沪教版八年级上册数学(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(提高版)(家教、补习、复习用)

沪教版初二数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习二次根式的概念和性质（提高）知识讲解【学习目标】1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简．3、理解并掌握同类二次根式和最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.【要点梳理】要点一、二次根式及代数式的概念1.二次根式：一般地，我们把形如 (a≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.2.代数式：形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.要点二、二次根式的性质1、；2.；3..要点诠释：1.二次根式 (a≥0)的值是非负数。

一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即.2.与要注意区别与联系：1).的取值范围不同，中≥0，中为任意值.2).≥0时， ==； <0时，无意义， =.要点三、最简二次根式（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1) 被开放数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.要点四、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似).要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.【典型例题】类型一、二次根式的概念1．（2016春•天津期末）已知y=+﹣4，计算x﹣y2的值．【思路点拨】根据二次根式有意义的条件可得：，解不等式组可得x的值，进而可求出y的值，然后代入x﹣y2求值即可．【答案与解析】解：由题意得：，解得：x=，把x=代入y=+﹣4，得y=﹣4，当x=，y=﹣4时x﹣y2=﹣16=﹣14．【总结升华】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．举一反三【变式】方程，当时，的取值范围是（）A． B.≥2 C. D.≤2【答案】 C.类型二、二次根式的性质2.根据下列条件，求字母x的取值范围：(1)； (2).【答案与解析】(1)(2)【总结升华】二次根式性质的运用.举一反三【变式】（2014春•铁东区校级月考）问题探究：因为，所以，因为，所以请你根据以上规律，结合你的以验化简下列各式：（1）；（2）．【答案】解：（1）==；（2）==．3. （2015•罗平县校级模拟）已知，1≤x≤3，化简： =_______.【思路点拨】由题意1≤x≤3，可以判断1﹣x≤0；x﹣3≤0，然后再直接开平方进行求解．【答案】2.【解析】解：∵1≤x≤3，∴1﹣x≤0，x﹣3≤0，∴=x﹣1+3﹣x=2.【总结升华】此题主要考查二次根式的性质和化简，计算时要仔细，是一道基础题．【：高清： 381279：经典例题4】4.已知为三角形的三边，则=．【答案】.【解析】为三角形的三边, ,即原式==.【总结升华】重点考查二次根式的性质：的同时，复习了三角形三边的性质.类型三、最简二次根式5.已知0<<,化简.【答案与解析】原式===.【总结升华】成立的条件是>0;若<0,则.类型四、同类二次根式6. 如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么、的值是( ) A. =2， =1 B. =1， =2 C. =1， =-1 D. =1， =1 【答案】 D.【解析】根据题意，得,解之，得，故选D.【总结升华】同类二次根式必须满足两个条件：(1)根指数是2；(2)被开方数相同；由此可以得到关于a、b的二元一次方程组，此类问题都可如此.举一反三【变式】若最简根式与根式是同类二次根式，求、的值．【答案】同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简==|b|×由题意得，∴，∴=1，b=1.沪教版初二数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习二次根式的概念和性质（提高）巩固练习【巩固练习】一、选择题1.（2016•贵港）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥12.使式子有意义的未知数x有( )个A．0 B．1 C．2 D．无数3. 把根号外的因式移到根号内，得（）．A． B． C． D．4.（2015•蓬溪县校级模拟）下列四个等式：①；②（﹣）=16；③（）=4；④．正确的是（）A.①②B.③④C.②④D.①③5. 若，则等于（）A．B． C． D．6.将中的移到根号内，结果是（）A． B. C. D.二. 填空题7. 若最简二次根式与是同类二次根式，则.8. （2015•江干区一模）在，，，﹣，中，是最简二次根式的是_________.9.已知，求的值为____________.10.若，则化简的结果是__________.11. 观察下列各式：，，,……请你探究其中规律,并将第n(n≥1)个等式写出来________________.12.（2016•乐山）在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a﹣2|的结果为．三. 综合题13. 已知，求的值.14. 若时，试化简.15. （2015春•武昌区期中）已知a、b、c满足+|a﹣c+1|=+，求a+b+c的平方根．