特殊三角形知识点归纳及练习
《特殊三角形》知识点归纳及练习
【概念梳理】
▲特殊三角形：等腰三角形、等边三角形、直角三角形。
等腰Rt
两直角三角形全等的判定
直角三角形的性质和判定等边三角形的性质和判定等腰三角形的性质和判定直角三角形等边三角形
等腰三角形特殊三角形
一、等腰三角形 1．等腰三角形的性质：
①等腰三角形两腰_______；等腰三角形两底角______(即在同一个三角形中，等边对__________)；
②等腰三角形三线合一，这三线是指________________、________________、________________，也就是说这三线为同一条线段；
③等腰三角形是________图形，它的对称轴有_________条。 2．等腰三角形的判定：
①有____边相等的三角形是等腰三角形；
②有_____相等的三角形是等腰三角形（即在同一个三角形中，等角对_____）。
二、等边三角形 1．等边三角形的性质：
①等边三角形各条边______，各内角_______，且都等于_____； ②等边三角形是______图形，它有____条对称轴。 2．等边三角形的判定：
①有____边相等的三角形是等边三角形； ②有三个角都是______的三角形是等边三角形；
③有两个角都是______的三角形是等边三角形；
④有一个角是______的______ 三角形是等边三角形。
三、直角三角形
1．直角三角形的性质：
①直角三角形两锐角_______；
②直角三角形斜边上的中线等于_______；
③直角三角形两直角边的平方和等于________（即勾股定理）。
④30°角所对的直角边等于斜边的________
2．直角三角形的判定：
①有一个角是______的三角形是直角三角形；
②有两个角_______的三角形是直角三角形；
③两边的平方和等于_______的三角形是直角三角形。
四、常用方法（数学思维）
1. 分类讨论思想（特别是在语言模糊的等腰三角形中）；
2. 方程思想：主要用在折叠之后产生直角三角形时，运用勾股定理列方程；还有就是在等腰三角形中求角度，求边长；
法。
【例题精讲】
一、等腰三角形的性质及判定
例1：已知等腰三角形一腰上的中线把周长分为18cm和21cm两部分，则它的三边长为________________
例2：如图，AB=AC，BD=BC，若∠A=40°，则∠ABD的度数是（）
A．20° B．30° C．35° D．40°
例3：如图所示，在等腰△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD上。求证：BE=CE。
例4：如图，点D和点E在BC上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE
例5：已知：D、E为BC边上的点，AD=AE，BD=EC．求证：AB=AC．
例6：如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD相交于点O．AB=DC，AC=BD．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC的形状是________ ．（直接写出结论，不需证明）
例7：如图，△ABC 中，已知∠B 和∠C 的平分线相交于点F ，经过点F 作DE ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于点E ，若BD+CE=9，则线段DE 的长为（ ）
A ．9 B.8 C.7 D. 6 例8：如图，AB=AE ，BC=DE ，∠ABC=∠AED ，M 为CD 中点，求证：
AM ⊥CD
二、等边三角形的性质及判定
例1：如图，已知等边△ABC 中，BD=CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数为（ ）
A ．45°
B ．60°
C ．55°
D ．75°
例2：如图，△ABC,△ADE 及△EFG 都是等边三角形，D,G 分别为AC 和AE 的中点．若AB=4时，则图形ABCDEFG 外围的周长是
A
C
D
E
B
M
例3：一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）
:
A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里
例4：如图，在等边△ABC中，AF=BD=CE，则△DEF也是等边△，请说明理由.
三、直角三角形和勾股定理
例1：如果三角形的三个内角的比是1：2：3，那么这个三角形的是（）
例2、如图，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连AE。
求证：（1）∠AEC=∠C；（2）BD=2AC。
例3：已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=8cm ，D 为AB 中点，DE ⊥AC 于E ，∠A=30°，求BC ，CD 和DE 的长。
例4：轮船从B 处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C 处，在C 处观测灯塔A 位于北偏东60°方向上，则C 处与灯塔A 的距离是（ ）海里． A ．25 B ．25
C ．50
D ．25
例5：如果ABC ∆的三边长c b a ,,满足关系式
()03018
6022
=-+-+-+c b b a ，则
a =________，
b =________，
c =________，ABC ∆的形状是______________.
例6：在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，AC=4，BC=3，DB=9
5.
(1) 求AD 的长；
(2) △ABC 是直角三角形吗？请说明理由.
