勾股定理的验证--参赛
勾股定理的验证方法
勾股定理的验证方法勾股定理是三角形中最基本的定理之一,它指出了一个三角形三条边的长度之间的关系。
勾股定理的验证对于学习和应用勾股定理都是非常重要的。
下面介绍几种验证勾股定理的方法。
1. 利用几何图形验证勾股定理勾股定理可以简单地用公式表示为:a2 + b2 = c2。
因此,我们可以通过比较三角形的三条边的长度来确定是否符合勾股定理的条件。
下面是一个简单的验证方法:创建一个直角三角形,使直角边的长分别为3和4,然后求出斜边的长度c。
将三角形的三条边长代入勾股定理公式中,得到:32 + 42 = c2,即9 + 16 = c2。
可以发现,c2 = 25,这与我们之前计算得斜边的长度c = 7矛盾。
因此,勾股定理是不符合实际的。
2. 利用数模验证勾股定理勾股定理也可以使用数模的方法验证。
数模是指一个整数除以n 后所得余数的范围。
对于一个直角三角形,其两条直角边的长分别为3和4,一条斜边的长度为7,根据勾股定理,我们可以得到:a ÷ n = (a +b + c) ÷ 3 = (3 + 4 + 7) ÷ 3 = 10 ÷ 3 = 3a和n的模数分别为3,因此3可以成为数模。
将这个等式代入勾股定理公式中,得到:32 + b2 = (3 + b + c)2b2 = (10 ÷ 3 - 3)2 = 100 ÷ 9 ÷ 2 = 10 ÷ 9 ÷ 2 = 5b的模数也为5,因此5可以成为数模。
将这个等式代入勾股定理公式中,得到:32 + a2 = (3 + a + c)2c2 = (10 ÷ 3 - 3)2 = 100 ÷ 9 ÷ 2 = 10 ÷ 9 ÷ 2 = 5 继续代入另一个等式:32 + 52 = 100 + 25 = 125由于勾股定理的前提条件是三角形的三条边长度相等,因此当数模存在时,勾股定理就不能成立。
18.1.探索 勾股定理(公开课参赛)
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦 . 图 1-1 称为“弦图 ”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经 》作法时给出的 . 图 1-2 是在北京召开的 2002 年国际数 学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图 ”，它标志着中国古代的数学成就.
b
∟
a
c
1 1 1 2 ( a + b )( b + a ) = c + 2( 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ab + 2 b = 2 c + ab a + 2 a2 + b2 = c2
ab )
b
∟
c
a
证 法 4：
毕达哥拉斯证法
a2 c2
a2
b2 a 2 + b 2 = c2
勾股定理
∵x>0 ∴ x=10
探究 y=0 1
生活中的数学问题
一个门框的尺寸如图所示，一块长３m， 宽２.２m的薄木板能否从门框内通过？为 什么？
Ｄ Ｃ
2m
Ａ
Ｂ
1m
分析 y=0
连结AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理：
AC AB BC 1 2 5
2 2 2 2 2
因此，
AC 5 2.236.
2 2 2 a +b =c
⒊勾股定理的主要作用是 在直角三角形 中,已知任意两边求第三边的长。
a
b c a c a
b c
a
c
b
b
c a b a c b b c a b a c
a
b c c
c a
a
c
b
教育部参赛_勾股定理_张庆华
探索勾股定理江苏省连云港市赣榆县沙河中学222141 张庆华【教材分析】这节课是九年制义务教育初级中学教材苏科版八年级上册第二章第一节《探索勾股定理》。
勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它是直角三角形的一条重要性质，揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系。
勾股定理有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中有着广泛的作用。
学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。
【学情分析】勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用。
本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性。
此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值。
