24连续型随机变量(精选)
连续型随机变量值得我们记住的几点
连续型随机变量值得我们记住的几点一、连续型随机变量的分布函数是一个单调不减的连续函数。
随机变量的分布函数（按F（x）=P(X≤x)定义）一定右连续，不一定左连续（比如离散型随机变量在它的取值处不左连续）。
但连续型随机变量必定是连续的。
这点可以从它的定义（存在一个非负可积函数f(x)，使得分布函数F(x)=∫_(-∞)^x f(x)dx）很容易知道。
因为变上限积分一定是连续的。
二、连续型随机变量的分布函数不一定是一个可导函数。
例如，均匀分布随机变量（X~U[a,b]）的分布函数在点x=a与x=b处都不可导。
那么连续型随机变量的分布函数在什么地方可导？教材上告诉我们，分布函数在密度函数f(x)的连续点上可导（可以从变上限积分的性质来说明）。
如果密度函数在(-∞,+∞)上每一点连续，则分布函数在(-∞,+∞)上是可导函数。
三、连续型随机变量取单个点的概率为零。
一般而言，随机变量取单个点的概率P(X=a)=F(a)-F(a-0)。
由于连续型随机的分布函数是连续的，所以必有左极限F(a-0)=F(a)，从而P(X=a)=0。
很多人觉得奇怪，连续型随机变量既然在每一点概率为零，怎么它落在一个区间内的概率不一定为零？其实，概率是表示事件发生的可能性大小，它表示事件相对于整个样本空间来说，它发生的相对可能性。
一个点相对一个区间来说，它仅仅是无穷大分之一，或者说它是一个无穷小，微积分告诉我们“无穷多个无穷小的和不一定是无穷小”，所以当很多点（无穷多）构成一个区间时，它就不一定是无穷小了。
另一个令人不解的是：连续型随机变量取每一点的概率为零，那是不是它不可能取到任何值了呢？当然不会不取任何值。
它肯定要取些什么值。
我们只要记住：概率为零的事件不一定是不可能事件，就可以知道，它还是可以取某些值的。
四、分布函数与密度函数互求如果已知密度函数f(x),则可以由F(x)=∫_(-∞)^x f(x)dx求得分布函数。
计算时需要注意，如果密度函数f(x)是k段的分段函数：当x<x_1时，f(x)=f_1(x)，当x_(i-1)≤x<x_i时，f(x)=f_i(x)，i=2,3,…,k，x_k=+∞。
12 二维连续型随机变量,边缘分布
fY ( y )
f ( x , y )dx
0 y1 1 24 y( 2 x )dx y fY ( y ) 5 0 其它 24 3 y2 y( 2 y ) 0 y 1 5 2 2 0 其它
例5 设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度 2 6 , x y x, f ( x, y) 0, 其他.
1
k 1 kx kx 2 1 0 dx0 kxydy 0 [ 2 y ] 0 dx 0 2 dx 4 1
k 4.
7
( 2) P{ X Y }
1 dx 4 xydy 0 0 2
1
x
y x
(3) P{ X Y 1}
dx
0
1
1 x 0
9
二、边缘分布函数
问题 : 已知( X ,Y )的分布, 如何确定X ,Y 的分布?
