勾股定理的图形验证
《勾股定理的证明》课件优秀(完整版)1
知识点二 “赵爽弦图”的运用
例 2 “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明 了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图的“赵 爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方 形拼成的一个大正方形．设直角三角形的较长直角 边长为 a，较短直角边长为 b.若 ab＝8，大正方形的 面积为 25，求小正方形的边长．
变式 1 勾股定理的证明
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请利用如图验证勾股定理．
证明：由题图可知，梯形的面积可以表示成12(a ＋b)(a＋b)＝12(a＋b)2，
勾股定理的证明 勾股定理的证明 勾股定理的证明
勾勾股股定定解理理的的证证：明明 示意图如答图(答案不唯一)．
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解：由题意知，(a－b)2＝1，4×12ab＝13－1， 则 4ab＝24，所以(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab＝1＋24 ＝25， 因此 a＋b＝5(负值已舍)．
1．(2019·湖北咸宁)勾股定理是“人类最伟大的十 个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代 的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾 股定理的图案被称为“赵爽弦图” .2002 年在北京召 开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案是“赵爽 弦图”的是( B )
勾股定理的新证明方法(比较全的证明方法)
A
B
这棵树漂亮吗？如果在树上挂上 几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小 彩球、小礼盒、小的圣诞老人，是不 是更像一棵圣诞树．
也许有人会问：“它与勾股定理 有什么关系吗？”
仔细看看，你会发现，奥妙在树 干和树枝上，整棵树都是由下方的这 个基本图形组成的：一个直角三角形 以及分别以它的每边为一边向外所作 的正方形．
勾股定理的证明
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勾股定理的证明
两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人 们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨 和研究它的证明．因此不断出现关于勾股定理的新证法．
1．传说中毕达哥拉斯的证法 2．赵爽弦图的证法 3．刘徽的证法 4．美国第20任总统茄菲尔德的证法 5．其他证法
方除之，即弦也． I
E F
D
C
A
BH G
总统巧证勾股定理
学过几何的人都知道勾股定理．它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广 泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种．其中，美国第二十任总统伽 菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．
总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是 否定的．事情的经过是这样的：
这个图形有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊的数学家毕达 哥拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理．
传说中毕达哥拉斯的证法
关于勾股定理的证明，现在人类保存下来的最早的
文字资料是欧几里得（公元前300年左右）所著的《几
何原本》第一卷中的命题47：“直角三角形斜边上的正方
形等于两直角边上的两个正方形之和”．其证明是用面积
来进行的．
G
已知：如图，以在Rt△ABC中，
勾股定理及直角三角形的判定
勾股定理及直角三角形的判定知识要点分析1、勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2、勾股定理的验证勾股定理的证明方法很多，其中大多数是利用面积拼补的方法证明的。
我们也可将勾股定理理解为：以两条直角边分别为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。
因此，证明勾股定理的关键是想办法把以两条直角边分别为边长的两个正方形作等面积变形，使它能拼成以斜边为边长的正方形。
另外，用拼图的方法，并利用两种方法表示同一个图形的面积也常用来验证勾股定理。
3、如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，此结论是勾股定理的逆定理（它与勾股定理的条件和结论正好相反）。
其作用是利用边的数量关系判定直角三角形，运用时必须在已知三角形三条边长的情况下。
我们还可以理解为：如果三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，并且两条短边是直角边，最长边是斜边。
4、勾股数满足条件a2+b2=c2的三个正整数a、b、c称为勾股数。
友情提示：（1）3，4，5是勾股数，又是三个连续正整数，并不是所有三个连续正整数都是勾股数；（2）每组勾股数的相同倍数也是勾股数。
【典型例题】考点一：勾股定理例1：在△ABC中，∠C=90°，（1）若a=3，b=4，则c=__________；（2）若a=6，c=10，则b=__________；（3）若c=34，a：b=8：15，则a=________，b=_________.例2：已知三角形的两边长分别是3、4，如果这个三角形是直角三角形，求第三边的长。
解：考点二：勾股定理的验证例3：如图所示，图（1）是用硬纸板做成的两个直角三角形，两直角边的长分别是a和b，斜边长为c，图（2）是以c为直角边的等腰三角形。
请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。
北师大版八年级数学上册第一章 勾股定理的图形验证
小组展示
越展越优点)
(1)勾股定理的验证方法有很多种，教材是采用拼图的方法验证 的．图形割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积就不会 变．
(2)验证勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图 形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理 得到勾股定理．
②摆放时，都可以用“面积法”来验证．下面是小聪利用图①验证勾股定理
的过程：将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，连接DC，其中 ∠DAB＝90°，试说明：a2＋b2＝c2.