C
B
D A
【巩固提高】 一、选择题
1．下列图形中，不一定是轴对称图形的是 ( ) A ．线段 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．圆 2．若等腰三角形的两边长分别为4和9，则周长为( ) A ．17 B ．22 C ．13 D ．17或22
3．如果三角形一边上的高平分这条边所对的角，那么此三角形一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形
4．小明将两个全等且有一个角为60°的直角三角板拼成如图所示的图形，其中两条较长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
5．如图，已知在△ABC 中，∠ABC=90°，∠A=30°，BD⊥AC，DE⊥BC，D ，E 为垂足，下列结论正确的是( )
A ．AC=2A
B B ．AC=8E
C C ．CE=21
BD D ．BC=2BD
6．有四个三角形，分别满足下列条件：(1)一个角等于另外两个内角之和；(2)三个内角之比为3：4：5；(3)三边之比为5：12：13；(4)三边长分别为5，24，25．其中直角三角形有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．如图，EA⊥AB，BC⊥AB，AB=AE=2BC ，D 为AB 的中点，有以下判断：①DE=AC；②DE⊥AC；③∠CAB=30°；④∠EAF=∠ADE．其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
8．如图，以点A 和点B 为两个顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作出( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个
9．如图所示，已知△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2=MB2等于( )
A．9 B．35 C．45 D．无法计算
10．若△ABC是直角三角形，两条直角边分别为5和12，在三角形内有一
点D，D到△ABC各边的距离都相等，则这个距离等于 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
11．已知等腰三角形中顶角的度数是底角的3倍，那么底角的度数是________．
12．已知等腰△ABC的底边BC=8cm，且|AC-BC|=2cm，那么腰AC的长为__________．13．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条小路，他们仅仅少走了_______步路，(假设2步为1m)，却踩伤了花革．
14．如图，在△ABC中，AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，那么AC边上的中线BD的长为______cm．15．已知，如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，不添加辅助线,请你写出三个正确结论：(1)____________；(2)_____________；(3)_____________．16．已知，如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点0，E，F分别是边AD，DC上的点，若AE=4cm，FC=3cm，且0E⊥0F，则EF=______cm．
三、解答题
17．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，添加一个条件，使DE=DF．
18．如图，已知∠AOB=30°，0C平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥0A交OB于D，PE⊥OA于E，如果OD=4，求PE的长.
19．如图，△ABC是等边三角形，ABCD是等腰直角三角形，其中∠BCD=90°，求∠BAD的度数．
20．如图，E为等边三角形ABC边AC上的点，∠1=∠2，CD=BE，判断△ADE的形状．
21．如图所示，已知：在△ABC中，∠A=80°，BD=BE，CD=CF．求∠EDF的度数．
22．如图，已知点B，C，D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，BE交AC于点F，AD交CE于点H．(1)说明：△BCE≌△ACD；(2)说明：CF=CH；(3)判断△CFH的形状并说明理由．
特殊三角形知识点
等腰三角形和直角三角形都是特殊三角形,具有一般三角形的性质,同时具有一般三角形所不具备的特殊性,这些特性在几何证明中有着极为重要的应用价值,也是研究其他三角形和多边形的基础. 利用等腰三角形的轴对称性,"三线合一"等性质探求解题途径。 一、直角三角形 1)直角三角形的定义:有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。 直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质。又叫Rt三角形。 2)直角三角形的性质: (1)直角三角形两个锐角互余; (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半; (3)在直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半;且三边比为1比根号3比2; (4)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°; (5)在直角三角形中，两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 (勾股定理); (6)直角三角形斜边上的高h等于该直角三角形外接圆半径斜边上的中线等于该直角三角形内切圆半径. ( 7) 直角三角形的垂直平分线交于斜边的中点。 (8)直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 3)直角三角形的判定: (1)有一个角为90°的三角形是直角三角形; (2)一个三角形,如果这个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形; (3)若a^2+b^2=c^2，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边直角三角形(勾股定理的逆定理); (4)若三角形30°内角所对的边是某一边的一半,那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形; (5)两个锐角互余的三角形是直角三角形. 4)直角三角形角的性质 若直角三角形ABC中∠C=90°，则 sinA=cosB，sinB=cosA，sinA=cos(90°-A)=sin(180°-A) cosA=sin(90°-A)=-cos(180°-A) tanA=-tan(180°-A) 对于特殊角30°，45°，60°，15°，75°，90° sin30°=cos60°=1/2 sin45°=cos45°=√2/2 sin60°=cos30°=√3/2 sin75°=cos15°=(根号6+根号2)/4 cos75°=sin15°=(根号6-根号2)/4 tan75°=2+根号3 tan15°=2-根号3 sin90°=1 cos90°=0 tan90°=无限大 二、等腰三角形 1)等腰三角形的定义: 有两边相等的三角形是等腰三角形 2)等腰三角形的性质:
