【附答案或解析】2018秋九年级数学上册19.1+比例线段课后零失误训练
初三数学比例线段练习题
比例线段同步练习一、填空题8．已知实数x ，y ，z 满足x+y+z=0，3x-y+2z=0，则x ：y ：z=________． 9．设实数x ，y ，z 使│x -2y│+ （3x-z ）2=0成立，求x ：y ：z 的值________． 10、已知3)(4)2(y x y x -=+，则=y x : ，=+xyx 11、543z y x ==，则=++xzy x ，=+-++z y x z y x 53232 12、已知b 是a ，c 的比例中项，且a=3cm ，c=9cm ，则b= cm 。
13、比例尺为1：50000的地图上，两城市间的图上距离为20cm ，则这两城市的实际距离是 公里。
14、如果3:1:1::=c b a ，那么=+--+cb a cb a 3532二、选择题15、如果bc ax =，那么将x 作为第四比例项的比例式是（ ）A x a c b =B b c x a =C x c b a =D ca b x =16、三线段a 、b 、c 中，a 的一半的长等于b 的四分之一长，也等于c 的六分之一长，那么这三条线段的和与b 的比等于（ ）A 6:1B 1:6C 3:1D 1:3 17、已知dcb a =，则下列等式中不成立的是（ ） A.c d a b = B. d d c b b a -=- C. d c c b a a +=+ D. bac bd a =++18、下列a 、b 、c 、d 四条线段，不成比例线段的是（ ）A. a=2cm b=5cm c=5cm d=12.5cmB. a=5cm b=3cm c=5mm d=3mmC. a=30mm b=2cm c=59cm d=12mm D. a=5cm b=0.02m c=0.7cm d=0.3dm19、如果 a:b=12:8，且b 是a 和c 的比例中项，那么b:c 等于（ ）A. 4：3B. 3：2C. 2：3D. 3：420、已知53=y x ，则在①41=+-y x y x ②5353=++y x ③1332=+y x x ④38=+x y x 这四个式子中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个21、两直角边为3和4的直角三角形的斜边和斜边上高线的比是（ ）A. 5:3B. 5:4C. 5:12D. 25:12三、解答题 22、已知7532=b a ，求bab a 3423+的值。
九年级数学中考典型及竞赛训练专题14 平行线分线段成比例(附答案解析)
九年级数学中考典型及竞赛训练专题14 平行线分线段成比例阅读与思考平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，是研究比例线段及相似形的最基本、最重要的理论．运用平行线分线段成比例定理解题的关键是寻找题中的平行线．若无平行线，需作平行线，而作平行线要考虑好过哪一个点作平行线，一般是由成比例的两条线段启发而得．此外，还要熟悉并善于从复杂的图形中分解出如下的基本图形：例题与求解【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝a ，BC ＝b ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，且AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，则PQ 的长为＿＿＿＿．（上海市竞赛试题）解题思路：建立含PQ 的比例式，为此，应首先判断PQ 与AD （或BC ）的位置关系，关键是从复杂的图形中分解出基本图形，并能在多个成比例线段中建立联系．【例2】如图，在△ABC 中，D ，E 是BC 的三等分点，M 是AC 的中点，BM 交AD ，AE 于G ，H ，则BG ︰GH ：HM 等于（ ）A ．3︰2︰1B ．4︰2︰1C ．5︰4︰3D ．5︰3︰2（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：因题设条件没有平行线，故须过M 作BC 的平行线，构造基本图形．ABCDEGH MQA BCDEFP【例3】如图，□ABCD中，P为对角线BD上一点，过点P作一直线分别交BA，BC的延长线于Q，R，交CD，AD于S，T．求证：PQ•PT＝P R•PS．（吉林省中考试题）解题思路：要证PQ•PT＝P R•PS，需证PQPS＝PRPT，由于PQ，PT，P R，PS在同一直线上，故不能直接应用定理，需观察分解图形．【例4】梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC．（1）如图1，如果P，E，F分别是BC，AC，BD的中点，求证：AB＝PE＋PF；（2）如图2，如果P是BC上的任意一点（中点除外），PE∥AB，PF∥DC，那么AB＝PE＋PF这个结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．（上海市闵行区中考试题）解题思路：（1）不难证明；对于（2），先假设结论成立，从平行线出发证明AB＝PE＋PF，即要证明PEAB＋PFAB＝1，将线段和差问题的证明转化为与成比例线段相关问题的证明．AB CDEFP图2AB CDEFP图1QARBCDSP【例5】如图，已知AB ∥CD ，AD ∥CE ，F ，G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB ，AD ，CD ，CE 于点M ，N ，P ，Q ．求证：MN ＋PQ ＝2PN ．解题思路：考虑延长BA ，EC 构造平行四边形，再利用平行线设法构造有关的比例式．（浙江省竞赛试题）【例6】已知：△ABC 是任意三角形．（1）如图1，点M ，P ，N 分别是边AB ，BC ，CA 的中点，求证：∠MPN ＝∠A ； （2）如图2，点M ，N 分别在边AB ，AC 上，且AM AB ＝13，AN AC ＝13，点P 1，P 2是 边BC 的三等分点，你认为∠MP 1N ＋∠MP 2N ＝∠A 是否正确？请说明你的理由；（3）如图3，点M ，N 分别在边AB ，AC 上，且P 1，P 2，…，P 2009是边BC 的2010等分点，则∠MP 1N ＋∠MP 2N ＋…＋∠MP 2009N ＝＿＿＿＿．（济南市中考试题）解题思路：本题涉及的考点有三角形中位线定理、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质．ABCM NP图1ABC MN1P 2P 图2AMNBC1P 2P 2009P 图3QA BCDEFGM NP能力训练A 级1．设K ＝a b c c +-＝a b c b -+＝a b ca-++，则K ＝＿＿＿＿． （镇江市中考试题）2．如图，AD ∥EF ∥BC ，AD ＝15，BC ＝21，2AE ＝EB ，则EF ＝＿＿＿＿．3．如图，在△ABC 中，AM 与BN 相交于D ，BM ＝3MC ，AD ＝DM ，则BD ︰DN ＝＿＿＿＿．（杭州市中考试题）4．如图，ABCD 是正方形，E ，F 是AB ，BC 的中点，连结EC 交DB ，交DF 于G ，H ，则EG ︰GH ︰HC ＝＿＿＿＿．（重庆市中考试题）5．如图，在正△ABC 的边BC ，CA 上分别有点E ，F ，且满足BE ＝CF ＝a ，EC ＝F A ＝b （a ＞b ），当BF 平分AE 时，则ab 的值为（ ） ABCD6．如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF ︰FD ＝1︰5，连结CF 并延长交AB 于E ，则AE ︰EB 等于（ ）A ．1︰10B ．1︰9C ．1︰8D ．1︰77．如图，PQ ∥AB ，PQ ＝6，BP ＝4，AB ＝8，则PC 等于（ ） A ．4B ．8C ．12D ．168．如图，EF ∥BC ，FD ∥AB ，BD ＝35BC ，则BE ︰EA 等于（ ）A ．3︰5B ．2︰5C ．2︰3D ．3︰2A BCD E F 第2题ABCD M N第3题ABCDEFGH第4题A BCEFG第5题ABCDE F第6题QABCP第7题AB CDEF 第8题9．（1）阅读下列材料，补全证明过程．已知，如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥BC 于E ，连结DE 交OC 于点F ，作FG ⊥BC 于G ．求证：点G 是线段BC 的一个三等分点．（2）请你依照上面的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点．