解：连接 DB，过点 D 作 DF⊥BC，交 BC 的延长线于点
F，则易得 DF＝EC＝b－a. 因为 S 四边形 ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝12b2＋12ab， S 四边形 ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝12c2＋12a(b－a)， 所以12b2＋12ab＝12c2＋12a(b－a)，所以 a2＋b2＝c2.
表示为c_2＋__2_a_b___，由此可得a_2＋__b_2_＝__c_2)_____． (2)图3②中，大正方形的面积可以表示为____c_2_____，又可
以表示为(a_－__b_)_2＋__2_a_b___，由此可a得2＋_b_2_＝__c_2____．
作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a，b， 斜边长为c，再作3个边长分别为a，b，c的正方形，将它们按 如图①②所示的方式拼成两个正方形． 试说明：a2＋b2＝c2. 解：由图可知这两个正方形的边长都为 a＋b，所以它 们的面积相等，图①正方形的面积可表示为 a2＋b2＋ 4×12ab，图②正方形的面积可表示为 c2＋4×21ab， 所以 a2＋b2＋4×12ab＝c2＋4×21ab，即 a2＋b2＝c2
1 探索勾股定理
勾股定理的证明(比较全的证明方法)
传说中毕达哥拉斯的证法
证明：从Rt△ABC的三边向外各作一个正方形（如图），作CN⊥DE 交AB于M，那么正方形ABED被分成两个矩形．连结CD和KB． ∵由于矩形ADNM和△ADC同底（AD），等高(即平行线AD和CN间的距离)， ∴S矩形ADNM＝2S△ADC． 又∵正方形ACHK和△ABK同底（AK）、等高（即 平行线AK和BH间的距离）， ∴S正方形ACHK＝2S△ABK． ∵AD＝AB，AC＝AK，∠CAD＝∠KAB， ∴△ADC≌△ABK． 由此可得S矩形ADNM＝S正方形ACHK ． 同理可证S矩形MNEB＝S正方形CBFG． ∴S矩形ADNM＋S矩形MNEB＝S正方形ACHK＋S正方形CBFG．
总统巧证勾股定理
D
a
C
c
b
c
b
A
E a B
美国第二十任 总统伽菲尔德
返回
向常春的证明方法
S梯形ABCD 1 1 2 1 (a b b)(a b) a ab 2 2 2
S梯形ABCD S四边形AECD SEBC 1 2 1 c (a b )b 2 2 1 2 1 1 2 c ab b 2 2 2
探 索 勾 股 定 理
数学家毕达哥拉斯的发现：
探 索 C 勾 股 A、B、C的面积有什么关系？ 定 SA+SB=SC 理
A
B
设：直角三角形的三边长分别是a、b、c
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
返回
SA+SB=SC
C
A a
c
b B
探 SA=a2 索 SB=b2 勾 SC=c2 股 定 2 2 2 a +b =c 理
2
a
以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直 角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把 这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、 B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直 线上，C、G、D三点在一条直线上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF. ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º ,∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º .∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º. ∴ 四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的 面积等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º ,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º . 又∵ ∠GHE = 90º ,∴ ∠DHA = 90º + 90º = 180º . ∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面 积等于（a+b）² ， ∴（a+b）² =4×½ab+c² ， ∴a² +b² =c²
勾股定理判定条件
勾股定理判定条件勾股定理是初中数学中比较基础的知识点之一，其应用广泛，被广泛地运用于各个领域。