特殊三角形章节必考点题型归纳
特殊三角形二十个考点归纳总结 考点1轴对称图形的识别 解决此类问题关键是掌握如果一个图形沿一条直线折丧，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴 对称图形. 例题1 2020年初，新型冠状病毒引发肺炎疫情.一方有难，八方支援，全国多家医院纷纷选派医护人员 驰援武汉.下面是四家医院标志的图案部分，其中图案部分是轴对称图形的是（ ） 功盘 ⑥曲 A.协和医院 B.湘雅医院 C.齐鲁医院 D.华西医院 【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可. 【解析】工、不是轴对称图形，故此选项不合题意： 不是轴对称图形，故此选项不符合题意： C 、是轴对称图形，故此选项符合题意； 。、不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C. 变式1 下列交通指示标识中，是轴对称图形的有（ ） 【分析】根据轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合解答. 【解析】第一、二、四个图形是轴对称图形，第三个图形不是轴对称图形，故选：C. 【小结】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合. 变式2 下列与防疫有关的图案中不是轴对称图形的有（ ） A A ® A 当心辐射 I I 当心感染I I 必须戴防护手套］I 小心腐蚀 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【分析】根据轴对称图形定义进行分析即可. 【解析】第一个图案和第二个图案是轴对称图形，第三个图案和第四个图案不是轴对称图形， 则不是轴对称图形的有2个，故选：B. 【小结】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念. 变式3 下列图形中，是轴对称图形的有（）个. ①角②线段③等腰三角形④等边三角形⑤扇形⑥圆⑦平行四边形 A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 【分析】直接利用轴对称图形的定义分析得出答案. 【解析】①角②线段③等腰三角形④等边三角形⑤扇形⑥圆⑦平行四边形中只有平行四边形不是轴对称图形.故轴对称图形有6个.故选：C. 【小结】此题主要考查了轴对称变换，正确把握轴对称图形的定义是解题关键. 考点2轴对称的性质与运用 轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等. 例题2 如图，尸为内一点，分别画出点尸关于。4, 08的对称点尸1，尸2,连接尸1尸2.交0,于点交。3于点M若尸1尸2 = 5加，则△PMN的周长为 【分析】根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等，可求得△尸亚V的周长. 【解析】如图所示:
第9讲 全等三角形之特殊三角形
第9讲 全等三角形 —搞定特殊三角形系列 【知识点精讲】 一、证明题的三种分析法： （1）综合法：已知-推-结论 从已知条件出发，根据定义、性质、判定等推出各种可能的结论，直接推出所要证明的结论． （2）分析法：结论-反推-已知 从结论出发，看需要什么条件才能得出结论，逐步向已知条件靠拢． （3）分析-综合法：已知—中间—条件结论 在思考过程中，往往需要综合使用上述两法． 从结论出发，想一想要什么条件，层层递推，遇到障碍时，再从条件出发，顺推几步，看可以得什么结论，即从两边凑，直至沟通“已知”和“结论”． 二、常见的辅助线： 1、在△ABC 中，若AD 是中线，常采用的方法是： （1）延长AD 到E ，使DE=AD ，连结BE(或过B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于E).倍长中线法 （2）取AC 的中点E ，连结DE(或过D 作DE ∥BA 交AC 于E)． （3）延长BA 至E ，使AE=AB ，连结CE （或过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E ）． 2、 在△ABC 中，若AD 是∠BAC 的角平分线，常采用的方法是： （1）延长BA 到E ，使AE=AC ，(或过C 作CE ∥AD ，交BA 的延长线于E). （2）在较长的AB 上截取AE=AC ，连结DE ．截长补短法 （3）过C 作CE ∥AB ，交AD 的延长线于E. （4）过D 作DE ∥AB ，交AC 于E ． 3、若△ABC 为特殊三角形，可利用特殊三角形的性质： （1）若为等腰三角形，考虑作顶角平分线. （2）若为直角三角形，考虑作斜边中线． （3）若为一个角是0 30角的直角三角形，考虑斜边中线及0 30角所对边之间关系，也可作出中线． 【典例分析】 专题一：等腰三角形
特殊三角形性质
证明（二）之特殊三角形 【知识要点】 常考特殊三角形性质： ①等腰三角形：两个底角相等；顶角的平分线、底边上的中线和高是同一条线段。 ②等边三角形：每个内角都等于60°；角的平分线、中线和高是同一条线段。 ③直角三角形：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半； 勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。 【经典例题】 3 ，CD⊥AB，求BC边的长。【例1】已知：如图，在△ABC中，∠A=45°，AC=2，AB=1 【例2】已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、D分别为AB、MB的中点． 求证：CD⊥AB。 【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：AF平分∠BAC．
