高中数学高考总复习立体几何空间向量空间直角坐标系习题及详解
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高中数学高考总复习立体几何空间向量空间直角坐标系习题及详解
一、选择题
1．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →
>0，则该四边形为( )
A ．平行四边形
B ．梯形
C ．平面四边形
D ．空间四边形
[答案] D
[解析] ∵AB →·BC →>0，∴∠ABC >π2，同理∠BCD >π2，∠CDA >π2，∠DAB >π2，由内角和定
理知，四边形ABCD 一定不是平面四边形，故选D.
2．如图，点P 是单位正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中异于A 的一个顶
点，则AP →·AB →
的值为
( )
A ．0
B ．1
C ．0或1
D ．任意实数 [答案] C
[解析] AP →
可为下列7个向量：
AB →，AC →，AD →，AA 1→，AB 1→，AC 1→，AD 1→，其中一个与AB →重合，AP →·AB →＝|AB →|2＝1；AD →，AD 1→，AA 1→与AB →垂直，这时AP →·AB →＝0；AC →，AB 1→与AB →的夹角为45°，这时AP →·AB →＝2×1×cos π4＝1，
最后AC 1→·AB →
＝3×1×cos ∠BAC 1＝3×13
＝1，故选C.
3．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，N 为BB 1的靠近B 的三等分点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →
＝c ，则MN →
等于( )
A ．－12a ＋12b ＋13c
B.12a ＋12b －13c
C.12a －12b －13c D ．－12a －12b ＋23c
[答案] C
[解析] MN →＝MB →＋BN →＝12D 1B 1→
＋13BB 1→
＝12(A 1B 1→－A 1D 1→
)－13A 1A →＝12a －12b －13
c . 4．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则AC →与AB →
的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°
D ．90°
[答案] C
[解析] AB →＝(0,3,3)，AC →＝(－1,1,0)．设〈AB →，AC →
〉＝θ，则cos θ＝AB →·AC →
|AB →|·|AC →|＝332·2＝
1
2
，∴θ＝60°. 5．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )
A.62
7 B.63
7 C.64
7
D.657
[答案] D
[解析] ∵a ，b ，c 三向量共面， ∴存在实数m ，n 使c ＝m a ＋n b ， 即(7,5，λ)＝(2m －n ，－m ＋4n,3m －2n )， ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
2m －n ＝7－m ＋4n ＝5λ＝3m －2n
，∴λ＝65
7
.
6．(2010·山东青岛)在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →
＋AD →·BC →的值为( )
A ．0 B.
3
2
C ．1
D ．无法确定
[答案] A
[解析] AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →
＝AB →·(BD →－BC →)＋(BC →－BA →)·DB →＋(BD →－BA →)·BC →
＝AB →·BD →－AB →·BC →＋BC →·DB →－BA →·DB →＋BD →·BC →－BA →·BC →＝0，故选A.
7．△ABC 的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD
等于( )
A ．5 B.41 C ．4
D ．2 5
[答案] A
[解析] 设AD →＝λAC →
，D (x ，y ，z )，则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0,4，－3)， ∴x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ. ∴BD →
＝(－4,4λ＋5，－3λ)， 又AC →＝(0,4，－3)，AC →⊥BD →， ∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0， ∴λ＝－45，∴BD →
＝⎝⎛⎭⎫－4，95，125， ∴|BD →
|＝
(－4)2＋⎝⎛⎭⎫952＋⎝⎛⎭⎫1252
＝5. 8．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，AM →＝12MC →
，点N 为B 1B 的中点，则线段
MN 的长度为( )
A.216
B.66
C.
156
D.153
[答案] A
[解析] MN →＝AN →－AM →＝AN →－13AC →
＝AB →＋BN →－13
()
AB →＋AD →＋AA 1→ ＝23AB →＋16AA 1→－13AD →. ∴MN ＝|MN →|＝
49|AB →|2＋136|AA 1→|2＋19|AD →|2＝216
. 9．设空间四点O 、A 、B 、P 满足OP →＝OA →＋tAB →
，其中0 [解析] ∵OP →＝OA →＋tAB →，∴AP →＝tAB → ，