2021-2022学年北京市人大附中初三数学第一学期期末练习试卷及答案

北京人大附中2021-2022学年第一学期初三数学期末练习试卷（12）一、选择题（每题3分，共24分）1．（3分）下面图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．（3分）如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小球，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为( )A ．34B ．13C ．12D ．143．（3分）若一元二次方程22(1)310k x x k -++-=有一个解为0x =，则k 为( ) A ．1±B ．1C ．1-D ．04．（3分）如图，小杨将一个三角板放在O 上，使三角板的一直角边经过圆心O ，测得5AC cm =，3AB cm =，则O 的半径长为( )A ．3B ．103C ．4D ．1755．（3分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径是( )A ．5步B ．6步C ．8步D ．10步6．（3分）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度()h m 与飞行时间()t s 满足函数表达式2241h t t =-++．则下列说法中正确的是( )A ．点火后9s 和点火后13s 的升空高度相同B ．点火后24s 火箭落于地面C ．点火后10s 的升空高度为139mD ．火箭升空的最大高度为145m7．（3分）已知二次函数2()(y x h h =-为常数），当自变量x 的值满足13x -时，与其对应的函数值y 的最小值为4，则h 的值为( ) A ．1或5B ．5-成3C ．3-或1D ．3-或58．（3分）已知关于n 的函数2(s an bn n =+为自然数），当9n =时，0s <；当10n =时，0s >．则n 取()时，s 的值最小． A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题（每题3分，共24分）9．（3分）一元二次方程221x x -=的根为 ．10．（3分）点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 在二次函数241y x x =--的图象上，若当112x <<，234x <<时，则1y 与2y 的大小关系是1y 2y ．（用“>”、“ <”、“ =”填空）11．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，(3,4)A 为O 上一点，B 为O 内一点，请写出一个符合要求的点B 的坐标 ．12．（3分）如图，二次函数21(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点(2,5)A -，(4,1)B -，则方程2ax bx c kx m ++=+的解是 ，函数321y y y =-的对称轴为直线 ．13．（3分）在平面直角坐标系中，O 的圆心在坐标原点，半径为2，点A 的坐标为(0,4)，直线AB 为O 的切线，B 为切点，则B 点的坐标为 ．14．（3分）为响应国家全民阅读的号召，社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2015年图书借阅总量是7500本，2017年图书借阅总量是10800本．求该社区的图书借阅总量从2015年至2017年的年平均增长率为 ；如果每年的增长率相同，预计2018年图书借阅总量是 本．15．（3分）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，以点C 为中心，把ABC ∆逆时针旋转45︒，得到△A B C '''，则图中阴影部分的面积为 ．16．（3分）在某次试验数据整理过程中，某个事件发生的频率情况如下表所示．试验次数 10 50 100 200 500 1000 2000 事件发生的频率0.2450.2480.2510.2530.2490.2520.251估计这个事件发生的概率是 （精确到0.01)，试举出一个随机事件的例子，使它发生的概率与上述事件发生的概率大致相同： ．三、解答题（17-22，每题5分，23题7分，24题7分，25题8分，共24分）17．（5分）已知：MAN ∠，B 为射线AN 上一点．求作：ABC ∆，使得点C 在射线AM 上，且12ABC CAB ∠=∠．作法：①以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交射线AM 于点D ，交射线AN 的反向延长线于点E ；②以点E 为圆心，BD 长为半径画弧，交DE 于点F ；③连接FB ，交射线AM 于点C ．