【例4】△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，D 为BC 中点，DE ⊥DF ，若BE=12，CF=5。 ①△DEF 的形状是？并请说明理由；②求EF 的长。 【例5】如图，已知Rt △ABC ，∠C=90°，DE ⊥BC 于E ，使得△BED ≌△ACB （点B 、E 、D 分别与点A 、C 、B 对应），连结AD 交BC 于点F ， ①问：△ABD 是等腰直角三角形吗？请说明理由。 ②若AC=2cm ，EC=3cm ，求AD 的长。 【课堂练习】 1．如图，在正方形ABCD 的外侧作等边△ADE ，则∠AEB 的度数为（ ） A ．10° B ．12.5° C ．15° D ．20° 2．如图，△ABC 中，AB=BD=AC ，AD=CD ，则∠ADB 的度数是（ ） A ．36° B ．45° C ．60° D ．72° 3．如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B '处，点A 对应点为A '，且3B C '=，则AM 的长是（ ） A ．1.5 B ．2 C ．2.25 D ．2.5 题3 题2 题1
特殊三角形知识点概括及练习
特殊三角形 、 ___________ _______2、____________ 、 、 、 _______ 2、 、 、 2 、 、在直角△中，两个锐角 。2、直角△斜边上的中线等于斜边的 。 3、勾股定理： 直角△ 平方和等于 的平方。关系 式： 。 4、在直角△中，30°角所对的直角边等于斜边的 。 、在直角△中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么直角边所对的角等于 度。 、有一个角是 的三角形是直角△。 2、有两个角 的三角形是直角△。 3、勾股定理的逆定理：如果三角形中较短两边的 等于最长边的 ， 那么这个三角形是 三角形。 4、如果一个三角形中，较长边的 等于这条边的 ，则这个三角形为Rt △，其中 2、角的内部，到角两边距离相等的点，在__ ___上。 中垂线性质： 1、线段中垂线上的点到线段两端点的距离 。 2、到线段两端点距离相等的点，在_________上。 图2
练习 例1 （1）若等腰三角形的一个底角为50°，则顶角为。 （2）等腰三角形△ABC中，∠A=50°，则∠B的度数为____________. （3）等腰三角形△ABC中，∠A的一个外角为110°，则∠B的度数为____________。 （4）有一个角等于50°，另一个角等于__________的三角形是等腰三角形。 （5）已知等腰三角形的一边长为5cm，另一边长为6cm，则它的周长为。 （6）如果等腰三角形有一边长是4，另一边长是9，那么它的周长是。 如果等腰三角形的两边长分别是4、8，那么它的周长是。 （7）等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把周长分成的两部分之差为2cm，则腰长为______________。 （8）等腰直角三角形三边之比为___________ （9）含30°角的直角三角形三边之比为__________ （10）边长为a的等边三角形的高为，面积为_____________ （11）直角三角形斜边上的高是（a、b是直角边，c是斜边）_____________ 例2 如右图，在△ABC中，E,D分别是AB,AC上的点，AB=AC，BD=BC,AD=BE=DE， 则∠A= 度。 例3 如图，公路边A、B两站（视为线上两点）相距25千米，C、D为公路同 旁的两个村庄（视为线上两点），AD⊥AB于A点，CB ⊥ AB于B点，AD=15km， CB=10km。现在要在公路的AB路段上建一个土特产收购站E，使C、D两村庄 到收购站E的距离相等，问收购站E应建在离A站多远处？ 例4 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，MN分别是AC、BD的中点。说明MN⊥BD 例5 已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，M是AB边的中点， CH⊥AB于H，CD平分∠ACB (1) 求证：∠A=∠BCH (2) 求证：∠1=∠2
初二数学特殊三角形知识点总结及练习题详解
特殊三角形（复习一讲义） 课前预习 1.对几何图形，我们一般从边、角、特殊的线、周长及面积、对称性等来研究，以等腰 三角形为例： （1）边和角：等边对________、等角对________． （2）特殊的线：（顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高）____________________．（3）面积： h h1 h2 C A h1+h2_____h（填“>”、“<”或“=”）． （4）对称性：等腰三角形的对称轴是__________________． 2.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．求证： 1 2 BC AB ． 30° C B A ③判定：_________________的等腰三角形是等边三角形． _________________的三角形是等边三角形． 2.直角三角形 性质：30°角所对的直角边___________________________．直角三角形斜边的中线等于_____________________． 3.等腰直角三角形 ①定义：有一个角是_____的等腰三角形是等腰直角三角形．
②性质： 边：等腰直角三角形_____________． 角：等腰直角三角形_____________． 线：等腰直角三角形____________，____________________ __________________________． ③判定：_______________的三角形是等腰直角三角形． 30° A D C B C
E D C A
