机器人运动学中变换矩阵左乘右乘的理解
机器人雅可比矩阵
两自由度机器人
对于一个两自由度的机器人，其 雅可比矩阵是一个2x2矩阵，其 中包含了机器人的两个关节角度 和两个关节速度之间的线性关系
。
矩阵形式
雅可比矩阵的矩阵形式为：J = [[a, b], [c, d]]，其中a、b、c、d 是机器人关节角度和关节速度之
间的线性关系系数。
计算方法
对于两自由度机器人，可以通过 已知的关节角度和关节速度，以 及机器人运动学方程，计算得到
解析机器人模型
计算偏导数
雅可比矩阵描述了机器人末端与控制输入 之间的关系，通过直接计算机器人关节变 量对末端位置和姿态的偏导数得到。
根据机器人的几何模型和关节类型，解析 机器人的运动学模型，得到末端位置和姿 态与关节变量的关系。
利用解析得到的运动学模型，计算机器人 末端位置和姿态对关节变量的偏导数，得 到雅可比矩阵的元素。
参数优化
调整雅可比矩阵的参数
通过对雅可比矩阵的参数进行调整，如增加或减少矩阵的行 或列，能够优化矩阵的计算过程，提高计算效率。
优化迭代算法的参数
对于使用迭代算法计算雅可比矩阵的情形，通过调整迭代算 法的参数，如增加迭代次数、改变收敛准则等，能够提高计 算精度和速度。
控制策略改进
引入新的控制策略
针对具体应用场景，引入新的控制策略，如采用模糊控制、神经网络等，能够更好地解决机器人控制问题，进而 改进雅可比矩阵的计算效果。
计算方法
对于四自由度机器人，可以通过 已知的关节角度和关节速度，以 及机器人运动学方程，计算得到 雅可比矩阵。
05
雅可比矩阵的优化与改进
优化算法选择
选用高效算法
对于雅可比矩阵的计算，选用高效的算法能够显著提升计算速度和精度，例如采 用数值差分法、有限元法等。
点乘旋转矩阵公式
点乘旋转矩阵公式旋转矩阵是三维空间中的一种线性变换，它可以将一个向量绕着某个轴旋转一定的角度。
在计算机图形学、机器人学、物理学等领域中，旋转矩阵是一个非常重要的概念。
本文将介绍旋转矩阵的点乘公式，以及它在计算中的应用。
一、点乘公式旋转矩阵是一个3x3的矩阵，它可以表示绕x轴、y轴、z轴旋转的变换。
以绕z轴旋转为例，旋转矩阵可以表示为：Rz(θ) = [cosθ -sinθ 0; sinθ cosθ 0; 0 0 1]其中，θ表示旋转的角度，cosθ和sinθ分别表示θ的余弦和正弦。
这个矩阵的第一行表示旋转后x轴的坐标，第二行表示旋转后y轴的坐标，第三行表示旋转后z轴的坐标。
在计算中，我们通常需要将多个旋转矩阵相乘，得到一个综合的旋转矩阵。
这时，就需要用到点乘公式。
点乘公式可以表示为：Rz(θ1)Ry(θ2)Rx(θ3) = [cosθ2cosθ3 cosθ2sinθ3 -sinθ2; sinθ1sinθ2cosθ3-cosθ1sinθ3 sinθ1sinθ2sinθ3+cosθ1cosθ3 sinθ1cosθ2;cosθ1sinθ2cosθ3+sinθ1sinθ3 cosθ1sinθ2sinθ3-sinθ1cosθ3 cosθ1cosθ2]其中，Rx、Ry、Rz分别表示绕x轴、y轴、z轴旋转的矩阵，θ1、θ2、θ3分别表示旋转的角度。
这个公式的推导比较复杂，可以参考相关的数学教材。
二、应用点乘旋转矩阵公式在计算机图形学、机器人学、物理学等领域中有着广泛的应用。
下面以计算机图形学为例，介绍它的应用。
在计算机图形学中，我们通常需要将一个三维模型绕着某个轴旋转一定的角度，以达到变换的效果。
这时，就需要用到旋转矩阵。
假设我们要将一个三维模型绕着z轴旋转30度，然后绕着y轴旋转20度，最后绕着x轴旋转10度，我们可以按照以下步骤计算：1. 计算绕z轴旋转30度的旋转矩阵Rz(30°)；2. 计算绕y轴旋转20度的旋转矩阵Ry(20°)；3. 计算绕x轴旋转10度的旋转矩阵Rx(10°)；4. 将这三个旋转矩阵按照点乘公式相乘，得到综合的旋转矩阵R =Rz(30°)Ry(20°)Rx(10°)；5. 将三维模型的每个顶点坐标乘以综合的旋转矩阵R，即可得到旋转后的顶点坐标。
第二章位姿描述和齐次变换.