【教学目标】（一）知识与技能1．经历综合运用已有知识探索勾股定理及验证勾股定理的过程，在此过程中，加深对勾股定理、整式运算、面积等知识的认识。
2．经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性。
3．通过验证过程中数与形的结合，体会数形结合的思想以及数学知识之间的内在联系。
（二）过程与方法通过在方格纸上计算图形面积探索勾股定理和丰富有趣的拼图活动，经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展空间观念和有条理地思考与表达的能力，获得一些研究问题与合作交流的方法与经验。
（三）态度与价值观1．培养学生积极参与，合作交流的意识。
2．在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐，锻炼学生克服困难的勇气。
3．通过了解我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情。
【教学重点】用面积法探索勾股定理，理解并掌握勾股定理。
【教学难点】由于勾股定理是通过以直角三角形三边为边的三个正方形面积的的数量关系得到的，所以正确计算三个正方形的面积及割补思想的理解与应用是本节课的难点。
1.1 第2课时 验证勾股定理(教学设计——精品教案)
1.1探索勾股定理第2课时验证勾股定理教学目标【知识与能力】1.掌握勾股定理,理解和利用拼图验证勾股定理的方法.2.能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.【过程与方法】通过拼图法验证勾股定理,使学生经历观察、猜想、验证的过程,进一步体会数形结合的思想.【情感态度价值观】培养学生大胆探索,不怕失败的精神.教学重难点【教学重点】经历勾股定理的验证过程,能利用勾股定理解决实际问题.【教学难点】用拼图法验证勾股定理.课前准备【教师准备】教材图1 - 4,1 - 5,1 - 6,1 - 7的图片.【学生准备】4个全等的直角三角形纸片.教学过程第一环节：引入新课导入一:【提问】直角三角形的三边有怎样的关系?在研究直角三角形三边关系时,我们是通过测量、数格子的方法发现了勾股定理,那么,我们怎样用科学的方法去证明勾股定理的正确性呢?请跟我一起去探索吧!导入二:上节课我们用什么方法探索发现了勾股定理?学生思考(测量、数格子).第二环节：新知构建1.勾股定理的验证思路一【师生活动】师:投影教材P4图1 - 4,分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形,你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗?你是如何做的?与同伴进行交流.生:割补法进行验证.师:出示教材P5图1 - 5和图1 - 6,想一想:小明是怎样对大正方形进行割补的?生:讨论交流.师总结:图1 - 5是在大正方形的四周补上四个边长为a,b,c的直角三角形;图1 - 6是把大正方形分割成四个边长为a,b,c的直角三角形和一个小正方形.图1 -5采用的是“补”的方法,而图1 - 6采用的是“割”的方法,请同学们将所有三角形和正方形的面积用a,b,c 的关系式表示出来.(1)动笔操作,独立完成.师:图1 - 5中正方形ABCD的面积是多少?你们有哪些方法求?与同伴进行交流.(2)分组讨论面积的不同表示方法.ab+c2两种方法.生:得出(a+b)2,4×12(3)板书学生讨论的结果.【提问】你能利用图1 - 5验证勾股定理吗?生:根据刚才讨论的情况列出等式进行化简.师:化简之后能得到勾股定理吗?生:得到a2+b2=c2,即两直角边的平方和等于斜边的平方,验证了勾股定理.师:你能用图1 - 6也证明一下勾股定理吗?独立完成.师:(强调)割补法是几何证明中常用的方法,要注意这种方法的运用.思路二教师出示教材图1 - 4及“做一做”,让学生观察图1 - 5和图1 - 6.【提问】小明是怎样拼的?你来试一试.(学生以小组为单位展开拼图尝试,同伴之间讨论、争辩、互相启发,将拼好的图形画下来)【思考】“做一做”的三个问题.教师讲评验证勾股定理的方法.2.勾股定理的简单应用思路一：出示教材P5例题,教师分析并抽象出几何图形.【问题】(1)图中三角形的三边长是否满足AB2=AC2+BC2?(2)要想求敌方汽车的速度,应先求什么?你能利用勾股定理完成这道题吗?(学生独立完成,教师指名板演)出示教材P8图1 - 8.【提问】判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.(学生以组为单位合作完成,分别计算出每个正方形的面积.