（要求：保留画图痕迹，不写画法及证明过程）（山西中考试题）10．如图，已知在□ABCD 中，E 为AB 边的中点，AF ＝12FD ，FE 与AC 相交于G ． 求证：AG ＝15AC ．11．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD ． （1）求证：OE ＝OF ； （2）求OE AD ＋OEBC的值； （3）求证：1AD ＋1BC ＝2EF． （宿迁市中考试题）ABCDE FGO第9题ABCDEG第10题ABCD EFO第11题12．如图，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底边AD 上的一点，CE 的延长线与BC 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线交CD 的延长线于点M ，MB 与AD 交于点N ．求证：∠AFN ＝∠DME ．（全国初中数学联赛试题）B 级1．如图，工地上竖立着两根电线杆AB ，CD ，它们相距15cm ，分别自两杆上高出地面4m ，6m 的A ，C 处，向两侧地面上的E ，D 和B ，F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度为＿＿＿＿m ．（全国初中数学联赛试题）2．如图，□ABCD 的对角线交于O 点，过O 任作一直线与CD ，BC 的延长线分别交于F ，E 点．设BC ＝a ，CD ＝b ，CF ＝c ，则CE ＝＿＿＿＿．（黑龙江省中考试题）3．如图，D ，F 分别是△ABC 边AB ，AC 上的点，且AD ︰DB ＝CF ︰F A ＝2︰3，连结DF 交BC 边的延长线于点E ，那么EF ︰FD ＝＿＿＿＿．（“祖冲之杯”邀请赛试题）4．如图，设AF ＝10，FB ＝12，BD ＝14，DC ＝6，CE ＝9，EA ＝7，且KL ∥DF ，LM ∥FE ，MN ∥ED ，则EF ︰FD ＝＿＿＿＿．（江苏省竞赛试题）ABCDEF M NP ABCDEF O第2题ABCD EF 第3题QABCD EF 第1题5．如图，AB ∥EF ∥CD ，已知AB ＝20，CD ＝80，那么EF 的值是（ ） A ．10B ．12C ．16D ．18（全国初中数学联赛试题）6．如图，CE ，CF 分别平分∠ACB ，∠ACD ，AE ∥CF ，AF ∥CE ，直线EF 分别交AB ，AC 于点M ，N ．若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，且c ＞a ＞b ，则EM 的长为（ ）A ．2c a- B ．2a b- C ．2c b- D ．2a b c+- （山东省竞赛试题）7．如图，在□ABCD 的边AD 延长线上取一点F ，BF 分别交AC 与CD 于E ，G ．若EF ＝32，GF ＝24，则BE 等于（ ）A ．4B ．8C ．10D ．12E ．16（美国初中数学联赛试题）8．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3CD ，E 是对角线AC 的中点，直线BE 交AD 于点F ，则AF ︰FD 的值是（ ）A ．2B ．53C ．32D ．1（黄冈市竞赛试题）9．如图，P 是梯形ABCD 的中位线MN 所在直线上的任意一点，直线AP ，BP 分别交直线CD 于E ，F ．求证：MN NP ＝1()2AE BFEP FP+． （宁波市竞赛试题）ABCD EFG第7题ABCDE F第8题ABCD E F MNP第9题A BCDE F第5题ABCD EF L KM N第4题AB CDEFM第6题10．如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，直线l 平行于BD 且与AB ，DC ，BC ，AD 及AC 的延长线分别交于点M ，N ，R ，S 和P ．求证：PM ·PN ＝P R ·PS ．（山东省竞赛试题）11．如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，B ，D 是垂足，AD 和BC 交于E ，EF ⊥BD 于F ．我们可以证明：11AB CD +＝1EF 成立（不要求证出）．以下请回答：若将图中垂直改为AB ∥CD ∥EF ，那么， （1）11AB CD+＝1EF 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． （2）请找出S △ABD ，S △BED 和S △BDC 的关系式，并给出证明．（黄冈市竞赛试题）ABCDEF第11题SA R BC DMN OPl第10题12．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，过D点的直线PQ交边AC于点P，交边AB 的延长线于点Q．（1）如图1，当PQ⊥AC时，求证：11AQ AP+；（2）如图2，当PQ不与AD垂直时，（1）的结论还成立吗？证明你的结论；（3）如图3，若∠BAC＝60°，其它条件不变，且11AQ AP+＝nAD，则n＝＿＿＿＿（直接写出结果）AQ B CDP图1AQB CDP图2AQB CDP图3专题14 平行线分线段成比例例1aba b+ 提示：由AP DQ a PF QF b ==,推得PQ ∥AD 。
初三数学比例线段练习题
比例线段成比例线段 类型一：线段的比考点说明：陕西各大学校对于线段的比基本在月考或期中期考考试中会出一道选择题以此来检验学生的掌握情况，容易度为：比较容易，没有出现过难题，一般属于送分题。
【易】1．若a ：b=b ：c=c ：d=1：2，则a ：d=（ ） A.1：2 B. 1：4 C. 1：6 D. 1：8【易】2．已知y x =53，则(x+y)：(x −y)= . 【易】3．已知5x =3y =4z，则z y 3x z -y 2x +++= .【中】4．已知y 2-x 3y 5x +=21，则y x= ，y-x y x += .【中】5．如果b a =32，且a ≠2，b ≠3，那么5-b a 1b -a ++= .【中】6．若ba =43，cb =23，dc =54，则22db ac +等于多少？【难】7．已知a+b=x c ，b+c=x a ，a+c=xb，求x 的值类型二：成比例线段【易】1．已知mn=ab≠0，则下列各式中错误的是（ ） A.a m =nb B. b m =n a C. m a =b n D.n m =ba【易】2．已知线段a ，b ，c 满足c 2=ab ，a=4，b=9，则c=______【易】3．在一张比例尺为1：15000的平面图上，一块多边形地区的其中一边长为5cm ，那么这块地区实际上和这一边相对应的长度为（ ） A.750cm B.75000cm C.3000cm D.300cm【中】4.有同一三角形地块的甲，乙两地图，比例尺分别为1：100和1：500，那么甲地图与乙地图表示这一块的三角形面积比是（ ） A.25：1 B.5：1 C.251 D.51 【中】5.如图，四条线段的长分别为9，5，x 、1（其中x 为正实数），用它们拼成两个相似的直角三角形，且AB 与CD 是其中的两条线段，则x 可取值的个数为（ ）A.1个B.3个C.6个D.9个【难】6.已知a ，b ，c ，d 四条线段成比例，其中a=3cm ，b=（x-1）cm ，c=5cm ，d=（x+1）cm ，求x 的值比例线段的性质类型一：比例线段的性质考点说明：考试一般以选填形式出题，大题中则是把知识点与三角形的边长之间的关系结合在一起考查学生。
北师大版九年级上册数学 第四章 成比例线段、平行线段成比例(解析版)
