初中数学中考复习 二次函数 专题讲义(含解析)

二次函数 专题讲义考点回顾一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。

)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

3、二次函数图像的画法 五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。

将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，（3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。

如果没有交点，则不能这样表示。

三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx 2-=时，ab ac y 442-=最值。

如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看ab2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=ab2-时，a b ac y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。

四、二次函数的性质 1、二次函数的性质2、二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，中，c b 、、a 的含义：a 表示开口方向：a >0时，抛物线开口向上, a <0时，抛物线开口向下b 与对称轴有关：对称轴为x=ab2-c 表示抛物线与y 轴的交点坐标：（0，c ） 3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的ac 4b 2-=∆，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。

当∆>0时，图像与x 轴有两个交点；当∆=0时，图像与x 轴有一个交点；当∆<0时，图像与x 轴没有交点。

典例精选考点典例一、二次函数的图象【例1】已知函数122--=ax ax y （a 是常数，a ≠0），下列结论正确的是A. 当1=a 时，函数图象过点（-1，1）B. 当2-=a 时，函数图象与x 轴没有交点C. 若0>a ，则当1≥x 时，y 随x 的增大而减小D. 若0<a ，则当1≤x 时，y 随x 的增大而增大 【答案】D. 【解析】考点:二次函数的性质.【点睛】根据二次函数的性质解决即可．【举一反三】【针对性练习】对于二次函数y=-14x2+x-4,下列说法正确的是（）A、当x>0，y随x的增大而增大B、当x=2时，y有最大值－3C、图像的顶点坐标为（－2，－7）D、图像与x轴有两个交点【答案】B.【解析】试题分析：二次函数y=-14x2+x-4=-14(x-2)2-3,所以二次函数的开口向下，当x＜2，y随x的增大而增大，选项A错误；当x=2时，取得最大值，最大值为－3,选项B正确；顶点坐标为（2，-3），选项C错误；顶点坐标为（2，-3），抛物线开口向下可得抛物线与x轴没有交点，选项D错误，故答案选B.考点：二次函数的性质.考点典例二、二次函数的解析式【例2】如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数y=﹣的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（）A ．y=x 2﹣x ﹣2 B ．y=x 2﹣x+2C ．y=x 2+x ﹣2D ．y=x 2+x+2【答案】A ． 【解析】故选A ．【点晴】先根据A 在反比例函数图象上，求出m 的值，再把A 、B 点坐标代入二次函数y=x 2+bx+c 中，求出b 、c 的值即可. 【举一反三】【针对性练习】写出一个y 关于x 的二次函数的解析式，且它的图象的顶点在y 轴上：． 【答案】2y x =（答案不唯一）． 【解析】试题分析：由题意可得：2y x =（答案不唯一）．故答案为：2y x =（答案不唯一，只要2y ax bx c =++中a ≠0，b =0即可）．考点：二次函数的性质；开放型． 考点典例三、二次函数的最值【例3】 二次函数y=2（x ﹣3）2﹣4的最小值为 ． 【答案】-4. 【解析】试题分析：二次函数y=2（x ﹣3）2﹣4为顶点式，因此最小值为-4. 考点：二次函数极值.【点睛】根据顶点式得到它的顶点坐标是（3，-4），即可求出函数的最大值． 【举一反三】【针对性练习】当－2≤x≤l 时，二次函数()22y x m m 1=--++有最大值4，则实数m 的值为【 】 (A) 74- (B) 3或3- (c)2或3- (D)2或3或74- 【答案】C ． 【解析】考点典例四、二次函数的图象与性质【例4】 如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论： ①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac﹣b 2＜8a④＜a ＜ ⑤b＞c ．其中含所有正确结论的选项是（ ）A ．①③B ．①③④C ．②④⑤D ．①③④⑤ 【答案】D. 【解析】考点：二次函数图象与系数的关系.【点睛】根据二次函数的图象与性质进行逐项分析即可求出答案. 【举一反三】【针对性练习】已知二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图象如图所示，给出以下四个结论：①0=abc ；②0>++c b a ；③b a >；④042<-b ac .其中，正确的结论有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C. 【解析】O23xy（第10题图）-x =第12题图考点：抛物线的图象与系数的关系. 考点典例五、二次函数图象与平移变换【例5】将抛物线23(4)2y x =-+向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是． 【答案】23(5)1y x =--． 【解析】试题分析：23(4)2y x =-+向右平移1个单位所得直线解析式为：23(5)2y x =-+； 再向下平移3个单位为：23(5)1y x =--．故答案为：23(5)1y x =--． 考点：二次函数图象与几何变换．