独立完成,有困难的可以合作完成)思路二我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400 m,10 s后,汽车与他相距500 m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?〔解析〕根据题意,可以画出右图,其中点A表示小王所在位置,点C,点B表示两个时刻敌方汽车的位置.由于小王距离公路400 m,因此∠C是直角,这样就可以由勾股定理来解决这个问题了.解:由勾股定理,可以得到AB2=BC2+AC2,也就是5002=BC2+4002,所以BC=300.敌方汽车10 s行驶了300 m,那么它1 h行驶的距离为300×6×60=108000(m),即它行驶的速度为108 km/h.[知识拓展]利用面积相等来验证勾股定理,关键是利用不同的方法表示图形的面积,一要注意部分面积和等于整体面积的思想,二要注意拼接时要做到不重不漏.曾任美国总统的伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理证明,如图所示,这就是他拼出的图形.它的面积有两种表示方法,既可以表示为12(a +b )(a +b ),又可以表示为12(2ab +c 2),所以可得12(a +b )(a +b )=12(2ab +c 2),化简可得a 2+b 2=c 2.第三环节：课堂小结1.勾股定理的验证方法{测量法数格子法面积法2.在实际问题中,首先要找到直角三角形,然后再应用勾股定理解题. 第四环节：检测反馈1.下列选项中,不能用来证明勾股定理的是 ( )解析:A,B,C 都可以利用图形面积得出a ,b ,c 的关系,即可证明勾股定理,故A,B,C 选项不符合题意;D,不能利用图形面积证明勾股定理,故此选项正确.故选D .2.用四个边长均为a ,b ,c 的直角三角板,拼成如图所示的图形,则下列结论中正确的是( )A.c 2=a 2+b 2B.c 2=a 2+2ab +b 2C .c 2=a 2-2ab +b 2D .c 2=(a +b )2解析:由题意得到四个完全一样的直角三角板围成的四边形为正方形,其边长为c,里面ab×4+(b-a)2,整理得c2=a2+b2.故选A.的小四边形也为正方形,边长为b-a,则有c2=123.如图所示,大正方形的面积是,另一种方法计算大正方形的面积是,两种结果相等,推得勾股定理是.ab+c2,即(a+b)2=4×解析:如图所示,大正方形的面积是(a+b)2,另一种计算方法是4×121ab+c2,化简得a2+b2=c2.2ab+c2a2+b2=c2答案:(a+b)24×124.操作:剪若干个大小形状完全相同的直角三角形,三边长分别记为a,b,c(如图(1)所示),分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图(2)(3)所示的形状,图(2)中的两个小正方形的面积S2,S3与图(3)中小正方形的面积S1有什么关系?你能得到a,b,c之间有什么关系?解析:根据已知图形的形状得出面积关系,进一步证明勾股定理即可求解.解:分别用4张直角三角形纸片,拼成如图(2)(3)所示的形状,观察图(2)(3)可发现,图(2)中的两个小正方形的面积之和等于图(3)中的小正方形的面积,即S2+S3=S1,这个结论用关系式可表示为a2+b2=c2.第五环节：布置作业1.教材作业【必做题】教材第6页随堂练习.【选做题】教材第7页习题1.2第3题.2.课后作业【基础巩固】1.我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么(a-b)2的值是()A.1B.2C.12D.132.历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形,其中两个全等的直角三角形边AE,EB在一条直线上.证明中用到的面积相等的关系是()A.SΔEDA =SΔCEBB.SΔEDA+SΔCEB=SΔCDEC.S四边形CDAE =S四边形CDEBD.SΔEDA+SΔCDE+SΔCEB=S四边形ABCD3.北京召开的第24届国际数学家大会会标的图案如图所示.(1)它可以看做是由四个边长分别为a,b,c的直角三角形拼成的,请从面积关系出发,写出一个关于a,b,c的等式.(要有过程)(2)请用四个这样的直角三角形再拼出另一个几何图形,也能验证(1)中所写的等式.(不用写出验证过程)(3)如果a2+b2=100,a+b=14,求此直角三角形的面积.【能力提升】4.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载.如图(1)所示的是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图(2)是由图(1)放入矩形内得到的,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,点D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上,则矩形KLMJ的面积为.5.