第四章成比例线段、平行线段成比例一、单选题1．下列各组线段的长度成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．3cm，4cm，5cm，6cmC．5cm，10cm，15cm，20cm D．6cm，4cm，3cm，2cm【答案】D【解析】【分析】根据成比例线段的定义，把线段按照由大到小或由小到大的顺序排列，验证第一项×第四项是否与中间两项乘积相等即可．【详解】A、1×4≠2×3，因此不成比例；B、3×6≠4×5，因此不成比例；C、5×20≠10×15，因此不成比例；D、6×2＝4×3，因此成比例；故选D．【点睛】本题考查成比例线段的定义，属于基础题．2．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，则下列各式不正确的是（）A ．AP ：BP=AB ：AP B ．AP AB =C ．12BP AB =D ．0.618AP AB ≈【答案】C【解析】【分析】直接根据黄金分割的概念排除选项即可．【详解】由题意得：∴ AP ：BP=AB ：AP ，故A 正确；12AP AB =，故B 正确；AP AB =∴32BP AB AP AB =-=，故C 错误；2.236≈，∴0.618AP AB AB =≈，故D 正确． 故选C ．【点睛】本题主要考查黄金分割点，熟记黄金分割点的概念是解题的关键．3．如图，//DE BC，下列各式不正确的是（）A．AD AEAB AC=B．AD AEBD CE=C．AD AEAC AB=D．AD ABAE AC=【答案】C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例列出比例式，即可判断．【详解】∵//DE BC,∵AD AEBD CE=，AD AEAB AC=，即AD ABAE AC=，，∵选项A、B、D均正确，故选：C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解答的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并注意比例中的线段的顺序．4．如图，l1∵l2∵l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若23=ABBC，DE＝4.2，则DF的长是（）A．38B．6C．6.3D．10.5【答案】D 【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出DE ABEF BC=，再把已知条件代入求解即可．【详解】解：∵l1∵l2∵l3，23=ABBC，DE＝4.2，∵DE ABEF BC=，即4.223EF=，解得：EF＝6.3，∵DF＝DE+EF＝10.5．故选：D．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理．熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．5．已知在ABC中，点D为AB上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，过点E作AB的平行线交BC于点F．则下列说法不正确的是（）A．AD AEAB AC=B．DE AEBC AC=C．BF ADBC AB=D．AD BFAB FC=【答案】D【解析】【分析】由平行线分线段成比例定理即可得出结论．【详解】解：∵DE∵BC，EF∵AB，∵AD AE DEAB AC BC==，A、B选项正确；∵四边形BDEF是平行四边形，∵DE=BF，∵AD DE BFAB BC BC==，故C选项正确，D选项错误；故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．6．如果a=2，b=4，c=8，那么（）A．a、b、c的第四比例项是7B．3a、2b和3c的第四比例项为18 C．c是ab的比例中项D．b是ac的比例中项【答案】D【解析】【分析】根据线段成比例进行判断即可．【详解】A选项a、b、c的第四比例项是16，因为28 416 =∵B选项3a、2b和3c的第四比例项为32，因为624 832 =，C选项c不是ab的比例中项，因为2ab c≠，D选项b是ac的比例中项，因为2ac b=故选：D【点睛】本题考查线段成比例的问题．关键是根据线段成比例的性质解答．7．点P是线段AB的黄金分割点，且AP PB>，下列命题：()()()()2221AB AP PB2AP PB AB3BP AP AB4AP:AB PB:AP=⋅=⋅=⋅=，中正确的有（∵A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值51-叫做黄金比．【详解】∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP∵PB∵∵根据线段黄金分割的定义得：AP2∵PB•AB∵AP∵AB∵PB∵AP∵∵只有∵∵正确．故选B∵【点睛】本题主要考查了理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．本题同时考查了乘积形式和比例形式的转化，难度适中．8．如图，点F是ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论正确的有()∵ED DFEA AB=∵∵DE EFBC FB=∵ ∵BC BFDE BE=∵∵BF BCBE AE=.A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得CD∵AB∵AD∵BC∵CD=AB∵AD=BC，然后根据平行线分线段成比例定理，对各个结论进行分析即可求得答案．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∵CD ∵AB ,AD ∵BC ∵CD =AB ∵AD =BC ∵ ∵ED DF EA AB=，故∵正确； ∵DE EF AD FB =,即DE EF BC FB=，故∵正确； ∵BC BF DE EF =，故∵错误； ∵BF AD BE AE =,即BF BC BE AE=，故∵正确. 故选:C.【点睛】考查平行线分线段成比例, 平行四边形的性质，比较基础，难度不大.9．如图，∵ABC 中，M 是AC 的中点，E 、F 是BC 上的两点，且BE=EF=FC ．则BN:NQ:QM 等于（ ）A ．6:3:2B ．2:1:1C ．5:3:2D ．1:1:1【答案】C【解析】【分析】 连结MF ，如图，先证明MF 为∵CEA 的中位线，则AE=2MF∵AE∵MF ，利用NE∵MF 得到 1BN BE NM EF ==∵12NF BE MF BF ==，即BN=NM∵MF=2NF ，设BN=a∵NE=b ，则NM=a∵MF=2b∵AE=4b ，所以AN=3b ，然后利用AN∵MF 得到 3322NQ AN b QM MF b ===，所以NQ=35a∵QM=25a ，再计算BN∵NQ∵QM 的值． 【详解】连结MF ，如图，∵M 是AC 的中点，EF=FC∵∵MF 为∵CEA 的中位线，∵AE=2MF∵AE∵MF∵∵NE∵MF∵ ∵1BN BE NM EF ==∵12NF BE MF BF ==∵ ∵BN=NM∵MF=2NF∵设BN=a∵NE=b ，则NM=a∵MF=2b∵AE=4b∵∵AN=3b∵∵AN∵MF∵ ∵3322NQ AN b QM MF b ===∵ ∵NQ=35a∵QM=25a∵∵BN∵NQ∵QM=a∵35a∵25a=5∵3∵2∵故选C∵【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形中位线性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．10．如图，O是平行四边形ABCD的对角线交点，E为AB中点，DE交AC于点F，若平行四边形ABCD 的面积为8，则DOE的面积是()A．2B．32C．1D．94【答案】C【解析】【分析】由平行四边形的面积，找到三角形底边和高与平行四边形底边和高的关系，利用面积公式以及线段间的关系求解．分别作∵OED和∵AOD的高，利用平行线的性质，得出高的关系，进而求解．【详解】解：如图，过A、E两点分别作AN∵BD、EM∵BD，垂足分别为M、N，则EM∵AN，∵EM：AN＝BE：AB，∵E为AB中点，∵BE=12 AB，∵EM＝12 AN，∵平行四边形ABCD的面积为8，∵2×12×AN×BD＝8，∵AN×BD＝8∵S∵OED＝12×OD×EM＝12×12BD×12AN＝18AN×BD＝1．故选：C．【点睛】本题考查平行四边形的性质，综合了平行线分线段成比例以及面积公式．已知一个三角形的面积求另一个三角形的面积有以下几种做法：∵面积比是边长比的平方比；∵分别找到底和高的比．二、填空题11．相距125千米的两地在地图上的距离为25cm，则该地图的比例尺为_____．【答案】1：500000．【解析】【分析】图上距离和实际距离已知，依据“比例尺＝图上距离：实际距离”即可求得这幅地图的比例尺．【详解】解：∵125km＝12500000cm，该地图的比例尺＝25：12500000＝1：500000；故答案为：1：500000．【点睛】此题考查了比例线段，用到的知识点是图上距离、实际距离和比例尺的关系，解答时要注意单位的换算． 12．已知，225x y z ==，则322x y z x-+＝_____． 