ABC ∆即所求作的三角形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：连接BD ，EF ，AF ， 点B ，E ，F 在A 上，1(2EBF EAF ∴∠=∠ )（填写推理的依据）． 在A 中，BD EF =，DAB ∴∠= .（填写推理的依据）． 12ABC CAB ∴∠=∠．18．（5分）已知关于x 的一元二次方程22(31)220x k x k k -+++=． （1）求证：无论k 取何实数值，方程总有实数根；（2）若ABC ∆的一边长6a =，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求k 的取值范围．19．（5分）如图，点E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，70EAB ∠=︒，4BE =，将AE 绕点A 逆时针旋转90︒得到线段AF ． （1）补全图形；（2）求点F 到AD 的距离．20．（5分）已知：二次函数21(0)y ax bx c a =++≠中的x 和y 满足表：x⋯ 1-0 1 2 3⋯ 1y⋯31-m⋯（1）观察表可求得m 的值为 ；（2）请求出这个二次函数的表达式；（3）正比例函数2(0)y kx k =≠，当3x >时，总有12y y >，直接写出k 的取值范围．21．（5分）文具店购进了20盒“2B ”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干“HB ”铅笔．店员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了2支“HB ”铅笔，具体数据见下表： 混入“HB ”铅笔数0 12盒数6mn（1）用等式写出m ，n 所满足的数量关系 ； （2）从20盒铅笔中任意选取1盒：①“盒中没有混入‘HB ’铅笔”是 事件（填“必然”、“不可能”或“随机” )； ②若“盒中混入1支‘HB ’铅笔”的概率为14，求m 和n 的值． 22．（5分）如图，AB 为O 的直径，PQ 切O 于T ，AC PQ ⊥于C ，交O 于D ． （1）求证：AT 平分BAC ∠；（2）若2AD =，3TC =，求O 的半径．23．（7分）在平面直角坐标系中，点(4,)m 和点(,)a n 在抛物线2(1)4(0)y kx k x k =---≠上． （1）若1a =-，5n m =+，求抛物线的对称轴； （2）已知点(31)y ，1(2022，2)y 在抛物线上，若4m <-，且当2a <-时，m n >，比较1y 和2y 的大小．24．（7分）如图1，在等腰Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，点M 为BC 中点．点P 为AB 边上一动点，点D 为BC 边上一动点，连接DP ，以点P 为旋转中心，将线段PD 逆时针旋转90︒，得到线段PE ，连接EC ．（1）当点P 与点A 重合时，如图2． ①根据题意在图2中完成作图； ②判断EC 与BC 的位置关系并证明．（2）连接EM ，写出一个BP 的值，使得对于任意的点D 总有EM EC =，并证明．25．（8分）在平面直角坐标系xOy 中，C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于C 的限距点的定义如下：若P '为直线PC 与C 的一个交点，满足2r PP r '，则称P '为点P 关于C 的限距点，右图为点P 及其关于C 的限距点P '的示意图． （1）当O 的半径为1时．①分别判断点(3,4)M ，5(2N ，0)，2)T 关于O 的限距点是否存在？若存在，求其坐标；②点D 的坐标为(2,0)，DE ，DF 分别切O 于点E ，点F ，点P 在DEF ∆的边上．若点P 关于O 的限距点P '存在，求点P '的横坐标的取值范围；（2）保持（1）中D ，E ，F 三点不变，点P 在DEF ∆的边上沿E F D E →→→的方向运动，C 的圆心C 的坐标为(1,0)，半径为r ．若点P 关于C 的限距点P '不存在，则r 的取值范围为 ．参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共24分）1．【解答】解：A ．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；D ．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D ．2．【解答】解：设小正方形的边长为1，则其面积为1． 圆的直径正好是大正方形边长，∴根据勾股定理，其小正方形对角线为2，即圆的直径为2， ∴大正方形的边长为2，则大正方形的面积为222⨯=，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为12． 