在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较长直角边为a,较短直角边为b,则a4+b4的值为()A.35B.43C.89D.976.据传当年毕达哥拉斯借助如图所示的两个图验证了勾股定理,你能说说其中的道理吗?7.如图所示,在平面内,把矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转90°得到矩形A'BC'D'.设AB=a,BC=b,BD=c.请利用该图验证勾股定理.【拓展探究】8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图(1)所示).图(2)是由弦图变化得到的,它是用八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3.若S1+S2+S3=16,则S2的值是.9.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感,他惊喜地发现,当两个全等的直角三角形如图(1)或图(2)摆放时,都可以用“面积法”来证明,下面是小聪利用图(1)证明勾股定理的过程.将两个全等的直角三角形按图(1)所示摆放,连接DC ,其中∠DAB =90°,求证a 2+b 2=c 2. 证明:连接DB ,过点D 作BC 边上的高DF ,则DF =EC =b-a. ∵S 四边形ADCB=S ΔACD+S ΔABC=12b 2+12ab , 又∵S 四边形ADCB=S ΔADB+S ΔDCB=12c 2+12a (b-a ),∴12b 2+12ab =12c 2+12a (b-a ),∴a 2+b 2=c 2.请参照上述证法,利用图(2)完成下面的验证过程.将两个全等的直角三角形按图(2)所示摆放,其中∠DAB =90°,连接BE.验证a 2+b 2=c 2.证明:连接 , ∵S 五边形ACBED= , 又∵S 五边形ACBED= ,∴ , ∴a 2+b 2=c 2.【答案与解析】1.A(解析:根据勾股定理可得a 2+b 2=13,四个直角三角形的面积和是12ab ×4=13-1=12,即2ab =12,则(a-b )2=a 2-2ab +b 2=13-12=1.故选A.) 2.D(解析:由S ΔEDA+S ΔCDE+S ΔCEB=S 四边形ABCD,可知12ab +12c 2+12ab =12(a +b )2,∴c 2+2ab =a 2+2ab +b 2,整理得a 2+b 2=c 2,∴证明中用到的面积相等的关系是S ΔEDA+S ΔCDE+S ΔCEB=S 四边形ABCD.故选D .)3.解:(1)大正方形的面积=4个三角形的面积+小正方形的面积,即c 2=4×12ab +(a-b )2=a 2+b 2. (2)如图所示. (3)∵2ab =(a +b )2-(a 2+b 2)=196-100=96,∴ab =48,∴S =12ab =12×48=24.4.440(解析:如图所示,延长AB 交KL 于P ,延长AC 交LM 于Q ,则ΔABC ≌ΔPFB ≌ΔQCG ,∴PB =AC =8,CQ =AB =6,∵图(2)是由图(1)放入矩形内得到的,∴IP =8+6+8=22,DQ =6+8+6=20,∴矩形KLMJ 的面积=22×20=440.故答案为440.)5.D(解析:依题意有:a 2+b 2=大正方形的面积=13,2ab =四个直角三角形的面积和=13-1=12,ab =6,则a 4+b 4=(a 2+b 2)2-2a 2b 2=(a 2+b 2)2-2(ab )2=132-2×62=169-72=97.故选D .)6.解:根据题意,第一个图形中间空白小正方形的面积是c 2;第二个图形中空白的两个小正方形的面积的和是a 2+b 2,∵它们的面积都等于边长为a +b 的正方形的面积-4个直角边分别为a ,b 的直角三角形的面积和,∴a 2+b 2=c 2,即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和.7.解:连接D'D ,依题意,图中的四边形DAC'D'为直角梯形,ΔDBD'为等腰直角三角形,Rt ΔDAB 和Rt ΔBC'D'的形状和大小完全一样,设梯形DAC'D'的面积为S ,则S =12(a +b )(a +b )=12(a 2+b 2)+ab ,又S =S Rt ΔDBD'+2S Rt ΔABD =12c 2+2×12ab =12c 2+ab ,∴12(a 2+b 2)+ab =12c 2+ab ,因此a 2+b 2=c 2.8.163(解析:∵八个直角三角形全等,四边形ABCD ,EFGH ,MNKT 是正方形,∴CG =NG ,CF =DG =NF =GK ,∴S 1=(CG +DG )2=CG 2+DG 2+2CG ·DG =GF 2+2CG ·DG ,S 2=GF 2,S 3=(NG-NF )2=NG 2+NF 2-2NG ·NF ,∴S 1+S 2+S 3=GF 2+2CG ·DG +GF 2+NG 2+NF 2-2NG ·NF =3GF 2=16,∴GF 2=163,∴S 2=163.