勾股定理给出了一个直角三角形边长之间的关系，它可以通过勾股定理判定条件来判断一个三角形是否为直角三角形，从而判断出三角形的性质。
本文将详细介绍勾股定理及其判定条件。
一、勾股定理简介勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是指在一个直角三角形中，三条边满足勾股定理的条件：斜边的平方等于直角边的平方和。
具体而言，设三角形的三条边分别为a,b,c，且c 为斜边，若满足a²+b²=c²，则该三角形为直角三角形，且直角所对应的边为斜边。
该定理得名于古希腊哲学家毕达哥拉斯。
二、勾股定理的证明勾股定理得名于古希腊哲学家毕达哥拉斯，但自公元前两千年左右起，许多文化都已经独立地发现过这一定理。
勾股定理的证明，可以使用不同的方法，下面介绍其中的两种：1.图形法证明将正方形按照对角线断开，将原正方形分成四个直角三角形，其中三个直角三角形的三边分别为a,b,c，而第四个直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c的平方，此时，c²由直角三角形的两个直角边的长度计算得到，而a²+b²则是三个直角三角形的面积之和，因此有c²=a²+b²。
2.代数法证明首先假设a²+b²=c²成立，令x=c/a，则b²=a²(1-x²)，由此可以推导出b²的值。
然后，假设不成立，即a²+b²>c²或a²+b²<c²，如果a²+b²>c²，则假设存在一个数e，使得c²=(a+e)²+b²，代入a²+b²=c²中得到a²+2ae+e²+c²-b²=c²，化简后可得2ae+e²>c²-b²，因此e²>(c-b)(c+b-2a)，由于c>b>a，因此(e/a)² > 2，与x=c/a < 1矛盾。
21勾股定理及证明
初中数学勾股定理及其证明编稿老师蔡宝霞一校杨雪二校黄楠审核隋冬梅【考点精讲】知识点1 勾股定理如果直角三角形中两条直角边为a，b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2。
注意：勾股定理应用的前提条件必须是直角三角形，解题时，只能是在同一直角三角形中，才能利用它求第三边的长。
知识点2 勾股定理的证明对于勾股定理的内容，世界上几个文明古国相继发现和研究过这个定理，并给出了勾股定理的许多证明，有人统计，现在世界上已找出370多种运用图形的割、补、移、拼表示出方法指导思想手段目的拼图法数形转换图形的拼补各部分面积和等于整体面积，整理变形推导出勾股定理。
【典例精析】例题1如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b。
利用这个图试说明勾股定理。
思路导航：根据大正方形面积＝四个相同直角三角形面积＋小正方形面积，得c2＝4×12ab＋（a－b）2即得c2＝a2＋b2，在每个直角边为a、b而斜边为c的直角三角形中，这个式子就是勾股定理。
点评：应用图形的面积关系证明勾股定理内容时，通常是根据图形的面积和差之间的关系建立等式，从而推导得出勾股定理的内容。
例题2 观察探究：小明同学非常细心，火柴盒在桌面上倒下，便启迪他得到很多发现。
如图，火柴盒的一个侧面ABCD沿逆时针方向倒下后到AB′C′D′的位置，连接CC'′。
设AB＝b，BC＝a，AC ＝c。
（1）他在学习了因式分解后，意外地发现，代数式a2－b2表示了图中一个长方形的面积，请你把这个长方形画完整，并把它指出来；（2）学过勾股定理之后，他又惊奇地发现，利用四边形BCC′D′的面积可以得到证明勾股定理的新方法，请你利用这个四边形的面积证明勾股定理：a2＋b2＝c2。
思路导航：（1）根据题意作出长为（a＋b），宽为（a－b）的长方形图形；（2）四边形BCC′D′的面积从大的方面来说属于直角梯形，可利用直角梯形的面积公式即为所求，如图所示。
17.1第1课时勾股定理及验证
图 17－1－13
第1课时 勾股定理及验证
解：证明：连接 DB，过点 B 作 DE 边上的高 BF，则 BF＝b－a. 1 1 ∵S 五边形 ACBED＝S 梯形 ACBE＋S△AED＝ (a＋b)b＋ ab， 2 2 1 1 2 1 又∵S 五边形 ACBED＝S△ACB＋S△ADB＋S△BED＝ ab＋ c ＋ a(b－a)， 2 2 2 1 1 1 1 2 1 ∴ (a＋b)b＋ ab＝ ab＋ c ＋ a(b－a)， 2 2 2 2 2 ∴a2＋b2＝c2.
第1课时 勾股定理及验证
C拓广探究创新练
15．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其 中的“面积法”给了小聪灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角 三角形如图 17－1－12 或图 17－1－13 摆放时， 都可以用“面积法” 来证明．下面是小聪利用图 17－1－12 证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图 17－1－12 所示的方式摆放，其中 ∠DAB＝90° ，求证：a ＋b ＝c .