【参考答案】 课前预习 1.（1）等角、等边 （2）三线合一 （3）= （4）顶角的角平分线（底边上的中线或底边上的高）所在直线2. 提示：见到线段的和差倍分，考虑截长补短． 证明：如图，延长BC到D，使CD=BC，连接AD．∴BC=1 2 BD ∵∠ACB=90°，BC=CD，∴AB=AD。∵∠ACB=90°，∠BAC=30°， ∴∠B=60°，∴∠D=60°，∴∠BAD=60°，∴BA=BD，∴BC=1 2 AB 知识点睛 1.三边都相等 ②三边都相等，三个内角都是60°，三线合一 ③有一个角是60°；有两个角是60° 2.30°角所对的直角边是斜边的一半 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 3.①直角 ②两直角边相等，两底角都是45°，三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半 ③有两个角是45° 精讲精练 1.15° 2.120° 3.8 cm 4. B 5.证明略（提示，连接BE，由DE垂直平分AB得AE=BE，转移角可得∠EBC=30°，利 用直角三角形性质可得AE=2CE） 6.10，5 7.证明略（提示：利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD=MB，由三线合 一可得MN⊥BD） 8. C 9.证明略（提示：连接AD，证明△ADF≌△BDE，转移边转移角证明△DEF为等腰直角 三角形） 10.△EMC为等腰直角三角形 证明略（提示：连接AM，证明△MDE≌△MAC，转移边转移角证明△EMC为等腰直角三角形）
特殊三角形知识点及例题
特殊三角形知识点及例题 三角形是几何学中的基本形状之一，由三条边和三个角构成。在三 角形中，存在着一些特殊的三角形，它们具有一些特殊的性质和性质。本文将介绍特殊三角形的知识点，并给出一些例题供读者练习。 一、等边三角形 等边三角形是指三条边的边长相等的三角形。等边三角形具有以下 特点： 1. 三条边相等。 2. 三个角都是60度。 3. 对称轴是三条中线，也是三条高线，也是三条角平分线。 例题： 1. 在等边三角形ABC中，AB=BC=CA=6cm，求三角形的高度。 解：由于等边三角形的高线与中线重合且相等，所以三角形的高高 线长等于边长。 二、等腰三角形 等腰三角形是指两条边的边长相等的三角形。等腰三角形具有以下 特点： 1. 两条边相等。 2. 两个底角（底边两侧的角）相等。
3. 对称轴是高线，也是角平分线。 例题： 1. 在等腰三角形ABC中，AB=AC=4cm，BC=6cm，求三角形的高度。 解：由等腰三角形的性质可知，高线与底边垂直且平分底角，所以可以利用勾股定理求解。 三、直角三角形 直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。直角三角形具有以下特点： 1. 包含一个直角（90度）。 2. 两边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。 3. 对称轴是斜边的中线和中线的垂线。 例题： 1. 在直角三角形ABC中，∠ABC=90度，AB=3cm，BC=4cm，求三角形的斜边长度。 解：利用勾股定理可以求得斜边的长度。 四、等腰直角三角形 等腰直角三角形是指两条直角边的长度相等的直角三角形。等腰直角三角形具有以下特点：
1. 包含一个直角（90度）。 2. 两条直角边相等。 3. 对称轴是斜边的中线和中线的垂线。 例题： 1. 在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90度，AB=AC=5cm，求三角形的斜边长度。 解：利用勾股定理可以求得斜边的长度。 五、等腰直角三角形 等腰直角三角形是指两条直角边的长度相等的直角三角形。等腰直角三角形具有以下特点： 1. 包含一个直角（90度）。 2. 两条直角边相等。 3. 对称轴是斜边的中线和中线的垂线。 例题： 1. 在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90度，AB=AC=5cm，求三角形的斜边长度。 解：利用勾股定理可以求得斜边的长度。
特殊三角形常考知识点专题备战2023年中考数学考点微专题
考向4.4 特殊三角形常考知识点专题 例1、（2021·福建·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒．线段EF 是由线段AB 平移得到的，点F 在边BC 上，EFD △是以EF 为斜边的等腰直角三角形，且点D 恰好在AC 的延长线上． （1）求证：ADE DFC ∠=∠； （2）求证：CD BF =． 证明：（1）在等腰直角三角形EDF 中，90EDF ∠=︒， ∴90ADE ADF ∠+∠=︒． ∵90ACB ∠=︒， ∴90DFC ADF ACB ∠+∠=∠=︒， ∴ADE DFC ∠=∠． （2）连接AE ． 由平移的性质得//,AE BF AE BF =． ∴90EAD ACB ∠=∠=︒， ∴18090DCF ACB ∠=︒-∠=︒， ∴EAD DCF ∠=∠． ∵EDF 是等腰直角三角形， ∴DE DF =． 由（1）得ADE DFC ∠=∠， ∴AED CDF ≌， ∴AE CD =，∴CD BF =． 1、等腰三角形的最重要的性质“三线合一”，这是中考题中常考点； 2、中考几何综合题的基本特征就是常考知识点三个以上的在一个题中出现，因此解综合题的前题是学生对知识点能全面并熟悉掌握。 3、本小题考查平移的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是：正确添加辅助线、熟练掌握平移的性质和全等三角形的判定与性质． 中考真题）已知AOB 和△2OM OA ⎫<<⎪⎪⎝⎭ ，90AOB MON ∠=∠=︒．
（1）如图1，连接AM ，BN ，求证：AM BN =； （2）将MON △绕点O 顺时针旋转． ①如图2，当点M 恰好在AB 边上时，求证：2222AM BM OM +=； ②当点A ，M ，N 在同一条直线上时，若4OA =，3OM =，请直接写出线段AM 的长． 解：(1)∵AOB 和MON △都是等腰直角三角形， ∴90OA OB ON OM AOB NOM ，，， 又=+=90+AOM NOM AON AON ， =+=90+BON AOB AON AON , ∴=BON AOM ， ∴()AMO BNO SAS ≌， ∴AM BN =； (2)①连接BN ，如下图所示： ∴==90 AOM AOB BOM BOM ， ==90 BON MON BOM BOM ， 且OA OB OM ON ，==， ∴()AMO BNO SAS ≌， ∴45A OBN ，AM BN =，
特殊三角形