F ( x , y ) P{ X x ,Y y } , F ( x ) P{ X x },
P { X x } P { X x ,Y } F ( x , ) FX ( x )
X
Y
0 1
0
16 49 12 49
1
12 49 9 49
解
X Y
0
1
12 42 6 42
pi
012 42 12 142 4 p j 7
3 7
4 7 3 7
1
注意 联合分布 边缘分布
练习 将一枚均匀硬币掷三次 ，设 X 为三次中正 面出现的次数，而Y 为正面次数与反面次数 差的 绝对值, 求( X , Y )的联合概率分布及边缘 分布律。 解： 由已知， ( X , Y )所有可能取值有
连续型概率分布
(2)P{(-a/2)<X<(a/2)} ＝F(a/2)- F(-a/2)=
10
解答（续）
在F ( x)的连续点上，F ( x) p( x) 1 1 x 1 1 1 1 [ arcsin ] 2 a a x 2 a x2 1 ( ) a (3)X的概率密度 f(x)为 1
xd (e x )
1
[ xe
x 0
e
0
x
1 x x e dx e dx] 0
2
1
同理：DX ( x EX ) f ( x)dx ( x
0
1
) e
2
x
dx
2
17
1 x 1 1000 解： e X 的密度函数为：f ( x) 1000 0
• 例2：某电子元件的寿命X的服从参数为0.001的指数分 布，求3个这样的元件使用1000个小时至少有一个已经损 坏的概率.
x0 x0
1 P( X 1000) e 1000 1000
x 1000
dx e 1
3个都没有损坏的概率为:
[ P( X 1000)]3 e3
2
2
答案:1/2 求(1)A,(2)F(x),(3)P{0<X<π/4}.
A cos x , 7.设X~ f ( x) 0,
x x
2
2
答案:(1)1/2
0 x 2 1 (2) F ( x) (sin x 1) x 2 2 2 1 x 2
[数学]-3、连续型随机变量
![[数学]-3、连续型随机变量](https://img.taocdn.com/s3/m/3ad8350df78a6529647d532c.png)
解
2)如图：把平面分成五个区域， 如图：把平面分成五个区域， Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ
i) 当(x,y)∈III
1 1 F(x, y) = ∫ dv∫ du = ( xy + y arcsiny + 1− y2 −1) 0 arcsinv 2 2
y x
ii) 当(x,y)∈Ⅱ
F ( x, y) = ∫ du ∫
三、连续型随机变量
一、一维连续型随机变量
F ( x) = P( X ≤ x) = ∫
x
−∞
f (t ) dt
分布函数性质 i) 0≤ F(x)≤ 1 且 F(x)是连续函数 ； 是连续函数； ii) 当 x1≤ x2 时 ， F(x1)≤ F(x2)； (单调性 ） 单调性） ⅲ) F( - ∞ )=0,F(+ ∞ )=1 F(- )=0,F(+∞ 密度函数性质 1) f(x)≥ 0 3) f (x) = [F(x)]′ 2) ∫
其中 G 是由概率括号中的不等式构成的区域。 二维连续型随机变量的概率的计算问题等 价于以概率括号中的不等式构成的区域 G 为 底，联合密度函数为高的曲顶柱体体积的计 算。
例 4 设(X,Y)的联合分布函数为
F ( x, y ) = ( a − be
−e x
)( c − de
−e y
), ( x, y ) ∈ R
二维正态分布的性质： 二维正态分布的性质： 2 2 设(X,Y)~N(μ1,μ2,σ1 ,σ2 , r),则 1) X~N(μ1,σ12), Y~N(μ2,σ22) 2) X 与 Y 独立的充要条件是 r=0 3) 在 Y=y 的条件下，X 的条件分布仍为 的条件下， 正态分布
1/ 2 1
概率论与数理统计第3章
试求常数a和b。
π F xlim F x a b 2 0 解： F lim F x a b π 1 x 2
1 1 a , b 2 π
P ( 2 4) P ( 2) P ( 2 4) 0.3 0.6 0.5 0.4
P ( 3) 1 P ( 3) 1 0.5 0.5