6
2.1、刚体位姿描述(续)
四、手爪坐标系
机器人手部的位置和姿态也可以用固连于手部的坐标系{B} 的位姿来表示,如图2-6所示。 坐标系{B}可以这样来确定:取
z轴设在手指接近物体的方向称为
接近矢量 a,y所规定轴设在两手指 的连线方向，称方位矢量 o；x轴
由右手法则确定：n=o×a,矢量n
称为法向矢量。旋转矩阵R=[n， o，a]。手抓的位置有位置矢量P 所规定，它代表手抓坐标系的原 点。 手抓的位姿可记为{T}={n，o，a，
15
2.3、齐次坐标和齐次变换(续)
0 1 A 例如：试解释齐次变换 矩阵： BT 0 0 { A}坐标的位姿。 1 0 0 3 所描述的{ B}坐标相对于 1 0 4 0 0 1 0 1
yB
xB zB
zA
解释如下： {B}的坐标原点相对于 {A}的位置为 [1， 3， 4， 1]T
p x A p p y p z
3
式中PX,PY,PZ是点P在坐标系{A}中的三个位 置坐标分量,如图2-1所示。
4
2.1、刚体位姿描述(续)
二、方位的描述（旋转矩阵）
z
z1
0
y
为了表示刚体的方位， 用一直角坐标系 {B} { x1、y1、z1}与刚体固接。设 {B}中单位主矢量为 x B、
zB
p
表示绕过坐标原点的轴 k旋转θ角度。
z
* B
zA
yB
p*
y* B
0
xB
17
0
yA
* B
xA x
2.4、齐次变换矩阵的运算
一、变换矩阵相乘
已知三维空间中的三个 坐标系 {A}、 {B}、 {C}； {B}相对于 {A }的描述为 A BT， {C}相对于 {B}的描述为 B CT，则对于空间任一点 p，有：
机器人运动学雅可比矩阵
05 雅可比矩阵的优化与改进
雅可比矩阵的稳定性分析
稳定性分析的重要性
在机器人运动控制中，雅可比矩阵的稳定性对机器人的运动性能 和动态响应具有重要影响。
稳定性判据
通过分析雅可比矩阵的特征值和特征向量，可以确定机器人的运动 稳定性，并为其运动控制提供依据。
通常使用齐次变换矩阵来表示机器人的位姿，该矩阵包含 了平移和旋转信息，能够完整地描述机器人在空间中的位 置和方向。
坐标系与变换
01
坐标系是用来描述物体在空间中位置和姿态的参照框架。
02
在机器人学中，通常使用固连于机器人基座的坐标系作为全局 参考坐标系，以及固连于机器人末端执行器的坐标系作为局部
参考坐标系。
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雅可比矩阵的物理意义
雅可比矩阵描述了机械臂末端执行器 的位置和姿态随关节变量变化的规律， 是机械臂运动学分析中的重要概念。
通过雅可比矩阵，可以分析机械臂的 可达工作空间、奇异性、运动速度和 加速度等运动学性能。
雅可比矩阵的计算方法
雅可比矩阵可以通过正向运动学和逆 向运动学两种方法计算得到。
在计算雅可比矩阵时，需要使用到线 性代数、微分方程等数学工具。
正向运动学是根据关节变量求解末端 执行器在参考坐标系中的位置和姿态； 逆向运动学是根据末端执行器的位置 和姿态求解关节变量。
04 雅可比矩阵在机器人运动 学中的应用
机器人的关节与连杆
关节
机器人的每个关节都有一个自由 度，决定了机器人的运动方式。 常见的关节类型包括旋转关节和 移动关节。
连杆
机器人学—数学基础—齐次坐标和齐次变换
列矩阵 x
a= x
y
, b=
z
, c=
，w为比例系数
w
w
w
V
y z
x
y
z
w T
显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随
w
w值的不同而不同。在计算机图学中，w
