等腰三角形存在性问题专项训练

lBA第 讲：等腰三角形存在性问题专题训练一、等腰三角形4大性质 （1）等边对等角、等角对等边； （2）三线合一；（3）含有60°角的等腰三角形是等边三角形；（4）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离等于腰上的高； 二、构造等腰三角形二、特殊的等腰三角形（1）等边三角形； （2）等腰直角三角形； （3）底角为30°的等腰三角形； （4）黄金三角形 一、模型引入引入：如图，已知线段AB ，在过A 点的直线l 上求作点P ，使△ABP 为等腰三角形.思维提升：在平面直角坐标系内,已知点A (2,1),O 为坐标原点．请你在坐标轴上确定点P ,使得ΔAOP 为等腰三角形．在给出的坐标系中把所有这样的点P 都找出来,画上实心点,并在旁边标上P 1,P 2,……,P k ,(有k 个就标到P K 为止,不必写出画法)【答案】二、典型分析例1.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，BC =4AD =24，∠B =45°．直角三角板含45°角的顶点E 在边BC 上移动，一直角边始终经过点A ，斜边与CD 交于点F ．若△ABE 为等腰三角形，则CF 的长等于 ． 【答案】，2，． 例2.如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片．点O 与坐标原点重合，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OC =4，点E 为BC 的中点，点N 的坐标为(30)，，过点N 且平行于y 轴的直线MN 与EB 交于点M ．现将纸片折叠，使顶点C 落在MN 上，并与MN 上的点G 重合，折痕为EF ，点F 为折痕与y 轴的交点．（1）求点G 的坐标；（2）求折痕EF 所在直线的解析式；（3）设点P 为直线EF 上的点，是否存在这样的点P ，使得以P 、F 、G 为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．52423DBCAEFF【答案】解：（1）四边形ABCO 是正方形，4BC OA ∴==，E 为CB 中点，2EB ∴=MN y ∥轴，(30)N ，，MN EB ∴⊥且1MB NA ==1EM ∴=而2EG EC ==，1sin 2EM EGM EG ∴∠==30EGM ∴∠=cos303MG EG ∴==·，(343)G ∴-，（2）30EGM ∠=60MEG FEG CEF ∴∠=∠=∠=tan 6023CF CE ∴==·423FO ∴=-(0423)F ∴-，，(24)E ，设直线EF 的解析式：(0)y kx b k =+≠24423k b b +=⎧⎪∴⎨=-⎪⎩ 3423k b ⎧=⎪∴⎨=-⎪⎩ ∴折痕EF 所在直线解析式：3423y x =+-（3）12(3123)(143)P P ---，，，，34(3723)(343)P P -+，，， 综合训练（2011湖南）如图（11）所示，在平面直角坐标系Oxy 中，已知点A (94-，0)，点C (0，3)，点B 是x 轴上一点(位于点A 的右侧)，以AB 为直径的圆恰好经过．．．．点C ． （1）求∠ACB 的度数；（2）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A 、B 两点，求抛物线的解析式；（3）线段BC 上是否存在点D ，使△BOD 为等腰三角形．若存在，则求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）∵以AB 为直径的圆恰好经过．．．．点C ∴∠ACB =090（2） ∵△AOC ∽△ABC ∴OB AO OC •=2∵A (－94，0)，点C (0，3)， ∴49=AO 3=OC ∴OB 4932=∴ 4=OB ∴B (4,0) 把 A 、B 、C 三点坐标代入得 3127312++-=x x y （3）①OD =OB , D 在OB 的中垂线上，过D 作DH ⊥OB ,垂足是H ，则H 是OB 中点．DH =OC 21 OB OH 21= ∴D )23,2( ② BD =BO 过D 作DG ⊥OB ,垂足是G ∴OG :OB =CD :CB DG :OC =1:5 ∴ OG :4=1:5 DG :3=1:5 ∴OG =54 DG =53∴D (54,53)第三模块：双动点情况等腰三角形存在性问题 一、模型引入xyCBA O 图11BAO二、典例分析例3（济南）如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AD =3，DC =5，AB =24，∠B =45°.动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长．（2）试探究：t 为何值时，△MNC 为等腰三角形． 【答案】（1）如图①，过A 、D 分别作AK BC ⊥于K ，DH BC ⊥于H ，则四边形ADHK 是矩形∴3KH AD ==．在Rt ABK △中，2sin 454242AK AB =•︒=•= 2cos 454242BK AB =•︒=•=在Rt CDH △中，由勾股定理得，22543HC =-= ∴43310BC BK KH HC =++=++= （2）分三种情况讨论：①当NC MC =时，如图②，即102t t =- ∴103t =OBAADCBM NOABADCB MN（图②）（题图③）AD CBM NH E（图①）A DCBK H②当MN NC =时，如图③，过N 作NE MC ⊥于E 解法一：由等腰三角形三线合一性质得()11102522EC MC t t ==-=- 在Rt CEN △中，5cos EC t c NC t -==又在Rt DHC △中，3cos 5CH c CD ==∴535t t -= 解得258t =解法二：∵90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠， ∴NEC DHC △∽△∴NC ECDC HC =即553t t -= ∴258t = ③当MN MC =时，如图④，过M 作MF CN ⊥于F 点.1122FC NC t == 解法一：（方法同②中解法一）132cos 1025tFC C MC t ===- 解得6017t =解法二：∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠， ∴MFC DHC △∽△∴FC MCHC DC =即1102235tt -=∴6017t = 综上所述，当103t =、258t =或6017t =时，MNC △为等腰三角形．同类训练：平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A 、B 的坐标分别为（3，0），（3，4）.