特殊三角形 知识定位 特殊三角形在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，不管三解形还是特殊三角形是平面几何中最重要的图形，它的有关知识是今后我们学习四边形、多边形乃至立体几何的重要基础。特殊三角形的判定和性质是证明有关三角形问题的基础，必须熟练掌握。本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中特殊三角形相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。 知识梳理 三角形类型定义性质判定 等腰三角形有两条边相等的三角形 是等腰三角形，其中相等 的两条边分别叫做腰，另 一条边叫做底边，两腰的 夹角叫顶角，腰和底边的 夹角为底角 1.等腰三角形是对称图形，顶角平分 线所在直线为它的对称轴 2.等腰三角形两底角相等，即在同一 个等腰三角形中，等边对等角 3.等腰三角形的顶角平分线，底边上 的中线和高线互相重合，简称等腰三 角形的三线合一 1.（定义法）有两条边 相等的三角形是等腰 三角形 2.如果一个三角形有 两个角相等，那么这个 三角形是等腰三角形， 即，在同一个三角形 中，等角对等边 等边三角形 三条边都相等的三角形 是等边三角形，它是特殊 的等腰三角形，也叫正三 角形 1.等边三角形的内角都相等，且为 60° 2.等边三角形是轴对称图形，且有三 条对称轴 3.等边三角形每条边上的中线，高线 和所对角的角平分线三线合一，他们 所在的直线都是等边三角形的对称 轴 1.三条边都相等的三 角形是等边三角形 2.三个内角都等于 60°的三角形是等边 三角形 3.有一个角是60°的 等腰三角形是等边三 角形 直角三角形 有一个角是直角的三角 形是直角三角形，即“R t △” 1.直角三角形的两锐角互余 2.直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半 3.直角三角形中30°角所对的直角 边等于斜边的一半 4.直角三角形中两条直角边的平方 和等于斜边的平方（勾股定理） 1.有一个角是直角的 三角形是直角三角形 2.有两个角互余的三 角形是直角三角形 3.如果一个三角形中 两条边的平方和等于 第三条边的平方，那么 这个三角形是直角三 角形（勾股定理逆定 理）
特殊三角形(习题及答案)
特殊三角形（习题） ➢例题示范 例1：已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=60°，AB=BC，AD=CD，点E 在边BC上，点F在边CD上，且∠EAF=60°． 求证：△AEF是等边三角形． 【思路分析】 ①读题标注： 60° 60°60° F E D C B A ②梳理思路： 要证△AEF是等边三角形，已知∠EAF=60°，只需证△AEF是等腰三角形即可，考虑证AE=AF，可以把这两条线段放在两个三角形中证全等． 观察图形，连接AC，可以把线段AE和AF分别放在△ABE和 △ACF中．结合题中条件∠B=∠D=60°，AB=BC，AD=CD，可知△ABC和△ACD 均为等边三角形，所以∠B=∠ACF=60°， ∠BAC=∠EAF=60°，因此∠BAE=∠CAF，进而得证△ABE≌△ACF，证明成立．【过程书写】 证明：如图，连接AC． ∵∠B=∠D=60°，AB=BC，AD=CD ∴△ABC和△DAC是等边三角形 ∴AB=AC，∠BAC=60°，∠ACF=60° ∴∠1+∠3=60°，∠B=∠ACF ∵∠EAF=60° ∴∠2+∠3=60° ∴∠1=∠2 ∴△ABE≌△ACF（ASA） ∴AE=AF ∴△AEF是等边三角形 ➢巩固练习 1.如图，以正方形ABCD的边AB为一边向外作等边三角形ABE，连接DE， 则∠BED的度数为________．F E D C B A 32 1 60° 60°60° F E D C B A
D E C B A 2. 如图，在△ABC 的外部，分别以AB ，AC 为直角边，点A 为直角顶点，作等 腰直角三角形ABD 和等腰直角三角形ACE ，CD 与BE 交于点P ，则∠BPC 的度数为________． P E D C B A 3. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，DE 是线段AB 的垂直平分线， 交AB 于点D ，交AC 于点E ，若DE =2，则AC 的长是________． E D C B A 4. 如图，在△AB C 中，∠ACB =90°， D 在BC 上， E 为AB 的中点，AD ，CE 相 交于F ，且AD =DB ．若∠B =20°，则∠DFE 的度数为________． F E D C B A 5. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠B =15°，过C 作CD ⊥AB ，交BA 的 延长线于点D ．求证：AB =2CD ． D C B A
最新特殊三角形知识点归纳及练习
《特殊三角形》知识点归纳及练习 【概念梳理】 ▲特殊三角形：等腰三角形、等边三角形、直角三角形。 一、等腰三角形 1．等腰三角形的性质： ①等腰三角形两腰_______；等腰三角形两底角______(即在同一个三角形中，等边对__________)； ②等腰三角形三线合一，这三线是指________________、________________、________________，也就是说这三线为同一条线段； ③等腰三角形是________图形，它的对称轴有_________条。 2．等腰三角形的判定： ①有____边相等的三角形是等腰三角形； ②有_____相等的三角形是等腰三角形（即在同一个三角形中，等角对_____）。 二、等边三角形 1．等边三角形的性质： ①等边三角形各条边______，各内角_______，且都等于_____； ②等边三角形是______图形，它有____条对称轴。 2．等边三角形的判定： ①有____边相等的三角形是等边三角形； ②有三个角都是______的三角形是等边三角形； 等腰Rt 两直角三角形全等的判定 直角三角形的性质和判定等边三角形的性质和判定等腰三角形的性质和判定直角三角形等边三角形 等腰三角形特殊三角形
③有两个角都是______的三角形是等边三角形； ④有一个角是______的______ 三角形是等边三角形。 三、直角三角形 1．直角三角形的性质： ①直角三角形两锐角_______； ②直角三角形斜边上的中线等于_______； ③直角三角形两直角边的平方和等于________（即勾股定理）。 ④30°角所对的直角边等于斜边的________ 2．直角三角形的判定： ①有一个角是______的三角形是直角三角形； ②有两个角_______的三角形是直角三角形； ③两边的平方和等于_______的三角形是直角三角形。 四、常用方法（数学思维） 1. 分类讨论思想（特别是在语言模糊的等腰三角形中）； 2. 方程思想：主要用在折叠之后产生直角三角形时，运用勾股定理列方程；还有就是在等腰三角形中求角度，求边长； 3.等面积法。 【例题精讲】 一、等腰三角形的性质及判定 例1：已知等腰三角形一腰上的中线把周长分为18cm和21cm两部分，则它的三边长为________________
特殊三角形-练习题(含答案)
特殊三角形-练习题(含答案)特殊三角形-练习题(含答案) 一、选择题 1. 在直角三角形中，若一条直角边的长度为3，另一条直角边的长度为4，那么斜边的长度是： A. 5 B. 7 C. 9 D. 12 2. 一个等腰三角形的两条等边分别为5，那么等腰三角形的底边长为： A. 2.5 B. 4 C. 5 D. 10 3. 在等边三角形中，每个角的度数为： A. 45° B. 60° C. 90°
