注意代入值检验．
(2)根据数列的前几项求一个通项公式，要注意观察每一项 的特点，可使用添项、还原、分割等方法，转化为一些常见数列 来求．
(3)根据数列前几项确定出的一个数列的通项公式可能不唯
A．0
B．3
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孤立的点．
第一章
§1
数 列
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已知数列 {an} 的通项公式为 an ＝ 2n － 1 ，作出该数列的图
像．
[解析] 分 别 取 n ＝ 1,2,3 ， „ ， 得 到 点 (1,1) ， (2,3) ， (3,5)，„，描点作出图像．如图，它的图像是直线y＝2x－1上 的一些等间隔的点．
1.已知数列{an}满足an＋1－an－3＝0，则数列{an}是( A．递增数列 C．常数列 [答案] A [ 解析 ] B．递减数列 D．不能确定
)
由条件得 an ＋ 1 － an ＝ 3>0 可知 an ＋ 1>an ，所以数列
{an}是递增数列．
第一章
§1
数 列
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[解析]
(1) 对 任 意 n ∈ N* ， ∵ an
＋
1
－ an ＝
1 1 － 2 2 n＋1 ＋5n＋1＋4 n ＋5n＋4 －2n＋3 ＝ <0， 2 2 [n＋1 ＋5n＋1＋4]n ＋5n＋4 ∴数列{an}为递减数列． 1 (2)令 an<0，即 2 <0， n ＋5n＋4 ∴n2＋5n＋4<0，解得－4<n<－1， 而 n∈N*，故数列{an}没有负项.
第一章
§1
数 列
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数列单调性的判断
n2 已知数列{an}的通项公式为 an＝ 2 .求证：此数列为 n ＋1 递增数列．
[分析] 只需证明an＋1－an>0(n∈N*)即可
第一章
§1
数 列
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出函数的图像，根据图像可能更能说明问题．
第一章
§1
数 列
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已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4. (1)数列中有多少项是负数？ (2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值． [解析] (1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4. ∵n∈N＋，∴n＝2,3. ∴数列有两项是负数．
第一章 §1 数 列
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几种数列的概念
(1)数列按照项与项之间的大小关系可分为________ 递增 数列， 递减 数列，________ 摆动 数列和________ 常 数列． ________
(2) 一般地，一个数列 {an} ，如果从第 2 项起，每一项都大
①若an＋1－an>0恒成立，则数列{an}是递增数列；
②若an＋1－an<0恒成立，则数列{an}是递减数列； ③若an＋1－an＝0恒成立，则数列{an}是常数列．
第一章
§1
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(2)利用作商比较法 ①若 an>0 则 an＋1 当 a >1 时，数列{an}是递增数列； n an＋1 当 a <1 时，数列{an}是递减数列； n an＋1 当 a ＝1 时，数列{an}是常数列． n ②若 an<0，则 an＋1 当 a <1 时，数列{an}是递增数列； n an＋1 当 a >1 时，数列{an}是递减数列． n an＋1 ③当 a ＝1 时，数列{an}是常数列． n
(2)∵an＝3n－1，列表：
n 1 2 3 4 „
an
1
3
9
27
„
在直角坐标系中图像如下：
第一章
§1
数 列
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[方法总结]
(1)列表法不必通过计算就能知道两个变量间
的对应关系，比较直观，但它只能表示有限个元素之间的对应
关系；(2)数列an＝3n－1的图像是函数y＝3x－1(x>0)上的无穷多个
第一章
§1
数 列
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(2)∵an＝n 5 ＝2＝2.5.
2
5 2 9 －5n＋4＝n－2 －4，可知对称轴方程为
n
又∵n∈N＋，∴n＝2 或 3 时，an 有最小值，其最小值为 22－5×2＋4＝－2.
第一章
§1
(2)画出数列{an}的图像，其中an＝3n－1.
[ 分析 ] (1) 根据数列的通项公式，代入相应的 n 值得到所 求的项，解关于n的方程得项对应的n值．
第一章
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(2)在直角坐标系下，描出点(n，an)． [解析] (1)由第n项可知此数列的通项公式为：an＝3(4n＋
第一章
§1
数 列
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5．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是 ( ) 1 1 1 A．1，2，3，4，„ π 2π 3π B．sin7，sin 7 ，sin 7 ，„ 1 1 1 C．－1，－2，－4，－8，„ D．1， 2， 3，„， 21
是正整数集这一约束条件． 方法二：设{an}中的第n项最小，则有an≤an＋1，an≤an－1， 解不等式组即可．
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[解析]
7 2 151 方法一：an＝n －7n＋50＝(n－2) ＋ 4 ，其对
2
7 称轴为 n＝2，所以当 n＝3 或 4 时，an 取最小值，为 a3＝a4 ＝32－7×3＋50＝38.