故选：C ．3．【解答】解：把0x =代入方程22(1)310k x x k -++-=得方程210k -=， 解得11k =，21k =-， 而10k -≠， 所以1k =-． 故选：C ．4．【解答】解：延长CA 交O 于D ，连接BC 、BD ，如图， CD 为直径， 90CBD ∴∠=︒， 90CAB ∠=︒， D CBA ∴∠=∠， Rt ABC Rt ADB ∴∆∆∽，::AB AD AC AB ∴=，即3:5:3AD =，95AD cm ∴=，9345()55CD cm ∴=+=， O ∴的半径长为175cm ． 故选：D ．5．【解答】解：如图，在Rt ABC ∆中，8AC =，15BC =，90C ∠=︒，2217AB AC BC ∴=+=， 118156022ABC S AC BC ∆∴=⋅=⨯⨯=， 设内切圆的圆心为O ，分别连接圆心和三个切点，及OA 、OB 、OC ， 设内切圆的半径为r ，1()202ABC AOB BOC AOC S S S S r AB BC AC r ∆∆∆∆∴=++=⨯++=，2060r ∴=，解得3r =，∴内切圆的直径为6步，故选：B ．6．【解答】解：A 、当9t =时，136h =；当13t =时，144h =；所以点火后9s 和点火后13s 的升空高度不相同，此选项错误；B 、当24t =时10h =≠，所以点火后24s 火箭离地面的高度为1m ，此选项错误；C 、当10t =时141h m =，此选项错误；D 、由22241(12)145h t t t =-++=--+知火箭升空的最大高度为145m ，此选项正确；故选：D ．7．【解答】解：当x h >时，y 随x 的增大而增大，当x h <时，y 随x 的增大而减小，∴①若13h x <-，1x =-时，y 取得最小值4，可得：2(1)4h --=， 解得：3h =-或1h =（舍)；②若13x h -<，当3x =时，y 取得最小值4， 可得：2(3)4h -=， 解得：5h =或1h =（舍)；③若13h -<<时，当x h =时，y 取得最小值为0，不是4，∴此种情况不符合题意，舍去．综上，h 的值为3-或5， 故选：D ．8．【解答】解：函数2(s an bn n =+为自然数），当9n =时，0s <；当10n =时，0s >， 0a ∴>，该函数图象开口向上，∴当0s =时，910n <<，0n =时，0s =，∴该函数的对称轴n 的值在4.5~5之间， ∴各个选项中，当5n =时，s 取得的值最小，故选：C ．二、填空题（每题3分，共24分） 9．【解答】解：221x x -=，22111x x ∴-+=+，即2(1)2x -=，1x ∴-=11x ∴=，21x =，故答案为：11x =+21x =10．【解答】解：由二次函数2241(2)5y x x x =--=--可知，其图象开口向上，且对称轴为2x =， 112x <<，234x <<，A ∴点横坐标离对称轴的距离小于B 点横坐标离对称轴的距离，12y y ∴<．故答案为：<．11．【解答】解：连接OA ，22345OA =+=，B 为O 内一点，∴符合要求的点B 的坐标(0,0)答案不唯一．故答案为：(0,0)答案不唯一．12．【解答】解：点(2,5)A -，(4,1)B -为二次函数21(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象的交点，2ax bx c kx m ∴++=+的解为12x =-，24x =，把(2,5)A -，(4,1)B -代入21y ax bx c =++得4251641a b c a b c -+=⎧⎨++=-⎩，21b a ∴=--，38c a =-，∴抛物线的解析式为21(21)38y ax a x a =-++-，把(2,5)A -，(4,1)B -代入2y kx m =+得2541k m k m -+=⎧⎨+=-⎩，解得13k m =-⎧⎨=⎩，∴一次函数解析式为13y x =-+，223213[(21)38]283y y y x ax a x a ax ax a ∴=-=-+--++-=-++-，∴函数3y 的对称轴为直线212ax a=-=-． 故答案为12x =-，24x =；1x =． 13．【解答】解：设O 交y 轴于点C ，连接OB 、BC ，过B 作BD x ⊥轴于点D ，半径为2，(0,4)A ， 2OC ∴=， C ∴为OA 中点，AB ∴切O 于点B ，OB AB ∴⊥， 2BC OC ∴==， BOC ∴∆为等边三角形， 60BOC ∴∠=︒， 30BOD ∴∠=︒，在Rt BOD ∆中，112BD OB ==，332OB OB ==，∴两切点B 的坐标为(3-，1)或(3，1)，故答案为：(3-，1)或(3，1)．14．