【答案】74【解析】【分析】 设225xyzk ===，得出x ＝2k ，y ＝2k ，z ＝5k ，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．【详解】 解：设225xyzk ===，则x ＝2k ，y ＝2k ，z ＝5k ，326457244x y z k k k x k -+-+==； 故答案为：74． 【点睛】此题考查了比例性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．13．若点C 是线段AB 上的一点，且AB=1，，则AC ︰BC=_________．2【解析】【分析】由AB=1，，可得BC 的长，即可求出AC ︰BC 的比值． 【详解】点C 是线段AB 上的一点，且AB=1，∴32BC -= ∴AC ︰2=．2．【点睛】本题主要考查线段成比例，关键是根据题意得到BC 的长，然后进行比值即可．14．如图////AB CD EF ，4=AD ，3BC DF ==，则CE =________.【答案】94【解析】【分析】根据平行线分线段成比例直接列比例式计算即可．【详解】∵////AB CD EF ， ∵CE DF BC AD=， 又4=AD ，3BC DF ==， ∵334CE =， 解得：CE=94， 故答案为：．94【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解答的关键熟练掌握这个知识点并注意线段的书写顺序．15．如图，AD 是中线，点E 在AC 上，BE 交AD 于点F ．若12AF AD =，则AE AC值是______．【答案】13【解析】【分析】过点D 作BE 的平行线交AC 于点G ，利用平行得到的线段成比例，先通过D 是BC 中点，证明CG=GE ，再通过F 是AD 中点，证明AE=EG ，最后得到AE AC的值．解：过点D 作BE 的平行线交AC 于点G ，∵//DG BE ，∵CD CG CB CE=， ∵AD 是中线，∵D 是BC 中点，∵G 是CE 中点，∵//FE DG ，∵12AF AE AD AG ==，∵E 是AG 中点， ∵31AE AC =． 故答案是：13．【点睛】本题考查线段成比例的性质，解题的关键是构造辅助线，然后利用平行得到的线段成比例去求解． 16．如图：AD 是ABC 的中线，E 是AD 上一点，AE ：1ED =：3，BE 的延长线交AC 于F ，AF ：FC=_______ ．【答案】1:6【解析】作DH∵BF 交AC 于H ，根据三角形中位线定理得到FH=HC ，根据平行线分线段成比例定理得到13AF AE FH ED ==，计算得到答案． 【详解】解：作DH∵BF 交AC 于H ，∵AD 是∵ABC 的中线，∵BD=DC ，∵FH=HC ，∵DH∵BF ， ∵13AF AE FH ED ==， ∵AF ：FC=1：6，故答案为：1：6．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系，根据中线为切入点作出辅助线是解题的关键．17．如图：//AD BC ，AC ，BD ，EF 相较于点G ，DEG △，AGE ，BFG ，FGC △的面积分别记为a ，b ，c ，d ，若2AE DE =，则24a cb d ----的值为__________．【答案】12【解析】【分析】根据题意∵AGE 和∵DEG 高相等，底是两倍关系所以面积也是两倍关系，即b =2a ，同理d =2c ，将代数式中的b 和d 转换成a 和c 即可解出．【详解】∵AE=2DE ，∵S ∵AGE =2S ∵DEG ，又∵AD∵BC ， ∵1==2BFG DEG FGC AGE S S S S △△△△， ∵b =2a ，d =2c ，()22214224222a c a c a cb d ac a c ------===------． 故答案为12． 【点睛】本题考查相似比的应用，关键在于通过线段比转换成面积比．18．如图，等边∵ABC 的边长为8，AD 是BC 边上的中线，点E 是AC 边上的一点，AE=2，若点M 是线段AD 上的一个动点，则ME+MC 的最小值为____.【答案】【解析】【分析】由等边三角形的性质可知B、C关于AD对称，根据两点之间线段最短可知，连接BE，此时BE就是ME+MC 的最小值.【详解】如下图所示，连接BE，过E作EF∵AD于F，∵∵ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，∵AD∵BC，∵AD是BC的垂直平分线，∵点C关于AD的对应点为点B，∵BE就是EM+CM的最小值.∵等边∵ABC的边长为8，AE=2，∵14 AE= AC∵EF∵AD，AD∵BC，∵EF∵BC，∵14EF AE ==CD AC ∵14FM EM EF EF ====MD BM BD CD 在Rt∵AEF 中，∵EAF=30°，AE=2，∵EF=12AE=1，在Rt∵ABD 中，∵DF=AD -AF=∵14FM =MD∵15FM= 在Rt∵EFM 中，5 又∵14EM =BM∵BE=5EM=55⨯∵EM+CM 的最小值为【点睛】本题考查了最短路径问题，典型的“将军饮马”模型，需要熟记此模型辅助线的做法，找到最短路径后，利用线段比例关系求出BE 是关键.三、解答题19．已知a ：b ：c=3：2：5， 求342a b c a b c-++-的值. 【答案】173【解析】【分析】根据比例式设未知，利用代入法求解.【详解】设a=3k ，则b=2k ，c=5k342a b c a b c -++-=3620625k k k k k k-++-=173 考点：比例的性质20．如图，以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上．（1）求AM ，DM 的长；（2）求证：AM 2＝AD·DM ；（3）根据（2）的结论你能找出图中的一个黄金分割点吗？【答案】（11，3（2）证明见解析；（3）图中的点M 为线段AD 的黄金分割点【解析】【分析】（1）由勾股定理求PD ，根据AM =AF =PF -P A =PD -P A ，DM =AD -AM 求解；（2）由（1）计算的数据进行证明；（3）根据（2）的结论得：AM DM AD AM=，根据黄金分割点的概念，则点M 是AD 的黄金分割点． 【详解】解：（1）∵P 为边AB 的中点，∵AP ＝12AB ＝1，∵PD∵PF ＝PD AF ＝PF －AP 1，∵AM ＝AF 1，∵DM ＝AD －AM ＝3（2）证明：∵AM 2＝1)2＝6－AD ·DM ＝2(3＝6－∵AM 2＝AD ·DM ．（3）图中的点M 为线段AD 的黄金分割点．理由如下：∵AM 2=AD •DM ，∵AM DM AD AM ==， ∵点M 是AD 的黄金分割点．【点睛】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段AM ，DM 的长，然后求得线段AM 和AD ，DM 和AM 之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．21．已知三条线段长分别为1cm cm ，2cm ，请你求出一条线段，使得它的长与前面三条线段能够组成比例线段．cm cm∵ 【解析】【分析】根据添加的线段长度，进行分情况讨论．【详解】解：设这条线段长xcm ，∵若四条线段的长度大小为：x ，1，2时，21x =2x =；∵若四条线段的长度大小为： 1，x212=⨯，解得：x =∵若四条线段的长度大小为： 1，x ，212=⨯，解得：x =∵若四条线段的长度大小为： 1，2 ，x 时，12x ⨯=x =cm 或cm ． 【点睛】本题考查成比例线段的求法，分类讨论是关键．22．如图，在∵ABC 中，DE∵BC ，分别与AB 、AC 交于点D 、E ，点F 在BC 上，DE 交AF 于点G ，AD=2BD ，AE=5，求：（1）AGAF；（2）AC的长．【答案】（1）23；（2）152【解析】【分析】（1）由于DE∵BC，AD=2BD，23ADAB=根据平行线分线段成比例定理可得23AG ADAF AB==；（2）同（1），易求23AEAC=，而AE=5，从而可求AC．【详解】解：（1）∵DE∵BC∵且AD=2BD∵23 AG AD AF AB==（2）∵DE∵BC∵且AD=2BD∵23 AE AD AC AB==∵AE=5∵AC=15 2【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段．23．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，BA BC =，点D 为BC 边上的中点，连接AD ，过点B 作BE AD ⊥于点E ，延长BE 交AC 于点F ，求AF FC的值．