动点M 、N 分别从O 、B 同时出发，以每秒1个单位的速度运动.其中，点M 沿OA 向终（图④）ADCBH N MF点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动．过点N 作NP ⊥BC ，交AC 于P ，连结MP .已知动点运动了x 秒.1.P 点的坐标为（ ______，_____ ）；（用含x 的代数式表示）.2.试求三角形MPA 面积的最大值,并求此时x 的值.3.探索:当x 为何值时,三角形MPA 是一个等腰三角形?你发现了几种情况?写出你的研究成果.【答案】解：（1）由题意可知C （0，4），又A （3，0）， 所以直线AC 解析式为：443y x =-+， 因为P 点的横坐标与N 点的横坐标相同为3﹣x ，代入直线AC 中得43y x =， 所以P 点坐标为（43,3x x -）； （2）设△MP A 的面积为S ，在△MP A 中，MA =3﹣x ，MA 边上的高为43x ， 其中，0≤x ≤3 ∴214233(3)()23322S x x x =•-•=--+ S =（3﹣x ）·x =（﹣x 2+6x ）=﹣（x ﹣3）2+6 ∴S 的最大值为32，此时32x =；（3）延长NP 交x 轴于Q ，则有PQ ⊥OA ①若MP =P A∵PQ ⊥MA ∴MQ =QA =x ． ∴3x =3， ∴x =1②若MP =MA ，则MQ =3﹣2x ，43PQ x =，PM =MA =3﹣x 在Rt △PMQ 中， ∵PM 2=MQ 2+PQ 2∴2224(3)(32)()3x x x -=-+ ∴5443x =③若P A=AM，∵53PA x=，AM=3﹣x∴533x x=-∴98x=综上所述，x=1，或5443x=或98x=．第四模块：其它类型例4如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=900，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，经线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P、Q分别从D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动时间为t秒．（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（2）当t为何值时，以B、P、Q三点为项点的三角形是等腰三角形？【答案】解：（1）如图，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形．∴PM=DC=12．∵QB=16﹣t，∴S=12×12×（16﹣t）=96﹣6t（0≤t＜16）；（2）由图可知：CM=PD=2t，CQ=t．以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：①若PQ=BQ．在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=（16﹣t）2，解得72t=；②若BP=BQ．在Rt△PMB中，BP2=（16﹣2t）2+122．由BP2=BQ2得：（16﹣2t）2+122=（16﹣t）2即3t2﹣32t+144=0．由于△=﹣704＜0，BACQDPM∴3t 2﹣32t +144=0无解， ∴PB ≠BQ ． ③若PB =PQ ．由PB 2=PQ 2，得t 2+122=（16﹣2t ）2+122 整理，得3t 2﹣64t +256=0．解得1163t =，t 2=16（不合题意，舍去） 综合上面的讨论可知：当72t =秒或163t =秒时，以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形． 综合训练：（江苏）如图，已知一次函数y =-x +7与正比例函数y =43x 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B .（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l ∥y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒.① t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？② 是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）根据题意，得743y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得 34x y =⎧⎨=⎩，∴A (3，4) . 令y =-x +7=0，得x =7．∴B （7，0）. （2）①当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4.由S △APR =S 梯形COBA -S △ACP -S △PQR -S △ARB =8，得 12(3+7)×4-12×3×(4-t )- 12t (7-t )- 12t ×4=8整理,得t 2-8t +12=0, 解之得t 1=2,t 2=6（舍） 当P 在CA 上运动，4≤t ＜7.由S △APR = 12×(7-t ) ×4=8，得t =3（舍）∴当t =2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8. ②当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4. ∴AP=（4-t ）2+32，AQ=2t ，PQ =7-t 当AP =AQ 时， （4-t ）2+32=2(4-t )2,整理得，t 2-8t +7=0. ∴t =1, t =7(舍) 当AP=PQ 时，（4-t ）2+32=(7-t )2, 整理得，6t =24. ∴t =4(舍去) 当AQ=PQ 时，2（4-t ）2=(7-t )2 整理得，t 2-2t -17=0 ∴t =1±3 2 (舍)当P 在CA 上运动时，4≤t ＜7. 过A 作AD ⊥OB 于D ,则AD =BD =4. 设直线l 交AC 于E ，则QE ⊥AC ，AE =RD =t -4，AP =7-t . 由cos ∠OAC= AE AQ = ACAO ，得AQ = 53(t -4)．当AP=AQ 时，7-t = 53(t -4)，解得t = 418.当AQ=PQ 时，AE ＝PE ，即AE = 12AP得t -4= 12(7-t )，解得t =5.当AP=PQ 时，过P 作PF ⊥AQ 于F AF = 12AQ = 12×53(t -4).在Rt△APF中，由cos∠P AF＝AFAP＝35，得AF＝35AP即12×53(t-4)=35×(7-t)，解得t=22643.∴综上所述，t=1或418或5或22643时，△APQ是等腰三角形.。