【答案与解析】一、选择题1．【答案】C.【解析】依题意得：x﹣1＞0，解得x＞1．2．【答案】B.3．【答案】C.4．【答案】D.【解析】解：①==4，正确；②=（﹣1）2=1×4=4≠16，不正确；③=4符合二次根式的意义，正确；④==4≠﹣4，不正确．①③正确．故选：D．5．【答案】D.【解析】因为=，即.6．【答案】 A.【解析】因为≤0，所以=.二、填空题7.【答案】1；1.【解析】，所以.8.【答案】.9.【答案】.【解析】,即,，即原式=.10.【答案】3.【解析】因为原式==.11．【答案】 .12．【答案】 3.【解析】由数轴可得：a﹣5＜0，a﹣2＞0，则+|a﹣2|=5﹣a+a﹣2=3．三、解答题13.【解析】因为，所以2x-1≥0,1-2x≥0，即x=，y=则.14.【解析】因为，所以原式==.15.【解析】解：由题意得，b﹣c≥0且c﹣b≥0，所以，b≥c且c≥b，所以，b=c，所以，等式可变为+|a﹣b+1|=0，由非负数的性质得，，解得，所以，c=2，a+b+c=1+2+2=5，所以，a+b+c的平方根是±．沪教版初二数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习二次根式的运算（提高）知识讲解【学习目标】1、理解并掌握二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算；3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.【要点梳理】要点一、二次根式的加减二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.要点诠释：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.（2）二次根式加减运算的步骤：1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根1.乘法法则：（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：(1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).(2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：≥0，≥0，…..≥0）.(3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.2.积的算术平方根:（≥0，≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足≥0，≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.要点三、二次根式的除法及商的算术平方根1.除法法则：（≥0， >0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.。

要点诠释：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0， >0，因为b在分母上，故b不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.2.商的算术平方根的性质:（≥0， >0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点诠释：运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.要点四、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.要点诠释：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.【典型例题】类型一、二次根式的加减法【：高清：388064：经典例题2.（1）-（2）】1.计算：（1）【答案与解析】===0【总结升华】一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并.举一反三【变式】计算.【答案】类型二、二次根式的乘除【：高清： 381280：经典例题9】2.（1）. （2）.【答案与解析】（1）原式==(2)原式=【总结升华】根据二次根式的乘除法则灵活运算，注意最终结果要化简.举一反三：【：高清： 381280：经典例题9】【变式】【答案】原式==3.计算(1).·(-)÷ (m＞0，n＞0)；(2). -3÷()×(a＞0).【答案与解析】(1)原式=-÷=-==-；(2)原式=-2=-2=-a.【总结升华】熟练乘除运算，更要加强运算准确的训练.举一反三【变式】已知，且x为偶数，求(1+x)的值．【答案】由题意得，即∴6＜x≤9，∵x为偶数，∴x=8∴原式=(1+x) =(1+x) =(1+x) =∴当x=8时，原式的值==6．类型三、二次根式的混合运算4.（2016春•抚顺县期末）计算： +×﹣．【思路点拨】先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．【答案与解析】+×﹣=+﹣2=4+﹣2=4﹣．【总结升华】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．举一反三【：高清： 388064：二次根式的混合运算】【变式】【答案】原式===5.计算：（2014秋•麦积区校级期末）已知a+b=﹣7，ab=4，则+=（）A. B.﹣ C. D.﹣【答案】A.【解析】解：∵a+b=＜0，ab＞0，∴a＜0，b＜0原式=（﹣）+（﹣）=﹣，∵a+b=﹣7，ab=4，∴原式=﹣=，故选：A．