【解答】解：设该社区的图书借阅总量从2015年至2017年的年平均增长率为x ，根据题意得27500(1)10800x +=， 即2(1) 1.44x +=，解得：10.2x =，2 2.2x =-（舍去） 10800(10.2)12960+=（本)．答：该社区的图书借阅总量从2015年至2017年的年平均增长率为20%；预计2018年图书借阅总量是12960本，故答案为：20%；12960．15．【解答】解：在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，2242BC AB AC ∴=+=，把ABC ∆逆时针旋转45︒，得到△A B C '''，45ACB A CB ''∴∠=∠=︒，4AC AC '==，4A B AB ''==，90CA B CAB ∠''=∠=︒，∴阴影部分的面积2245(42)114544444236022360πππ⋅⋅=-⨯⨯+⨯⨯-=，故答案为2π．16．【解答】解：这个事件发生的概率是0.25，试举出一个随机事件的例子，使它发生的概率与上述事件发生的概率大致相同：从红桃A 、黑桃A 、梅花A 、方块A 四张牌中，随机抽取一张，则抽到方块A 的概率为0.25．故答案为：0.25；从红桃A 、黑桃A 、梅花A 、方块A 四张牌中，随机抽取一张，则抽到方块A 的概率为0.25．三、解答题（17-22，每题5分，23题7分，24题7分，25题8分，共24分） 17．【解答】（1）解：如图，ABC ∆为所作；（2）证明：连接BD ，EF ，AF ， 点B ，E ，F 在A 上，12EBF EAF ∴∠=∠（同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）， 在A 中，BD EF =，DAB EAF ∴∠=∠（在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等）． 12ABC CAB ∴∠=∠．故答案为同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；EAF ∠（在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等）．18．【解答】（1）证明：△22(31)4(22)k k k =+-+ 221k k =-+2(1)0k =-，∴无论k 取何实数值，方程总有实数根；（2）解：31(1)2k k x +±-=，解得12x k =，21x k =+， 即2b k =，1c k =+，216k k ∴++>，20k >，10k +>，162k k ++>，∴573k <<， 即k 的取值范围为573k <<．19．【解答】解：（1）如图，线段AF 即为所求；（2）过点F 作FH AD ⊥于点H ，过点E 作EJ AB ⊥于点J ． 四边形ABCD 是正方形， 90BAD ∴∠=︒，45ABE ∠=︒， EJ AB ⊥，FH AD ⊥，90EAF ∠=︒， 90BAD EAF AJE AHF ∴∠=∠=∠=∠=︒， EAJ FAH ∴∠=∠，4BE =，22BJ EJ ∴==在AJE ∆和AHF ∆中， AJE AHF EAJ FAH AE AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AJE AHF AAS ∴∆≅∆， 22EJ FH ∴==∴点F 到AD 的距离220．【解答】解：（1）观察表中数据可知函数的对称轴为：1x =， 根据函数的对称轴性，3m =， 故答案为：3；（2）函数的顶点坐标为(1,1)-，故抛物线的表达式为：21(1)1y a x =--， 将(2,0)代入上式并解得：1a =，∴抛物线的表达式为：21(1)1y x =--；（3）由表中数据知，21(1)1y x =--与x 轴的交点为(0,0)和(2,0)， 如图所示：当0k >时，图象2y kx =过(3,3)， 则1k =，当3x >时，总有12y y >， k ∴的取值范围为01k <或0k <．21．【解答】解：（1）观察表格发现：620m n ++=，∴用等式写出m ，n 所满足的数量关系为14m n +=，故答案为：14m n +=；（2）①“盒中没有混入‘HB ’铅笔”是随机事件， 故答案为：随机；② “盒中混入1支‘HB ’铅笔”的概率为14， ∴1204m =， 5m ∴=，9n =．22．【解答】（1）证明：连接OT ；PQ 切O 于T ， OT PQ ∴⊥，又AC PQ ⊥，//OT AC ∴， TAC ATO ∴∠=∠；又OT OA =， ATO OAT ∴∠=∠， OAT TAC ∴∠=∠，即AT 平分BAC ∠．（2）解：过点O 作OM AC ⊥于M ， 12ADAM MD ∴===； 又90OTC ACT OMC ∠=∠=∠=︒，∴四边形OTCM 为矩形，3OM TC ∴==，∴在Rt AOM ∆中，22312AO OM AM =+=+=； 即O 的半径为2．