作为通用比例因子，它可取任意正值，但
在机器人的运动分析中，总是取w=1 。
[例]：
V3 i4j5 k
可以表示为： V=[3 4 5 1]T
或 V=[6 8 10 2]T 或 V=[-12 -16 -20 -4]T
• 具有直观的几何意义 • 能表达动力学、计算机视觉和比例变换问题 • 其数学基础即是齐次变换
2.2 点和面的齐次坐标
2.2.1 点的齐次坐标
• 一般来说，n维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间 实体。有一个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作 一个附加于每个矢量的特定坐标—比例系数。
v a i b j c k 式中i, j, k为x, y, z 轴上的单位矢量，
0 0
10
10 1020 0
1
1
0
0 0 1 10 1 0
2 1
0
0 0 1 -10 -1 0
0 1
与点矢 0 0 0 0T相仿，平面 0 0 0 0也没有意义
2.2 旋转矩阵及旋转齐次变换
2.2.1 旋转矩阵
设固定参考坐标系直角坐标为ΣOxyz，动坐标系为ΣO´uvw， 研究旋转变换情况。
解2：用分步计算的方法
① R（x, 90°）
1 0 0 01 1
P' 0 0 -1 02 3 0 1 0 03 2
第三章 数学基础—齐次坐标和齐次变换New2
解1：用画图的简单方法
解2：用分步计算的方法 ① Rot（x, 90°）
1 0 P' 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 1 1 2 3 0 0 3 2 1 1 1
（3-1）
o
i
n
a
运动学正逆求解问题
Where is my hand?
运动学正问题
Direct Kinematics HERE!
How do I put my hand here?
运动学逆问题
Inverse Kinematics: Choose these angles!
3.2 位置和姿态的描述
一、位置描述 对于直角坐标系 {A} ，空间内任一点 P 的位置可有 3×1 的列 A 向量rP （或位置向量）
中各轴的投影分量，很容易得到在重合时，有：
1 0 0 R 0 1 0 0 0 1
由图2-5可知， jv 在y轴上的投影为
k z cos
j y cos
， jv 在z轴上的投影
为 k z sin , kw 在y轴上的投影为 j y sin ， kw 在z轴上的投影为 ，所以有：
② Rot（z, 90°）
0 - 1 1 0 P '' 0 0 0 0
0 0 P ''' - 1 0 0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 0
0 1 3 3 1 0 0 2 2 1 1 1
A B
T
A
B rP A T rP B
A B
T
理解： 1 ）是 {A} 和 {B} 两个坐标系下点或方位齐次坐标的线性映 射，一旦这两个坐标系之间的位姿关系确定，它也就确定 了。 2）是{B}坐标系相对{A}坐标系的位姿矩阵。
旋转矩阵与左右手坐标系
旋转矩阵与左右手坐标系引言：在几何学和线性代数中，旋转矩阵是一种用于描述二维或三维空间中旋转变换的数学工具。
而左右手坐标系是用于确定空间中方向和位置关系的坐标系统。
本文将介绍旋转矩阵的原理和应用，以及左右手坐标系的定义和使用。
一、旋转矩阵的原理旋转矩阵是一个二维或三维的正交矩阵，它可以通过矩阵乘法来实现坐标系的旋转变换。