【答案】2【解析】【分析】过点A 作BC 的平行线，过点C 作AB 的平行线相交于点M ，延长BF 交MC 于点G ．先证明GBC DAB △≌△，得到CG BD =，然后根据及平行线分线段成比例定理求解即可．【详解】解：如解图，过点A 作BC 的平行线，过点C 作AB 的平行线相交于点M ，延长BF 交MC 于点G ． ∵90ABC ∠=︒，BA BC =，∵四边形ABCM 为正方形，∵90ABC BCG ∠=∠=︒，∵90ABE GBC ∠+∠=︒，又∵BE AD ⊥，∵90ABE BAD ∠+∠=︒，∵GBC DAB ∠=∠，又∵AB BC =，∵()ASA GBC DAB △≌△，∵CG BD =．又∵//AB MC ， ∵2AF AB AB FC CG BD===．【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例定理，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用平行线分线段成比例定理解答．24．如图，已知AD∵BE∵CF ，它们依次交直线l1，l2于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，23DE EF =，10AC =．（1）求AB 、BC 的长；（2）如果AD=5，CF=10，求BE 的长．【答案】（1）4，6；（2）7【解析】【分析】（1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出23AB DE BC EF ==，即可求出AB 的长，得出BC 的长； （2）过点A 作AG∵DF 交BE 于点H ，交CF 于点G ，得出AD=HE=GF=5，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH=2，即可得出结果．【详解】（1）解：∵AD BE CF ∵23AB DE BC EF ==，∵25AB AC = ∵10AC =，∵4AB =∵1046BC =-=（2）解：过点A 作AG DF 交BE 于点H ，交CF 于点G又∵AD BE CF ，5AD =，∵5AD HE GF ===∵CF 10=∵1055CG =-=∵BE CF ∥ ∵25BH AB CG AC == ∵2BH =∵257BE =+=【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH是解决问题的关键．25．如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∵BC交DC于点F∵32 DFFC=∵∵1）若BD=20，求BG的长∵∵2）求CMCD的值∵【答案】(1)8;(2)1 2【解析】【分析】∵1）由GF∵BC，可证DF DGFC BG=，结合32DFFC=，整理可求出BG的值；∵2∵由四边形ABCD是平行四边形，可证AB∵CD∵AB=CD∵从而DM DGAB BG=∵整理可求出32DMAB=∵根据比例的性质可求出的CM CD值.【详解】(1) ∵GF∵BC∵∵DF DG FC BG=∵∵BD=20∵32 DFFC=∵∵8BG=∵(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∵AB∵CD∵AB=CD∵∵DM DG AB BG=∵∵32 DMAB=∵∵32 DMCD=∵∵12 CMCD=.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，比例的性质，平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例.推论：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.26．如图，在四边形ABCD中，AD∵BC，BA和CD的延长线交于P，AC和BD交于点O，连接PO并延长分别交AD、BC于M、N．求证：AM=DM．【答案】见解析.【解析】【分析】依据AD∵BC，即可得出AMNC=AOCO，再根据AD∵BC，即可得到AOOC=ADBC=PDPC=MDNC，进而得到结论．【详解】证明：∵AD∵BC∵∵AMNC=AOCO∵∵AD∵BC∵∵AOOC=ADBC=PDPC=MDNC∵∵AMNC=MDNC∵∵AM=MD∵【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理的运用，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．27．已知：如图，在∵ABC中，AD是边BC上的中线，点E在线段DC上，EF∵AB交边AC于点F，EG∵AC 交边AB于点G，FE的延长线与AD的延长线交于点H．求证：GF = BH．【答案】见解析【解析】【分析】由于EF ∵AB ，根据平行线分线段成比例，可得到2EF EC EC AB BC DC ==，HE DE DC EC AB BD DC-==，从而推出HF BE AB BC =，再由EG ∵AC 根据平行线分线段成比例，得到BE BG BC AB=，即可推出HF = BG ，最后根据一组对边平行且相等判定四边形BGFH 是平行四边形，得到GF = BH ．【详解】证明：∵ AD 是边BC 上的中线，∵ BD = DC ．∵ HF ∵AB ，∵ 2EF EC EC AB BC DC ==，HE DE DC EC AB BD DC-== ∵ 22EF HE DC EC AB DC+-=， 即HF BE AB BC=， ∵ EG ∵AC ，∵BE BG BC AB =， ∵ HF BG AB AB=， ∵ HF = BG ，又∵ HF ∵BG ，∵ 四边形BGFH 是平行四边形，∵ GF = BH ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例和平行四边形的判定，属于综合题，根据平行线分线段成比例，得出相关线段的比例式是关键.。
比例线段(四大题型总结)(压轴题专项讲练)(北师大版)(原卷版)2024-2025学年九年级数学上册
比例线段（四大题型总结）（压轴题专项讲练）【题型一：比例的性质】1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知线段a 、b 、c 、d 、m ，如果ab =cd ，m ≠0，那么下列各式中成立的是（ ）A =B ．a―m b=c―m dC ．a+m b+m =cdD ．a 2b =c 2d2．（23-24九年级上·河南郑州·期末）已知2ab+c =2ba+c =2ca+b =k ，则k =（ ）A ．1B ．±1C ．1或―2D ．23．（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）已知ab =cd =ef =5，且b +d +f ≠0，若a +c +e =30，则b +d +f =．4．（2024·四川南充·模拟预测）已知实数a 、b 、c 满足1a+1=2b+2=3c―3，则a ―2b +c 的值为 ．5．（24-25九年级上·全国·单元测试）根据下列条件求x:y:z 的值．（1）x:y =3:7，y:z =4:7；（2）x:y =13:12，x:z =0.3:0.2．【题型二：比例线段】6．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）下列各组中的四条线段a ，b ，c ，d 是成比例线段的是（ ）A ．a =1，b =1，c =1，d =5B ．a =1，b =c =d =8C ．a =2，b =c =d =D ．a =b =3，c =2，d =87．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）线段a 、b 、c 、d 成比例，其中b =3cm ，c =2cm ，d =6cm ，则a =cm ．8．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知线段a=0.3m，b=60cm，c=12dm．（1）求线段a与线段b的比和线段b与线段c的比；（2）如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长．（3）在比例式a:b=b:c或b2=ac中，我们把b称为a、c的比例中项，那么本题中b是a和c的比例中项吗？为什么？9．