故答案为163.)9.证明:连接BD ,过点B 作DE 边上的高BF ,则BF =b-a ,∵S 五边形ACBED=S ΔACB +S ΔABE+S ΔADE=12ab +12b 2+12ab ,又∵S五边形ACBED=SΔACB+SΔABD+SΔBDE=12ab +12c 2+12a (b-a ),∴12ab +12b 2+12ab =12ab +12c 2+12a (b-a ),∴a 2+b 2=c 2.板书设计1.1.21.勾股定理的验证.2.勾股定理的简单应用. 教学反思成功之处在课堂教学中,始终注意了调动学生的积极性.兴趣是最好的老师,所以无论是引入、拼图,还是历史回顾,都注意去调动学生,让学生满怀激情地投入到活动中.勾股定理作为“千古第一定理”,其魅力在于其历史价值和应用价值,因此充分挖掘了其内涵.特别是让学生事先进行调查,再在课堂上进行展示,这极大地调动了学生的积极性,既加深了对勾股定理文化的理解,又培养了学生收集、整理资料的能力.不足之处在教学过程中,过于让学生发散思维,而导致课堂秩序略有松散. 再教设计勾股定理的验证既是本节课的重点,也是本节课的难点,为了突破这一难点,可以设计拼图活动,先让学生从形上感知,再层层设问,从面积(数)入手,师生共同探究,最后由学生独立探究,这样学生较容易突破本节课的难点.备课资源古诗中的数学题请你先欣赏下面一首诗:平平湖水清可鉴,面上半尺生红莲; 出泥不染亭亭立,忽被强风吹一边; 渔人观看忙向前,花离原位两尺远; 能算诸君请解题,湖水如何知深浅?你能用所学的数学知识解决上述诗中的问题吗? 〔解析〕 要解决诗中提出的问题,关键是将实际问题转化为数学问题,画出符合题意的图形,如图所示.在Rt ΔBCD 中,由勾股定理建立方程求线段的长.解:如图所示,AD 表示莲花的高度,CD 是水的深度,CB 是莲花吹倒后离原位的距离.- 11 -设CD =x 尺,则AD =BD =(x +12)尺. 在Rt ΔBCD 中,∠BCD =90°,由勾股定理得BD 2=CD 2+BC 2,即(x +12)2=22+x 2.解得x =3.75.所以所求的湖水深度为3.75尺.[方法总结] 建立数学模型是解决实际问题的常用方法.本例是利用莲花无风时与水面垂直构造直角三角形这一几何模型.在直角三角形中常用勾股定理建立方程求线段的长.。
勾股定理500种证明方法
勾股定理500种证明方法
勾股定理，即边长为a、b、c的直角三角形满足a^2+b^2=c^2，是几何学中最为重要的定理之一、据说已经有超过500种不同的证明方法。
下面简要介绍其中的一些方法：
1.几何法：通过构造直角三角形，利用图形的性质来证明勾股定理。
例如，将正方形分为两个直角三角形，利用正方形边长的关系得到证明。
2.代数法：通过代数运算来证明勾股定理。
例如，设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，通过代数运算推导得到a^2+b^2=c^2
3.统计法：通过大量的实例来验证勾股定理。
例如，构造多个直角三角形，随机选择边长，计算并统计结果，验证a^2+b^2=c^2
4.数学归纳法：首先证明直角边长度为1和2的直角三角形满足勾股定理，然后利用数学归纳法证明任意长度的直角三角形都满足勾股定理。
5.微积分法：通过对直角三角形的边长关系进行微分或积分运算，推导出勾股定理。
6.反证法：假设存在一个三角形，满足a^2+b^2=c^2不成立，进而推出矛盾，以此证明勾股定理。
7.证明固定直角三角形的勾股定理，然后通过旋转、平移等变换，得到任意直角三角形的勾股定理。
8.二次函数法：将直角三角形的边长平方表示为二次函数，并证明该函数的图像与勾股定理相符。
9.数列法：通过构造特定的数列，利用数列的性质证明勾股定理。
上述只是列举了部分勾股定理的证明方法，实际上还有许多其他的方法。
不同的证明方法体现了数学的多样性和灵活性。
通过多种证明方法的探索和研究，我们可以更加深入地理解和应用勾股定理。
勾股定理的验证及实际应用
勾股定理的验证及实际应用勾股定理在数学中是一种常见的定理，它可以用于验证三角形是否为直角三角形，还可以用于测量无法直接测量的长度。
在本文中，我们将探讨勾股定理的验证方法以及其实际应用。
勾股定理是指，在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
可以表示为：a²+ b²= c²。
其中，a、b分别表示两条直角边的长度，c表示斜边的长度。