23．【解答】解：（1）1a =-，5n m =+，且点(4,)m 和点(,)a n 在抛物线2(1)4(0)y kx k x k =---≠上， 把点(4,)m 和点(,)a n 代入抛物线的解析式， 得164(1)45(1)4m k k m k k =---⎧⎨+=+--⎩，解得1k =-，2224(1)3y x x x ∴=-+-=---，∴抛物线的对称轴为直线1x =；（2）点(4,)m 和点(,)a n 在抛物线2(1)4(0)y kx k x k =---≠上，若4m <-，且当2a <-时，m n >，∴抛物线开口向下，对称轴为直线4222x -==符合题意， ∴当2x <时，y 随x 的增大而增大，132022>， 12y y ∴>．24．【解答】解：（1）①图形如图2中所示：②结论：EC BC ⊥． 理由：AB AC =，90BAC ∠=︒，45B ACB ∴∠=∠=︒， 90EAD BAC ∠=∠=︒， BAD CAE ∴∠=∠，AD AE =，()BAD CAE SAS ∴∆≅∆， 45B ACE ∴∠=∠=︒，90BCE ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒， EC BC ∴⊥．（2）当32BP =时，总有EM EC =．理由：如图3中，作PS BC ⊥于S ，作PN PS ⊥，并使得PN PS =，连接NE ，延长NE 交BC 于Q ，连接EM ，EC ．PD PE =，90DPE SPN ∠=∠=︒，DPS EPN ∴∠=∠，()DPS EPN AAS ∴∆≅∆， 90PSD N ∴∠=∠=︒，90PEQ PSQ SPN ∠=∠=∠=︒，∴四边形PNQS 是矩形，PS PN =，∴四边形PNQS 是正方形，32BP =，45B ∠=︒，2AB =， 324BS PS ∴==，22BC =， 3222BQ BS ∴==，22QC =，M 是BC 的中点，2MC ∴=，22MQ QC ∴==， EQ CM ⊥，NQ ∴是CM 的垂直平分线， EM EC ∴=．25．【解答】解：（1）O 的半径为1，∴点P 关于O 的限距点P '存在的条件是12PP '．①存在．如图1，连接OM 、OT 、ON ，分别交O 于点Q 、R 、L ．22345OM =+=，221(2)3OT =+=，1OL =，5142QM ∴=-=>，311RT =-<， 2.51 1.5LN =-=，1 1.52<<，∴点M 、T 不存在关于O 的限距点，点N 存在关于O 的限距点，该点的坐标为(1,0)．②如图2，OD 交O 于点G ，交EF 于点H ，连接并延长EO 交O 于点E '，连接并延长FO 交O 于点F '，连接E F ''交x 轴于点Q ．DE 、DF 分别切O 于点E 、F ，DE OE ∴⊥，DF OF ⊥， 90OED OFD ∴∠=∠=︒，2OD =，1OG =，12OE OF OD ==，60DOE DOF ∴∠=∠=︒， 1OE OF ==，DE DF =， OD ∴垂直平分EF ， 90OHE OHF ∴∠=∠=︒， 30OEH OFH ∴∠=∠=︒，1122OH OE ∴==，3322EH OE ==，3322FH OF ==， 1(2E ∴，3)2，1(2F ，3)2-， 60QOF HOF '∠=∠=︒，60QOE HOE '∠=∠=︒，OE OF ''=， OQ ∴垂直平分E F ''， 90OQF OQE ''∴∠=∠=︒， 12OQ ∴=，32QF QE ''==，1(2E ∴-，3)2，1(2F -，3)2-， 当点P 在EF 上，PO 的延长线交O 于点P '，则12PP '<， 存在限距点P '，且点P '在弧E F ''上运动， 112x ∴--； 如图3，当点P 在DE 或DF 边上，且不与点D 、E 、F 重合时，射线PO 交O 于两点P '、P ''， 则1PP '<，2PP ''>，∴此时不存在点P 的限距点；如图4，当点P 与点D 重合时，则1PP '=，点P '是点P 关于O 的限距点，此时，1x =． 综上所述，点P 关于O 的限距点P '的横坐标x 的取值范围是112x --或1x =． （2）如图5，连接OE ，OC ． 由（1）得，60DEF DFE ∠=∠=︒，DEF ∆是等边三角形，OE OC =，60EOC ∠=︒， OEC ∴∆也是等边三角形，1302CEF DEF ∴∠=︒=∠，12CDE EDF ∠=∠，∴点C 是等边三角形DEF 的中心， ∴点C 到DE 、EF 、FD 的距离相等．设EF 交OD 于点P ，C 交OD 于点P '， 当2PP r '>时，不存在点P 关于C 的限距点， 1(2P ，0)， 12PC ∴=， ∴1220r r r ⎧->⎪⎨⎪>⎩， 解得106r <<． 故答案为：106r <<．。