（23-24九年级上·山西晋中·阶段练习）如图，一块矩形绸布的长AB=a m，宽AD=2m，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即AE AD =ADAB，那么a的值应当是多少？10．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知点D ，E 分别在边AB ，AC 上，BE ，CD 交于点O ，ADAB =DE BC =DOCO，AB =7，DB =4，BC =9，CD =10．（1）求DE ，CO 的长；（2）若△ABC 的面积为70，求△BOC 的面积．【题型三：黄金分割】11．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）若点C 是线段AB 的黄金分割点，且AB =2，则AC =（ ）A 1B ．3―CD 1或312．（23-24九年级上·上海长宁·期末）已知点C 在线段AB 上，且满足AC 2=BC ⋅AB ，那么下列式子成立的是（ ）A ．ACBC =B ．ACAB =C ．BCAB =D ．BCAC =13．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB 为边作正方形ABCD ，取AD 的中点E ，连接BE ，延长DA 至F ，使得EF =BE ，以AF 为边作正方形AFGH ，则点H 即是线段AB 的黄金分割点．若AD =20，记正方形AFGH 的面积为S 1，矩形BCIH 的面积为S 2，则S 1与S 2的和为．14．（2024·四川乐山·一模）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的一段GN 的比例中项，即满足MGMN =GNMG =“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点．如图，在△ABC 中，已知AB =AC =3，BC =4，若D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，则△ADE 的面积为 ．15．（23-24八年级下·湖北武汉·0.618）的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等．（1）如图，经测量，帕特农神庙的面宽约为31米，那么它的高度大约是______米．（结果取整数）实验操作：折一个黄金矩形第一步，在矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形MNCB ，然后把纸片展平；第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平；第三步：折出内侧矩形的对角线AB ，并将AB 折到图3所示的AD 处；第四步，展平纸片，按照所得的点D 折出DF ，矩形BCDF 就是黄金矩形（如图4）．问题思考：（2）图4中是否还存在其它黄金矩形，请判断并说明理由；（3）以图3中的折痕AQ 为边，构造黄金矩形，若MN =2，则这个矩形的面积是______（直接写出结果）．【题型四：平行线分线段成比例】16．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在△ABC 中，DE∥BC ，DF∥AC ，则下列比例式中正确的是（ ）A ．BDAD =DF FCB ．DE FB =AEACC ．BF FC =CEAED ．ADFC =AB AC17．（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是AD 、BC 中点，试判断BA 、NM 、CD 延长线是否交于一点，并证明．18．（24-25九年级上·上海·假期作业）已知如图，点D 是ΔABC 边BC 上一点，且BD:DC =2:3，过点C 任作一条直线与AB 、AD 分别交于点F 和E ，求证：AEED =5AF3BF ．19．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图，将正方形ABCD 沿着BE ，BF 将BC ，AB 翻折，使A ，C 两点恰好落在点P ，过点P 作MN∥BC ，交BF 于点Q ．若QP =12BC ，则FQQB =．20．（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD 如图所示．将小正方形对角线EF 双向延长，分别交边AB ，和边BC 的延长线于点G ，H ．若大正方形与小正方形的面积之比为5，GH =，则大正方形的边长为．。
2018年秋九年级数学上册第22章相似形22.1比例线段第2课时比例线段同步练习新版沪科版20180811174
22.1 第2课时比例线段知识点 1 两条线段的比1．已知线段a＝3厘米，线段b＝13毫米，则a∶b的值是( )A. 313 B.133C.3013D.13302．［教材练习第2题变式］延长线段AB到点C，使BC＝AB，则下列线段的比错误的是( ) A．AB∶AC＝1∶2 B．AB∶BC＝1∶1C．BC∶AC＝1∶2 D．AC∶AB＝1∶2知识点 2 成比例线段3．下列长度的各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的是( )A．1，2，3，4 B．1，2，2，4C．3，5，9，13 D．1，2，2，34．若a，b，c，d是成比例线段，其中a＝5 cm，b＝3 cm，c＝2 cm，则线段d＝________cm.5．已知线段a＝3 cm，b＝12 cm，c＝5 cm，d＝20 cm，请写出一个正确的比例式：________________．知识点 3 比例中项6．如果线段a＝8 cm，b＝2 cm，那么a和b的比例中项是( )A．8 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm7．若b是a，c的比例中项，且a∶b＝7∶3，则b∶c等于( )A．9∶7 B．7∶3 C．3∶7 D．7∶98．三条线段a，b，c中，b是a，c的比例中项，则a，b，c( )A．一定能构成三角形B．一定不能构成三角形C．不一定能构成三角形D．不能构成直角三角形9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2，则ABBC ＝________，ACAB＝________．10．如图22－1－7所示，有矩形ABCD和矩形A′B′C′D′，AB＝8 cm，BC＝12 cm，A′B′＝4 cm，B′C′＝6 cm.(1)线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段吗？(2)矩形ABCD和矩形A′B′C′D′相似吗？图22－1－711．如图22－1－8，已知C是线段AB上的点，D是AB延长线上的点，且AD∶BD＝3∶2，AB∶AC＝5∶3，AC＝3.6，求AD的长．图22－1－812．如图22－1－9所示，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AC＝3，BC＝4.(1)线段AD，CD，CD，BD是不是成比例线段？写出你的理由；(2)在这个图形中，是否还有其他成比例的四条线段？如果有，请至少写出两组．图22－1－91．C 2. D 3. B4. 655. 答案不唯一，如a b ＝c d 或a c ＝b d6. C7．B 8．C9． 2 3210．解：(1)∵AB ＝8 cm ，BC ＝12 cm ，A ′B ′＝4 cm ，B ′C ′＝6 cm ，∴A ′B ′AB ＝48＝12，B ′C ′BC ＝612＝12，∴A ′B ′AB ＝B ′C ′BC ，∴线段A ′B ′，AB ，B ′C ′，BC 是成比例线段．(2)∵矩形的每个角都是90°，∴矩形ABCD 和矩形A ′B ′C ′D ′的对应角相等．又∵A ′B ′AB ＝B ′C ′BC ，∴矩形ABCD 和矩形A ′B ′C ′D ′的对应边的比相等，∴矩形ABCD 和矩形A ′B ′C ′D ′相似．11．解：∵AB ∶AC ＝5∶3，AC ＝3.6，∴AB ＝53×3.6＝6.又∵AD ∶BD ＝3∶2，设AD ＝3x ，BD ＝2x ，则AB ＝AD －BD ＝x ＝6，∴AD ＝18.12．解：(1)是成比例线段．理由如下：∵AC ＝3，BC ＝4，∴由勾股定理，得AB ＝5.∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD ，即12×3×4＝12×5×CD ，∴CD ＝2.4.由勾股定理，得AD ＝1.8.∴BD ＝3.2，∴ADCD ＝1.82.4＝34，CD BD ＝2.43.2＝34，∴AD CD ＝CDBD ，∴线段AD ，CD ，CD ，BD 是成比例线段．(2)有CDBD ＝ACBC ，BDBC ＝BCAB (答案不唯一)．百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。