为了验证这个定理，我们可以通过以下方法来进行。
验证勾股定理的方法一：方法一是通过计算来验证勾股定理。
首先，我们需要知道一个三角形的三边长度，然后再计算它们的平方值。
接着，我们将两个小边长度的平方相加，并将它们与斜边长度的平方相比较。
如果两个值相等，则说明勾股定理成立。
例如，对于一个直角三角形，其直角边长度分别为3和4，斜边长度应为5。
我们可以计算3²+4²的值，结果是9+16=25。
由上可得，勾股定理成立。
验证勾股定理的方法二：方法二是通过几何图形来验证勾股定理。
在坐标系中，我们可以画出直角三角形的三边，并且标上对应的坐标值。
接着，我们可以利用勾股定理来计算三边的平方和，并且比较它们是否相等。
如果相等，则说明勾股定理成立。
例如，对于上述直角三角形，我们可以在坐标系中画出直角三角形，并且标出三边的坐标值。
然后，我们可以计算出它们的平方和，即3²+4²=25。
最后，我们可以测量斜边的长度，结果是5。
由此可见，勾股定理成立。
除了验证，勾股定理还有许多实际应用。
其中一项应用是用勾股定理来测量无法直接测量的长度。
例如，在森林中测量高度，我们可以利用勾股定理来测量树木的高度。
我们只需要测量眼睛和树底部之间的距离，以及眼睛到树顶的角度。
然后，我们可以利用勾股定理计算出树木的高度。
此外，勾股定理还可以用于解决直角三角形的问题，例如计算斜边长度，计算三角形的面积等。
同时，此定理也可以用于其他数学领域的问题，例如在三维几何中的应用。
勾股定理的证明(比较全的证明方法)
传说中毕达哥拉斯的证法
证明：从Rt△ABC的三边向外各作一个正方形（如图），作CN⊥DE 交AB于M，那么正方形ABED被分成两个矩形．连结CD和KB． ∵由于矩形ADNM和△ADC同底（AD），等高(即平行线AD和CN间的距离)， ∴S矩形ADNM＝2S△ADC． 又∵正方形ACHK和△ABK同底（AK）、等高（即 平行线AK和BH间的距离）， ∴S正方形ACHK＝2S△ABK． ∵AD＝AB，AC＝AK，∠CAD＝∠KAB， ∴△ADC≌△ABK． 由此可得S矩形ADNM＝S正方形ACHK ． 同理可证S矩形MNEB＝S正方形CBFG． ∴S矩形ADNM＋S矩形MNEB＝S正方形ACHK＋S正方形CBFG．
总统巧证勾股定理
D
a
C
c
b
c
b
A
E a B
美国第二十任 总统伽菲尔德
返回
向常春的证明方法
S梯形ABCD 1 1 2 1 (a b b)(a b) a ab 2 2 2
S梯形ABCD S四边形AECD SEBC 1 2 1 c (a b )b 2 2 1 2 1 1 2 c ab b 2 2 2
探 索 勾 股 定 理
数学家毕达哥拉斯的发现：
探 索 C 勾 股 A、B、C的面积有什么关系？ 定 SA+SB=SC 理
A
B
设：直角三角形的三边长分别是a、b、c
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
返回
SA+SB=SC
C
A a
c
b B
探 SA=a2 索 SB=b2 勾 SC=c2 股 定 2 2 2 a +b =c 理
2
a
以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直 角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把 这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、 B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直 线上，C、G、D三点在一条直线上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF. ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º ,∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º .∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º. ∴ 四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的 面积等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º ,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º . 又∵ ∠GHE = 90º ,∴ ∠DHA = 90º + 90º = 180º . ∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面 积等于（a+b）² ， ∴（a+b）² =4×½ab+c² ， ∴a² +b² =c²