3)，
所以a1＝3×(4×1＋3)＝21，a2＝3×(4×2＋3)＝33，a5 ＝ 3×(4×5＋3)＝69. 令3(4n＋3)＝153，解得n＝12. 故填充完整的表格为： n 1 2 „ 5 „ 12 „ n
an 21 33 „ 69 „ 153 „ 3(3＋4n)
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an＋1 1 2．已知{an}满足：an＝1， a ＝2，则数列{an}是( n A．递增数列 C．摆动数列
[答案] B
)
B．递减数列 D．常数列
1 [解析] an＋1＝2an， 且 a1＝1>0， 所以{an}是递减的数列．
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数 列
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2n 4．已知数列{ }，那么这个数列是( 3n＋1 A．递增数列 C．摆动数列
[答案] A
[解析]
)
B．递减数列 D．常数列
2n＋1 2n 因 为 an ＋ 1 － an ＝ － ＝ 3n＋1＋1 3n＋1
2 >0，所以 an＋1>an，故该数列是递增数列． 3n＋43n＋1
所以当 n＝3 或 4 时，an 取得最小值，且
最小项为 a3＝a4＝38.
第一章 §1 数 列
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[ 方法总结 ]
已知数列的通项公式求数列的最大 ( 小 ) 项，
其实质是求函数的最大(小)值，但要注意函数的定义域，对于
给出二次函数的形式问题，我们一般采用配方法求解，也可画
2 n [证明] 对于任意 n∈N*，由公式 an＝ 2 ，有 n ＋1
n＋12 n2 1 an ＋ 1 － an ＝ － 2 ＝ [1 － ] － (1 － 2 2 n＋1 ＋1 n ＋1 n＋1 ＋1 1 ) 2 n ＋1
2 2 n ＋ 1 － n 1 1 ＝ 2 － ＝ ＝ n ＋1 n＋12＋1 n2＋1[n＋12＋1]
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数列中的最大(小)项问题 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－7n＋50，求 数列中的最小项． [ 分析 ] 方法一：数列的通项 an 与 n 之间构成二次函数关
系，可结合二次函数知识进行探求，同时要注意 n的取值范围
an＋1>an ，那么这个数列叫做________ 递增 数 于它前面的一项，即________ 列； (3)一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一 递减 数列； 项，即________ an＋1<an ，那么这个数列叫做________
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第一章 §1 数 列
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1 已知数列{an}的通项公式是 an＝ 2 . n ＋5n＋4 (1)你能判断该数列是递增的，还是递减的吗？
(2)该数列中有负数项吗？
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3．数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项的值是 ( ) 121 A． 4 C．31 B．30 D．32
112 121 ＋11n＝－n－ 2 ＋ 4 ，
[答案] B
[解析] an＝－n
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已知数列 {an} 的通项公式为 an ＝ 2n － 1 ，作出该数列的图
像．
[解析] 分 别 取 n ＝ 1,2,3 ， „ ， 得 到 点 (1,1) ， (2,3) ， (3,5)，„，描点作出图像．如图，它的图像是直线y＝2x－1上 的一些等间隔的点．
1.已知数列{an}满足an＋1－an－3＝0，则数列{an}是( A．递增数列 C．常数列 [答案] A [ 解析 ] B．递减数列 D．不能确定
)
由条件得 an ＋ 1 － an ＝ 3>0 可知 an ＋ 1>an ，所以数列
{an}是递增数列．
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[解析]
(1) 对 任 意 n ∈ N* ， ∵ an
＋
1
－ an ＝
1 1 － 2 2 n＋1 ＋5n＋1＋4 n ＋5n＋4 －2n＋3 ＝ <0， 2 2 [n＋1 ＋5n＋1＋4]n ＋5n＋4 ∴数列{an}为递减数列． 1 (2)令 an<0，即 2 <0， n ＋5n＋4 ∴n2＋5n＋4<0，解得－4<n<－1， 而 n∈N*，故数列{an}没有负项.