比例性质和比例线段专项练习30题(有答案)
比的性质和比例线段30题（有答案）1．若==（abc≠0），求的值．2．已知：（x、y、z均不为零），求的值．3．已知：，求代数式的值．4．已知===k，求k的值．5．已知x：y：z=2：3：4，求的值．6．已知a：b：c=3：2：1，且a﹣2b+3c=4，求2a+3b﹣4c的值．7．已知，（1）求的值；（2）若，求x值．8．已知xyz≠0且，求k的值．9．若==，求a：b：c的值．10．已知：==，求的值．11．若=k，且x+y﹣z=5，求x，y，z的值．12．如果，求k的值．13．已知线段．（1）若a：b=c：x，求x；（2）若b：y=y：c，求y．14．已知：=，说明：ab+cd是a2+c2和b2+d2的比例中项．15．已知：==≠0，求a：b：c的值．16．操场上有一群学生在玩游戏，其中男生与女生的人数比是3：2，后来又有6名女生参加进来，此时男生与女生人数的比为5：4，求原来各有多少名男生和女生？17．已知，求的值．18．求的值．19．已知，且b+d+f≠0（1）求的值；（2）若a﹣2c+3e=5，求b﹣2d+3f的值．20．已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c=36，==，求△ABC三边的长．21．已知线段a、b、c满足，且a+2b+c=26．（1）求a、b、c的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x．22．（1）已知a=4，c=9，若b是a，c的比例中项，求b的值．（2）已知线段MN是AB，CD的比例中项，AB=4cm，CD=5cm，求MN的长．并思考两题有何区别．23．已知线段a=0.3m，b=60cm，c=12dm．（1）求线段a与线段b的比以及比值；（2）如果线段a，b，c，d成比例，求线段d的长．24．在长为a的线段AB上有一点C，且AC是AB，BC的比例中项，求线段AC的长．25．在△ABC中，D是BC上一点，若AB=15cm，AC=10cm，且BD：DC=AB：AC，BD﹣DC=2cm，求BC的长．26．下列各组中的a，b，c，d四个数是否成比例，若成比例请写出比例式（式中须含全部4个字母）．（1）a=1cm，b=3cm，c=6cm，d=9cm；（2）a=5cm，b=10cm，c=15cm，d=20cm；（3）a=1.9cm，b=8.1cm，c=5.7cm，d=2.7cm；（4）a=126cm，b=23cm，c=14cm，d=207cm．27．已知a，b，c，d四个数成比例，且a，d为外项．求证：点（a，b），（c，d）和坐标原点O在同一直线上．28．某考察队从营地P处出发，沿北偏东60°前进了5千米到达A地，再沿东南方向前进到达C地，C地恰好在P地的正东方向．回答下列问题：（1）用1cm代表1千米，画出考察队行进路线图；（2）量出∠PAC和∠ACP的度数（精确到1°）；（3）测算出考察队从A到C走了多少千米？此时他们离开营地多远？（精确到0.1千米）．29．（1）已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，求线段d的长．（2）已知线段a、b、c，a=4cm，b=9cm，线段c是线段a和b的比例中项．求线段c的长．（3）已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x=1时，y=4，x=2时，y=5．求：①y与x之间的函数关系式；②当x=4时，求y的值．30．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，求AB：BC的值．比的性质和比例线段30题参考答案：1．解：设===k，则a=2k，b=3k，c=5k，所以===．2．解：设=k，则x=6k，y=4k，z=3k∴===3．3．解：设=t，∴，解得，，∴==．4．解：①a+b+c≠0时，∵===k，∴k==2；②a+b+c=0时，a+b=﹣c，a+c=﹣b，b+c=﹣a，所以，k==﹣1，综上所述，k的值为2或﹣15．解：∵x：y：z=2：3：4，∴设x=2k，y=3k，z=4k，∴===6．解：∵a：b：c=3：2：1，∴设a=3k，b=2k，c=k，∵a﹣2b+3c=4，∴3k﹣4k+3k=4，∴k=2，∴a=6，b=4，c=2，∴2a+3b﹣4c=12+12﹣8=16．7．解由，设x=2k，y=3k，z=4k，（1），（2）化为，∴2k+3=k2，即k2﹣2k﹣3=0，∴k=3或k=﹣1，经检验，k=﹣1不符合题意，∴k=3，从而x=2k=6，即x=6．8．解：∵xyz≠0，∴x、y、z均不为0，①当x+y+z≠0时，∵===k，∴k==2，②当x+y+z=0时，x+y=﹣z，z+x=﹣y，y+z=﹣x，所以，k=﹣1，综上所述，k=2或﹣1．9．解：∵==，∴==，∴a+c=2b，∴==，∴=，整理得，a=b，∴b+c=2b，c=b，∴a：b：c=b：b：b=2：3：410．解：设比值为k，则2a﹣b﹣c=ka，﹣a﹣c+2b=kb，﹣a﹣b+2c=kc，所以，b+c=（2﹣k）a，a+c=（2﹣k）b，a+b=（2﹣k）c，∵==，∴=k=0，∴==（2﹣k）3，∵k=0，∴（2﹣k）3=（2﹣0）3=8，∴=8．11．解：∵===k，∴x=2k，y=3k，z=4k，∵x+y﹣z=5，∴2k+3k﹣4k=5，解得k=5，∴x=10，y=15，z=20．12．解：①当x+y+z=0时，y+z=﹣x，z+x=y，x+y=﹣z，∴k为其中任何一个比值，即k==﹣1；②x+y+z≠0时，k===2．13．解：（1）整理得：=，∴x=c÷==（2+）（2﹣）×2=2；（2）由，可得，∴y2=（2+）（2﹣）=1．∴y=±1．14．解：∵=，∴ad=bc，∵（ab+cd）2=a2b2+2abcd+c2d2，（a2+c2）（b2+d2）=a2b2+a2d2+b2c2+c2d2=a2b2+2abcd+c2d2，∴（ab+cd）2=（a2+c2）（b2+d2），∴ab+cd是a2+c2和b2+d2的比例中项15．解：设：===k，则：，①﹣②得：a﹣c=﹣k ④，③+④得：2a=6k，∴a=3k，∴b=﹣k，c=4k，∴a：b：c=3：（﹣1）：4．16．解：设男生与女生原来的人数分别为3k、2k，由题意得，=，整理得，12k=10k+30，解得k=15，3k=3×15=45，2k=2×15=30．答：原来各有45名、30名男生和女生．17．解：设=x，分情况进行：当a+b+c+d≠0时，根据等比性质，得x===1，∴a=b=c=d，∴==2；当a+b+c+d=0时，则=0．故的值为2或018．解：设=x，分情况进行：当a+b+c≠0时，根据等比性质，得x==；当a+b+c=0时，则a+b=﹣c，x=﹣1．故的值为﹣1或．19．解：（1）∵===2，∴=2；（2）∵===2，∴a=2b，c=2d，e=2f，∵a﹣2c+3e=5，∴2b﹣2（2d）+3（2f）=5，∴b﹣2d+3f=2.520．解：==，得a=c，b=c，把a=c，b=c代入且a+b+c=36，得c+c+c=36，解得c=15，a=c=9，b=c=12，△ABC三边的长：a=9，b=12，c=15．21．解：（1）设===k，则a=3k，b=2k，c=6k，所以，3k+2×2k+6k=26，解得k=2，所以，a=3×2=6，b=2×2=4，c=6×3=18；（2）∵线段x是线段a、b的比例中项，∴x2=ab=6×4=24，∴线段x=2．22．解：（1）∵b是a，c的比例中项，∴a：b=b：c，∴b2=ac；b=±，∵a=4，c=9，∴b=±=±6，即b=±6；（2）∵MN是线段，∴MN＞0；∵线段MN是AB，CD的比例中项，∴AB：MN=MN：CD，∴MN 2=AB•CD，∴MN=±；∵AB=4cm，CD=5cm，∴MN=±=±2；MN不可能为负值，则MN=2，通过解答（1）、（2）发现，c、MN同时作为比例中项出现，c可以取负值，而MN不可以取负值．23．解：a=0.3m=3dm，b=60cm=6dm，c=12dm．（1）a：b=3：6=；（2）∵线段a，b，c，d成比例，∴3：6=12：d，解得d=24．故线段d的长是24分米24．解：设AC=x，则BC=a﹣x，∵AC是AB，BC的比例中项，∴AC2=BC•AB，即x2=（a﹣x）•a，解得：x=a，∵AC＞0，∴AC=a．