【2021高考数学压轴题】三招秒解导函数零点问题
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1、(本小题满分14分) 已知函数. (1)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围; (2)当时,试比较与的大小; (3)求证:(). 2、设函数,其中为常数. (Ⅰ)当时,判断函数在定义域上的单调性; (Ⅱ)若函数的有极值点,求的取值范围及的极值点; (Ⅲ)当且时,求证:. 3、在平面直角坐标系中,已知椭圆.如图所示,斜率为且不过原 点的直线交椭圆于,两点,线段的中点为,射线交椭圆于点,交直 线于点. (Ⅰ)求的最小值; (Ⅱ)若?,(i)求证:直线过定点;
(ii )试问点,能否关于轴对称?若能,求出 此时 的外接圆方程;若不能,请说明理由. 二、计算题 (每空? 分,共? 分) 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ,且函数为偶函数.若函数 满足下列条件:①;② 对一切实数 ,不等式恒成立. (Ⅰ)求函数的表达式; (Ⅱ)求证: . 5 、已知函数: (1 )讨论函数的单调性; (2) 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为,问:在什么范围取值 时,函数 在区间上总存在极值? (3)求证:.
6、已知函数=,. (Ⅰ)求函数在区间上的值域; (Ⅱ)是否存在实数,对任意给定的,在区间上都存在两个不同的, 使得成立.若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)给出如下定义:对于函数图象上任意不同的两点,如果对 于函数图象上的点(其中总能使得 成立,则称函数具备性质“”,试判断函数是不是具 备性质“”,并说明理由. 7、已知函数 (Ⅰ)若函数是定义域上的单调函数,求实数的最小值; (Ⅱ)方程有两个不同的实数解,求实数的取值范围; (Ⅲ)在函数的图象上是否存在不同两点,线段的中点的横坐标 为,有成立?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由. 8、已知函数: ⑴讨论函数的单调性;
用好零点”,证明函数不等式 高考数学压轴题之函数零点问题
“用好零点”,证明函数不等式 类型一设而不求,应用函数零点存在定理 例1.【四川省泸州市2019届高三二诊】已知函数. (1)若曲线在点处的切线与轴正半轴有公共点,求的取值范围; (2)求证:时,. 类型二设而不求,应用不等式性质 例2.【广东省揭阳市2019届高三一模】已知函数(,e是自然对数的底,) (1)讨论的单调性; (2)若,是函数的零点,是的导函数,求证:. 类型三代入零点,利用方程思想转化证明零点之间的关系 例3.【湖南师大附中2019届高三月考试题(七)】已知函数,其中为常数. (1)讨论函数的单调性; (2)若有两个相异零点,求证:. 类型四利用零点性质,构造函数证明参数范围 例4.【山东省临沂市2019届高三2月检测】已知函数. (1)判断的单调性; (2)若在(1,+∞)上恒成立,且=0有唯一解,试证明a<1. 1.【广东省揭阳市2019届高三一模】设函数, (1)讨论的单调性; (2)若函数有两个零点、,求证:. 2.【陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考】已知函数有两个零点. 求实数a的取值范围;
若函数的两个零点分别为,,求证:. 3.【宁夏银川市2019年高三下学期检测】已知函数. (1)当时,求函数的单调区间; (2)当 时,证明: (其中为自然对数的底数). 4.已知函数f (x )=lnx+a (x ﹣1)2 (a >0). (1)讨论f (x )的单调性; (2)若f (x )在区间(0,1)内有唯一的零点x 0,证明:. 5. 已知函数f (x )=3e x +x 2 ,g (x )=9x ﹣1. (1)求函数φ(x )=xe x +4x ﹣f (x )的单调区间; (2)比较f (x )与g (x )的大小,并加以证明. 6. 已知函数f (x )=lnx ﹣x+1,函数g (x )=ax?e x ﹣4x ,其中a 为大于零的常数. (Ⅰ)求函数f (x )的单调区间; (Ⅱ)求证:g (x )﹣2f (x )≥2(lna ﹣ln2). 7.【山东省济南市2019届高三3月模拟】已知函数,其导函数 的最大值 为. (1)求实数的值; (2)若 ,证明: . 8.【山东省日照市2017届高三下学期一模】设(e 为自然对数的底数), . (I)记,讨论函单调性; (II)令 ,若函数G(x )有两个零点. (i)求参数a 的取值范围; (ii)设 的两个零点,证明 . 9.已知函数()()()2 ln 10f x x a x a =+->. (1)讨论()f x 的单调性; (2)若()f x 在区间()0,1内有唯一的零点0x ,证明: 3 12 0e x e - -<<. 10.已知函数()1x f x e ax =--,其中e 为自然对数的底数, a R ∈
高考理科数学压轴题及答案汇编
高考理科数学压轴题 (21)(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点 ,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点 的距离的最大值为 3,最小值为 1. (I) 求椭圆 C 的标准方程 ; (II) 若直线l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点 ),且以 AB 为直径的圆 过椭 圆 C 的右顶点 .求证 :直线 l 过定点 ,并求出该定点的坐标 . (22)(本小题满分 14分)设函数 f(x) x 2 bln(x 1),其中 b 0. 1 (I) 当 b 时 ,判断函数 f (x) 在定义域上的单调性 ; 2 (II)求函数 f (x)的极值点 ; 1 1 1 (III) 证明对任意的正整数 n ,不等式 ln( 1) 2 3 都成立 . n n n 22 xy (21)解: (I) 由题意设椭圆的标准方程为 2 2 1(a b 0) ab 2 a c 3,a c 1,a 2,c 1, b 2 3 22 x 2 y 2 1. 43 Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD k BD 1, y kx m (II)设 A(x 1, y 1),B(x 2,y 2), 由 2 x 2 y 得 1 4 3 2 2 2 (3 4k 2 )x 2 8mkx 4(m 2 3) 2 2 2 64m 2 k 2 16( 3 4k 2)( 2 m 3) 0, 22 3 4k 2 m 2 0 8mk 2 ,x 1 x 2 2 4(m 2 3) 3 4k 2 y 1 y 2 2 (kx 1 m) (kx 2 m) k x 1x 2 mk(x 1 x 2) m 2 3(m 2 4k 2) 3 4k 2
专题03 “用好零点”,证明函数不等式-2019年高考数学压轴题之函数零点问题(原卷版)