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数列单调性的判断
n2 已知数列{an}的通项公式为 an＝ 2 .求证：此数列为 n ＋1 递增数列．
[分析] 只需证明an＋1－an>0(n∈N*)即可
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出函数的图像，根据图像可能更能说明问题．
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已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4. (1)数列中有多少项是负数？ (2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值． [解析] (1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4. ∵n∈N＋，∴n＝2,3. ∴数列有两项是负数．
第一章 §1 数 列
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几种数列的概念
(1)数列按照项与项之间的大小关系可分为________ 递增 数列， 递减 数列，________ 摆动 数列和________ 常 数列． ________
(2) 一般地，一个数列 {an} ，如果从第 2 项起，每一项都大
①若an＋1－an>0恒成立，则数列{an}是递增数列；
②若an＋1－an<0恒成立，则数列{an}是递减数列； ③若an＋1－an＝0恒成立，则数列{an}是常数列．
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(2)利用作商比较法 ①若 an>0 则 an＋1 当 a >1 时，数列{an}是递增数列； n an＋1 当 a <1 时，数列{an}是递减数列； n an＋1 当 a ＝1 时，数列{an}是常数列． n ②若 an<0，则 an＋1 当 a <1 时，数列{an}是递增数列； n an＋1 当 a >1 时，数列{an}是递减数列． n an＋1 ③当 a ＝1 时，数列{an}是常数列． n
(2)∵an＝3n－1，列表：
n 1 2 3 4 „
an
1
3
9
27
„
在直角坐标系中图像如下：
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(1)列表法不必通过计算就能知道两个变量间
的对应关系，比较直观，但它只能表示有限个元素之间的对应
关系；(2)数列an＝3n－1的图像是函数y＝3x－1(x>0)上的无穷多个
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(2)∵an＝n 5 ＝2＝2.5.
2
5 2 9 －5n＋4＝n－2 －4，可知对称轴方程为
n
又∵n∈N＋，∴n＝2 或 3 时，an 有最小值，其最小值为 22－5×2＋4＝－2.
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(2)画出数列{an}的图像，其中an＝3n－1.
[ 分析 ] (1) 根据数列的通项公式，代入相应的 n 值得到所 求的项，解关于n的方程得项对应的n值．
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(2)在直角坐标系下，描出点(n，an)． [解析] (1)由第n项可知此数列的通项公式为：an＝3(4n＋
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5．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是 ( ) 1 1 1 A．1，2，3，4，„ π 2π 3π B．sin7，sin 7 ，sin 7 ，„ 1 1 1 C．－1，－2，－4，－8，„ D．1， 2， 3，„， 21
是正整数集这一约束条件． 方法二：设{an}中的第n项最小，则有an≤an＋1，an≤an－1， 解不等式组即可．
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[解析]
7 2 151 方法一：an＝n －7n＋50＝(n－2) ＋ 4 ，其对
2
7 称轴为 n＝2，所以当 n＝3 或 4 时，an 取最小值，为 a3＝a4 ＝32－7×3＋50＝38.
3)，
所以a1＝3×(4×1＋3)＝21，a2＝3×(4×2＋3)＝33，a5 ＝ 3×(4×5＋3)＝69. 令3(4n＋3)＝153，解得n＝12. 故填充完整的表格为： n 1 2 „ 5 „ 12 „ n
an 21 33 „ 69 „ 153 „ 3(3＋4n)
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an＋1 1 2．已知{an}满足：an＝1， a ＝2，则数列{an}是( n A．递增数列 C．摆动数列
[答案] B
)
B．递减数列 D．常数列
1 [解析] an＋1＝2an， 且 a1＝1>0， 所以{an}是递减的数列．
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2n 4．已知数列{ }，那么这个数列是( 3n＋1 A．递增数列 C．摆动数列
[答案] A
[解析]
)
B．递减数列 D．常数列
2n＋1 2n 因 为 an ＋ 1 － an ＝ － ＝ 3n＋1＋1 3n＋1
2 >0，所以 an＋1>an，故该数列是递增数列． 3n＋43n＋1
所以当 n＝3 或 4 时，an 取得最小值，且
最小项为 a3＝a4＝38.
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[ 方法总结 ]
已知数列的通项公式求数列的最大 ( 小 ) 项，
其实质是求函数的最大(小)值，但要注意函数的定义域，对于
给出二次函数的形式问题，我们一般采用配方法求解，也可画
2 n [证明] 对于任意 n∈N*，由公式 an＝ 2 ，有 n ＋1
n＋12 n2 1 an ＋ 1 － an ＝ － 2 ＝ [1 － ] － (1 － 2 2 n＋1 ＋1 n ＋1 n＋1 ＋1 1 ) 2 n ＋1
2 2 n ＋ 1 － n 1 1 ＝ 2 － ＝ ＝ n ＋1 n＋12＋1 n2＋1[n＋12＋1]
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数列中的最大(小)项问题 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－7n＋50，求 数列中的最小项． [ 分析 ] 方法一：数列的通项 an 与 n 之间构成二次函数关
系，可结合二次函数知识进行探求，同时要注意 n的取值范围
an＋1>an ，那么这个数列叫做________ 递增 数 于它前面的一项，即________ 列； (3)一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一 递减 数列； 项，即________ an＋1<an ，那么这个数列叫做________
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第一章 §1 数 列
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1 已知数列{an}的通项公式是 an＝ 2 . n ＋5n＋4 (1)你能判断该数列是递增的，还是递减的吗？
(2)该数列中有负数项吗？
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3．数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项的值是 ( ) 121 A． 4 C．31 B．30 D．32
112 121 ＋11n＝－n－ 2 ＋ 4 ，
[答案] B
[解析] an＝－n