Xr看到(实验)至r次成功为止.

§negative binomial random variable
Xr:看到(實驗)至r次成功為止,所經歷之試驗次數
社每次成功之機率為P
則P(Xr=k)= k-1 。P。P。…P。(1-P) 。(1-P)= k-1 P的r次方q的k-r次方.k=r.r+1…
r-1 r-1
認知(∞Σk-r)P的r次方q的x-r次方=1
為何稱他為二項: (a+b)的n次方.nεN
展開=(nΣk=0) n a的k次方b的n-k次方 or (nΣk=0) n
a的n-k次方b的k次方

k k
P=1(1-P)
P的-r次方=(1-(1-p))的-r次方:負二項展開式=Σ –r 1的-r-k次方(-(1-p))的k次方
K
整理 -r =(-r)(-r-1)…(-r-k+1)/k!=(-1)的k次方((r+k-1)(r+k-2)…r)/k!
k

=(-1)的k次方(r+k-1)(r+k-2)…(r+1)r(r-1)!/k!(r-1)!=(-1)的k次方r+k-1
r-1

所以P的-r次方=Σ(-1)的k次方 r+k-1 (-1)的k次方(1-p)的k次方
r-1

=Σ r+k-1 (1-p)的k次方
r-1

所以p的r次方p的-r次方=Σr+k-1 p的r次方(1-p)的k次方
r-1

=(∞Σw>r) r+k-1 p的r次方(1-p)的k次方
r-1

另w=r+k→(∞Σw>r) w-1 p的r次方q的w-r次方
r-1

§poisson random variable
特點:若一時段中發生事件屬稀少性
在[0.t]發生事件數記x[0.t]則Pr(X[0.t]=k)=e的-λt次方(-λt)的k次方/k!
其中λ:平均次數/單位時間
EX:某航空公司飛航事故屬poisson分配
另λ=3次/5年事故 球再某一年終洽發生2個事故之機率?
Sol:設X[0.t]:一年中發生事故數
所以Pr(X[0.t]=2)=e的-3/5-1次方((3/5)1)的平方=e的-3/5次方(0.6)平方/2!

基本假設:
(1) 在極短時間X[t.t+Δt]內發生2次以上(含)之機率為0(Δt) IF an=0(bn)即表

Lim n→∞ an/ bn=0
(2) 在Δt內發生1個事件之機率與Δt成正比: λΔt
(3) 在不同兩時段發生事件彼此獨立
(4) 事件之發生僅與時間長短有關與起始時間無關 則P(X[0.t]=k)= e的-λt次方
(-λt)的k次方/k!
Sol:let Pn(t)=P(X[0.t]=n)
Pn(t+Δt)=P(X[0.t+Δt]=n)=Pn(t)P0(Δt)+ Pn-1(t)P1(Δt)+ Pn-2(t)P2(Δt)…P0(t)Pn(Δt)]
→Pn(t+Δt)= Pn(t) P0(Δt)+ Pn-1(t) P1(Δt)+0(Δt)
Pn(t+Δt)= Pn(t) P0(Δt)+ Pn-1(t)λΔt+0(Δt)= Pn(t)(1-λΔt-0(Δt))+ Pn-1(t) λΔ
t+0(Δt)
Pn(t+Δt)= Pn(t)(1-λΔt)+ Pn-1(t) λΔt-0(Δt)
Pn(t+Δt)- Pn(t)=-λPn(t) Δt+λPn-1(t)Δt+0(Δt)= -λΔt {Pn(t)- Pn-1(t)}+ 0(Δt)
兩邊同除以Δt lim Δt→0 Pn(t+Δt)- Pn(t)/Δt=-λ{Pn(t)- Pn-1(t)+ lim Δt→0 0(Δ
t)/Δt=0
Pn(t)=-λ{Pn(t)- Pn-1(t)}
1問Pn(t)=? 當n=0 帶入1 P0(t)= -λ(P0(t)- P-1(t))
P-1(t)=0 P0(t)= -λP0(t) P0(t)/ P0(t)= -λ 左式 d/nP0(t)/Δt=-λ
所以dln P0(t)=- λΔt
兩邊積分∫dln P0(t)=ln P0(t)=∫-λt+C
所以P0(t)=e的-λt+C次方 t=0帶入P0(0)=1=e的0+c次方
所以c=0
所以P0(t)=e的-λt次方
P0(t)=e的-λt次方(λt)的0次方/0!=e的-λt次方
N=1時P1(t)= -λt(P1(t)- P0(t)) P1(t)+ λP1(t)= λP0(t)=-λe的-λt次方
兩邊同乘以積分因子e的∫λdt次方=e的λt次方