第1课时 勾股定理及验证
14．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的 一种新的证明方法． 如图 17－1－11 所示， 火柴盒的一个侧面 ABCD 倒下到四边形 AB′C′D′的位置，连接 CC′，AC′，AC，设 AB＝a， BC＝b，AC＝c，请利用四边形 BCC′D′的面积验证勾股定理： a2 ＋b ＝c .
图17－1－7
第1课时 勾股定理及验证
10．[2018· 凉山州] 如图 17－1－8，数轴上点 A 对应的数为 2， AB⊥OA 于点 A，且 AB＝1，以 O 为圆心，OB 长为半径作弧， 交数轴于点 C，则 OC 的长为( D ) A．3 B. 2 C. 3 D. 5
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a
c b b a
c a
a
b
c
b
c
弦图的另一种拼法 b
a b c c a c a b
c
a
b美国总统证法：D c来自aCc b a B
b
A
美国总统的证明
• 伽菲尔德 （James A.
Garfield； 1831 1881）
• 1881 年成为美国第 20 任总统 • 1876 年提出有关证明 伽菲尔德经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其 中的道理，并给出了简洁的证明方法．1876年4月1 日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他 对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美 国第二十任总统后，人们为了纪念他对勾股定理直 观、简捷、易懂、明了的证明，就称这一证法称为
在西方，希腊数学家欧几里德（Euclid， 公元前三百年左右）在编著《几何原本》时， 认为这个定理是毕达哥拉斯最早发现的，所以 他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，以 后就流传开了。 毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学 家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五 百多年。 相传，毕达哥拉斯学派找到了勾股定理的 证明后，欣喜若狂，杀了一百头牛祭神，由此， 又有“百牛定理”之称。
“总统”证法。
证一证——
你也来做数学家
a b b b c a a c b a a b c a
.
b c
a c b c b a
. 传说中的毕达哥拉斯证法
环节三：我再说说勾股定理
再来说说勾股定理
勾股定理与第一次数学危机
约公元前 500 年，毕达哥拉斯学派的
弟子希帕索斯 (Hippasus) 发现了一个惊人
北师大版数学八年级上册
课题：勾股定理的几何证明
主讲教师： 尚 家 茗 单 位：郑州市第七十六中学
环节一：我来说说勾股定理
说一说你所了解的勾股定理
在中国古代大约是战国时期西汉的数学 著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一 段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股 修四，经隅五。”即：当直角三角形的两条 直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径 隅（弦）则为5。以后人们就简单地把这个事 实说成“勾三股四弦五”。故称之为“勾股 定理”或“商高定理”
勾股定理的几何证明
1955年希腊发行的一枚纪念一位 数学家的邮票
环节二：我来证证勾股定理
交流预习展示
要求：1、 一名同学展示拼图； 2、一名同学负责画图； 3、 一名同学负责板书； 4、 一名同学负责讲解。
这是中国古代著名的数学家赵爽证明勾股定理的方法， 被称为赵爽弦图。该图不仅代表了中国古代曾经为世界 数学的发展做出过重要贡献，同时该图也反映了数学的 简洁之美，因此被第24届国际数学家大会组委会确定大 会的会标。
勾股定理与第一次数学危机
据说，毕达哥拉斯学派对希帕索 斯的发现十分惶恐、恼怒，为了保守 秘密，最后将希帕索斯投入大海．不 能表示成两个整数之比的数，15世纪 意大利著名画家达.芬奇称之为“无理 的数”，无理数的英文“irrational”原 义就是“不可比”．第一次数学危机 一直持续到19世纪实数的基础建立以 后才圆满解决．我们将在下一章学习 有关实数的知识 ．
的事实，一个正方形的对角线的长度是不 可公度的.按照毕达哥拉斯定理(勾股定理)， 若正方形边长是 1 ，则对角线的长不是一 个有理数，它不能表示成两个整数之比，
1 1
？
这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相
径庭，而且建立在任何线段都可公度基础 上的几何学面临被推翻的威胁，第一次数 学危机由此爆发． •
1 1
？
作业：
查询勾股定理的其他证明 方法（不同于本节课）制 作数学手抄报，全班展示
无字证明
青出
青 入
青方
青 出
朱入
朱 朱方 出
青入
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④
⑤
b
c
a
③
①
②
无字证明
青朱出入图
青出
青 入
青方
青 出
朱入 朱入
朱 朱 出 朱方 出
华罗庚
青入
青出