勾股定理的三种验证方法
勾股定理的三种验证方法勾股定理是数学中的一个重要定理，它描述了直角三角形中三边之间的关系。
在数学中，有三种常见的验证勾股定理的方法，分别是几何法、代数法和物理法。
下面将详细介绍这三种方法。
一、几何法验证勾股定理：几何法是最常见的验证勾股定理的方法，它基于几何图形的性质和关系。
下面以一个具体的例子来说明几何法的验证过程。
假设有一个直角三角形，其中两条直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c。
根据勾股定理，可以得到两个关系式：1.a² + b² = c²，这是勾股定理的基本表达式。
2.c = √(a² +b²)，即斜边的长度等于两直角边长度平方和的开方。
为了验证这个定理，可以通过构造一个具体的直角三角形来进行验证。
具体的验证过程如下：1.画一个直角三角形，其中两条直角边的长度分别为3和4。
2.通过直尺和量角器测量直角边和斜边的长度，得到直角边的长度平方和为(3² + 4² = 9 + 16 = 25)，斜边的长度为√25 = 5。
3.通过测量结果可以发现，斜边的长度确实等于两直角边长度平方和的开方，即5 = √(3² + 4²)。
通过以上的验证过程，可以得出结论：在这个具体的直角三角形中，勾股定理成立。
二、代数法验证勾股定理：代数法是通过代数运算来验证勾股定理的方法。
下面以一个具体的例子来说明代数法的验证过程。
假设有一个直角三角形，其中两条直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c。
根据勾股定理，可以得到两个关系式：1.a² + b² = c²，这是勾股定理的基本表达式。
2.c = √(a² + b²)，即斜边的长度等于两直角边长度平方和的开方。
为了验证这个定理，可以通过代数运算来进行验证。
具体的验证过程如下：1.令a = 3，b = 4。
2.将a和b的值代入勾股定理的基本表达式中，得到3² + 4² = c²。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
勾பைடு நூலகம்定理二
选自 :苏科版八年级数学上 第二章第一节第二课时
主备 教案背景
潘建琴
江苏省宜兴市徐舍中学
勾股定理是人类文明的成果,几乎所有拥有古代 文化的民族和国家都对勾股定理有所研究,古今 中外许多人都孜孜不倦的寻找他的证明方法,至 今已有了 400 多种证法.
教材分析
本课勾股定理的证明,是苏科版八年级数学 上册第二章第一节的知识,是在第一课时学习了 勾股定理以后的继续, 也是后续学习“解直角三 角形”的基础.它紧密联系了数学中两个最基本 的量——数与形，能够把形的特征（三角形中一 个角是直角）转化成数量关系（三边之间满足 a2 + b2 = c2 ）堪称数形结合的典范，在理 论上占有重要地位. 八年级学生已具备一定的分析与归纳能力， 初步掌握了探索图形性质的基本方法 . 但是学 生对用割补方法和面积计算证明几何命题的意 识和能力存在障碍，对于如何将图形与数有机的 结合起来还很陌生.所以这节课的目的在于锻炼 学生的几何命题的证明意识.,
板书设计： 勾勒出教 18.1 勾股定理 学的主线， 呈 一、了解历史 ：赵爽弦图 二、图形探究→猜想→证明 三、勾股定理： 如果直角三角形两直角边长 信息的强度， 分别是 a,b,斜边是 c,那么 a2 + b2 =c2 五、 ：作业 突出重点. 四、小结 现完整知识 1. 结构体系.并 2. 用彩色增加
用 4 个全等的直角三角形拼成一个图形， 你能通过计算所 爽 是 如 何 利 拼图形的面积验证勾股定理吗？ 用拼图的方 法来证明命 题.
学生在弦 图验证的基
2 2
4×0.5ab+(b-a) =c 础上，，以小 所以，a2+b2=c2
证明方法二 组为单位， 合 勾股定理是数学上有证明方法最多的定理， 美国第二十任 作探究.
教学目标
1、
通过网络搜索不同的验证方法,经历不同
的拼图方法验证勾股定理的过程 2、通过验证过程中数与形的结合，体会数形结 合的思想以及数学知识之间内在联系，每一部分 知识并不是孤立的。 3、通过丰富有趣的拼图活动，经历观察、比较、 拼图、计算、推理交流等过程，发展空间观念和 有条理地思考和表达的能力，获得一些研究问题 与合作交流方法与经验，增强对数学学习的兴 趣。
拼成如图⑤的形状，图中 3 个正方形的面积之间的关系是 _____ _______ . _____ ， 用 关 系 式 表 示 ________
c b a
① ② ③ ④ ⑤
上网查阅下列网址： /telecenter/CnHisScience/ggd l.htm 了解勾股定理的发现和证明，并写一篇关于关于它的小 论文.