在二维空间中，旋转矩阵可以表示为：R = |cosθ -sinθ||sinθ cosθ|其中，θ表示旋转的角度。
在三维空间中，旋转矩阵可以表示为一个3x3的矩阵，具体形式与旋转轴和角度有关。
通过对向量进行旋转矩阵乘法，可以实现坐标系的旋转变换。
二、旋转矩阵的应用旋转矩阵在计算机图形学和机器人学等领域有着广泛的应用。
在计算机图形学中，旋转矩阵可以用来实现物体的旋转效果，从而呈现出各种形态和动画效果。
在机器人学中，旋转矩阵可以用来描述机器人的姿态和运动。
三、左右手坐标系的定义左右手坐标系是一种用于确定空间中方向和位置关系的坐标系统。
在三维空间中，左右手坐标系的定义如下：- 左手坐标系：将食指指向x轴正方向，中指指向y轴正方向，拇指指向z轴正方向，这时候拇指的方向就是旋转的方向。
- 右手坐标系：将食指指向x轴正方向，中指指向y轴正方向，拇指指向z轴正方向，这时候四个手指围成的方向就是旋转的方向。
四、左右手坐标系的应用左右手坐标系在物理学、机械工程和航空航天等领域广泛应用。
在物理学中，左右手坐标系可以用来描述电磁场的方向和磁场的旋转方向。
在机械工程中，左右手坐标系可以用来确定机器零件的装配方向和运动方向。
在航空航天中，左右手坐标系可以用来描述飞行器的姿态和方向。
五、旋转矩阵与左右手坐标系的关系旋转矩阵和左右手坐标系之间有着密切的关系。
在使用旋转矩阵进行坐标系旋转时，需要根据左右手坐标系的定义来确定旋转的方向。
如果使用左手坐标系，旋转矩阵的旋转方向就是拇指指向的方向；如果使用右手坐标系，旋转矩阵的旋转方向就是四个手指围成的方向。
激光位姿乘以旋转矩阵公式
激光位姿乘以旋转矩阵公式激光位姿是指激光雷达在三维空间中探测到目标物体的位置和方向信息。
而旋转矩阵是用来描述三维空间物体旋转的数学工具。
在机器人领域，激光位姿乘以旋转矩阵公式有着广泛的应用，下面就来详细介绍一下这个公式。
一、激光位姿介绍激光雷达通过发射激光束，对周围环境进行探测，从而实现对周围环境的感知和定位。
其探测范围大、精度高、反应迅速，被广泛应用于智能驾驶、工业自动化等领域。
而激光位姿就是激光雷达探测到目标物体的位置和朝向的信息，通常用三维坐标系（XYZ）来表示。
二、旋转矩阵介绍旋转矩阵主要用于描述三维空间中物体的旋转。
在三维空间中，物体可以绕着三个轴（X、Y、Z）进行旋转。
旋转矩阵可以表示出物体在不同的旋转角度下的位置和方向。
在机器人领域，旋转矩阵常用于机器人运动学、姿态控制等方面。
在三维空间中，旋转矩阵可以用一个3x3的矩阵来表示。
旋转矩阵的每一列代表了旋转后的X、Y、Z轴方向。
其表示形式如下：| m11 m12 m13 | R = | m21 m22 m23 | | m31 m32 m33 |其中，m11、m12、m13、m21、m22、m23、m31、m32、m33分别表示旋转后的X、Y、Z轴在三维坐标系下的坐标位置。
三、激光位姿乘以旋转矩阵公式的应用在机器人领域，激光位姿乘以旋转矩阵公式有着广泛的应用。
通过该公式，可以将激光位姿和旋转矩阵相结合，得到机器人运动学模型、姿态控制模型等，从而实现机器人的定位和控制。
在机器人姿态控制方面，激光位姿乘以旋转矩阵公式可以用来获取机器人的姿态信息。
通过激光雷达探测到目标物体的位置和方向，可以计算出机器人姿态的欧拉角或四元数等信息，进而控制机器人的运动轨迹。
在机器人运动学方面，激光位姿乘以旋转矩阵公式可以用来计算机器人在空间中的位置和方向。
通过激光雷达探测到目标物体的位置和方向，可以计算出机器人在空间中的位置和方向，进而实现机器人的移动和控制。
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机器人运动学中变换矩阵左乘右乘的理解