专题三“用好零点”,证明函数不等式 函数方程思想是一种重要的数学思想方法,函数问题可以利用方程求解,方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体,主要考查以下三个方面:(1)零点所在区间——零点存在性定理;(2)二次方程根的分布问题;(3)判断零点的个数问题;(4)根据零点的情况确定参数的值或范围;(5)根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕高考压轴题中已知零点(零点个数),证明函数不等式问题,例题说法,高效训练. 【典型例题】 类型一设而不求,应用函数零点存在定理 例1.【四川省泸州市2019届高三二诊】已知函数. (1)若曲线在点处的切线与轴正半轴有公共点,求的取值范围; (2)求证:时,. 类型二设而不求,应用不等式性质 例2.【广东省揭阳市2019届高三一模】已知函数(,e是自然对数的底,) (1)讨论的单调性; (2)若,是函数的零点,是的导函数,求证:. 类型三代入零点,利用方程思想转化证明零点之间的关系 例3.【湖南师大附中2019届高三月考试题(七)】已知函数,其中为常数. (1)讨论函数的单调性; (2)若有两个相异零点,求证:. 类型四利用零点性质,构造函数证明参数范围 例4.【山东省临沂市2019届高三2月检测】已知函数. (1)判断的单调性; (2)若在(1,+∞)上恒成立,且=0有唯一解,试证明a<1. 【规律与方法】 应用函数的零点证明不等式问题,从已知条件来看,有两类,一类是题目中并未提及函数零点,二一
类是题目中明确函数零点或零点个数;从要求证明的不等式看,也有两种类型,一类是求证不等式是函数值的范围或参数的范围,二一类是求证不等式是零点或零点的函数值满足的不等关系. 1.由于函数零点存在定理明确的是函数值满足的不等关系,所以,通过设出函数的零点,利用函数零点存在定理,可建立不等关系,向目标不等式靠近,如上述类型一;也可以利用不等式的性质,向目标不等式靠近,如上述类型二,这两类问题突出的一点是“设而不求”. 2. 当求证不等式是零点或零点的函数值满足的不等关系时,则注意将零点代入函数式,构建方程(组),进一步确定零点之间的关系,然后在通过求导、分离参数、构造函数等手段. 【提升训练】 1.【广东省揭阳市2019届高三一模】设函数, (1)讨论的单调性; (2)若函数有两个零点、,求证:. 2.【陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考】已知函数有两个零点. 求实数a的取值范围; 若函数的两个零点分别为,,求证:. 3.【宁夏银川市2019年高三下学期检测】已知函数. (1)当时,求函数的单调区间; (2)当时,证明:(其中为自然对数的底数). 4.已知函数f(x)=lnx+a(x﹣1)2(a>0). (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)在区间(0,1)内有唯一的零点x0,证明:. 5. 已知函数f(x)=3e x+x2,g(x)=9x﹣1. (1)求函数φ(x)=xe x+4x﹣f(x)的单调区间; (2)比较f(x)与g(x)的大小,并加以证明. 6. 已知函数f(x)=lnx﹣x+1,函数g(x)=ax?e x﹣4x,其中a为大于零的常数. (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)求证:g(x)﹣2f(x)≥2(lna﹣ln2). 7.【山东省济南市2019届高三3月模拟】已知函数,其导函数的最大值
导数与函数零点问题解题方法归纳
导函数零点问题 一.方法综述 导数是研究函数性质的有力工具,其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性.应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时,绕不开研究()f x 的单调性,往往需要解方程()0f x '=.若该方程不易求解时,如何继续解题呢?在前面专题中介绍的“分离参数法”、“构造函数法”等常见方法的基础上,本专题举例说明“三招”妙解导函数零点问题. 二.解题策略 类型一 察“言”观“色”,“猜”出零点 【例1】【2020·福建南平期末】已知函数()() 2 1e x f x x ax =++. (1)讨论()f x 的单调性; (2)若函数()() 2 1e 1x g x x mx =+--在[)1,-+∞有两个零点,求m 的取值范围. 【分析】(1)首先求出函数的导函数因式分解为()()()11e x f x a x x =++'+,再对参数a 分类讨论可得; (2)依题意可得()()2 1e x g x m x =+'-,当0m …函数在定义域上单调递增,不满足条件; 当0m >时,由(1)得()g x '在[)1,-+∞为增函数,因为()01g m '=-,()00g =.再对1m =,1m >, 01m <<三种情况讨论可得. 【解析】(1)因为()() 2 1x f x x ax e =++,所以()()221e x f x x a x a ??=+++??'+, 即()()()11e x f x a x x =++'+. 由()0f x '=,得()11x a =-+,21x =-. ①当0a =时,()()2 1e 0x f x x =+'…,当且仅当1x =-时,等号成立. 故()f x 在(),-∞+∞为增函数. ②当0a >时,()11a -+<-, 由()0f x >′得()1x a <-+或1x >-,由()0f x <′得()11a x -+<<-; 所以()f x 在()() ,1a -∞-+,()1,-+∞为增函数,在()() 1,1a -+-为减函数.
2017高考数学压轴题+黄冈压轴100题
2017高考压轴题精选 黄冈中学高考数学压轴100题 目录 1.二次函数 ................................................................................................................................................................................ 2 2 复合函数 ............................................................................................................................................................................... 4 3.创新型函数............................................................................................................................................................................. 6 4.抽象函数 .............................................................................................................................................................................. 12 5.导函数——不等式 ............................................................................................................................................................... 13 6.函数在实际中的应用 ........................................................................................................................................................... 20 7. 函数与数列综合 ................................................................................................................................................................. 22 8.数列的概念与性质 ............................................................................................................................................................... 33 9. Sn 与an 的关系 ................................................................................................................................................................... 38 10.创新型数列......................................................................................................................................................................... 41 11.数列—不等式 ..................................................................................................................................................................... 43 12.数列与解析几何 .............................................................................................................................................................. 47 13.椭圆 ................................................................................................................................................................................. 49 14.双曲线 ................................................................................................................................................................................ 52 15.抛物线 ................................................................................................................................................................................ 56 16 解析几何中的参数范围问题 .......................................................................................................................................... 58 17 解析几何中的最值问题 .................................................................................................................................................. 64 18 解析几何中的定值问题 .................................................................................................................................................... 67 19 解析几何与向量 .......................................................................................................................................................... 70 20 探索问题............................................................................................................................................................................ 77 (1)2a b c π++..., ....................................................................................................................................................... 110 (2)2a b c π++< (110)