D. 120° 4. 若一个三角形有一条边长为2，另外两条边长为3和4，那么这个三角形是： A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 5. 在等腰直角三角形中，两条直角边的长度分别为3和4，那么斜边的长度为： A. 5 B. 7 C. 9 D. 12 二、填空题 1. 正三角形的每个角度数为__________。 2. 整数边长的直角三角形有__________组。 3. 锐角三角形的内角和为__________度。 4. 勾股定理可以用来判断一个三角形是否为__________。
5. 一个等腰三角形的两条等边分别为6，那么等腰三角形的底边长为__________。 三、解答题 1. 证明等腰直角三角形的两条直角边相等。 解答思路：通过证明直角三角形两个角相等，并且直角三角形的两边长相等，可以得出等腰直角三角形的两条直角边相等。 2. 在等边三角形ABC中，边长为6。连接点A和边BC的垂线段AD，求垂足D与点C之间的距离。 解答思路：利用等边三角形的性质，可以得出垂足D与点C之间的距离等于等边三角形的边长的一半。 四、答案 选择题答案： 1. A 2. B 3. B 4. D 5. A 填空题答案： 1. 60°
特殊三角形知识点及例题
8．角平分线的性质： 三、重点解读 1．学习特殊三角形，应重点分清性质与判定的区别，两者不能混淆。一般而言，根据边角关系判断一个图形形状通常用的是判定，而根据图形形状得到边角关系那就是性质； 2．等腰三角形的腰是在一个三角形是等腰三角形的情况下才给出的名称，即先有等腰三角形，后有腰，因此在判定一个三角形是等腰三角形时千万不能将理由说成是“有两腰相等的三角形是等腰三角形〞； 3．直角三角形斜边上的中线不仅可以用来证明线段之间的相等关系，而且它也是今后研究直角三角形问题较为常用的辅助线，熟练掌握可以为解题带来不少方便； 4．勾股定理反映的是直角三角形两直角边和斜边之间的平方关系，解题时应注意分清哪条是斜边，哪条是直角边，不要一看到字母“〞就认定是斜边。不要一看到直角三角形两边长为3和4，就认为另一边一定是5； 5．“HL〞是仅适用于判定直角三角形全等的，只有在两个三角形均是直角三角形的前提下“SSS〞、“SAS〞、“ASA〞、“AAS〞 ⑴分类讨论思想〔特别是在语言模糊的等腰三角形中〕 ⑵方程思想：主要用在折叠之后产生直角三角形时，运用勾股定理列方程；还有就是在等腰三角形中求角度，求边长 ⑶等面积法 四、典型例题 〔一〕、角平分线+平行线 1、在△ABC中，三内角互不相等，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB。过O点作EF, 使EF∥BC。〔1〕图中有几个等腰三角形？〔2〕猜测线段BE、CF、EF有什么数量关系，并说明理由。 2、在△ABC中，∠ABC=∠ACB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB,过O点作EF， 使EF∥BC，且∠EBO=30°。假设BE=5，△ABC的周长为_________。 〔二〕、角平分线+垂线 3、如图：AB=AC，∠1=∠2，AE⊥CD于F交BC于点E，求证：AB=CE。
特殊三角形知识点总结
特殊三角形知识点总结 特殊三角形是指在三角形中具有特殊性质的三角形，包括等边三角形、等腰三角形和直角三角形。这些特殊三角形在数学中具有重要的地位和应用，在几何学、三角学等学科中都有广泛的运用。 我们来看等边三角形。等边三角形是指三条边的长度相等的三角形，也可以理解为三个角都是60度的三角形。等边三角形具有以下特点：三个内角都是60度；三个边长相等；三条高线、中线和角平分线重合；等边三角形的外接圆和内切圆都与三角形的边相切。等边三角形在几何学中常用于建筑设计、工程测量等领域，具有稳定性和对称性。 接下来，我们探讨等腰三角形。等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形，也可以理解为两个角相等的三角形。等腰三角形具有以下特点：两个底角相等；两条底边相等；两条底边上的高线相等；等腰三角形的顶角是两个底角的平分角。等腰三角形在几何学中经常出现，并且具有许多重要的性质和应用。例如，在三角函数中，等腰三角形可以用于计算三角函数值；在三角形的相似性质中，等腰三角形是常用的模型。 我们研究直角三角形。直角三角形是指其中一个角是90度的三角形。直角三角形具有以下特点：一个角是直角；两个直角边的平方和等于斜边的平方（即勾股定理）；直角三角形的高线、中线和角平
分线有特殊性质。直角三角形是最基本的三角形之一，在三角函数中有重要的应用。例如，正弦、余弦和正切等三角函数是通过直角三角形的边长比值来定义的。直角三角形也在物理学和工程学中有广泛的应用，例如用于测量高度、计算力的分解等。 特殊三角形在数学中具有重要的地位和应用，不仅有丰富的性质和特点，还在实际问题中有广泛的应用。通过研究特殊三角形，可以帮助我们深入理解三角形的性质和三角函数的应用，为解决实际问题提供数学工具和方法。因此，我们应该加强对特殊三角形的学习和理解，提高数学应用能力和解决问题的能力。
特殊三角形知识点
特殊三角形知识点 三角形是几何学中最基本的形状之一，它由三条边和三个角组成。在三角形中，有一些特殊类型的三角形，它们具有一些独特的 性质和特征。本文将介绍几种常见的特殊三角形，并讨论它们的特 点和相关的知识点。 1. 等边三角形（Equilateral Triangle）： 等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。它的三个角也 都相等，每个角都是60°。等边三角形具有以下特点： - 它的三条高（从一个顶点到对边的垂线）相等，且相互重合。 - 它的三条角平分线（从一个角到对边上的点）相等，且相互 重合。 - 它的外接圆和内切圆都与三条边相切。 2. 等腰三角形（Isosceles Triangle）： 等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。它的两个角也 相等。等腰三角形具有以下特点：
- 它的底边的中垂线（从底边的中点到顶点的垂线）是等腰三角形的高，且与底边相垂直。 - 它的两条底边角平分线相等，且相互重合。 - 它的外接圆和内切圆的圆心都在等腰三角形的角平分线的延长线上。 3. 直角三角形（Right Triangle）： 直角三角形是指其中一个角是90°的三角形。直角三角形具有以下特点： - 它的两条边相互垂直。 - 它的直角边是斜边上其他两条边的高。 - 它的斜边是其他两条边的最长边。 - 它的角度满足勾股定理：斜边的平方等于两个直角边的平方和。 4. 锐角三角形（Acute Triangle）：