机器人运动学中变换矩阵的左乘和右乘的理解
1.引言
机器人运动学是机器人学中的重要分支，研究机器人在空间中的运动及其相关变换。
其中，变换矩阵的理解和运用在机器人运动学中起到关键作用。
在机器人的位姿变换中，变换矩阵的左乘和右乘是我们需要理解和掌握的概念。
本文将深入探讨机器人运动学中变换矩阵左乘和右乘的理解及其应用，并分享个人观点和理解。
2.变换矩阵的基本概念
在机器人运动学中，变换矩阵是描述机器人位姿变换的一种方式。
它通过矩阵的形式，将初始坐标系中的点映射到目标坐标系中。
在机器人运动学中，我们通常使用齐次变换矩阵来表示位姿变换，即4x4的矩阵。
3.变换矩阵的左乘和右乘
在机器人运动学中，变换矩阵可以通过左乘和右乘来实现坐标系的变换。
左乘是指将变换矩阵放在被变换点的左边，而右乘是指将变换矩阵放在右边。
两者的区别在于坐标系变换的次序不同。
3.1 左乘的理解和应用
左乘表示先进行变换矩阵的操作，再对被变换点进行坐标系的变换。
这种方式常用于描述从物体坐标系到参考坐标系的变换。
在机器人运动学中，我们通常使用齐次变换矩阵的左乘来描述机械臂末端执行器的位姿变换。
通过左乘变换矩阵，我们可以将机械臂末端执行器的位姿从机械臂坐标系变换到参考坐标系中。
3.2 右乘的理解和应用
右乘表示先对被变换点进行坐标系的变换，再进行变换矩阵的操作。
这种方式常用于描述从参考坐标系到物体坐标系的变换。
在机器人运动学中，我们通常使用齐次变换矩阵的右乘来描述相机与物体之间的位姿关系。
通过右乘变换矩阵，我们可以将物体的位姿从参考坐标系变换到相机坐标系中。
4.变换矩阵左乘和右乘的对比
相比而言，左乘和右乘的区别在于变换的次序不同，即坐标系变换与矩阵操作的顺序不同。
左乘更适用于描述物体坐标系到参考坐标系的变换，而右乘更适用于描述参考坐标系到物体坐标系的变换。
在实际应用中，根据不同的问题和需求，我们可以灵活运用左乘和右乘的方式来描述机器人的位姿变换。
5.个人观点和理解
对于机器人运动学中变换矩阵左乘和右乘的理解，我认为需要结合实
际场景和问题来进行思考和应用。
在实际工程中，机器人的位姿变换往往会涉及多个坐标系之间的转换，因此对于变换矩阵的左乘和右乘的合理运用是非常重要的。
通过深入理解和掌握变换矩阵的左乘和右乘，我们可以更准确地描述和控制机器人的运动，从而提高机器人的工作效率和精度。
6.总结与回顾
在本文中，我们深入探讨了机器人运动学中变换矩阵左乘和右乘的理解及其应用。
我们了解到左乘表示先进行变换矩阵的操作，再对被变换点进行坐标系的变换；右乘表示先对被变换点进行坐标系的变换，再进行变换矩阵的操作。
通过灵活运用左乘和右乘的方式，我们可以更好地描述和控制机器人的位姿变换。
对于个人而言，我认为理解和掌握变换矩阵的左乘和右乘是提升机器人运动学能力和工作效率的重要一环。
7.参考文献
[1] Craig, J. J. (2005). Introduction to robotics (3rd ed.). Pearson Education.
[2] Siciliano, B., & Khatib, O. (2009). Springer handbook of robotics. Springer.
[3] Murray, R. M., Li, Z., & Sastry, S. S. (1994). A mathematical
introduction to robotic manipulation. CRC press.
[4] 杨伟民. (2006). 高级机器人学. 清华大学出版社. 文章字数: 642。