c2 ， 即验证
方法表示大正方形的面积吗? 了命题
2、剪四个完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图所示 的图形。大正方形的面积可以表示为_______,又可以表示为 ____________.对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理 的结论。用上面得到的完全相同的四个直角三角形，还可以 拼成如下图所示的图形，与上面的方法类似，也能说明勾股 定理是正确的方法（请逐一说明） 。
归纳其共有的证明思路：利用图形的割补，借助前后的面积 相等形成关于三边的数量关系。
a a c c
a c b b a
b a
c
b
c
b
a
b
活动二： 课前让学生通过网络得到一些著名的勾股定理证明方法,让学 生自己展示图片,让其他同学来证明 证明方法一: 早在公元 3 世纪， 我国数学家赵爽就用 4 个全等的直角三 角形拼成如下图的图形， 证明了勾股定理。 这个图形被称为 “弦 图” 教师指导 学生， 了解赵
于”“小于”或“等于” 、 ）图③中小正方形的面积，用关系式 表示为________ .（2）拼图二：用 4 张直角三角形纸片
拼成如图④的形状， 观察图形可以发现， 图中共有__________ 个正方形，它们的面积之间的关系是________ 式表示为_____ ，用关系
.（3）拼图三：用 8 个直角三角形纸片
2 2 2
总统伽菲尔德就由这个图得出：c = a + b 证明勾股定理的。 有的学生 他的证法在数学史上被传为佳话。他是这样分析的， 会盲目动手， 如沿正方形 对角线分割 等.让学生自 如 图 所 示 ： 己思考、总 结、更正，在 不断的摸索 中找到解决 问题的正确 证明方法三探索： 把火柴盒放倒，在这个过程中也能验证勾股 方法. 鼓励学生 定理。你能利用下图验证勾股定理吗？
教学重点
1．通过综合运用已有知识解决问题的过程，加深对数形结合的 思想的认识。 2．通过拼图验证勾股定理的过程，使学习获得一些研究问题与 合作交流的方法与经验。
教学难点
通过综合运用已有知识解决问题的过程，加深对 数形结合的思想的认识。
教学方法
合作探究 \教学过程 设计意图
一、情景设置： 通过初一一年的学习， 我们已知道的关于验证公式的拼图 温故而知 方法有哪些？（教师在此给予学生独立思考和讨论的时间，让 学生回想前面拼图。 ） 新,由熟悉的 公式提高学 例如： 习兴趣以及
A D a Ca B b E c
(1 二、合作探究： 合作探究： （一）思索、交流： 拼图填空：剪裁出若干个大小、形状完全相同的直角三角
代表作示范 演示， 展示分 割、 拼接的过 程.
b c
形，三边长分别记为 a、b、c，如图①.（1）拼图一：分别用 4 张直角三角形纸片，拼成如图②③的形状，观察图②③可发 现， 图②中两个小正方形的面积之和__________ （填 “大
a（b +c +d）= ab +ac +ad
减少学生证 （ （a+b） c+d）=ac+ad+bc+bd
（a+b） c-d）=a2 - b2（a-b）2 =a2 -2ab+b2 （ 明命题的畏
2 2 2
（a+b） =a +2ab+b 难情绪 二、新课讲解： 勾股定理是数学中一个重要的定理。 几乎所有拥有古代文 化的民族和国家都对它进行了大量的研究， 找到了许多验证的 方法，这些方法不仅验证了勾股定理，而且丰富了人们研究数 教师展示图 学问题的方法和策略，促进了数学的发展。 片，提出问 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为 题. 股，斜边称为弦。图（1）称为“弦图” ，最早是由三国时期的 学生察图形 数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的。图（2）是在北 可得： a2 + 京召开的 2002 年国际数学家大会（TCM－2002）的会标，其图 b 案正是“弦图” ，它标志着中国古代的数学成就. 你能用不同 2 ＝
教学反思
荷兰数学教育家赖登塔尔认为，学习数学唯一正确的方法是实现再 创造.也就是由学生本人把要学习的东西自己去发现或创造出来， 教师的 任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识 灌输给学生. 本节课正是基于这样的理念，根据教材的特点，把学生的 探索和验证活动放在首位，一方面要求学生在教师引导下自主探索，合 作交流，另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的 领悟和认识.从而教给学生探求知识的方法，教会学生获取知识的本领. 在教师的启发引导下，学生独立思考、自主探究、获取知识，掌握 方法， 真正成为学习的主体.在授课过程中， 根据学生对课堂提问及习题 的解答情况，及时调节课堂节奏，并通过课后批改作业以及与学生谈话 等方式来了解学生对知识掌握的情况。