锐角三角形是指其中的三个角都小于90°的三角形。锐角三 角形具有以下特点： - 它的三条高都在三个顶点和对边之间。 - 它的外接圆的圆心在三个顶点的中垂线的交点处。 5. 钝角三角形（Obtuse Triangle）： 钝角三角形是指其中一个角大于90°的三角形。钝角三角形 具有以下特点： - 它的最长边是对应的钝角的边。 - 它的最长边是其他两条边的高。 - 它的外接圆的圆心在最长边的中点延长线上。 特殊三角形的性质和特点对于解决三角形相关问题非常有帮助。通过了解特殊三角形的知识点，我们可以更好地理解和应用三角形 的性质。在实际应用中，特殊三角形的特点经常被用来简化计算和 求解问题。
特殊三角形基本知识点整理
特殊三角形基本知识点整理三角形是几何学中的基本形状之一，由三条边和三个内角组成。在三角形中，有一些特殊的三角形具有独特的性质和特点。本文将整理特殊三角形的基本知识点，包括等边三角形、等腰三角形和直角三角形。 一、等边三角形（Equilateral Triangle） 等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。它具有以下特点： 1. 所有的内角都是60度。 2. 任意两条角平分线，中点和顶点连线，三条线段相等。 3. 等边三角形的高、中线、角平分线、垂直平分线、中位线都是同一条线段。 二、等腰三角形（Isosceles Triangle） 等腰三角形是指有两条边的长度相等的三角形。它具有以下特点： 1. 两个底边的角度相等。 2. 等腰三角形的高、中线、角平分线、垂直平分线、中位线都是同一条线段。 3. 等腰三角形的顶角为底角的一半。 三、直角三角形（Right Triangle） 直角三角形是指有一个角为90度的三角形。它具有以下特点：
1. 直角三角形的两条边相互垂直，被称为直角边和斜边。 2. 两个锐角的和为90度。 3. 根据毕达哥拉斯定理，直角三角形的直角边的平方和等于斜边的平方。 四、等腰直角三角形（Isosceles Right Triangle） 等腰直角三角形是指既是等腰三角形又是直角三角形的三角形。它具有以下特点： 1. 有一个角为90度。 2. 两个底边的角度相等。 3. 两个直角边的长度相等。 五、30-60-90特殊直角三角形（30-60-90 Special Right Triangle） 30-60-90特殊直角三角形是指角度分别为30度、60度和90度的直角三角形。它具有以下特点： 1. 边长比例为1：√3：2。 2. 边长关系如下：斜边=2倍短边，长边=√3倍短边。 六、45-45-90特殊直角三角形（45-45-90 Special Right Triangle） 45-45-90特殊直角三角形是指角度分别为45度、45度和90度的直角三角形。它具有以下特点：
浙教版第二章特殊三角形知识点、考点及练习
浙教版第二章特殊三角形知识点、考点及练习
八年级上册第二章《特殊三角形》复习 一、知识结构 本章主要学习了等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质与判定以及勾股定理、HL 定理等知识，这些知识点之间的结构如下图所示： 等腰Rt 两直角三角形全等的判定 直角三角形的性质和判定 等边三角形的性质和判定等腰三角形的性质和判定直角三角形 等边三角形 等腰三角形特殊三角形 二、重点回顾 1．等腰三角形的性质： 等腰三角形两腰_______；等腰三角形两底角______(即在同一个三角形中，等边对_____)；等腰三角形三线合一，这三线是指________________、________________、________________，也就是说这三线为同一条线段；等腰三角形是________图形，它的对称轴有_________条。 2．等腰三角形的判定： 有____边相等的三角形是等腰三角形；有_____相等的三角形是等腰三角形（即在同一个三角形中，等角对_____）。 3．等边三角形的性质：
等边三角形各条边______，各内角_______，且都等于_____；等边三角形是______图形，它有____条对称轴。 4．等边三角形的判定： 有____边相等的三角形是等边三角形；有三个角都是______的三角形是等边三角形；有两个角都是______的三角形是等边三角形；有一个角是______的______ 三角形是等边三角形。 5．直角三角形的性质： 直角三角形两锐角_______；直角三角形斜边上的中线等于_______；直角三角形两直角边的平方和等于________（即勾股定理）。 30°角所对的直角边等于斜边的________ 6．直角三角形的判定： 有一个角是______的三角形是直角三角形；有两个角_______的三角形是直角三角形；两边的平方和等于_______的三角形是直角三角形。 一条边上的中线等于该边长度的一半，那么该三角形是直角三角形，但不能直接拿来判断某三角形是直角三角形，但有助于解题。 7．直角三角形全等的判定： 斜边和___________ 对应相等的两个直角三角形全等。
中考数学专项训练特殊三角形(含解析)
特殊三角形 一、选择题 1．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（） A．18° B．24° C．30° D．36° 2．如图，在△ABC中，∠CAB=70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（） A．30° B．35° C．40° D．50° 3．等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为（） A．25 B．25或32 C．32 D．19 4．如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为（） A． cm B． cm C． cm D．8cm 5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论： ①△DFE是等腰直角三角形； ②四边形CEDF不可能为正方形；
③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化； ④点C到线段EF的最大距离为． 其中正确结论的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 二、填空题 6．若等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角为． 7．若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为． 8．已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE= ． 9．如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012= ． 10．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是．