拼图验证勾股定理

拼图验证勾股定理

勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，在现实世界中有广泛应用。勾股定理是数学史上一颗璀璨的明珠，在西方，又称毕达哥拉斯定理。数学大师陈省身说：“欧几里德几何的主要结论有两个：一个是毕达哥拉斯定理，一个是三角形的内角和等于180°”华罗庚教授还曾建议把它送入其它星球，作为地球人和“外星人”交谈的语言。

下面我们采用拼图的方法来验证勾股定理

1 如图(1)一个张由两个正方形拼成的硬纸片。只许用剪刀剪两刀，把它分开，然后拼成一个正方形。

图(2)中，剪了两刀，分成三块，拼成了一个大正方形。

图(3)(4)中，剪了两刀，分成四块，刀拼成了一个大正方形

在上述探索过程中，我们的问题是：

(1)你能判断出这两刀是如何剪的吗？

(2)你能否把图(1)剪三刀，把它分开，然后拼成一个大正方形

提示：

(1)两刀互相垂直，且至少有一刀剪得的线段长是以两个正方形的边为直角三角形的两直角边的斜边的长；

(2)仿照(1)的规律，作法，如图(5)

2 勾股定理的面积证法之一：“赵爽弦图”如图(a)把边长a、b的两个正方形连在一起，则它的面积是a2+b2，另一方面，这个图形可由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，拼的过程如下，把图(a)中左右两个R+△移动，组成如图(b)的形状，所以它们的面积相等；因此a2+b2=c2

3 2002年8月20日北京国际教学大会的会标，就是“赵爽弦图”如图(6)

我们的问题是：(1)请用图(6)中4个全等的直角三角形拼成一个包围面积(含空白部分)最大的封闭图形，并用它证明勾股定理

解答：如图(7)把4个直角三角形分别沿斜边对折到正方形ABCD外

∴a2+b2=c2

(2)如图(6)中，如果大正方形ABCD的面积为，小正方形PQRS的面积为4，求各直角三角形的直角边长。

(3)图(7)中，若大正方形EFGH的边长为1，将这个正方形的四个角剪掉，得到四边形ABCD，

试问怎么剪才能使剩下的图形ABCD仍为正方形，且剩下图形的面积为原正方形面积的(提示：(2)设各直角三角形的直角边长为a，b，且a>b)

则有：

由(1)×2-(2)得(a+b)2=121

(3)设剪去的四个直角三角形的直角边长为a，b且a>b，

则

将正方形EFGH的边长三等分，使

顺次连结A、B、C、D，所得正方形ABCD的面积即为原正方形面积的，只要剪去△ABE，

△BCF，△CDG，

△DAH即可。

4 现有一张长为6.5cm，宽2cm的纸片，如图，请用剪刀剪成6块，再拼合成一个正方形，画出裁剪线，并计算出正方形的边长。

(提示：如图裁剪线

设所拼正方形两边长为acm，则a2=6.5×2 )

例题分析：

1.你能将边长为5:1的长方形纸片，如图(1)，剪几刀分成五块，拼出一个正方形，并用它来证明勾股定理？

分析：在剪拼的过程中面积没有发生变化，设原长方形边长为5a和a，则拼出的正方形面积

为5a2，所以正方形边长为

所以须在长方形中分割出长度为的线段，而线段，应是边长为a和2a的直角三角形的斜边，因此构造出边长为a和2a的直角三角形即可。

图(3)中：

∴c2=a2+b2

2. 如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广。

(1)如图：

(1)以Rt△ABC的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边△的面积，S1、S2、S3之间有何关系，说明理由。

(2)如图(2)，以Rt△ABC的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S1，S2，S3之间有何关系？

(3)如果将图(2)中斜边上的半圆沿斜边翻折180°，成为图(3)，请验证：“两个阴影部分的面积之和正好等于直角三角形的面积”(此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙)

分析：

(1)中S1，S2，S3的表示均与直角三角形的边长有关。

所以根据勾股定理可得出S1，S2，S3的关系，S1+S2=S3

(2)类似于(1)：S1+S2=S3

(3)图中阴影部分的面积是S1+S2+S△ABC-S3∴S阴影=S△ABC