6
例3：设r.v. 的分布函数
F x a b arctan x
b a
因此求概率可从分布函数与密度函数两条途径入手。
5、密度的图像称分布曲线，相应有两个特征： ⑴ 曲线在x轴上方；
概率面积
y
f(x)分布曲线
⑵ 曲线于x轴之间的 面积是1。
x c o d
10
例4：设 的密度在[a,b]以外为0，在[a,b]内为
一常数 ，
， a x b f ( x) 0， 其它
x2 2
16
⑶ f(x)符合密度函数的两性质： ① f(x) > 0；②
f x d x 1。
x2 2
以标准正态分布为例， e
e d t e
t2 2 2 x2 2
d x 称为高斯积分。
dy
r2 2 0
从F(x)求f(x)： f x F x 从f(x)求F(x)： F x f t d t
x
9
4、对于连续型随机变量 ，
⑴ P a 0 ，即某指定点的概率为0； ⑵ Pa b Pa b
Pa b Pa b f x d x
常用的连续型分布
P{X196}0(196) 0975
根据0(x)的对称性 有
P{X196}0(196)10(196)109750025
P{|X|196}P{196X196} 0(196)0(196)
20(196)1 209751095
P{1X2}0(2)0(1)0(2)[10(1)]
0(2)0(1)1
097725084131081855
则
X
~
N(0.1)
推论2
X~N( 2)的充要条件是存在一个随机变量~N(0 1) 使
得X
提示
通常称为X的标准化
18
推论3
设X~N( 2) (x) (x)分别为其分布函数与密度函数
0(x) 0(x)是标准正态分布的分布函数和密度函数 则有
(x)
0(
x
)
(287)
(x)
1
0(
x
)
(288)
4 一般正态分布的概率计算
0.9621
查表即得 b178
由于P{Xc}0298105 所以c0 根据对称性 有
0(c)10(c)07019
查表得c053 c053
17
3 一般正态分布与标准正态分布的关系
定理26(正态分布的线性变换)
设X~N( 2) YaXb a b为常数 且a0 则
Y~N(ab a2 2)
推论1
如果 X~N( 2)
X
|
x
}
20(x
)1
0.9
即0(x
)
1.9 2
0.95
查表得x 1.645
于是 x1645355758
23
16
例223 设X~N(0 1) (1)求P{X196} P{X196} P{|X|196} P{1X2} (2)已知P{Xa}07019 P{|X|b}09242 P{Xc}02981 求a b c
二维连续随机变量及其概率分布
定理2 二维随机变量(X,Y)的两个分量独立的充 分必要条件是: 对任意实数x, y有
P{X x,Y y} P{X x}P{Y y}
定理3 若(X , Y ) 是离散型随机变量，则X与Y相 互独立的充分必要条件是
lim F ( x, y) 0
x
lim F ( x, y) 0
y
lim F ( x, y) 1
x, y
性质3 对于x 和y，F(x, y)都是右连续的，即对任意 的实数x0和y0，均有
Lim xx0 F(x, y)=F(x0 , y), Lim yy0 F( x, y )=F(x, y0 )
(3) f (x, y)与 fX (x), fY (y)之间的关系
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y) f (x, y)dx.
例3 设随机变量X 和Y 具有联合分布
f
(
x,
y)
6, 0,
求X 和Y 边缘密度
x2 y x 其他
解：
f X (x)
f (x, y)dy
x
6dy x2
0
x 0, y 0 其它
求 (X, Y )的边缘分布函数。
解： X的边缘分布函数为
FX
(x)
F
( x,)
lim
y
F ( x,
y)
1 ex x 0
0 x0
1 ex ey exyxy x 0, y 0
(X ,Y) ~ F(x, y)
0
其它
Y的边缘分布函数为
FY
(
y)
F
(,
2.4随机变量函数的分布
P( X
yb
y
a
b
)
a
f X ( x)dx
fY ( y)
1 a
fX (
y
a
b
)
11
(2)
a<0 FY ( y)
P( X