故线段AC的长为a25．解：∵BD：DC=AB：AC，AB=15cm，AC=10cm，∴BD：DC=15：10=3：2，设BD=3x则DC=2x，∵BD﹣DC=2，∴3x﹣2x=2，x=2，∴BC=BD+CD=5x=10cm．26．解：（1）从小到大排列，由于1×9≠3×6，所以不成比例；（2）从小到大排列，由于5×20≠10×15，所以不成比例；（3）从小到大排列，由于1.9×8.1=5.7×2.7，所以成比例，比例式为a：c=d：b；（4）从小到大排列，由于14×207=23×126，所以成比例，比例式为a：c=d：b．（或c：b=a：d）27．证明：设经过点O和（a，b）的直线是y=kx，则b=ak，则k=，设经过点O和（c，d）的直线的解析式是：y=mx，则d=cm，解得：m=，∵a，b，c，d四个数成比例，∴=，∴=，∴k=m，则直线y=kx和直线y=mx是同一直线，即点（a，b），（c，d）和坐标原点O在同一直线上28．解：（1）路线图（6分）（P、A、C点各2分）注意：起点是必须在所给的图形中画，否则即使画图正确扣；（2分）（2）量得∠PAC≈105°，∠ACP≈45°；（9分）（只有1个正确得2分）（3）量路线图得AC≈3.5厘米，PC≈6.8厘米．∴AC≈3.5千米；PC≈6.8千米（13分）29．解：（1）∵a、b、c、d是成比例线段，∴=，∵a=3，b=2，c=6，代入得：d=4，答：线段d的长是4cm．（2）解：∵线段c是线段a和b的比例中项，∴c2=ab，∵a=4，b=9，代入得：c=6，答：线段c的长是6cm．（3）①解：∵y1与x成正比例，设y1=ax，（a≠0），∵y2与x成反比例，设y2=（b≠0）∴y=ax+，把x=1，y=4和x=2，y=5代入得：，解得：，∴y=2x+，答：y与x之间的函数关系式是y=2x+．②解：由①知：y=2x+，当x=4时，y=，答：当x=4时，y的值是．30．解：如图，过点A作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，BC=2BD，设AD=x，则AB=2AD=2x，根据勾股定理，BD===x，∴BC=2x，∴AB：BC=2x：2x=1：．。
2018年秋九年级数学上册 第4章 相似三角形 4.1 比例线段 第2课时 比例线段同步练习 (新版)浙教版
4.1 第2课时比例线段一、选择题1．下面四条线段中，不能成比例的是( )A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4B．a＝1，b＝2，c＝6，d＝ 3C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10D．a＝2，b＝5，c＝15，d＝2 32．如图K－28－1所示，下列各组比中，比值不相等的是( )图K－28－1A.AEEC和ADBDB.ADAB和DEBCC.ACBC和AEDED.ADDE和DBBC3．如图K－28－2所示，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a cm，宽BC＝b cm，E，F分别为AB，CD的中点，这张纸片沿直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a∶b等于( )图K－28－2A.2∶1 B．1∶2C.3∶1 D．1∶ 3二、填空题4．如图K－28－3是百度地图的一部分(比例尺为1∶4000000)．按图可估测杭州在嘉兴的南偏西________度方向上，杭州到嘉兴的图上距离约为 2 cm，则杭州到嘉兴的实际距离约为________km.图K －28－35．等腰直角三角形的斜边长与直角边长的比为________，斜边上的中线长与直角边长之比为________．6．点P 在线段AB 上，且AP ∶PB ＝2∶5，则AB ∶PB ＝________，AP ∶AB ＝________．7．已知a ，b ，c ，d 是比例线段，其中a ＝6 cm ，b ＝8 cm ，c ＝24 cm ，则线段d 的长度是________．三、解答题8．如图K －28－4，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F .找出图中的一组比例线段，并说明理由.图K －28－49．已知△ABC 中，∠B ＝30°，∠C ＝45°.(1)求AB AC的值；(2)求AB ∶AC ∶BC 的值．1．[解析] C 用最小与最大的线段的长度相乘，看是否等于另两条线段长度的乘积．2．[答案]D3．[答案]A4．[答案] 45 805．[答案]2∶1 1∶ 2[解析] 设直角边长为k ，则斜边长为2k ，斜边上的中线等于斜边的一半，长为22k. 6．[答案] 7∶5 2∶7[解析] 设AP ＝2k ，则PB ＝5k ，AB ＝7k.7．[答案] 32 cm8．[解：答案不唯一，如BC CD ＝AF AE.理由如下： ∵BC ·AE ＝S ▱ABCD ＝CD·AF，∴BC CD ＝AF AE .9．解：(1)如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D.在Rt △ABD 中，∵∠B ＝30°，∴AD ＝12AB. 在Rt △ADC 中，∵∠C ＝45°，∴AD ＝22AC ，∴12AB ＝22AC ，∴AB AC＝ 2. (2)∵AB＝2AD ，AC ＝2AD ，BD ＝3AD ，CD ＝AD ，∴BC ＝BD ＋CD ＝(3＋1)AD ，∴AB ∶AC ∶BC ＝2∶2∶(3＋1)．。
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19.1比例线段
基础能力训练★回归教材注重基础
◆比例的基本性质
1.如果4a=5b,则ba_______.
2.如果a：b=1：5,且b=15,则a=______.
3.已知cbba,且a=2,c=9,则b=______.
4.若kzyx432,且2x－3y+z=6，则k=______,x=_____,y=______,z=______.
解析：由题意知,x=2k,y=3k,z=4k,代人2x－3y+z=6中得k=－6,进一步可求得x、y、z.
5.若(2－m)：m=m：(1－m),则m=______.
6.若x：y=2：3,y：z=4：3,则x：y：z=______.
7.如果a：b=4：3,且b2=ac,那么b：c=______.
8.如果32ba,那么bba______.
9.如果57bba,那么ba_______.
10.已知：5fedcba,且b+d－f=7,求a+c－e.
◆综合运用
11.已知x:y:z=2:3:4,且x+y－z=121,求x、y、z的值.
12.已知：3532bba,求bba的值.
13.已知：xbacacbcba,求x的值.
14.设实数a、b、c使｜a－2b｜+cb3+(3a－2c)2=0,求a：b：c.
综合创新训练★登高望远课外拓展
◆创新应用
15.如图19－1－2所示,在△ABC和△BED中,若35BEACBDBCEDAB,且△ABC与△BED的周长之差为20cm,
则△ABC的周长为多少厘米?
16.如图19－1－3所示,联结A、B两城的高速公路,全长120千米,在AB上有两个收费站C、D,已知AC：CB=1：
5,AD：DB=11：1,一辆小车从站C到站D行驶了43小时,问小车的速度是每小时多少千米?
◆开放探索
17.(2008·青岛)如图19－1－4所示,AB、AC表示两条相交的公路,现要在∠BAC的内部建一个物流中心,设计时
要求该物流中心到两条公路的距离相等且到公路交叉处A点的距离为1000m.
(1)若要以1：50000的比例尺画设计图,求物流中心到公路交叉处A点的图上距离；
(2)在图中画出物流中心P的位置.
18.若bccaba,且,abc≠0,那么cba211成立吗?为什么?
参考答案
1答案：
4
5
2答案：3
3答案：23解析：由比例的基本性质可得b2=ac,将a=2,c=9,代入得b2=2×9=18,所以23b.
4答案：－6－12－18－24
5答案：
3
2
6答案：8：12：9解析：因为2,3,4的最小公倍数是12,所以由已知条件可设x=8k,y=12k,z=9k,所以x：y：
z=8k：12k：9k=8：12：9.
7答案：4：3解析：由b2=ac可得cbba.
8答案：35解析：方法一：由题意可设a=2k,b=3k,代入求值；方法二：由合比性质求,由32ba可得
353
32
b
ba
.
9答案：
5
2
10答案：解析：∵5fedcba,∴5fedcba,
∴5fdbeca,而b+d－f,=7,∴a+c－e=35.
11答案：
31,41,6
1
zyx