【点睛】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式． 【举一反三】【针对性练习】在平面直角坐标系中，将抛物线y=﹣12x 2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是（ ）A ．y=﹣12x 2﹣x ﹣32 B ．y=﹣12x 2+x ﹣12 C ．y=﹣12x 2+x ﹣32 D ．y=﹣12x 2﹣x ﹣12【答案】A ． 【解析】考点：二次函数图象与几何变换． 课堂自测小练习 一．选择题1．抛物线y=2x 2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C. 【解析】试题分析：已知抛物线y=2x 2﹣2x+1，令x=0，得到y=1，即抛物线与y 轴交点为（0，1）；令y=0，得到2x 2﹣2x+1=0，即（x ﹣1）2=0，解得：x 1=x 2=，即抛物线与x 轴交点为（，0），则抛物线与坐标轴的交点个数是2，故答案选C考点：抛物线与坐标轴的交点．2.在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点选择180°得到抛物线y=x 2+5x+6，则原抛物线的解析式是（ ）A ．y=﹣（x ﹣25）2﹣411B ．y=﹣（x+25）2﹣411C ．y=﹣（x ﹣25）2﹣41D ．y=﹣（x+25）2+41【答案】A. 【解析】试题分析：已知抛物线的解析式为y=x 2+5x+6，它绕原点旋转180°后变为y=﹣x 2+5x ﹣6，即y=﹣（x ﹣25）2+，再向下平移3个单位长度的解析式为y=﹣（x ﹣25）2+41﹣3=﹣（x ﹣25）2﹣411．故答案选A ． 考点：二次函数图象与几何变换．3．以x 为自变量的二次函数()12222-+--=b x b x y 的图象不经过第三象限，则实数b 的取值范围是A.45≥b B.1≥b 或 1-≤b C.2≥b D. 21≤≤b 【答案】A. 【解析】考点:二次函数的性质.4.如图，二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC. 则下列结论：1①abc＞0 ②9a+3b+c＜0 ③c＞－1 ④关于x的方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有一个根为－a其中正确的结论个数有（）A. 1个B. 2个C.3个D. 4个【答案】C.【解析】考点：二次函数图象与系数的关系;数形结合思想．5.对于二次函数y=-14x2+x-4,下列说法正确的是（）A、当x>0，y随x的增大而增大B、当x=2时，y有最大值－3C、图像的顶点坐标为（－2，－7）D、图像与x轴有两个交点【答案】B.【解析】试题分析：二次函数y=-14x2+x-4=-14(x-2)2-3,所以二次函数的开口向下，当x＜2，y随x的增大而增大，选项A错误；当x=2时，取得最大值，最大值为－3,选项B正确；顶点坐标为（2，-3），选项C 错误；顶点坐标为（2，-3），抛物线开口向下可得抛物线与x轴没有交点，选项D错误，故答案选B.考点：二次函数的性质.6.二次函数y=x2+2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是（）A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4） B．开口向下，顶点坐标为（1，4）C．开口向上，顶点坐标为（1，4） D．开口向下，顶点坐标为（﹣1，﹣4）【答案】A．【解析】试题分析：已知二次函数y=x2+2x﹣3的二次项系数为a=1＞0，所以函数图象开口向上，又因y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，即可得顶点坐标为（﹣1，﹣4）．故答案选A．考点：二次函数的性质．7.已知二次函数y=﹣（x﹣a）2﹣b的图象如图所示，则反比例函数y=与一次函数y=ax+b的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B.【解析】 考点：函数图像与系数的关系.8.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ）A ．a ＜0B ．c ＞0C ．a +b +c ＞0D ．24b ac -＞0【答案】C ．【解析】考点：二次函数图象与系数的关系．二．填空题9. 已知A （0,3），B （2,3）是抛物线c bx x y ++-=2上两点，该抛物线的顶点坐标是_________.【答案】（1,4）.【解析】试题分析：把A （0,3），B （2,3）代入抛物线c bx x y ++-=2可得b=2，c=3，所以322++-=x x y =4)12+--x （，即可得该抛物线的顶点坐标是（1,4）. 考点：抛物线的顶点.10.已知函数22y x x =--，当 时，函数值y 随x 的增大而增大．【答案】x ≤﹣1．【解析】试题分析：∵22y x x =--=2(1)1x -++，a =﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x =﹣1，∴当x ≤﹣1时，y 随x 的增大而增大，故答案为：x ≤﹣1．考点：二次函数的性质．11.如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线x =﹣1，给出以下结论：①abc ＜0，②24b ac -＞0，③4b +c ＜0，④若B （52-，1y ）、C （12-，2y ）为函数图象上的两点，则12y y >，⑤当﹣3≤x ≤1时，y ≥0．其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号） ．【答案】②③⑤．【解析】考点：二次函数图象与系数的关系；综合题．12.将抛物线23(4)2y x =-+向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是 ．【答案】23(5)1y x =--．【解析】试题分析：23(4)2y x =-+向右平移1个单位所得直线解析式为：23(5)2y x =-+；再向下平移3个单位为：23(5)1y x =--．故答案为：23(5)1y x =--．考点：二次函数图象与几何变换．三．解答题13.（本题10分）如图，已知抛物线32++-=mx x y 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0）。