y b) a
yb f X ( x)dx
a
fY ( y)
1 a
f
X
(
y
a
b
)
即
fY
( y)
|
1 a
|
fX
(
y a
b)
…(*)
12
对于上例: y=g(x)=ax+b 注意到y=g(x)=ax+b与y=ex都是单 调函数
13
定理: 连续型随机变量X的概率密度为 fX(x), x(, +),若y=g(x)为严格单调 函数,其反函数x=h(y)连续可导,Y=g(X) 的概率密度为:
fY
(
y
)
f
X
0,
[h(
y)]
|
h(
y
)
|,
y
其它
其中=min{g(),g(+)} =max{g(),g(+)}
14
当fX(x)在有限区间[a,b]之外取值 为零时,只需假设在[a,b]上g(x)严格单 调,反函数在相应区间可导,则上述定
2.4 随机变量函数 的分布
讨论如何根据已知的 随机变量X的分布,去求它 的函数Y=g(X)的分布
一、离散型随机变量函数的 分布
二、连续型随机变量函数的 分布
1
问题的提出
在实际中，人们常常对随机变量的函数 更感兴趣. 例如，已知圆轴截面直径 d 的分布，
连续型随机变量的分布函数的计算方法
连续型随机变量的分布函数的计算方法
1 连续型随机变量
连续型随机变量是概率论中的一种变量，它能描述具有不同可能
的取值的随机变量能取的值的集合，变量的任何可能取值的可能性都
是概率中的基本要素。
连续型随机变量通常表示为一个函数y=f(x)，
其中x是变量的取值，y是概率分布函数f(x)表示概率。
2 计算分布函数
计算连续型随机变量的分布函数时，首先需要求出其分布概率密
度函数(PDF)式子，然后再求出概率分布函数(CDF)。
PDF式子可以用统计方法确定，CDF则可以通过计算随机变量的取值所占总概率的方法获得。
以正态分布的CDF为例，其式子为F(x)=1/2*(1+erf(x/√2))，其中x是随机变量取值，erf(x/√2)是正态分布的概率密度函数(PDF)式子，计算其CDF就需要把取值代入进去：F(x1)=1/2*(1+erf(x1/√2))，F(x2)=1/2*(1+erf(x2/√2))。
3 计算原理
计算连续型随机变量的分布函数，要计算随机变量在每个可能取
值所占比例，也就是说，这种分布函数实际上是用来说明概率密度函
数随着变量取值的变化而改变的递进函数，连续型随机变量的每个取
值都可以是一个不同的概率，概率密度函数的计算就是分布函数的基本步骤。
北京工业大学《概率论与数理统计》课件 第2章 连续性随机变量
2.3.3 常见的连续型随机变量的概率密度函数
△ 均匀分布 △ 指数分布 △ 正态分布
1. 均匀分布 (Uniform) 若随机变量 X 的概率密度为
则称 X 服从区间[a, b]上的均匀分布，记作 X ～U[a, b]。(注: 有时也记作X～U(a, b) )
若X ～ U[a, b]，则对于满足 a≤c≤d≤b 的 c 和 d，总有
例2.3.4 假设某地区成年男性的身高(单位: cm) X～N(170,7.692), 求该地区成年男性的身 高超过175 cm的概率。
解 根据假设X～N(170 ,7.692), μ=170， a=175, σ= 7.69。由(2.3.15) 式的后一式，得
小结
本讲首先介绍连续型随机变量、直方图、 概率密度函数及其性质；然后介绍三种常用的 连续型随机变量：均匀分布，指数分布和正态 分布；给出了三种分布应用的例子。
概率密度曲线可用来准确地刻画 X 的概率 分布情况。
2.3. 2 概率密度函数 定义2.3.1 若存在非负可积函数 f(x), 使
随机变量X落入任意区间(a, b]的概率
则称 X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密 度函数，简称概率密度或密度。
对概率密度的进一步解释： 若 x 是 f(x) 的连续点，则有
且 f (μ+c) ≤ f (μ)， f (μ-c)≤ f (μ). 故 f(x)以 x=μ为对称轴，并在 x =μ处达到最大 值
对
当 x→ ∞时，f(x) → 0。 这说明：曲线 f(x) 向左右伸展时，越来越贴 近 x 轴。即 f (x) 以 x 轴为渐近线。
对
可以证明： x =μσ
为 y = f (x) 曲线的两个拐点的横坐标。