【总结升华】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化是解题的关键．6.化简：【答案与解析】原式====2【总结升华】运用分母有理化运算，找出规律，是这一类型题的特点.举一反三【变式】（2015•蓬溪县校级模拟）化简求值：已知：a是4的小数部分，求代数式+的值．【答案】解：∵4=，∴6＜4＜7，∴a=4﹣6，∴a﹣1＜0，∴+=+=a﹣1+=a﹣1﹣=4﹣6﹣1﹣=4﹣7﹣=4﹣7﹣﹣=﹣7．沪教版初二数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习二次根式的运算（提高）巩固练习【巩固练习】一、选择题1.若（）.A．-1 B.1 C .2x-1 D.1-2x2.（2016•历下区一模）下列运算错误的是（）A．=3 B．3×2=6 C．（+1）2=6 D．（+2）（﹣2）=33.计算等于（）.A． B. C. D .4.（2015•淄博）已知x=，y=，则x2+xy+y2的值为（）A.2B.4C.5D.75.若,那么的值是（）.A．1 B.-1 C. D.6.的运算结果是（）.A．0 B. C. D.二、填空题7.（2016•天津）计算（+）（﹣）的结果等于．8.若互为相反数，则x=_____________.9.已知=___________.10.计算=___________________________.11.设则的值是_________.12.（2014•吴江市模拟）设a=，b=2+，c=，则a、b、c从小到大的顺序是．三、综合题13. (1).若，求的值.(2).化简并求值：其中.14. （2015春•东平县校级期末）（1）计算：2﹣++（2）先化简，再求值：（a﹣）（a+）﹣a（a﹣6），其中a=+．15．已知的整数部分为，小数部分为求的值.【答案与解析】一、选择题1．【答案】A.【解析】所以选A.2．【答案】C.【解析】A、原式=3，所以A选项的计算正确；B、原式=6=6，所以B选项的计算正确；C、原式=5+2+1=6+2，所以C选项的计算不正确；D、原式=7﹣4=3，所以D选项的计算正确．3．【答案】 A.【解析】原式==.4．【答案】B.【解析】解：原式=（x+y）2﹣xy=（+）2﹣×=（）2﹣=5﹣1=4．故选B．5．【答案】D.【解析】,.则，,则=.6.【答案】B.【解析】注意运算技巧.原式===.二、填空题7．【答案】2.【解析】原式=（）2﹣（）2=5﹣3=2.8．【答案】0.【解析】因为互为相反数，所以,则.9.【答案】1.【解析】= .10．【答案】.【解析】因为x>0,所以，所以=.11.【答案】.12.【答案】a＜c＜b．【解析】解：c===+；∴a＜c＜b．故答案为a＜c＜b．三、解答题13.【解析】（1）.因为，所以2x-3≥0,3-2x≥0，即x=，y=则=.(2). =.= .因为，所以,代入原式=4.14.【解析】解：（1）原式=2﹣2++=3﹣；（2）原式=a2﹣3﹣a2+6a=6a﹣3=3（2a﹣1），当a=+时，原式=3×2=6．15.【解析】因为的整数部分为，小数部分为所以，,原式==,代入后原式=.沪教版初二数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（提高）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.【知识网络】【要点梳理】知识点一、二次根式的相关概念和性质1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.要点诠释：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.2.二次根式的性质（1）；（2）；（3）.要点诠释：（1）一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）. （2）中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.（4）与的异同不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；=， =（）.相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时， =.3.最简二次根式1）被开方数是整数或整式；2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.知识点二、二次根式的运算1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则积的算术平方根化简公式：二次根式的乘法商的算术平方根化简公式：二次根式的除法要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1． x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)； (2).【答案】（1）;（2）.【解析】(1) 要使在实数范围内有意义，则必有∴当时，在实数范围内有意义；(2) 要使在实数范围内有意义，则必有∴当时，在实数范围内有意义；【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有时才是二次根式.举一反三：【变式】已知，求的值.【答案】根据二次根式的意义有将代入已知等式得2.（2016•柘城县校级一模）把中根号外的因式移到根号内的结果是( ).A． B．C． D．【答案】A.【解析】由二次根式的意义知，则.【总结升华】在利用二次根式性质化简时，要注意其符号，要明确是非负数，反过来将根号外的因式移到根号内时，也必须向里移非负数。